Corrigé

ECOLE POLYTECHNIQUE
Première composition de physique MP 2003
Microscopie à force électrostatique.
I – Oscillateur mécanique
1a) On applique la relation fondamentale de la dynamique à la masse m dans le référentiel du labora!
toire supposé galiléen. La masse m est soumise à son poids − mgez et à la force exercée par le ressort. Pour cette dernière, il faudra prêter attention à l’expression de la longueur du ressort (on appellera l0 sa longueur à vide) et au sens du vecteur unitaire de l’axe de projection. La force exercée par le
!
k ( zP − zM − l0 ) ez . Or nous savons que z P = z P 0 + a0 cos ωt et zM = z0 + δ .
De plus à l’équilibre, on a k ( z P 0 − z0 − l0 ) = mg . En prenant en compte, l’ensemble de ces éléressort est alors :
ments, la relation de la dynamique nous donne :
2
m
d δ
dt
2
+β
dδ
+ k δ = ka0 cos ωt
dt

1b) En régime sinusoïdal forcé, avec la notation complexe on aboutit à : B  mjω + β +

k 
 = kA . En
jω 
tenant compte des grandeurs définies par l’énoncé, on obtient la fonction de transfert classique du
filtre passe-bande :
H ( ω) =
1c)
1
 ω ω0 
−
1 + jQ 

 ω0 ω 
ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur et Q le facteur de qualité supposé très élevé, on prend
pour Q la valeur indiquée dans la suite de l’énoncé (200). La résonance est donc très aiguë. L’allure
du graphe est la suivante en posant x = ω / ω0 :
1

H ( ω) est défini par son cosinus et son sinus. On obtient tan ϕ = −Q  x −  .
x

Voir ci-dessus. L’essentiel des variations de ϕ s’effectue autour de x = 1. Le calcul de la dérivée
1d) L’argument de
donne :
d tan ϕ d ϕ
Q 
1 
d tan ϕ
1+
=−
. Or
= 1 + tan 2 ϕ ; comme en x = 1 tan ϕ = 0 , on peut


ω0  x 2 
dϕ dω
dϕ
conclure par l’expression :
2Q
 dϕ 

 =−
ω0
 d ω ω0
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2
2a) En revenant aux notations réelles, on constate immédiatement que
alors que
en
δ" évolue en cos ( ωt + ϕ )
u A ( t ) = u0 cos ωt . Le produit de ces deux cosinus génère la somme de deux termes, l’un
cos ϕ et l’autre en cos ( 2ωt + ϕ ) . La composante continue dépend donc de cos ϕ . Pour ne gar-
der que la composante continue, on utilisera un filtre passe-bas du premier ordre de type RC vérifiant
ωRC # 1 . Le schéma de ce montage est :
La tension continue récupérée est de la forme
Ainsi
U = U 0 cos ϕ . La sensibilité sera définie par
dU
.
dω
dU
dϕ
= −U 0 sin ϕ
, or autour de la pulsation propre sin ϕ ≈ 0 . La sensibilité est donc nulle.
dω
dω
Ceci est cohérent avec l’observation de la forme de la fonction cosinus qui présente un « plat » autour
de la valeur cos ϕ = 1 . Cette situation n’est pas satisfaisante pour optimiser la précision de la mesure
de la pulsation propre.
" = jωδ . Par conséquent, la position sera déphasée de π / 2 par rapport à la
2b) Nous savons que δ
vitesse. Les fonctions cosinus de la question précédente deviennent des fonctions sinus. Le problème
soulevé ci-dessus est donc résolu puisque maintenant
dU
dϕ
= U 0 'cos ϕ
. Au contraire la sensibilidω
dω
té sera maximale. On peut espérer mesurer avec beaucoup de précision la pulsation propre de
l’oscillateur, encore faut-il que le facteur de qualité soit élevé. Cela semble être le cas par la suite.
2c) A partir de
δω0 δϕ
2Q
 dϕ 
, on en déduit immédiatement que
=
.

 =−
ω0
ω0
2Q
 d ω ω0
2d) On trouve
δω0
= 2.10−5 et par conséquent δω0 = 1, 2Hz ou rad.s-1 .
ω0
3a) Un développement limité au premier ordre de la force supplémentaire s’écrit selon :
 dF 
FC ( zM ) = FC ( z0 ) + δ  C 
 dzM  z0
L’énoncé nous invite à négliger l’influence de l’ordre 0 sur la position d’équilibre statique. L’équation
différentielle est donc modifiée et devient :
 dF 
d 2δ
dδ
m
+β
+ k δ = δ  C  + ka0 cos ωt
dt
dt 2
 dzM  z0
Tout se passe comme si l’équation différentielle était
m
d 2δ
dt
2
+β
dδ
+ ( k + δk ) δ = ka0 cos ωt . Cela
dt
permet d’identifier la variation de constante de raideur à :
 dF 
δk = −  C 
 dz M  z0
1/ 2
k + δk
 δk 
= ω0 1 +  . Par développement
3b) La nouvelle pulsation propre est donc ω0 ' =
m
k 

