Communications Numériques CN21 4. Récepteur Optimal canal

Communications Numériques CN21
4.
1
2
3
4
Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.
Détection au minimum de la probabilité d’erreur.
Zones et seuils de décisions.
Réalisation du récepteur. Filtre adapté.
Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance.
1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.
2 Cas M-aire. Borne de l’Union.
3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.
2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.
3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 1
Probabilité d ’Erreur
Evaluation de la
Probabilité d ’Erreur Résiduelle
Du Récepteur Optimal BABG
Reste-t-il des bits faux ?!
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 2
Détection au Minimum de Probabilité d’Erreur
Fonctionnement : si z ∈ Zi ⇒ décide symbole n° i .
Pr { Ers} = 1 − Pr { Dc}
min ( Pr {Err} ) = max ( Pr {Dc} )
ϕ2
Z2
Z1
zk
b
Détection symbole par symbole
s2
M Hypothèses : H i = {le symbole g k (t ) = si (t ) }
s1
ϕ1
M
Pr { Dc} = ∑ Pr {( z ∈ Z i ) / H i }⋅ Pr { H i }
ϕ3
i =1
p ( z / H i ) loi Gaussienne centrée sur si
p ( z / Hi ) =
1
(2π ) N / 2
M
Pr { Dc} = ∑
⌠

⌡
i =1 Z
i
(
GET / INT / R.Lamberti
 1

H
−1
exp
−
(
z
−
s
)
⋅
R
⋅
(
z
−
s
)
i
b
i


1/ 2
 2

Rb
)
M
p ( z/H i ) ⋅ Pr { H i } = ∑
⌠

⌡
i =1 Z
i
( N (s , R ) ) ⋅ p
i
b
i
Communications numériques F4 3
Calcul de la Probabilité d’Erreur par Symbole
Cas Binaire
équiprobable
(bissectrice à d / 2 )
on intègre sur le demi espace
+∞
⌠

⌡
ϕ2
Z2
Z1
zk
1
b
Z1
b
s2
( N (s , R ) ) = ( N ( ))
s1
⌠



⌡
0,σ b2
−d / 2
Bruit à Composantes indépendantes :
d
ϕ1
M
⇒
ϕ3
Pr {Dc} = ∑ Pr {( z ∈ Zi )
i =1
 d2
Pr { Ers} = 1 − Pr { Dc} = Q 
 2 N0
Binaire

Q (0 ) = 1 / 2
GET / INT / R.Lamberti
R b = σ b2 I N

d2
/ H i } ⋅ pi = Q  −
 2 N0

σ b2 =




N0
2

 ⋅ { p1 + p2 }
 
=1




Q ( σx ) =
Fonction de Marcum
Q ( −∞ ) = 1

 −d 
d2
dz1 = Q 
 = Q −
 2 N0
 2σ b 

Q ( +∞ ) = 0
⌠ +∞


x
⌡
σ
1
2π
e
2
−u
2
du =
⌠ +∞

1

σ 2π

⌡x
−
u2
2
e 2σ du
Q (− x ) = 1 − Q ( x )
Communications numériques F4 4
Fonction de Marcum
Q ( −∞ ) = 1
Q (0 ) = 1 / 2
(σ )
Q x =
⌠ +∞


x
⌡
Q ( +∞ ) = 0
σ
1
2π
e
2
−u
2
du =
Q ( 3) ≈ 0.00135
 d2
Q 
2 N0

Q ( 4 ) ≈ 3.2 ⋅10 −5
−1
0
1
2
Fonction d’Erreur
3
Q ( 7 ) ≈ 1.3 ⋅10−12
⌠ +∞
1
 x  1
Erfc 
= 
2
σ 2  2⌡
x
σ 2
2
⌠x 2
1
−
u
Erf ( x ) = − Erfc ( x ) = 
e
du
2
⌡0 π
1
Erfc ( −∞ ) = 1
2
GET / INT / R.Lamberti
1
1
Erfc ( 0 ) =
2
2
u2
2
e 2σ du
Décroissance très rapide
Q ( 2 ) = 0.0228
−2
−
Q (− x ) = 1 − Q ( x )
Q (1) = 0.1587
−3
⌠ +∞

