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pageint.qxd 25/10/99 10:22 Page 1 INTERROS de Prépas & Deug SUP CSI P I S MP Électrocinétique Cyriaque Cholet Collection dirigée par : Éric MAURETTE Nassim MOKRANE pageint.qxd 25/10/99 10:22 Page 5 pages Chapitre 1. Conduction de l'électricité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Étude microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Charge électrique et densité de courant . . . . . . . . . . . . . 1 Charge élémentaire. Densité de charge. Courant électrique. Densité de courant. Densité de courant et vitesse des porteurs 1.1.3. Mobilité des porteurs de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Temps de libre parcours moyen. Mobilité des porteurs 1.1.4. Forme locale de la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Loi d’Ohm. Expression de la conductivité 1.2. Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Tension et résistance élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Tension entre deux points. Résistance élémentaire et loi d’Ohm. Résistance élémentaire. Conductance. Calcul des résistances 1.2.3. Milieux non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4. Effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Effet Joule pour un conducteur ohmique. Énergie dissipée par effet Joule 1.3. Conductimétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. La conductimétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Le Faraday. Concentration. Conductivité molaire 1.4. Outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Différentielles et développement limité . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 28 Différentielle de f(x,y) 1.4.4. Intégrales et sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Sommes continues. Valeur moyenne Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chapitre 2. Dipôles et associations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1. Dipôles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Caractéristiques et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Résistances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 61 63 Dipôles dépendants de paramètres physiques. Associations de résistances. Théorème de Kennely. Théorème de Millman 2.1.4. Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Rappel sur les lois de Kirchoff et de Pouillet V pageint.qxd 25/10/99 10:23 Page 6 pages 2.1.5. Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Les diodes à jonction. Diodes Zener 2.1.6. Condensateurs et bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Condensateurs. Associations de condensateurs. Bobines 2.2. Montages classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2.1. Diviseur de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Variantes 2.2.2. Théorème de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.3. Théorème de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.2.4. Pont de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 108 136 141 164 172 Chapitre 3. Régimes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.1. Résolution générale des équations différentielles . . . . . . . 209 3.1.1. Algorithme général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Équations du premier ordre. Équations du deuxième ordre 3.1.2. Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . 211 3.1.3. Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . 215 Équations de la forme d2y/dt2 + αy = f(t). Équations de la forme a d2y/dt2 + b dy/dt + cy = 0. 3.1.4. Résolution de . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Équation caractéristique 3.2. Applications au circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Équations différentielles et solutions sans second membre. Comportement des dipôles 3.2.2. Circuits non-oscillants (RC, RL). . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Circuits RC série. Circuits RC parallèle 3.2.3. Circuits oscillants (LC et RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Circuits LC. Circuits RLC série 3.2.4. Les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Circuit RC série. Circuit RC parallèle 3.2.5. Réponse à un échelon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 242 250 276 287 330 340 pageint.qxd 25/10/99 10:23 Page 7 pages Chapitre 4. Régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 4.1. Impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 4.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 4.1.2. Impédances élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Notation complexe. Impédances élémentaires. Association de dipôles. Rappels mathématiques sur les nombres complexes 4.1.3. Diviseur de tension et théorème de Thévenin . . . . . . . 