Series Chronologiques: Corrigé

Séries chronologiques
Corrigé des exercices
1. Bourse
Le tableau de calcul pour trouver l’équation de la tendance
(droite des moindres carrés) est le suivant:
xi
1
2
3
4
5
Σx i
yi
135
143
140
154
152
Σyi
x i2
1
4
9
16
25
Σx i
xiyi
135
286
420
616
760
Σxiyi
T
135,8
140,3
144,8
149,3
153,8
⎧ x = 3 (17 mars)
⎨
⎩ y = 145 F
∑ x i y i − nxy
avec n = 5
∑ x 2i − nx 2
2217 − 5 × 3 × 145 45
a=
=
= 4, 5
10
55 − 5 × 3 2
a=
2
15 724 55 2217
Le cours de l’action a tendance à augmenter de 4,5 Francs par
jour. L’équation de la droite de tendance est:
T = ax + b
avec
T = 4, 5x + 131, 3
b = y - ax
On trace le graphe:
y
160
155
150
145
140
135
130
0
1
2
3
4
5
6
x
La prévision pour la date 6 s’obtient en remplaçant x par la
valeur 6 dans l’équation de la tendance:
T(6) = 158 Francs
- 1-
2. Bidules
On trace d’abord un graphique de la série:
Zt
Ventes de bidules
500
450
400
350
300
250
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
t
La série manifeste une tendance régulière à la hausse avec des
variations saisonnières assez marquées. Une méthode de
décomposition semble donc bien adaptée pour son étude.
La tendance peut être déterminée par la méthode des
moindres carrés. Il s’agit alors de la droite qui passe le plus près
possible de l’ensemble des points. Plus précisément, si on appelle S
la somme des carrés des écarts verticaux entre une droite
quelconque et les points, la tendance est la droite pour laquelle la
somme S est minimale.
L’effet saisonnier peut être évalué à l’aide de coefficients qui
mesurent les écarts entre les ventes et la tendance.
Il reste enfin l’effet aléatoire. Dans cette approche, il s’agit
d’un effet résiduel: ce sont les irrégularités qui restent inexpliquées
une fois analysées la tendance et les saisons.
Les aléas peuvent être rendus plus visibles en effaçant les
variations saisonnières. C’est l’intérêt de la courbe C.V.S. (Corrigée
des Variations Saisonnières).
- 2-
Les calculs principaux sont regroupés dans un tableau :
Années dates série
t
zt
1
2
3
4
1 235
2 298
3 221
4 340
5 268
6 327
7 242
8 378
9 300
10 368
11 292
12 421
13 334
14 421
15 322
16 465
136 5232
Point moyen
a=
produits
t.zt
235
596
663
1360
1340
1962
1694
3024
2700
3680
3212
5052
4342
5894
4830
7440
48024
carrés
t^2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
1496
Tendance rapports coef
CVS
T=at+b
saison
zt / T
zt /coef
249
259
270
280
290
301
311
322
332
343
353
364
374
384
395
405
5232
0,95
1,15
0,82
1,21
0,92
1,09
0,78
1,17
0,90
1,07
0,83
1,16
0,89
1,10
0,82
1,15
16,00
0,92
1,10
0,81
1,17
0,92
1,10
0,81
1,17
0,92
1,10
0,81
1,17
0,92
1,10
0,81
1,17
257
271
273
290
293
297
299
322
328
334
361
359
365
382
398
396
⎧ ∑ t 136
⎪⎪t = n = 16 = 8, 5
⎨
⎪z = ∑ z t = 5232 = 327
⎪⎩
n
16
∑ tz t − nt z 48024 −16 × 8, 5 × 327 3552
=
=
= 10, 447
∑ t 2 − nt 2
1496 − 16 × 8, 52
340
Les ventes ont tendance à augmenter de 10 ou 11 milliers de
bidules par trimestre. L’équation de la tendance s’écrit :
T = at + b
avec b = z − at
T = 10, 447t + 238, 20
Le coefficient 238,5 (ordonnée à l’origine) correspondrait à
des ventes fictives de 238 milliers de bidules au trimestre 0.
On détermine ensuite les coefficients saisonniers en calculant les
moyennes des rapports entre les ventes et la tendance pour une
même saison.