1

σ 2π

⌡x
1
π
e
−u 2

 2d 2 
 >> Q 

2 N0 



du =
⌠ +∞



σ

⌡x
u2
− 2
1
e 2σ du
2π
( )
1
 x 
Erfc 
=Q x

σ
2
σ 2 
1
Erfc ( +∞ ) = 0
2
Communications numériques F4 5
Probabilité d ’Erreur
Erreurs Résiduelles des Modulations
M-aires
les plus élémentaires.
Cas sans mémoire à BABG
Formules simples ?!
Courbes d’Erreur
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 6
Probabilité d’Erreur par Symbole
dij2 = si − s j
2
= Esi + Es j − 2 Re si ⋅ s j = Esi + Es j
si même énergie Es = Ei ⋅ ∑ i pi = Ei
Binaire Orthogonaux
⋅ ∑ i Ei
 d2
Pr { Ers} = 1 − Pr {Dc} = Q 
 2 N0

2
d12
= 2 Es et
d
2
= 4 ⋅ s1 = 4 ⋅ Es = 4 ⋅ Eb
si Ds = Db
d
GET / INT / R.Lamberti
2
d12
= 2 Eb ( Ds = Db )
s 2 = −s1 même énergie
Binaire Antipodaux
0




 Eb 
Pr { Ers} = Pr { Erb} = Q 
 N 
0 

s1
0
s2
1
M
s 2 , s1 même énergie
s2
2
d12
si équiprobables Es =
s1
 2 Eb
Pr { Ers} = Pr { Erb} = Q 
 N
0




meilleur que les orthogonaux
Communications numériques F4 7
Probabilité d’Erreur par Symbole
M-aire Antipodaux (PAM)
Z ( +1)
Equiprobables
Z ( +5)
0.4
si ∈ {± A, ± 3 A, ⋯ , ± ( M −1) A}
0.3
0.2
Ds = Db / log 2 M
0.1

Pr { Ers} = 1 −  ∑ Pr { Dc / H i } ⋅ 1

M
 i =1
M
M – 2 cas où :
Pr { Dc} =
2 cas où : Pr { Dc} =
+∞
⌠

⌡
+A
⌠

⌡
−A



0
N ( 0,σ 2 )
N ( 0,σ 2 )
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Exemple avec σ 2 = A = 1 , M = 6 et Eb / N 0 = 6.5 dB
dz = 1 − 2 Q ( A / σ )
dz = 1 − Q ( A / σ )



 A 
 A   1
Pr { Ers} = 1 −  ( M − 2) 1 − 2Q    + 2 1 − Q     ⋅
 σ 
 σ   M




M −1  A 
 A  1
2 −1 2
N0
2
M
Pr { Ers} = 1 −  M + ( M −1) 2 Q    ⋅
=2
Q 
Es =
⋅A
σ =
M
 σ  M
σ 
3
2

2 −1
Ds
M


Eb = Es
=
⋅ A2
Eb 6 log 2 M
M
−1
Db
3⋅ log 2 M
Pr { Ers} = 2 ⋅
⋅Q
⋅

2
M
N
0 M −1 

−A
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 8
Probabilité d’Erreur par Symbole et aussi par Bit
M-aire Antipodaux (PAM)
Equiprobables
Probabilité d’Erreur sur les symboles
 Eb 6 log 2 M  M −1
 Eb 3 log 2 M 
M
−1
Pr { Ers} = 2 ⋅
⋅Q
⋅
 = M ⋅ Erfc N ⋅

