Modèles de Processus Markoviens déterministes par

Modélisation de propagation de fissure par un PDMP
Romain Azaïs, Anne Gégout-Petit, Marie Touzet, Charles Elegbede
IMB – Equipe CQFD, INRIA – LMP – EADS Astrium
Réunion GTR 22
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Pourquoi un modèle stochastique ?
Plan
1
Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
L’aléa dans la modélisation
2
Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Résultats obtenus
3
Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Principe d’actualisation
4
Simulations et validation du modèle
Simulations
Critères numériques de validation
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
Loi de Paris-Erdogan (propagation de fissure)
π − m m
√
da
2
a2
= C (∆σ π)m cos
a
dN
ω
(P-E)
,→ évolution déterministe
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
Loi de Paris-Erdogan (propagation de fissure)
π − m m
√
da
2
a2
= C (∆σ π)m cos
a
dN
ω
(P-E)
,→ évolution déterministe
Expérience de Virkler
∆σ = 48.28MPa
A.R.
et
ω = 152.4mm
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
Données expérimentales de Virkler
,→ dispersion importante !
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
Les données de Virkler
68 éprouvettes préfissurées (9mm)
Contrainte cyclique d’amplitude constante
164 mesures par éprouvette
Arrêt à la longueur 49.8mm (1/3 de l’éprouvette)
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Pourquoi un modèle stochastique ?
L’aléa dans la modélisation
Loi de Paris-Erdogan
π − m m
√
da
2
= C (∆σ π)m cos
a
a2
dN
ω
(P-E)
Suivant les modélisations, le couple de paramètres (m, C ) peut être :
une variable aléatoire "choisie" à l’instant initial,
un processus évoluant dans un espace continu,
une chaîne de Markov à temps continu.
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Pourquoi un modèle stochastique ?
L’aléa dans la modélisation
Evolution du processus
A préciser :
la loi initiale des paramètres,
la loi du temps de saut,
le noyau de transition pour les paramètres.
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Ajustement sur les données de Virkler
Plan
1
Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
L’aléa dans la modélisation
2
Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Résultats obtenus
3
Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Principe d’actualisation
4
Simulations et validation du modèle
Simulations
Critères numériques de validation
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Données de Virkler
(k) (k)
68 courbes : (Nq , aq )1≤q≤164 1≤k≤68
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Données de Virkler
(k) (k)
68 courbes : (Nq , aq )1≤q≤164 1≤k≤68
ath (m1 , C1 , T , m2 , C2 ) : courbe théorique définie par morceaux
pour 0 ≤ N < T , ath (N) : P-E de paramètres m1 et C1
pour N ≥ T , ath (N) : P-E de paramètres m2 et C2
π − m m
√
da
2
= C (∆σ π)m cos
a
a2
dN
ω
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
(P-E)
26 nov. 2010
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Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Ajustement par morceaux
Pour chaque fissure k, on minimise
164 n
o2
X
(k)
(k)
aq − ath (m1 , C1 , T , m2 , C2 )(Nq )
q=1
(Somme des carrés des écarts verticaux)
,→
A.R.
(k)?
m1
(k)?
, C1
(k)?
, T (k)? , m2
Modèle PDMP de prop. de fissure
(k)? , C2
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Ajustement sur les données de Virkler
Résultats obtenus
Quelques statistiques des résultats obtenus
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Ajustement sur les données de Virkler
Résultats obtenus
Quelques statistiques des résultats obtenus
m1?
ln(C1? )
?
N
m2?
ln(C2? )
A.R.
min
2.313
−24.247
28207
2.446
−24.423
max
2.541
−23.740
258046
2.597
−23.736
moyenne
2.462
−24.013
118004
2.535
−24.048
Modèle PDMP de prop. de fissure
écart-type
4.6810−2
1.18.10−1
51577
3.14.10−2
1.39.10−1
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Modèles de propagation de fissure
Plan
1
Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
L’aléa dans la modélisation
2
Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Résultats obtenus
3
Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Principe d’actualisation
4
Simulations et validation du modèle
Simulations
Critères numériques de validation
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
PDMP pour la propagation de fissures
∀N ≥ 0, XN = (νN , ζN )
Espace d’états du mode
νN ∈ M × C de cardinal fini
On utilise les résultats d’ajustement pour déterminer :
l’espace M × C,
l’intensité de saut λ(m,C ) ,
le noyau de transition M des paramètres.