4.1.4. Ponts électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Transfert d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Puissance moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 397 401 401 402 Puissance instantanée. Puissance moyenne 4.2.3. Grandeurs efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Plusieurs notations pour la puissance moyenne 4.2.4. Adaptation d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Fonction de transfert. Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . 4.3.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Retour sur le régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 406 406 408 414 Recherche des conditions initiales. Équations différentielles 4.3.4. Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 4.3.5. Filtres et bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Filtres. Fréquence de coupure. Bande passante. 4.4. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Résonance en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Résonance en courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Grandeurs caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 429 430 434 435 Surtension. Acuité de résonance Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 438 450 490 500 540 545 Chapitre 1 Conduction de l’électricité 1.1 1.1.1 Étude microscopique Formulaire 1. Densité de charge : η = δq . dV 2. Courant électrique : i = δq . dt − → 3. Densité de courant : ~, avec δi = ~dS et ~ = η~v. 4. Surfaces élémentaires : anneau circulaire δS = 2πrdr et bande autour d’une sphère δS = 2πr 2 sin θdθ. ~ et 5. Mobilité ionique : µ, telle que la vitesse ~v des porteurs de charge soit ~v = µE qτ µ = , où τ désigne le temps de libre parcours moyen. m ~ , où σ est la conductivité du conducteur. 6. Loi locale d’Ohm : ~ = σ E nq 2 τ , n désignant la densité de porteurs, de charge indivi7. Conductivité : σ = m duelle q et de masse m. 8. Résistivité : ρ = 1.1.2 1 . σ Charge électrique et densité de courant Charge élémentaire Une charge élémentaire q est notée δq tandis qu’une variation de charge s’écrit dq. 1 2 Chapitre 1 E XERCICE Les deux notations sont souvent confondues, mais il importe d’en distinguer la signification physique. Considérons que δq représente la charge élémenδq A B taire qui circule en un point A d’un fil électrique pendant la durée dt, tandis que dq est la variation de la charge q contenue dans le système B, tel F IG . 1.1: Conservation de la qu’un condensateur (figure 1.1). Démontrer que la charge conservation de la charge implique l’identité de δq et dq. R ÉPONSE La conservation de la charge entre A et B permet d’affirmer que toute la charge passée par A vient s’accumuler en B pendant le temps dt, si bien que si q(t) désigne la charge en B à la date t, alors q(t + dt) = q(t) + δq. Ainsi, q(t + dt) − q(t) = δq ⇒ dq = δq. Densité de charge Dans un volume dV , il peut se trouver une charge δq. La densité volumique de charges est alors définie par le rapport : η= δq dV Toutes les densités sont définies de la même façon en physique. Dès que l’on rencontre ce terme, il suffit de penser à une fraction au numérateur de laquelle se trouve la grandeur physique dont ont cherche la densité, et au dénominateur, la nature de la densité. On trouvera notamment : – La densité volumique de charge : charge volume – La densité linéique de charge : charge longueur pour des charges réparties sur un fil. – La densité surfacique de charge : charge surface pour des charges réparties sur une surface. Conduction de l’électricité 3 Courant électrique C’est le rapport entre la charge élémentaire δq qui circule en un point et le temps dt pendant lequel est mesuré ce passage : i= δq dt Densité de courant C’est le vecteur ~ qui exprime la proportionnalité entre le courant élémentaire δi et la surface infinitésimale traversée par ce courant (figure 1.2) : Surface S ~ δS − → δi = ~dS ~ Le courant total qui traverse la surface S s’obtient en effectuant la somme de tous les courants infinitésimaux, c’est-à-dire : Z i= ZZ δi = F IG . 1.2: Densité de courant − → ~ dS La principale difficulté dans les calculs faisant intervenir cette relation, tient à l’expression des surfaces élémentaires, parmi lesquelles on rencontre fréquemment : – l’anneau circulaire (figure 1.3) : δS = 2πrdr – la boucle autour d’une sphère (figure 1.4) : δS = 2πr 2 sin θdθ – la surface d’un triangle (figure 1.5) : δS = Lh L × l sin θ = 2 2 4 Chapitre 1 r dθ r θ dr F IG . 1.3: Anneau circulaire A F IG . 1.4: Boucle autour d’une sphère l C L B θ h F IG . 1.5: Surface d’un triangle L’expression de ces surfaces élémentaires s’obtient aisément en découpant par l’esprit ces surfaces et en les étendant sur le plan de la feuille (cela demande parfois un peu d’entraı̂nement mais s’obtient tout aussi bien en découpant des feuilles de papier ou en épluchant des oranges). E XEMPLE Afin de trouver rapidement la surface de l’anneau circulaire (figure 1.3), découpons-le et étendonsle sur le plan de la feuille (figure 1.6). La bande ainsi obtenue possède une surface qui se calcule par la relation dr ,,,,,,,, ,,,,,,,, 2πρ F IG . 