2
2
M
N
0
0
M
M
−1
−1




Pr( Ers )
≤ Pr( Erb) ≤ Pr( Ers )
log 2 M
Probabilité d’Erreur sur les bits
Avec codage de GRAY
M = 2m et
m = log 2 M
Un seul bit change entre plus proches voisins
111 110 100 101 001 011 010 000
−7
−5
−3
GET / INT / R.Lamberti
−1
1
3
5
 Eb 3 log 2 M 
Pr { Erb} ≈ M −1 ⋅ Erfc 
⋅

2
m⋅M
N
0
M
−1


7
Communications numériques F4 9
Probabilité d’Erreur par Symbole MIA-M
(M-PAM)
Suite iid => Taux d’erreur = Pr Erreur Symbole
 Eb 6 log 2 M 
Pr { Ers} = 2 ⋅ M −1 ⋅ Q 
⋅

2
M
N
0
M −1 

10
0
10
−2
10
−4
10
−6
10
−8
10
−10
10
−12
P( Ers )
≤ P( Erb) ≤ P( Ers )
log 2 M
Pr(Err/bit)
Pr(Err/symbole)
MIA-32
MIA-16
MIA-8
MIA-4
MIA-2
0
5
10
15
20
25
30
Eb/No (en dB)
35
Courbes de taux d'erreur fonction du rapport Signal à Bruit
(Normalisé en Energie par Bit).
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 10
Probabilité d ’Erreur
Approximation de la
Borne de l ’Union
Pour faire plus simple ?!
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 11
Probabilité d’Erreur par Symbole
(cas Zi compliquées)
Borne de l’Union = majoration grossière mais simple
Principe : Se ramener au cas de Détection Binaire
Deux Zones Z i(i , j ) et Z (ji , j )
Z2(1,2)
⇒
Z1(1,2)
s2
Z2
s1
Z3
s3
Pr { Ers} ≤ ∑
i =1




∑
j ≠i
GET / INT / R.Lamberti
 d2
Q  ij
 2 N0

M
M
i =1
i =1




Pr { Ers} = ∑ Pr { Ers/H i } ⋅ Pr { H i } = ∑ Pr {z ∉ Z i /H i } ⋅ pi
Z1
M
 d2
ij
Pr {Ers} = Q 
 2 N0
Binaire



Pr {z ∉ Z i /H i } = Pr z ∈ ∪ Z j /H i 


j≠ i
∪Z j
j≠ i
disjointes
=
∪ Z (ji, j )
j≠ i
recouvrantes


(i , j )
Pr { Ers/H i } = Pr z ∈ ∪ Z j /H i  ≤ ∑ Pr z ∈ Z (ji , j ) /H i

 j ≠ i
j≠ i
{




}

 ⋅ Pr { H }
Termes Prédominants = Voisins Immédiats
i


Probabilité d’Erreur sur les Bits ⇔ Distance de Hamming
Communications numériques F4 12
Borne de l’Union Exemple du PAM
Z ( +1)
Z ( +5)
 d2
Pr { Ers / H i } ≤ 2 ⋅ Q 
 2 N0


 4d 2 
 +2 ⋅ Q 
 +⋯
2 N0 
 
 termes négligeables
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Pour si deux voisins immédiats à la même distance dij = d
Avec codage de GRAY : d Hamming = 1 pour les voisins
100 110 111 101 001 011 010 000
−7
−5
−3
−1
1
3

 d2
Pr { Erb} ≤ ( M − 2 ) ⋅  2 Q 
 2 N0



5
7
 d2
Pr { Erb / H i } ≤ 2 ⋅ Q 
 2 N0

 
2
 1
d
+ 2 ⋅Q
  ⋅
 M
  2 N0

 
termes négligeables
 1
  ⋅
 M

Pr { Erb} ≤
GET / INT / R.Lamberti

 4d 2 
 ⋅1 + 2 ⋅ Q 
 ⋅ 2 +⋯
2 N0 
  
2
( M −1)
M
 d2
⋅Q
 2 N0




Communications numériques F4 13
Borne de l’Union. Exemple signaux M-aire Orthogonaux
s2
Tous à la Même Distance d 2
Tous Voisins
d
d
2
s i = Es
s1
s3
d ij2 = si − s j
d
Codage de GRAY impossible.
Distance de Hamming Moyenne :
M −1
2

