universite de paris dauphine

UNIVERSITE DE PARIS DAUPHINE
Année 2009/2010
Première année de Master : Maîtrise d’Economie Appliquée
Equipe pédagogique :
• Julien Chevallier  : [email protected]
• Emilie Muzereau  : [email protected]
• Marie Aude Laguna  : [email protected]
• Régis Bourbonnais (A 519)  : [email protected]
ECONOMETRIE II
1.
1.1.
1.2.
1.3.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.4.
2.4.1.
2.4.2.
2.5.
1 - PROCESSUS ALÉATOIRES STATIONNAIRES ET PROCESSUS ARMA
Les processus stationnaires
Définition d’un processus stationnaire au sens strict : la stationnarité forte
La stationnarité d’ordre deux des processus : la stationnarité faible.
Le processus Bruit Blanc (White Noise)
La classe des processus aléatoires ARMA linéaires et stationnaires
Le théorème de décomposition de Wold
Propriétés de l’opérateur retard
Définition des processus ARMA
Les processus MA et AR
Les processus ARMA
La stationnarité et l’inversibilité des processus
Conditions de stationnarité et d’inversibilité
Recherche des conditions de stationnarité et d’inversibilité des processus ARMA.
Les processus ARMA saisonniers
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
4.
4.1.
4.1.1.
4.1.2.
4.1.3.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.3.
5.
5.1.
5.2.
2 - LES PROCESSUS ALÉATOIRES NON STATIONNAIRES
Description des processus TS et DS.
Les processus TS
Les processus DS
Conséquences d’une mauvaise stationnarisation du processus
Conséquence sur un processus TS
Conséquence sur un processus DS
Tests de racines unitaires non saisonnières
Les tests de Dickey-Fuller simples
Les modèles de base
Principe du test de Dickey-Fuller
Les tests d’hypothèses jointes
Les tests de Dickey et Fuller Augmentés
Transformations des modèles de base
Principes du test DFA et tests d’hypothèses jointes
Les prolongements des tests de Dickey-Fuller : Phillips-Perron et KPSS
Les processus ARIMA.
Les processus ARIMA non saisonniers
Les processus ARIMA purement saisonniers (modèles SARIMA)
6.
6.1.
3 - L’IDENTIFICATION DES PROCESSUS ARMA
La fonction d’autocorrélation et la fonction d’autocorrélation partielle
La fonction d’autocorrélation (AC)
1
6.2.
7.
La fonction d’autocorrélation partielle (PAC)
Les caractéristiques des processus AR(p)
8.
Les caractéristiques des processus MA(q)
9.
Les caractéristiques des processus ARMA(p, q)
10.
10.1.
10.2.
11.
Simulations et exercices
Limite à l’utilisation des fonctions d’autocorrélation
Exercices
La pratique de l’identification des processus
12.
4 - L’ESTIMATION, LES TESTS DE VALIDATION ET LA PRÉVISION DES
PROCESSUS ARMA
Le problème de l’estimation
13.
Les tests statistiques de validation
13.1. Le test de redondance
13.2. Le test de Student des paramètres.
13.3. Les tests de bruit blanc normal
13.3.1. Tests de recherche d’autocorrélation
13.3.2. Tests d’homoscédasticité
13.3.3. Tests de normalité
13.4. Les critères de comparaison de modèles
14.
La prévision
15.
15.1.
15.2.
15.3.
16.
16.1.
16.2.
16.3.
17.
17.1.
17.2.
17.3.
18.
18.1.
18.2.
5 - LA MODELISATION VAR
Représentation d’un modèle VAR
Exemple introductif
La représentation générale
La représentation ARMAX
Estimation des paramètres
Méthode d’estimation
Détermination du nombre de retards
Prévision
Dynamique d’un modèle VAR
Représentation VMA d’un processus VAR
Analyse des “ chocs ”
Décomposition de la variance
La causalité
Causalité au sens de Granger
Causalité au sens de Sims
19.