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Description du PDMP
1 - Choix aléatoire des paramètres initiaux
ν0 = (m, C ) ∈ M × C
(et ζ0 = 9)
2 - Evolution déterministe pendant un temps aléatoire
∀0 ≤ N < T , ζN : P-E de paramètres m et C
avec P(T > s) = exp{−λ(m,C ) s}
3 - Transition aléatoire des paramètres
à l’instant T , saut du mode selon un noyau de transition M :
νT = (m̃, C̃ ) ∈ M × C
4 - Nouvelle évolution déterministe
∀N ≥ T , ζN : P-E de paramètres m̃ et C̃
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Description du PDMP
1 - Choix aléatoire des paramètres initiaux
ν0 = (m, C ) ∈ M × C
(et ζ0 = 9)
2 - Evolution déterministe pendant un temps aléatoire
∀0 ≤ N < T , ζN : P-E de paramètres m et C
avec P(T > s) = exp{−λ(m,C ) s}
3 - Transition aléatoire des paramètres
à l’instant T , saut du mode selon un noyau de transition M :
νT = (m̃, C̃ ) ∈ M × C
4 - Nouvelle évolution déterministe
∀N ≥ T , ζN : P-E de paramètres m̃ et C̃
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Description du PDMP
1 - Choix aléatoire des paramètres initiaux
ν0 = (m, C ) ∈ M × C
(et ζ0 = 9)
2 - Evolution déterministe pendant un temps aléatoire
∀0 ≤ N < T , ζN : P-E de paramètres m et C
avec P(T > s) = exp{−λ(m,C ) s}
3 - Transition aléatoire des paramètres
à l’instant T , saut du mode selon un noyau de transition M :
νT = (m̃, C̃ ) ∈ M × C
4 - Nouvelle évolution déterministe
∀N ≥ T , ζN : P-E de paramètres m̃ et C̃
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Description du PDMP
1 - Choix aléatoire des paramètres initiaux
ν0 = (m, C ) ∈ M × C
(et ζ0 = 9)
2 - Evolution déterministe pendant un temps aléatoire
∀0 ≤ N < T , ζN : P-E de paramètres m et C
avec P(T > s) = exp{−λ(m,C ) s}
3 - Transition aléatoire des paramètres
à l’instant T , saut du mode selon un noyau de transition M :
νT = (m̃, C̃ ) ∈ M × C
4 - Nouvelle évolution déterministe
∀N ≥ T , ζN : P-E de paramètres m̃ et C̃
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Loi initiale du mode
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Transition du mode
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Actualisation
Pour la fissure k, on dispose des l premières mesures
(k)
(k)
(Nq , aq )1≤q≤l
Principe d’actualisation ← modèle général modifié
On prend en compte les l mesures :
nouvelle loi initiale du mode
saut contraint au bout d’un temps ne dépendant que de ν0
nouvelle matrice de transition
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Nouvelle loi initiale du mode
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Instant de transition forcée
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Nouvelle loi de transition
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Loi initiale (simulations)
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Modèles de propagation de fissure
Principe d’actualisation
Loi de transition (simulations)
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Simulations et validation du modèle
Plan
1
Pourquoi un modèle stochastique ?
Les données de Virkler
L’aléa dans la modélisation
2
Ajustement sur les données de Virkler
Ajustement par morceaux
Résultats obtenus
3
Modèles de propagation de fissure
Modèle général
Principe d’actualisation
4
Simulations et validation du modèle
Simulations
Critères numériques de validation
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
Simulations
Simulations selon le modèle général
faisceau simulé (Card(M × C) = 40) et données de Virkler
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
Simulations
Faisceau de prédiction pour la fissure 67
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Simulations et validation du modèle
Critères numériques de validation
Critères numériques de validation
Faisceau simulé selon le principe d’actualisation
(k)
(k) (k)
F (k) = f1 , . . . , f100
où fj : courbe simulée
Critère numérique : distance de Fk à la courbe k
D(F (k) , « fissure k ») =
A.R.
1
Q
X
(k)
dq
(k)
NQ q=l+1
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
A.R.
Critères numériques de validation
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
28 / 37
Simulations et validation du modèle
A.R.
Critères numériques de validation
Modèle PDMP de prop. de fissure
26 nov. 2010
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Simulations et validation du modèle
Critères numériques de validation
Critères retenus
D : distance au faisceau (sans unité),
(k)
dQ : distance pour la dernière mesure (en nombre de cycles),
dispersion du faisceau (en nombre de cycles).
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Validation croisée : leave one out
Modèle PDMP avec actualisation – Card(K ) = 20
pour 40% des fissures :
D(F (k) , « fissure k ») = 0
pour 70% des fissures :
D(F (k) , « fissure k ») < 1
pour 66% des fissures :
dQ = 0
A.R.
(k)
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Comparaison avec un modèle sans saut
Fissures rapides
D(F (k) , «
fissure k ») = 0
fissure k ») < 1
(k)
dQ = 0
dispersion moyenne
D(F (k) , «
A.R.
Modèle PDMP
8/11
11/11
9/11
6191 cycles
Modèle PDMP de prop. de fissure
Modèle sans saut
0/11
1/11
7/11
9468 cycles
26 nov. 2010
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Simulations et validation du modèle
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Comparaison avec un modèle sans saut
Fissures lentes
D(F (k) , «
fissure k ») = 0
fissure k ») < 1
(k)
dQ = 0
dispersion moyenne
(k)
moyenne de dQ
D(F (k) , «
A.R.
Modèle PDMP
0/7
0/7
1/7
9863 cycles
30644 cycles
Modèle PDMP de prop. de fissure
Modèle sans saut
0/7
0/7
1/7
8988 cycles
15007 cycles
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Simulations et validation du modèle
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Comparaison avec un modèle sans saut
Fissures "standards"
D(F (k) , «
fissure k ») = 0
D(F (k) , « fissure k ») < 1
(k)
dQ = 0
dispersion moyenne
A.R.
Modèle PDMP
18/50
38/50
35/50
7593 cycles
Modèle PDMP de prop. de fissure
Modèle sans saut
1/50
23/50
49/50
9130 cycles
26 nov. 2010
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Simulations et validation du modèle
A.R.
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
A.R.
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Modèle PDMP de prop. de fissure
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Simulations et validation du modèle
Validation croisée et comparaison avec un modèle sans saut
Bibliographie
J. Chiquet, N. Limnios & M. Eid : PDMPs applied to fatigue crack
growth modelling, J.S.P.I. 139 (2009) 1657-1667
M.H.A. Davis : Piecewise-deterministic Markov Processes : A General
Class of Non-diffusion Stochastic Models, J.R.Statist. Soc. B. (1984),
46, No.3, pp. 353-388
F. Perrin : Prise en compte des données expérimentales dans les
modèles probabilistes pour la prévision de la durée de vie des
structures, thèse de doctorat
D.A. Virkler, B.M. Hillberry & P.K. Goel, 1979, The statistical nature of
fatigue crack propagation, J. Engng Mater Tech , Trans. ASME, 101 :
148-153
A.R.
Modèle PDMP de prop. de fissure
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