Pr { Erb / H i } ≤ ∑ Q  d
 2 N0
j =1 
Si équiprobables Pr{H i } =
1
M
= 2 E s − 2 Re s i ⋅ s j
=0
d Hmoy = M / 2 ⋅ log 2 M
M −1

 ⋅ d Hmoy

Pr {chaque bit différent} = M / 2
M −1

Pr { Erb} ≤ ∑  ( M −1)⋅Q
i =1 
M
et d 2 = 2 Es = 2 Eb ⋅ log 2 M
 Eb

Pr { Erb} ≤ M log 2 M ⋅ Q 
⋅ log 2 M 
2
 N0

GET / INT / R.Lamberti
2
( )
d2
2 N0
 d2
M
−1
Pr { Erb} ≤ M
⋅ Q
 2 N0
M

⋅d Hmoy  ⋅ Pr {H i }

 M /2
⋅ log 2 M
 ⋅
M −1

Communications numériques F4 14
Probabilité d ’Erreur
Conclusion :
On a quelques formules simples
qui permettent de comparer les
performances des modulations
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 15
Probabilité d ’Erreur sur Canal Mobile
Canal Mobile
paramètres
Canal de Rayleigh
Modèle discret
Performances
Diversité
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 16
Canal Mobile = Dispersif,
Dispersif, Sélectif en Fréquences
Bande de Cohérence / Temps de Dispersion
H ( f ,t)
Echos d’une Impulsion
τ n (t )
Bc = Largeur de bande sur laquelle on peut considérer que le canal est constant.
Td
Td = Temps pendant lequel on reçoit les échos (trajets) d’une impulsion.
Td ∼ 1 / Bc Temps de dispersion ∼ inverse de la Bande de Cohérence
P s (ν , τ )
Étalement Doppler / Temps de Cohérence
Td
Sinusoïde à un seul trajet
v
⇒ Reçoit sinusoïde à f 0 + f 0 ⋅   = f0 + f d
c
v vitesse relative incidence (ex : 36 km/h=10m/s
Bd
f d = 33Hz pour f 0 = 1GHz )
Sinusoïde à f 0 , φ (t ) uniforme ⇒ Reçoit DSP Sr ( f ) =
(modèle de Jakes 74)
cste
1 − ( f / fd )
2
en BdB
DSP
Sr( f ) =
Tc ∼ 1 / f d Temps de Cohérence ∼ inverse du Décalage Doppler
Cohérence (ou maintient) des propriétés statistiques du canal.
GET / INT / R.Lamberti
−fd
1
2
 f − fo
1−

 fd 
f0
fd
Communications numériques F4 17
Canal Sélectif en Fréquence
TF
H (t , f ) ⇌ c (t ,τ ) = α (τ , t ) ⋅ e − jω0τ ⋅ u(τ )
H (t , f ) Time variant Transfert Function
Bc = 1 / Td
Tc = 1 / Bd
Change tout le temps
⇒ Egaliseurs Adaptatif
Modèle Bande Étroite (Rayleigh)
Canal Non Sélectif en Fréquence (Flat-Fading)
H (t , f ) = H (t , f 0 )
TF
H (t , f 0 ) ⇌ c (t ) ⋅ δ (τ )
Bc = 1 / Td
Fadings
Tc = 1 / Bd
Évanouissements
distance m
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 18
Canal non Dispersif, non Sélectif (Flat-Fading)
H ( t , f ) = H ( t , f0 )
Toutes les fréquences sont affaiblies de la même façon.
Bc Bande de Cohérence du canal > Largeur de bande du signal
TF
H (t , f 0 ) = c (t ) ⋅ δ (τ )
Canal de Rice = Rayleigh + 1 trajet dominant (souvent le trajet direct)
Canal de Rayleigh = multitude de trajets indépendants, pas de trajet prédominant.
Amplitude du signal varie au cours du temps (fading)
Processus Gaussien
Complexe
c(t )
Signal
dn
GET / INT / R.Lamberti
c(t )
c (t ) gaussien complexe
Bruit Additif
Blanc Gaussien
DSP N0/2
φ (t ) suit une loi uniforme
r (t )
Processus Gaussien
Complexe
MoDem
Modèle discret
(temps n)
BABG (AWGN)
r (t ) = α (t )e jφ (t ) ⋅ s (t ) + n(t )
d n Eb
cn
BABG (AWGN)
a (t ) suit une loi de Rayleigh
 x2 
x
pα ( x ) = 2 ⋅ exp  − 2  ⋅ u ( x )
 2σ 
σ