 δk 
limité à l’ordre 1, on obtient ω0 ' = ω0  1 +
 . La variation de pulsation apparente est donc :
 2k 
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3
ω δk
δωap = 0
2 k
3c) Nous avons vu avant que
lement la condition
δωap
δω0 δϕ
=
. Cette quantité doit être inférieure à
, on obtient faciω0
2Q
ω0
δk δϕ
>
. Un facteur de qualité élevé rend aiguë la résonance et logiquement
k
Q
permet de mieux déterminer la pulsation propre de l’oscillateur. Ainsi, la sensibilité à l’existence d’une
force supplémentaire en sera d’autant meilleure.
II – Mesure de forces capacitives
1a) Il est inutile de s’étendre longuement sur la démonstration de ce résultat très classique du plan
infini uniformément chargé en surface. Le champ électrique est de la forme :
!
σ !
E=±
ez
2ε 0
1b) En considérant la somme des deux champs créés par deux plan infinis portant des distributions de
charges opposées, on est amené à constater que, compte tenu du changement d’orientation des deux
champs par rapport à leur plan respectif, le champ total est nul à l’extérieur du condensateur et uniforme à l’intérieur de valeur :
!
σ !
E = − ez
ε0
Le champ électrique créé par l’armature basse est donc la moitié du champ précédent :
!
σ !
Ebasse → haute = −
ez .
2ε 0
1c) L’armature haute porte la charge
!
σ2 S !
σS , elle subit donc la force Fcapa = −
ez . Comme le
2ε0
champ électrique total est uniforme à l’intérieur du condensateur, il s’exprime très simplement en fonction de la différence de potentiel appliquée
σ U
= . La force demandée est donc bien :
ε0 l
!
ε SU 2 !
Fcapa = − 0
ez
2l 2
Cette force est dirigée vers le bas, elle traduit le caractère attractif de l’interaction entre les deux plaques du condensateur.
1d) Nous avons vu ci-dessus que
obtient ainsi
 dF 
 dF
δk = −  C  . Ici, cela correspond à δk = −  C
 dl
 dz M  z0

 . On
l
ω δk
ε SU 2
. En s’aidant de δωap = 0
, il vient la variation de pulsation propre
δk = − 0
2 k
l3
de l’oscillateur selon :
ω ε SU 2
δωcapa = − 0 0
2k l 3
2a) La condition fournie sur les aires nous permet de continuer à utiliser le modèle du condensateur
plan infini. On a dans ces conditions :
ω ε SU 2
ω ε SU 2
δωcapa (1) = − 0 0
et δωcapa ( 2 ) = − 0 0
3
3
2k
2k
l
En conduisant le calcul avec un développement limité à l’ordre 1 en
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(l − h)
h / l , on trouve que :
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4
3ω0 ε0 SU 2 h
2k
l4
3 ε0 SU 2 h
2b) En valeur absolue, on trouve que δωh / ω0 =
$ 5.10−5 . Or dans la première partie,
4
2k
l
δω0
= 2.10−5 . On peut donc conclure que le relief
nous avons montré que l’on pouvait accéder à
ω0
δωh = −
proposé est accessible même si la marge n’est pas grande.
2c) La force capacitive est donnée par :
ε0 SU 2
Fcapa (1) = −
et Fcapa ( 2 ) = −
2
2l
ε0 SU 2
2 (l − h )
2
On trouve donc que :
ε SU 2 h
δFcapa = − 0
l3
2d) L’application numérique conduit à
δFcapa $ 2,5.10−12 N . Avec la valeur de la constante de
-1
raideur k = 1N.m , on obtient un déplacement de 2,5 picomètres ! Cet allongement du ressort est
très faible lorsqu’on le compare aux dimensions évoquées dans le problème qui sont de l’ordre de la
dizaine de nanomètres. Il était donc justifié de négliger l’influence de la force supplémentaire sur la
position d’équilibre.
III Mesure de charges
1a) Nous allons utiliser l’équation de Poisson
tion devient tout simplement
1b) L’intégration donne
d 2V
dz 2
Vz ≤ h = −
=−
ρ
ε0
∆V = −
ρ
. Compte tenu des invariances, cette équaε0
ou 0 .
ρ 2
z + az + b et Vz ≥ h = cz + d . La détermination des constan2ε 0
tes d’intégration s’effectue en utilisant les conditions aux limites qui avec U = 0 donnent :
Vz ≤ h ( z = 0 ) = 0 et Vz ≥ h ( z = l ) = 0
Il nous faut encore deux relations. La première est issue de la continuité du potentiel en z = h et la
seconde de la continuité du champ électrique au même endroit. Cette dernière continuité est la conséquence de la modélisation volumique de la charge et provoque la continuité de la dérivée du
potentiel :
Vz ≤ h ( z = h ) = Vz ≥ h ( z = h ) et
dVz ≤ h
dV
( z = h ) = z≥h ( z = h )
dz
dz
Tous calculs faits, nous trouvons :
ρ 2 ρh 
h
ρh 2
z + 1 −  z et Vz ≥ h =
(l − z )
2ε0
ε0  2l 
2ε0l
dVz ≥ h
ρh2
.
Le champ électrostatique est donc E z = −
(z = l) =
2ε0l
dz
Vz ≤ h = −
1c) L’allure du potentiel est donnée sur la figure 1 qui suit.
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5
Fig. 1 :
V ( z) U = 0
Fig. 2 :
V (z) U ≠ 0
2a) Le potentiel dans cette nouvelle situation est la somme du potentiel calculé avant et de
V ' =U
z
.
l
En effet, le champ, en l’absence de charge entre les deux armatures, est uniforme. Le calcul de la loi
du potentiel en fonction de z est donc particulièrement simple. Afin de prouver que la solution est la
somme de ces deux potentiels, il faut s’assurer que le potentiel somme obéit bien à l’équation de
Poisson. Ceci est évident puisque, dans le cas du condensateur sans charge, la charge volumique est
nulle en tout point. De la même façon, la vérification des conditions aux limites est évidente, toujours
pour le potentiel somme des deux précédents.
2b) La représentation du nouveau potentiel est faite ci-dessus à la figure 2.
!
dVtot
!  ρh2 U  !
3a) On a E = −
−  ez . Nous travaillons au niveau de l’armature haute,
( z = l ) ez = 