6 - LA COINTÉGRATION ET LE MODÈLE À CORRECTION D’ERREUR
Exemples introductifs
20.
20.1.
20.2.
20.3.
21.
Le concept de cointégration
Propriétés de l’ordre d’intégration d’une série
Conditions de cointégration
Le modèle à correction d’erreur (ECM)
Cointégration entre deux variables
2
21.1.
21.2.
22.
22.1.
22.2.
22.3.
22.4.
22.5.
Test de cointégration entre deux variables
Estimation du modèle à correction d’erreur
Cointégration entre k variables
La cointégration entre k variables
Estimation du modèle à correction d’erreur
Dynamique et modèle à correction d’erreur vectoriel
Test de relation de cointégration
Synthèse de la procédure d’estimation
23.
7 - INTRODUCTION AUX MODÈLES ARCH
Présentation générale et problématique
24.
24.1.
24.2.
25.
Modèle de régression de type ARCH
Spécification du modèle
Propriétés d’un modèle ARCH(1)
Test d’un modèle de type ARCH
26.
Procédure d’estimation et prévision
27.
27.1.
27.2.
28.
28.1.
28.2.
Processus de type GARCH.
Spécification
Test et estimation de modèle de type GARCH
Autres processus : variantes des processus ARCH
Processus de type ARCH-M et GARCH-M.
Processus de type GARCH-DM, GARCH-DLM et TARCH
BIBLIOGRAPHIE
Bourbonnais R., Terraza M., Analyse des séries temporelles : Applications à l’économie et
à la gestion, Dunod, 2ème édition, 2008.
Bourbonnais R., Econométrie : cours et exercices corrigés, Dunod, 7 éd., 2009.
Enders W., Applied Econometric time series, John Wiley, 1995.
Hamilton J. D., Time series analysis, Princeton University Press, 1994.
Mills T. C., The econometric modelling of financial time series, Cambridge University
Pres , 1999.
3
INFORMATIONS GENERALES CONCERNANT LE COURS
Le contrôle continu est la résultante d’une note portant sur un projet individuel effectué sur
le logiciel Eviews.
Le dossier demandé consiste en une application des techniques étudiées en cours sur une
problématique économique et des données au libre choix. Seule la partie méthodologique est
imposée.
L’étude doit être fondée sur une série temporelle économique de référence : cours boursier,
série macro-économique (PIB, chômage, ..), série de ventes, etc. Cette série doit être récente et
disponible sur un minimum de 30 observations.
A partir de cette série l’étudiant doit réaliser les étapes méthodologiques suivantes.
Partie I : 10 points. Date de remise fixée par votre professeur.
Remise du projet exclusivement sous format papier et des données sous format Eviews. Le
fichier de vos données (format Eviews) doit être envoyé, pour la même date, à votre
professeur (cf. adresse courriel en première page). Le nom du fichier Eviews est composé de
4 premières lettres de votre nom de famille et des 2 premières lettres de votre prénom.
1) Etude graphique et tests de stationnarité : Test de Dickey-Fuller et/ou Dickey Fuller
Augmenté, Phillips-Perron, KPSS et stratégie de test.
2) Détermination du processus dans la classe des modèles ARIMA(p, I, q), Tests de
validation, prévision
Partie II : 10 points. Date de remise fixée par votre professeur.
Remise du projet exclusivement sous format papier et des données sous format Eviews
(même nom).
1) Modélisation VAR : Il faut considérer un ensemble de minimum 4 variables pertinentes
pour la construction du VAR (justification économique, choix de l’écriture, détermination de
l’ordre, ..). Tests de causalité, analyse des fonctions de réponses impulsionnelles et de la
décomposition de la variance.
2) Test de l’hypothèse de cointégration, estimation du VECM et prévision
Les projets pourront faire l’objet d’une soutenance orale.
Les travaux sont rendus directement à l’enseignant lors du cours ou à Régis Kiffer
(bureauD406). Tout travail rendu en retard ne sera pas corrigé et se verra donc attribué la
note de 0.