1.6: Bande issue de l’anneau surface = longueur × hauteur qui conduit ici (avec r = ρ) à : δS = 2πrdr E XERCICE Par un raisonnement analogue, retrouver l’expression de la surface élémentaire d’une bande autour d’une sphère : δS = 2πr 2 sin θdθ Conduction de l’électricité 5 R ÉPONSE Avant d’être étirée, la bande obtenue est circulaire, de rayon ρ = r sin θ, et d’épaisseur rdθ. De fait, la longueur de la bande obtenue est l = 2πρ = 2πr sin θ et sa hauteur est h = rdθ. r dθ ρ θ F IG . 1.7: Bande autour d’une sphère La surface s’obtient donc par le produit de ces grandeurs, ce qui donne finalement : δS = 2πr 2 sin θdθ Densité de courant et vitesse des porteurs ~ = η~v Cette relation montre que la densité de courant est d’autant plus forte que la densité volumique de charges mobiles η est élevée ou que leur vitesse v est grande (pour s’en convaincre, il suffit simplement de faire l’analogie avec un courant de voitures que l’on pourrait observer du haut d’un pont. Celui-ci paraı̂tra d’autant plus grand que les véhicules sont proches les uns des autres (densité) ou que leur vitesse sera élevée). Dans le cas de solutions aqueuses, les porteurs de charge peuvent ne pas être identiques ; par exemple, une solution d’acide sulfurique contient des ions H+ et des ions SO2− 4 , qui sont distincts non seulement par leur masse, mais également par la charge qu’ils portent individuellement. Dans ce cas où les porteurs peuvent être numérotés par des indices (i), et où le porteur numéro (i) induit une concen→ vi , la relation se généralise : tration de charges ηi et possède une vitesse − X → ηi − vi ~ = i 6 Chapitre 1 E XERCICE Un milieu conducteur possède une densité volumique de charges mobiles η qui se déplacent avec une vitesse commune ~v , faisant un angle θ avec − → une surface élémentaire δS (figure 1.8). Calculer la charge δq qui traverse cette surface pendant une durée dt, puis en déduire la relation ~ = η~v . L v dt A θ v dS v dt B θ h F IG . 1.8: Densité de courant I NDICATION DE R ÉPONSE La difficulté de ce type d’exercice repose sur l’intuition physique qui doit précéder les calculs. Le genre de raisonnement établi ici, au demeurant très classique, ne peut pas s’inventer ; il faut l’apprendre comme un résultat de cours, bien qu’il apparaisse comme une méthode de résolution d’exercice. Voici alors la démarche qui permet de commencer les calculs. Pour qu’une charge, animée d’une vitesse v, puisse traverser la surface δS, il est nécessaire qu’elle se trouve dans le volume grisé de la figure 1.8. Considérons en effet une charge (notée A sur la figure) extérieure à ce volume. Pendant le temps dt elle parcourt une distance vdt, mais cela ne lui permet pas d’atteindre la surface. En revanche, la charge B dispose du temps nécessaire pour atteindre et traverser cette surface. Ainsi posé, le problème devient très simple, puisqu’il s’agit de déterminer la charge contenue dans le volume de base δS et de longueur L, puisque toute cette charge subira le même sort que B. R ÉPONSE Le volume précédemment cité s’écrit δV = hδS, c’est-à-dire , en remarquant que h = L cos θ = vdt cos θ : − → δV = vδS cos θdt = ~vδSdt La densité volumique de charge valant η, cela signifie que si δq désigne la charge δq − → ⇒ δq = ηδV = η~v δSdt. Ceci donne la contenue dans le volume δV , alors η = δV charge traversant la surface élémentaire pendant le temps dt, c’est-à-dire la réponse à la question posée. Quant à la densité de courant, elle ne peut être exprimée que lorsqu’on possède une relation entre δq, dt, et ~. Celle-ci provient évidemment de la définition de cette densité en fonction du courant δi : δq − → η~v δS dt − → − → − → δq dt = ⇒ ~ δS = η ~v δS ⇒ ~ δS = dt dt − → δi = ~ δS δi = Il s’ensuit alors que : ~ = η~v Conduction de l’électricité 33 •1 Lycée Charlemagne, Paris Calcul de la résistance d’une bobine 5 min. Une bobine comporte n = 100 spires de rayon moyen 7 cm, faites d’un fil de cuivre de 0,5 mm de rayon. La conductivité du cuivre est σ = 6.107 S.m−1 . Calculer la résistance totale de la bobine. •2 Lycée Lakanal, Sceaux Puissance maximum 10 min. Aux bornes d’un générateur de force électromotrice e et de résistance interne r, déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans R, sous forme d’effet Joule, est maximale. i R r e F IG . 1.28: Puissance maximale dans une résistance •3 Lycée Antoine de Saint-Exupéry, Mantes-la-Jolie Résistance d’un conducteur de section variable 10 min. Un conducteur de résistivité ρ possède une section carrée dont la hauteur h(x) dépend linéairement de l’abscisse x (figure 1.29). Notamment, en x = 0, h prend la valeur a et à l’autre extrémité, h(L) = b. Un courant i peut circuler selon l’axe de ce conducteur. 