- 3-
années
1°
2°
3°
4°
trimestre
trimestre
trimestre
trimestre
1
0,95
1,15
0,82
1,21
2
0,92
1,09
0,78
1,17
3
0,90
1,07
0,83
1,16
4
0,89
1,10
0,82
1,15
coefficients
saisonniers
0,92
1,10
0,81
1,17
Par rapport à
la tendance
8%
10%
19%
17%
au
au
au
au
dessous
dessus
dessous
dessus
Les prévisions pour l’année 5 s’obtiennent en prolongeant la
tendance et en appliquant chaque trimestre le coefficient
saisonnier adéquat:
année
5
dates
17
18
19
20
Tendance
416
426
437
447
coef
0,92
1,10
0,81
1,17
Prévisions
381
470
354
525
La série C.V.S. se calcule en divisant les ventes de bidules par
le coefficient saisonnier du trimestre correspondant. On obtient
ainsi le niveau de ventes fictif qui aurait été atteint en l’absence
d’effet saisonnier. Cette série fait bien ressortir les aléas qui étaient
masqués par l’effet saisonnier.
Finalement, on peut tracer les différentes courbes sur un
même graphique:
Zt
550
500
450
Zt
Tendance
CVS
400
Série4
Prévisions
350
300
250
200
0
5
10
- 4-
15
20
t
3. Un homme de lettres
L’évolution de la masse du courrier reçu par le chanteur est la
suivante:
Courrier
lettres
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 t r i m
Pour une série saisonnière, il faut lisser sur une année entière avec
un nombre impair de points:
Mt =
0, 5z t− 2 + z t−1 + z t + z t+1 + 0, 5z t+ 2
4
3 ≤ t ≤14
Les calculs principaux sont regroupés dans un tableau:
trimestres
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
lettres
1000
1500
1400
800
1200
1800
1700
1200
1500
2000
1800
1300
1400
1800
1600
1100
moy mob
xxx
xxx
1200
1263
1338
1425
1513
1575
1613
1638
1638
1600
1550
1500
xxx
xxx
rapports
xxx
xxx
1,17
0,63
0,90
1,26
1,12
0,76
0,93
1,22
1,10
0,81
0,90
1,20
xxx
xxx
- 5-
coef
0,91
1,23
1,13
0,74
0,91
1,23
1,13
0,74
0,91
1,23
1,13
0,74
0,91
1,23
1,13
0,74
CVS
1099
1221
1239
1087
1318
1466
1504
1630
1648
1628
1593
1766
1538
1466
1416
1495
*
*
Les coefficients saisonniers sont les moyennes des rapports
entre le nombre de lettres reçues et la tendance pour chaque
saison:
années
1°
2°
3°
4°
1
xxx
xxx
1,17
0,63
trimestre
trimestre
trimestre
trimestre
2
0,90
1,26
1,12
0,76
3
0,93
1,22
1,10
0,81
coefficients
saisonnier
0,91
1,23
1,13
0,74
4
0,90
1,20
xxx
xxx
Les coefficients saisonniers s’interprètent par rapport à la
tendance:
- au 1° trimestre: 9% de moins en moyenne,
- au 2° trimestre: 23% de plus,
- au 3° trimestre: 13% de plus,
- au 4° trimestre: 26% de moins.
Enfin la courbe CVS (Corrigée des Variations Saisonnières)
s’obtient en divisant le volume trimestriel de courrier par le
coefficient saisonnier:
lettres
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
courrier
600
Moy mob
400
CVS
200
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 t r i m
Deux points retiennent l’attention en s’écartant sensiblement de la
tendance: ils correspondent au courrier reçu aux trimestres 4 et
12. Un spécialiste pourrait sans doute rattacher ces perturbations à
des événements marquants dans la carrière du chanteur...