4
EXERCICES
Exercice C3EX1: Recherche des conditions de stationnarité et d’inversibilité des
processus.
• MA(1) : xt = at + 0.8 at-1
• MA(1) : xt = at - 0.8 at-1
• MA(2) : xt = at + 0.6 at-1 - 0.3 at-2
• AR(1) : xt = 0.9 xt-1 + at
• AR(1) : xt = - 0.9 xt-1 + at
• AR(2) : xt = 0.9 xt-1 - 0.7 xt-2 + at
• AR(2) : xt = xt-1 - 0.1 xt-2 + at
• MA(2) : xt = + at - 05 at-1 + 0.1 at-2
• ARMA(1, 1) : xt = 0.8 xt-1 + at - 0.7 at-1
• ARMA(3, 2) : xt = 2.5 xt-1 - 0.5 xt-2 - xt-3 + at + at-1 + 2 at-2
- 1) Ecrire le processus sous forme de polynôme d’opérateurs
- 2) Le processus est-il stationnaire ?
- 3) Ce processus est-il inversible ?
• ARMA(0, 1) × ARMA4,0(1, 0) : xt = 0.8 xt-4 + at + 0.8 at-1
Exercice C3EX2 : Exemples de génération de processus ARMA à l’aide d’Eviews
Soit les processus suivants :
MA(1) : xt = at + 0 .8 at −1 .
MA(2) : xt = at + 0.6 at-1 - 0.3 at-2
AR(1) : xt = 0.9 xt −1 + at
AR(2) = xt = 0.9 xt-1 - 0.7 xt-2 + at
ARMA(1, 1) : xt = 0.9 xt −1 + at + 0.8 at −1
ARMA(0, 1) × ARMA4, 0(1, 0) : ( 1 −0.8 B 4 ) xt = ( 1 +0.8 B ) at
(at est un bruit blanc gaussien de variance 4).
On demande de les générer (sur 500 observations) à partir du logiciel Eviews-TSP.
Exercice C3EX3 : Calculs des caractéristiques de différents processus et études des
propriétés d’inversibilité et de stationnarité
Calculer l’espérance, la variance et la covariance des processus suivants et conclure sur
leur stationnarité et inversibilité.
ε t → n.i.d.(0, σ ε2 )
a) xt = ε t - ε t-1
b) xt = b ε t + c ε t-1
c) xt = ε t ε t-1
d) xt = xt-1 + ε t
avec x0 = 0
Etudier les conditions de stationnarité et d’inversibilité des processus suivants filtrés par
leurs différences premières.
e) xt = xt-1 + ε t
f) xt = - xt-1 + ε t
g) xt = a t + b + ε t
Etudier les conditions de stationnarité et d’inversibilité du processus suivant filtré par leurs
différences secondes.
h) xt = a t2 + b t + c + ε t
5
Exercice C5EX1 : Conséquence d’une mauvaise stationnarisation d’un processus
Dans cet exercice on demande de générer, sur 200 observations, un processus aléatoire de
type bruit blanc gaussien de variance 25, puis de :
- générer une tendance déterministe de paramètres a0 = 1 et a1 = 5,
- générer une tendance stochastique avec dérive de terme constant 5,
- stationnariser ces deux processus selon les deux méthodes adaptées et non adaptées.
Exercice C5EX2 : Exemple d’application des tests DF aux dépenses de santé
On demande d’appliquer la stratégie des tests DF aux dépenses de santé (CVS) en produits
pharmaceutiques en France de janvier 1981 à décembre 1994.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
Exercice C5EX3 : Exemple d’application des tests DF et DFA au CAC40
On demande d’appliquer la stratégie des tests DF et DFA à l’indice CAC40 (indice
représentatif de l’évolution des cours de bourse) sur une période allant du 30 juin 1989 au 9
décembre 1993.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
Exercice C6EX1 : Génération de processus AR et analyse des corrélogrammes
Afin de se familiariser avec les FAC et FAP des processus AR, on demande de générer à
l’aide de TSP sur 200 périodes les processus suivants et d'en étudier les FAC et les FAP.