bn
zn = cn ⋅ d n Eb + bn
Communications numériques F4 19
Canal de Rayleigh
dn
MoDem
Processus Gaussien
Complexe
d n Eb
cn
Performance en MDP2
BABG (AWGN)
cn = α n e jφn
bn
gaussien complexe (variance 2σ 2 )
zn = cn ⋅ d n Eb + bn
Énergie par bit émise Eb = Pe / Db
2
Énergie par bit reçue Eb, n = cn ⋅ Eb = ρ n2 ⋅ Eb
variance σ b2 = N 0
Bruit reçu Gaussien complexe : bn = b pn + j ⋅ bqn
Rapport signal à bruit Instantané : γ n =
Eb, n
σ b2
2
=
cn Eb
N0
= α n2 ⋅
(
N0
2
+
N0
2
)
Eb
.
N0
Récepteur optimal BABG projette sur le Signal Reçu sans bruit soit cn
Le récepteur Estime
cn = α n e jφn
Puis Projette (filtre Adapté)
2
⇒ rn = zn ⋅ cn∗ = cn ⋅ d n ⋅ Eb + bn
canal
Puis Détecte l’amplitude de la MDP2 (Idem MAQ, MIA-M)
Si les gains cn = α n e
GET / INT / R.Lamberti
jφn
restent identiques ∀n
⇒
estimation
∗
c
n
zn
détection
dˆn
 d2
2 ( M −1)
n
Pr { Ers / cn } ≤
⋅ Q
M
 2 N0





Communications numériques F4 20
Canal de Rayleigh
s(t ) = ∑ k d k g (t − kTs )
Calcul de la Probabilité d’Erreur
MIA-2 MDP-2
 d2
n
Pr { Ers / cn } = Q 
 2 N0

d k ∈ {±1}
rn = cn ⋅ sn + bn = cn ⋅ d n Es + bn


E 
 = Q  2α n2 b  = Q
N0 



c n = α n e jφ n gaussien complexe (variance σ 2 )
α n loi de Rayleigh
φn loi uniforme
S/B Instantané : γ n =
Eb, n
σ b2
=
α n2 Eb
N0
(
2γ n
)
 x2 
pα ( x) = 2 ⋅ exp  − 2  ⋅ u ( x )
 2σ 
σ


x
loi exponentielle pγ n ( x ) =
S/B Moyen : E {γ n } = 2σ 2 ⋅
1
 x
⋅ exp  −  ⋅ u ( x )
γ
 γ
Eb
≜γ
N0
Canal à variations lentes Ts ≪ Tc ∼ 1 / Bd ⇒ Gains cn = α n e jφn varient lentement pr Ts
Moyenne sur les variations
Pr { Ers} = ∫ Pr { Ers / α n = x} pα n ( x )dx
Pr { Ers} = ∫ Pr { Ers / γ n = x} pγ n ( x )dx
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 21
cn = α n e jφn gaussien complexe (variance σ 2 )
S/B Instantané : γ n =
φn loi uniforme
 x2 
pα ( x ) = 2 ⋅ exp  − 2  ⋅ u ( x )
 2σ 
σ