1. Déterminer, en fonction de a, b, x et L, la fonction h(x). 2. En déduire la résistance électrique R que ce conducteur oppose au courant i. On exprimera R en fonction de ρ, L, a et b. a i b h x L F IG . 1.29: Résistance d’un conducteur 34 Chapitre 1 •4 Lycée Henri IV, Paris Courant dans une coquille sphérique 15 min. La figure 1.30 montre une coquille hémisphérique creuse, de rayon R et centrée en un point O. Un flux de particules, de densité de courant uniforme ~ est envoyé sur cette coquille, parallèlement à son axe. 1. Exprimer le courant i traversant cette coquille, en fonction de j = k~k et R. 2. Que se passerait-il si l’on remplaçait la coquille précédente par un disque de rayon R, centré sur O ? O j R F IG . 1.30: Coquille hémisphérique •5 Lycée Thiers, Marseille Conductivité et diffusion d’un électrolyte 1 h. C ONDUCTION D ’ UN ÉLECTROLYTE HOMOG ÈNE On considère une solution homogène de sel Mν + Xν − soluble, de concentration C0 (en mole.m−3 ) constante, dans laquelle coexistent principalement les deux types de porteurs de charge régulièrement répartis (les ions de l’eau H+ et OH− sont négligés) : + – Les cations Mz de charge positive z + e. − – Les anions Xz de charge négative −z − e. Ce sel est totalement dissocié en ions libres : − Mν + Xν − −→ ν + Mz + ν −Xz . + ν + et ν − sont alors les coefficients stœchiométriques de la réaction de dissociation précédente. ~ = E− Ces ions sont en mouvement sous l’action d’un champ électrique défini par E e→ z, − → − → − → pour un cation (et f = −η v pour un et une force de freinage f+ = −η+ v+ − e→ e z − − − z anion). v+ et v− sont les vitesses algébriques des ions, η+ et η− sont les coefficients de freinage. L’action de la pesanteur est négligée. 1. Montrer que z + ν + = z − ν −, produit que l’on notera dans la suite νz 2. Écrire l’équation différentielle relative à la vitesse v+ d’un cation. Conduction de l’électricité 41 •1 Lycée Charlemagne, Paris Soit r le rayon de chaque spire, dont le périmètre vaut l = 2πr. Cela signifie que chaque spire possède une longueur l de fil de cuivre. En outre, puisque la bobine comporte n = 100 spires, alors elle possède aussi une longueur de fil L = n × l. De plus, le fil utilisé possède un rayon a = 0, 5 mm, c’est-à-dire une section S = πa2 . Ainsi, la 1 résistance R de la bobine s’écrit à l’aide de la résistivité ρ ou de la conductivité σ = : ρ R=ρ L S = = = L σ.S n.2πr σπa2 2r σa2 Application Numérique : R= 2 × 7.10−2 × 100 2 6.107 × (0, 5.10−3) •2 = 0, 93 Ω Lycée Lakanal, Sceaux La tension délivrée par le générateur sert à alimenter les deux résistances r et R, en délivrant un courant i. De fait, e e = (R + r)i ⇒ i = R+r En outre, la puissance P dissipée par effet Joule dans la résistance R s’écrit : P = Ri2 , dans la mesure où i désigne le courant circulant dans R. Enfin, l’expression du courant i ayant été obtenue précédemment, il vient : P = Re2 . (R + r)2 La puissance P apparaı̂t ainsi comme un fonction des paramètres r et R, et l’on demande la valeur de R qui donnera à P sa valeur maximale. Il suffit donc de considérer la fonction P comme ne dépendant que du paramètre variable R, et d’effectuer sa dérivée pour trouver une valeur extrémale : P = dP Re2 ⇒ (R + r)2 dR = = = (R + r)2 − 2R(R + r) (R + r)4 2 e [(R + r) − 2R] (R + r)3 e2 (r − R) (R + r)3 e2 42 Chapitre 1 L’extremum de P (R) sera obtenu lorsque la dérivée précédente s’annulera, c’est-à-dire pour R = r. On peut aussi se demander si cet extremum correspond à un maximum ou un minimum pour P (R), et la réponse peut être trouvée de la façon suivante : lim P (R) = lim P (R) = 0 R→0 R→∞ Or, puisque P (R) est une fonction positive ou nulle et que ses deux valeurs extrêmes valent 0, alors elle admet fatalement un maximum entre ces deux valeurs extrêmes. Cela suffit à montrer que la valeur extrémale de P est obtenue lorsque R = r . •3 Lycée Antoine de Saint-Exupéry, Mantes-la-Jolie 1. Puisque la fonction h(x) est linéaire en fonction de x, alors elle admet une expression analytique de la forme : h(x) = αx + β où α et β sont des constantes qu’il reste à déterminer. Pour cela, utilisons les valeurs connues de h(x = 0) et h(x = L) : β =a b−a h(0) = a = β x+a ⇒ b − a ⇒ h(x) = h(L) = b = αL + a α= L L 2. Considérons une tranche du conducteur de longueur dx et de hauteur h(x) (figure 1.34). h(x) dx F IG . 1.34: Tranche de conducteur Cette tranche possède une section carrée de hauteur h, de sorte que la surface rencontrée par le courant lors de sa traversée soit S = h2 . Or la résistance élémentaire de cette tranche s’écrit δR = ρ c’est-à-dire : δR = ρ dx S dx h2 (x)