1) AR(1) : (1 - 0.8 B) xt = at
2) AR(1) : (1 + 0.8 B) xt = at
3) AR(2) : (1 - 0.5 B - 0.4 B²) xt = at
4) AR(2) : (1 + 0.5 B + 0.4 B²) xt = at
5) AR6(1) : (1 - 0.6 B6) xt = at
6) AR6(1) : (1 + 0.6 B6) xt = at
7) AR6(1) × AR(1) : (1 + 0.2 B6) (1 - 0.8 B) xt = at
8) AR6(1) × AR(1) : (1 + 0.2 B6) (1 + 0.8 B) xt = at
Exercice C6EX2 : Génération de processus MA et analyse des corrélogrammes
Afin de se familiariser avec les FAC et les FAP des processus MA, on demande de générer
à l’aide de TSP sur 200 périodes les processus suivants et d'en étudier les FAC et les FAP.
1) MA(1) : xt = (1 + 0.8 B) at
2) MA(1) : xt = (1 - 0.8 B) at
3) MA(2) : xt = (1 + 0.5 B + 0.4 B²) at
4) MA(2) :xt = (1 - 0.5 B - 0.4 B²) at
5) MA6(1) : xt = (1 + 0.6 B6) at
6) MA6(1) : xt = (1 - 0.6 B6) at
7) MA6(1) × MA(1) : xt = (1 + 0.3 B6) (1 + 0.9 B) at
8) MA6(1) × MA(1) : xt = (1 + 0.3 B6) (1 - 0.9 B) at
Exercice C6EX3 : Génération de processus ARMA et analyse des corrélogrammes
On demande de générer à l’aide de TSP-Eviews sur 156 périodes les processus suivants et
d'en étudier les propriétés.
1) MA(1) : xt = 2 + (1 + 0.8 B) at
6
2) AR(1) : (1 - 0.9 B) xt = 2 + at
3) MA(2) : xt = 2 + (1 + 0.6 B - 0.3 B²) at
4) AR(2) : (1 - 0.9 B + 0.7 B²) xt = 2 + at
5) ARMA(1, 1) : (1 - 0.9 B) xt = 2 + (1 + 0.8 B) at
Avec at → N(0, 1)
Exercice C7EX1 : Tests de bruit blanc et de normalité sur l’indice CAC40
On demande de vérifier l’hypothèse de normalité de la distribution de l’indice CAC40 des
valeurs boursières sur 2265 observations journalières (du 7/9/1987 au 10/5/1996 par jour). Les
données sont rendues stationnaires par le passage aux différences premières de la série des
logarithmes népériens.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
Exercice C7EX4 : Prévision par la méthodologie de Box et Jenkins du nombre des
immatriculations en France
On demande de prévoir à partir de la méthodologie de Box et Jenkins le nombre des
immatriculations des voitures particulières en France pour les huit premiers mois de 1995 en
utilisant le filtre aux différences saisonnières d’ordre 1 et de période 12.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
Exercice C10EX1 - Recherche des conditions de stationnarité d’un modèle VAR
Soit le processus :
 y1 ,t  3 0 ,2 0 ,7   y1 ,t −1   e1 ,t 
 y  = 1  + 0 ,3 0 ,4   y  + e 
  2 ,t −1   2 ,t 
 2 ,t    
On demande d’étudier les conditions de stationnarité.
Exercice C10EX2 : Spécification, estimation et prévision d’un modèle VAR
Nous cherchons à modéliser sous la forme VAR, la demande (y1,t) et les prix (y2,t) d’une
matière première. Nous disposons des données trimestrielles CVS et en différences premières
de 1978 à 1995.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO
On demande :
a) de rechercher l’ordre du modèle VAR,
b) d’estimer les paramètres du modèle,
c) de calculer une prévision pour l’année 1996 avec son intervalle de confiance à 95%.