x
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
σ 2 =1
0.6
0.5
0.5
σ2 = 2
γ =1
γ =2
0.4
0.3
0.3
σ2 =3
0.2
γ =3
0.2
0.1
0.1
0
loi exponentielle
 x
1
pγ n ( x ) = ⋅ exp  −  ⋅ u ( x )
γ
 γ
0.7
0.6
0.4
=
α n2 Eb
N0
σ b2
E
S/B Moyen : E {γ n } = 2σ 2 ⋅ b ≜ γ
N0
α n loi de Rayleigh
0.7
Eb, n
0
1
2
3
GET / INT / R.Lamberti
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Communications numériques F4 22
Canal de Rayleigh
Calcul de la Probabilité d’Erreur
Moyenne sur les variations
+∞
⌠
Pr { Ers} =  Q
⌡
(
0
Pr { Ers} = ∫ Pr {Ers / γ n = x} pγ n ( x)dx
 x
1
2 x ⋅ ⋅ exp  −  ⋅ dx
γ
 γ
)
γ ≜ 2σ 2 ⋅
Eb
N0
1
γ 
Pr { Ers} =  1 −

2
1+ γ 
Pr(Err)
1
10−2
Particularités
Estimation impérative des gains cn
Performances très mauvaises
par rapport au canal Constant
Mobiles ⇒ Signaux peu puissants
Eb/N0 faible
Pr { Ers} ≈ 10−2 maxi
⇒ Diversité
GET / INT / R.Lamberti
1
4γ
γ →∞
→
10
Rayleigh
−4
10−6
10
Idéal BABG
−8
10−10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Eb / N 0 (dB)
Communications numériques F4 23
Canal de Rayleigh
Probabilité d’Erreur
1
γ 
Pr { Ers} =  1 −

2
1+ γ 
2-PSK cohérente
Modulations
Binaires
Simples
2-FSK cohérente
2-DPSK
2-FSK non cohérente
1
γ 
Pr { Ers} =  1 −

2
2+γ 
1
Pr { Ers} =
2 (1 + γ )
Pr { Ers} =
1
Pr(Err)
Rayleigh
2FSK Dét non Cohérente
10−2
1
4γ
γ →∞
1
2γ
→
γ →∞
1
2γ
γ →∞
1
→
→
γ
La détection différentielle
ou non cohérente
évite l’estimation des phases
2DPSK
2FSK
2PSK
10−4
1
2+γ
γ →∞
→
Modulations à nombre d’états
plus élevés sont possibles
mais moins performantes
10−6
Idéal BABG 2PSK
Pr {Ers} ≈ 10 −2 ⇒ Diversité
10−8
0
5
10
GET / INT / R.Lamberti
15
20
25
30
35
40
45
50
Eb / N 0 (dB)
Communications numériques F4 24
Canal à trajets multiples
Diversité
Principe : Transmettre plusieurs fois la même information
sur des canaux différents (indépendants).
Utilisée pour palier les évanouissements (canal à fading lent GSM)
Bc = 1 / Td
Tc = 1 / Bd
Ex : 100kbit/S = 10µs
1m ~ affaiblissement profond, à 10m/s (36 km/h) ⇒ 10 000 bits erronés. (10% du temps)
Entrelaceur répartit les erreurs ⇒ Mauvaises performances globales
Techniques :
Diversité de Temps (coefficients cn indépendants espacés de plusieurs Tc )
Diversité de Fréquence (canaux indépendants si espacés de plusieurs Bc )
Diversité d’Espace (plusieurs antennes écartées de plusieurs λ0 )
Diversité de direction (plusieurs faisceaux d’antenne)
Diversité de polarisation
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 25
Canal à trajets multiples
bn
cn
d n Ec
Diversité
canal
estimation
∗
c
n
zn
détection
zn = cn ⋅ d n Ec + bn
Un seul canal
dˆn
Plusieurs fois la même information sur des canaux indépendants
Récepteur optimal cohérent (max S/B) ⇔ Maximal Ratio Combiner (MRC Brennan 59)
Canal 1
estimation
cn∗, 1
z n ,1
Canal l
estimation
∗
c
n
,l
zn , l
Canal L
estimation
∗
zn, L cn, L
Signal reçu
zTn =  zn,1 ⋯ zn, l ⋯ zn, L 
d n Ec
cTn =  cn,1 ⋯ cn, l ⋯ cn, L 
n
i
n
i
{
i
soit max αi cn
i
d n Ec
2
c n
2
(
Ec − 2 Re cnH ⋅ z n
)}
soit estimation des gains puis
projection, partie réelle et comparateur à seuils
ou détection du signe en binaire d n ∈ {±1}
GET / INT / R.Lamberti
dˆn
Sommateur
Récepteur optimal min Erreurs
dˆ = α tel que min z − α E c
et décision
z n = d n Ec ⋅ cn + b n
d n Ec
Communications numériques F4 26
Diversité d'ordre L
z n = d n Ec ⋅ c n + b n
2
Distance entre les signaux reçus sans bruit d = 4 Ec c n
2
d n Ec
Canal 1
estimation
cn∗, 1
zn ,1
Canal l
estimation
cn∗, l
zn , l
Canal L
estimation
∗
zn, L cn, L
Probabilité d’erreur canaux fixés :