dz
 2ε0l l 
par conséquent la normale sortante est orientée vers la bas. Le théorème de Coulomb appliqué à la
surface de ce conducteur donne
charge :
!
σ !
E = − ez . Ainsi, on peut déterminer la densité surfacique de
ε0
ε U ρh 2
σ= 0 −
.
l
2l
3b) Nous avons vu avant que le champ électrique subi par l’armature haute représentait la moitié du
champ électrique total. La charge de l’armature étant égale à σS , la force exercée sur celle-ci est
2
 ε0U ρh 2  S !
!
−
ez . En introduisant la charge q, il vient :
donc F = − 

 l
2l  2ε0

2
!

qh  ε0 S !
F = − U −
ez

2ε0 S  2l 2

3c) Si q = 0, la force devient
!
U 2ε0 S !
F =−
ez , c’est le terme de capacité. Le terme de charge est
2l 2
donc l’autre pour U = 0. En développant le terme au carré et en négligeant le terme en
prend l’expression :
!  U 2ε0 S qhU
F = −
+
2

l
2
2l 2

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q 2 , la force
!
 ez . La force supplémentaire due à la charge est donc :


!
qhU !
Fq =
ez
2l 2
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Ici, la variation de la constante de raideur est
δk = −
dFq
dl
=
qhU
l3
. La variation de pulsation propre
de l’oscillateur est par conséquent :
ω qhU
δωq = 0
2k l 3
3ω0 ε0 Sh 2
3d) Nous avons démontré avant que δωh = −
U . On peut donc observer que pour dis2k l 4
tinguer les causes de variation de pulsation propre créée par effet de relief ou par effet de charge, il
suffit de changer le signe de la tension U. Le décalage sera toujours dans le sens d’une diminution
pour l’effet de relief alors qu’il se produira soit une augmentation, soit une diminution pour l’effet de
charge.
4a) La charge minimale détectée dépend de la valeur minimale détectée pour la mesure de la pulsation propre. Nous avions trouvé que
δω0
= 2.10−5 . Ainsi :
ω0
qmini =
4.10−5 ε r kl 3
$ 2.10−18 C
hU
Ainsi, on peut mesurer jusqu’à 13 charges élémentaires environ !
1 ql
. En utilisant la définition de la capacité du condensateur plan, on
3 ε0ε r SU
ε S
q
. Le terme de charge dépend de
obtient QM = 0 U . On peut donc conclure sur : R = −
3ε r QM
l
4b) On trouve que
R=−
1/ l 3 , celui de relief de 1/ l 4 . Afin d’améliorer la visibilité du terme de charge, il ne faut pas prendre l
trop petit et donc ne pas se mettre au plus près de la surface à observer.
IV Analyse de résultats expérimentaux
1)
ω qhU
et on constate que δf q (fréquence) est négatif comme la tension U. Ainsi la q
δωq = 0
2k l 3
charge détectée est positive.
2) A l’aide du schéma, on trouve que
R = δf q / δf h $ 0,9 . On peut donc calculer la charge q selon :
q=−
R3ε0ε r SU
$ 3, 4.10−17 C
l
Cela représente environ 215 charges élémentaires positives.
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