Exercice C10EX3 - Analyse d’une fonction de réponse impulsionnelle et
décomposition de la variance
A partir de la représentation VAR(1) estimé à l’exercice n°2, on demande de calculer et
d’interpréter les fonctions de réponses impulsionnelle et la décomposition d’analyse de la
variance.
Exercice C10EX4 - Tests de causalité de Granger et de Sims
On demande, à partir de la représentation VAR(1) estimée lors de l’exercice n°2, de
procéder aux tests de Granger et de Sims.
7
Exercice C11EX1 : Test de cointégration et estimation d’un modèle à correction
d’erreur
Soit deux séries statistiques yt et xt. On demande d’estimer la relation entre ces deux
variables (yt = â0 + â1 xt + et) en testant une éventuelle cointégration (dans ce cas estimer le
modèle à correction d’erreur).
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO
Exercice C11EX2 : Test de cointégration et estimation d’un modèle vectoriel à
correction d’erreur
Soit trois variables xt, yt et zt observées sur 30 périodes. On demande de tester une
éventuelle cointégration et d’estimer un modèle vectoriel à correction d’erreur.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO
Exercice C8EX2 : Étude d’un processus ARCH
Soit un processus yt, on demande d’en étudier les propriétés et d’estimer les paramètres du
modèle par une méthode adéquate.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
Exercice C8EX3 : Étude d’un processus GARCH
Soit un processus yt On demande d’en étudier les propriétés et d’estimer les paramètres du
modèle par une méthode adéquate.
Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER
8
UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE
Janvier 2008
Première année de master : Economie Appliquée
ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h)
Seules les calculatrices sans mémoire sont autorisées
Les trois exercices sont indépendants.
Exercice I (10 pts)
Soit le processus VAR estimé à partir de 70 observations :
 y1,t  3 0,2 0,7   y1,t −1   e1,t 
 y  = 1 + 0,3 0,4   y  + e 
  2 ,t −1   2 ,t 
 2 ,t    
1) Ce processus est il stationnaire ? (1 pt)
2) Nous procédons aux tests de causalité de Granger (2 pts)
Les résultats sont les suivants :
Pairwise Granger Causality Tests
Lags: 2
Null Hypothesis:
Obs
F-Statistic
Y2 does not Granger Cause Y1
70
9.04616
Y1 does not Granger Cause Y2
1.17152
Probability
0.00034
0.31635
Explicitez parfaitement la construction de ce test (hypothèses, loi de probabilité, règle de
décision, conclusions) et commentez les résultats.
3) Calcul de la fonction de réponse impulsionnelle (4 pts)
La matrice des variances covariances des résidus d’estimation est donnée par :
∑
e
16
=

− 5
9 

Calculer le coefficient de corrélation entre les résidus, est-il significativement différent de
0?
Au vu des résultats précédents calculer les deux premiers termes d’une fonction de réponse
impulsionnelle en privilégiant, en le justifiant un seul ordre, de décomposition. On simule un
choc initial égal à un écart type des résidus (orthogonalisé ou non suivant le cas).
4) Prévision et intervalle de confiance (3 pts)
Soit un extrait des données :
obs
Y1
Y2
1
19.2
1.8
2
-2.4
19.8
…
…
…
70
50.4
3.6
A partir des éléments fournis, on demande de calculer une prévision, avec son intervalle de
confiance à 95%, pour un horizon de deux périodes.
On rappelle que la variance de l’erreur de prévision est donnée par la formule :
9
∑ ( h) = ∑
e
e
+ M1 ∑e M1' + ... + Mh-1 ∑e M h' −1 où Mi est calculé par la formule de
min( p , i )
récurrence suivante : Mi =
∑A
j =1
j
M i − j i = 1, 2, ...et M0 = I.