- 6-
4. Lissages
La série des températures du mois de février n’est pas
saisonnière. Pour l’étudier, on peut faire appel au lissage par
moyennes mobiles ou au lissage exponentiel. Les calculs se prêtent
particulièrement bien à l’utilisation d’un tableur (EXCEL):
dates
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Tempé- Moy mob Moy mob Moy mob
ratures
3 pts
5 pts
1-2-1
10
14
8
4
12
6
2
-5
-1
-8
-6
-2
-8
-10
-9
-5
-7
-2
0
5
4
3
6
10
7
5
9
6
xxx
10,7
8,7
8,0
7,3
6,7
1,0
-1,3
-4,7
-5,0
-5,3
-5,3
-6,7
-9,0
-8,0
-7,0
-4,7
-3,0
1,0
3,0
4,0
4,3
6,3
7,7
7,3
7,0
6,7
xxx
xxx
xxx
9,6
8,8
6,4
3,8
2,8
-1,2
-3,6
-4,4
-5,0
-6,8
-7,0
-6,8
-7,8
-6,6
-4,6
-1,8
0,0
2,0
3,6
5,6
6,0
6,2
7,4
7,4
xxx
xxx
xxx
11,5
8,5
7,0
8,5
6,5
1,3
-2,3
-3,8
-5,8
-5,5
-4,5
-7,0
-9,3
-8,3
-6,5
-5,3
-2,8
0,8
3,5
4,0
4,0
6,3
8,3
7,3
6,5
7,3
xxx
exp
0,3
exp
0,5
exp
0,8
10,0
11,2
10,2
8,4
9,5
8,4
6,5
3,0
1,8
-1,1
-2,6
-2,4
-4,1
-5,9
-6,8
-6,3
-6,5
-5,1
-3,6
-1,0
0,5
1,2
2,7
4,9
5,5
5,4
6,4
6,3
10,0
12,0
10,0
7,0
9,5
7,8
4,9
-0,1
-0,5
-4,3
-5,1
-3,6
-5,8
-7,9
-8,4
-6,7
-6,9
-4,4
-2,2
1,4
2,7
2,8
4,4
7,2
7,1
6,1
7,5
6,8
10,0
13,2
9,0
5,0
10,6
6,9
3,0
-3,4
-1,5
-6,7
-6,1
-2,8
-7,0
-9,4
-9,1
-5,8
-6,8
-3,0
-0,6
3,9
4,0
3,2
5,4
9,1
7,4
5,5
8,3
6,5
Pour les moyennes mobiles, les formules utilisées sont les
suivantes:
z t−1 + z t + z t+1
3
z + z t−1 + z t + z t+1 + z t +2
M t = t− 2
5
z + 2z t + z t+1
N t = t −1
4
Lt =
- 7-
2 ≤ t ≤ 27
3 ≤ t ≤ 26
2 ≤ t ≤ 27
Zt
15
Moyennes
mobiles
10
5
0
0
7
14
21
-5
28
t
températures
Moy mob 3 pts
Moy mob 5 pts
-10
Moy mob 1-2-1
On peut classer les courbes dans l’ordre suivant, de la plus
agitée à la plus lisse:
zt
Nt
Lt
Mt
:
:
:
:
série brute,
moyennes mobiles sur 3 points avec les poids 1-2-1,
moyennes mobiles sur 3 points,
moyennes mobiles sur 5 points.
On peut aussi essayer le lissage exponentiel avec différentes
valeurs de la constante de lissage α.
E t = αz t + (1 − α)E t −1
⎧0 ≤ α ≤ 1
⎨
⎩2 ≤ t ≤ 28
Pour démarrer la récurrence, il faut choisir une première
valeur, par exemple E1=z1. De toutes façons, l’influence de ce choix
s’atténue assez vite en progressant dans la série.
On constate facilement que les courbes sont d’autant plus
lisses que la constante de lissage est plus faible.
- 8-
Zt
15
Lissage exponentiel
10
5
0
0
7
14
21
28
t
températures
-5
exp 0,3
exp 0,5
exp 0,8
-10
Avec une constante forte (proche de 1, par exemple 0,8), la
courbe est proche de la série brute. La série brute correspond à un
lissage limite avec α=1.
On peut vérifier que la constante de lissage définit une sorte
de “mémoire” du processus:
- avec a=0,8 la mémoire est faible. La série lissée suit très
rapidement les changements de direction.
- avec a=0,3 la mémoire est forte. La série lissée suit avec
beaucoup de retard les changements de tendance comme si
elle gardait plus longtemps en mémoire les valeurs anciennes.
La valeur lissée Et sert également de prévision à l’horizon 1
(prévision faite à la date t pour la date t+1):
zˆ t (1) = E t
Ce type de modèle (lissage exponentiel simple) ne convient
qu’à des séries stationnaires, c’est-à-dire avec une tendance à long
terme horizontale. Dans le cas d’une série non stationnaire, la série
lissée serait constamment en retard sur la série étudiée.
Il existe des modèles plus sophistiqués (lissages multiples) qui
permettent de rattraper ce retard...
- 9-