=
Q

 2 cn


Proba d’erreur moyenne :
Rapport S/B γ n = c n
2
2
Ec
N0

=Q

(
2γ n
)
d n Ec
Pr {Ers} = ∫ Pr {Ers / γ n = x} pγ n ( x)dx
L
Ec
c
=
N 0 ∑ n, l
l =1
2
L
Ec
= γ
N 0 ∑ n, l
dˆn
Sommateur
 d2
Pr { Ers / cn } = Q 
 2 N0

et décision
Canal de Rayleigh
Ex MDP2 d n ∈ {±1}
d n Ec
l =1
Comparaison au cas sans diversité à même puissance émise : γ n = γ n, l ⋅
Eb
= γ n, l ⋅ L .
Ec
L
Loi du S/B : γ n = ∑ γ n, l = somme de variables indépendantes de même lois exponentielles,
l =1
E
de moyenne γ = 2σ 2 ⋅ c .
N0
GET / INT / R.Lamberti
pγ n ( x) = pγ n,1 ∗ pγ n , 2 ∗ ⋯ ∗ pγ n, L =
x L −1
( L −1)! γ L
 x
⋅ exp  −  ⋅ u ( x )
 γ
Communications numériques F4 27
Canal de Rayleigh
Probabilité d’erreur en Diversité d'orde L
Probabilité d’erreur moyenne :
+∞
⌠
Pr { Ers} =  Q
MDP2
⌡
(
0
)
2x ⋅
x
L −1
( L −1)! γ L
L L −1
 1− µ 
Pr { Ers} = 
 ⋅∑
2

 l =0
MDP2
avec µ =
Pr {Ers} = ∫ Pr { Ers / γ n = x} pγ n ( x) dx
∁
pγ n ( x) =
 x
⋅ exp  −  dx
 γ
L −1+l  1+ µ
⋅
l


 2 
γ
x L −1
( L −1)! γ L
 x
⋅ exp  −  ⋅ u ( x )
 γ
1
l
Pr(Err)
10−2
10−4
1+ γ
10
−6
10
−8
2
3
4
Limite
 1 
→ ∁L2 L −1 ⋅  
Pr {Ers} 
γ >10dB
 4γ 
MDP2
5
L
6
10 9 8
−2
0
2
4
6
8
7
10
12
14
16
18
20
SNR/bit γ (dB)
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 28
Communications Numériques CN21
4.
1
2
3
4
Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.
Détection au minimum de la probabilité d’erreur.
Zones et seuils de décisions.
Réalisation du récepteur. Filtre adapté.
Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance.
1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.
2 Cas M-aire. Borne de l’Union.
3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.
2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.
3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
GET / INT / R.Lamberti
Communications numériques F4 29