Exercice II : Calcul des termes de la FAC et de la FAP d’un processus autorégressif
théorique (6 pts)
On considère le processus aléatoire AR(2) suivant :
xt = 0,4 xt-1 – 0,2 xt-2 + at avec at → i.i.d.(0, σa2 =12,8).
a) Vérifier que le processus est stationnaire (1 pt)
b) Calculer E[xt], commentaire. (1 pt)
c) Donner l’équation de Yule-Walker (équation qui relie les coefficients d’autocorrélation)
du processus puis calculer la variance et les trois premières valeurs des autocorrélations
simples. (2 pts)
d) Calculer les deux premières valeurs des autocorrélations partielles. (1 pt)
Exercice III (4 pts) : Soit trois séries y1, y2 et y3 connues sur 100 observations
Nous pensons que ces séries sont peut-être cointégrées, pour cela on réalise le test de
Johansen selon deux spécifications.
Test assumption: Linear deterministic trend in the data
Series: y1 y2 y3
Lags interval: 1 to 2
Likelihood
5 Percent
1 Percent
Eigenvalue
Ratio
Critical Value
Critical Value
0.248225
47.83608
29.68
35.65
0.168545
20.16020
15.41
20.04
0.022990
2.256097
3.76
6.65
Hypothesized
No. of CE(s)
None **
At most 1 **
At most 2
Test assumption: No deterministic trend in the data
Series: y1 y2 y3
Lags interval: 1 to 2
Likelihood
5 Percent
Eigenvalue
Ratio
Critical Value
0.249004
49.10393
34.91
0.172615
21.32749
19.96
0.029929
2.947419
9.24
Hypothesized
No. of CE(s)
None **
At most 1 *
At most 2
1 Percent
Critical Value
41.07
24.60
12.97
On demande :
- d’écrire précisément les spécifications (équations) des deux tests (1 pt),
- de donner dans les deux cas les propriétés stochastiques supposées des 3 séries (TS, DS
avec ou sans constante, stationnaire) (2 pts)
- de tester l’existence d’une ou plusieurs relations de cointégrations. (1 pt)
UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE
Janvier 2009
Première année de master : Economie Appliquée
ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h)
Seules les calculatrices sans mémoire sont autorisées
10
28.2.1.1.1
Exercice 1 : Prévision par la méthode de Box-Jenkins (5 points, 45 mns)
Nous cherchons à prévoir la série Y selon la méthodologie de Box-Jenkins. Soit un extrait
de données mensuelles :
1986:04
1986:05
1986:06
1986:07
….
2007:04
2007:05
2007:06
2007:07
2007:08
2007:09
100.00
105.12
100.74
97.77
….
109.34
108.15
101.19
97.21
99.15
101.48
Après avoir effectué les tests de racine unitaire nous sommes amener à stationnariser la
série par le passage aux différences premières.
Nous estimons ensuite les deux modèles suivant :
Modèle 1 :
Dependent Variable: DY
Method: Least Squares
Included observations: 258
Variable
Coefficient Std. Error
t-Statistic
AR(1)
0.367673 0.061178
6.009869
AR(2)
-0.254281 0.063514
-4.003574
AR(3)
-0.214497 0.061453
-3.490397
R-squared
0.351658 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.345789 S.D. dependent var
S.E. of regression
3.013150 Akaike info criterion
Sum squared resid
2315.164 Schwarz criterion
Log likelihood
-649.1478 Durbin-Watson stat
Inverted AR Roots
.38+.64i
.38 -.64i
-.39
11
Prob.
0.0000
0.0001
0.0006
0.012786
3.469559
5.055409
5.096723
2.010189
Résidu d’estimation
2007:05
-0.78
2007:06
3.7
2007:07
-3.21
2007:08
-0.15
2007:09
1.48
28.2.1.2.
Q-Stat du corrélogramme du résidu
1
2
3
4
Dec
Q-Stat
0,0094
0,0128
0,3173
0,3221
5
6
7
8
9
10
0,3462
0,9975
2,3158
2,5446
3,1551
3,4168
Statistique de Jarque-Bera du résidu = 1,19
Modèle 2 :
Dependent Variable: DY
Method: Least Squares
Included observations: 258
Variable
Coefficient Std. Error
t-Statistic
AR(1)
0.937099 0.033061
28.34462
MA(1)
-0.862244 0.077775
-11.08639
MA(2)
0.281404 0.077557
3.628363
R-squared
0.314209 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.306372 S.D. dependent var
S.E. of regression
8.193808 Akaike info criterion
Sum squared resid
11749.23 Schwarz criterion
Log likelihood
-625.4597 F-statistic
Durbin-Watson stat
1.941037 Prob(F-statistic)
Inverted AR Roots
.94
Inverted MA Roots
.43 -.31i
.43+.31i
Prob.
0.0000
0.0000
0.0004
6.037320
9.838352
7.061345
7.114970
40.08995
0.000000
Résidu d’estimation
2007:05
-1.68
2007:06
-5.7
2007:07
1.45
2007:08
-0.89
2007:09
2.05
28.2.1.3.
Dec
Q-Stat
Q-Stat du corrélogramme du résidu
1
2
3
4
0,3221
5
6
7
8
9
10
0,3462
0,9975
2,3158
2,5446
3,1551
3,4168
Statistique de Jarque-Bera du résidu = 1,80
Question n°1 : (1 pt)
En utilisant uniquement les résultats fournis dans les tableaux, sans faire aucun calcul,
montrez que le taux de croissance de la série est stationnaire.
Question n°2 : (2 pts)
Vous justifierez par les tests statistiques usuels le choix du processus générateur du taux de
croissance de la série.
Question n°3 : (2 pts)
Calculez sur la base du modèle retenu une prévision pour la série en niveau à un horizon
de 1 à 3 mois.
12
28.3. Exercice II (3 pts, 15 mns)
Prenons l’exemple d’un VAR à 4 variables Y1, Y2, Y3 et Y4.
Si nous choisissons l’ordre de décomposition de Cholesky suivant : Y3 Y2 Y1 Y4, donner,
pour la période 1, l’impact des chocs de chacune des variables sur les autres variables.
28.4. Exercice III (12 pts, 60 mns) : Relation entre l’offre de monnaie et le taux d’intérêt en
Allemagne (Source Thomas R.L. « Modern Econometrics », Addison Wesley 1997).
Les données sont trimestrielles de 1982 à 1999 soit 72 observations.
Soit :
LM = Le logarithme de l’offre de monnaie
LR = Le logarithme de la variable R (avec R = 1 + i / 100 et i = taux d’intérêt).
Question 1 : On estime le modèle VAR(1) suivant à partir duquel on construit les quatre
Fonctions de Réponses Impulsionnelles (IRF) suivantes. Donnez deux preuves de la non
stationnarité de cette représentation. (2 pts)
Sample(adjusted): 1982:2 1999:4
Included observations: 71 after adjusting
Standard errors & t-statistics in parentheses
LM
LR
LM(-1)
1.2
0.1
(0.01430)
(0.00412)
(69.6982)
(0.99821)
LR(-1)
0.2
(0.15401)
(-3.07558)
1.4
(0.04438)
(21.3753)
C
0.048906
(0.08288)
(0.59009)
0.988097
0.987747
0.024179
0.018856
182.7218
-5.062585
-4.966979
5.617686
0.170350
-0.020307
(0.02388)
(-0.85030)
0.880223
0.876700
0.002008
0.005434
271.0638
-7.551092
-7.455486
0.046322
0.015474
R-squared
Adj. R-squared
Sum sq. resids
S.E. equation
Log likelihood
Akaike AIC
Schwarz SC
Mean dependent
S.D. dependent
13
R es pons e o f LM to One S.D . In nov a tions
R es p ons e o f LR to On e S.D . Innov a tions
0.03
0.006
0.02
0.004
0.01
0.002
0.00
0.000
-0.01
-0.002
-0.02
-0.004
1
2
3
4
5
LM
6
7
8
9
10
1
LR
2
3
4
5
LM
6
7
8
9
10
LR
Question 2 : On admet que les deux séries LM et LR sont I(1), nous procédons au test de
cointégration de Johansen-Jusellius
Sample: 1982:1 1999:4
Included observations: 70
Test assumption: Linear deterministic trend in the data
Series: LM LR
Lags interval: 1 to 1
Likelihood
5 Percent
1 Percent
Eigenvalue
Ratio Critical Value Critical Value
0.239282
12.14 15.41 20.04
5.15E-07
3.61E-05
3.76
6.65
Les variables sont elles cointégrées ? Ecrivez précisément la spécification utilisée pour
effectuer ce test. (2 pts)
Question 3 : Nous procédons à la décomposition de la variance, donnez l’ordre de
décomposition de Cholesky qui a été choisi. (1 pt)
14
Variance Decomposition of D(LM):
Period
S.E.
D(LM)
D(LR)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.017653
0.019276
0.019717
0.019813
0.019831
0.019834
0.019834
0.019834
0.019834
0.019834
100.0000
89.86896
86.28894
85.47880
85.32725
85.30191
85.29796
85.29738
85.29729
85.29728
0.000000
10.13104
13.71106
14.52120
14.67275
14.69809
14.70204
14.70262
14.70271
14.70272
Variance Decomposition of D(LR):
Period
S.E.
D(LM)
D(LR)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.004918
0.005423
0.005511
0.005525
0.005527
0.005527
0.005527
0.005527
0.005527
0.005527
7.792237
6.818553
6.627137
6.594017
6.588792
6.588015
6.587904
6.587888
6.587886
6.587886
92.20776
93.18145
93.37286
93.40598
93.41121
93.41198
93.41210
93.41211
93.41211
93.41211
Question 4 : Nous estimons le modèle VAR(1) suivant en différence. Justifiez cette
spécification. A partir de ces éléments, on vous demande de calculer une prévision pour
D(LM) et D(LR) à l’horizon de deux périodes (2000:1 et 2000:2) assorties d’un intervalle de
prévision à 95%. Puis d’en déduire une prévision pour LM et LR. (5 pts)
15
Sample(adjusted): 1982:3 1999:4
Included observations: 70 after adjusting
Standard errors & t-statistics in parentheses
D(LM)
D(LR)
D(LM(-1))
0.166489
0.017514
(0.12115)
(0.03375)
(1.37425)
(0.51893)
DATE
1999:1
1999:2
1999:3
1999:4
D(LR(-1))
-1.299241
(0.44534)
(-2.91739)
0.478483
(0.12407)
(3.85667)
C
0.007385
(0.00241)
(3.06173)
0.000131
(0.00067)
(0.19499)
LM
5.960247
5.940575
5.952857
5.981405
LR
0.039221
0.048790
0.048790
0.058269
D(LM)
0.006277
-0.019672
0.012282
0.028547
D(LR)
0.004819
0.009569
0.000000
0.009479
Question 5 : A la lecture des fonctions de réponses impulsionnelles, on vous demande
d’analyser précisément les liens dynamiques entre les accroissements de l’offre de monnaie et
des taux d’intérêt. Vous insisterez tout particulièrement sur le schéma d’orthogonalisation
des chocs retenus pour mener à bien cette analyse et les conséquences qui en découlent. (2
pts)
R es p on s e o f D ( LM) to One S.D . Inn o v a tio ns R es p on s e o f D ( LR ) to One S.D . Inn o v a tio ns
0.020
0.006
0.015
0.004
0.010
0.005
0.002
0.000
0.000
-0.005
-0.010
1
2
3
4
5
D(LM)
6
7
8
9
-0.002
10
1
D(LR)
2
3
4
5
D(LM)
16
6
7
D(LR)
8
9
10
R es p on s e of D ( LM) to O ne S.D . Inn o v a tio ns
0.020
R es p on s e o f D ( LR ) to O ne S.D . Inno v a tio ns
0.005
0.015
0.004
0.010
0.003
0.005
0.002
0.000
0.001
-0.005
-0.010
1
2
3
4
5
D (LM)
6
7
8
9
10
0.000
1
D (LR )
2
3
4
5
D (LM)
17
6
7
D (LR )
8
9
10