Suites, généralités et suites arithmétiques, cours, première STG

Suites, généralités et suites arithmétiques, cours, première STG
F.Gaudon
4 juin 2009
Table des matières
1 Notion de suite
1.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Méthodes de construction des suites
1.2.1 Dénition explicite . . . . .
1.2.2 Dénition par récurrence . .
1.3 Sens de variation . . . . . . . . . .
1.4 Représentation graphique . . . . .
2 Suites arithmétiques
2.1
2.2
2.3
2.4
Dénition . . . . . . . . . .
Expression en fonction de n
Reconnaissance . . . . . . .
Variations . . . . . . . . . .
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Notion de suite
1.1 Dénitions
Dénition :
On appelle suite toute application u qui à tout entier naturel n associe
un nombre réle u(n) pour tout entier naturel.
Exemple :
u : N −→ R
n 7−→ 3n
On a u4 = 34 = 81.
Dénition :
• L'image de n par la suite u est notée un au lieu de u(n).
• un est appelé terme de rang n de la suite
• La suite u est notée (un )n ∈ N ou (un ).
Remarque :
• Si u0 est le premier
• Si u1 est le premier
terme
terme
de la suite, un est le n + 1e terme.
de la suite, un est le ne terme.
1.2 Méthodes de construction des suites
1.2.1 Dénition explicite
Dénition :
Soit f une fonction de R+ dans R, on dénit une suite (un )n en posant
pour tout n ∈ N, un = f (n) c'est à dire un procédé qui à tout rang n
associe le terme un .
Exemple :
u : N −→ R
n 7−→ un = 3n2 + 2
On a u1 = 3 × 12 + 2 = 5, u2 = 3 × 22 + 2 = 14, u10 = 3 × 102 + 2 = 302.
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1.2.2 Dénition par récurrence
Soit f une fonction de R dans R. Une suite dénie par récurrence est une suite dénie par la donnée
de son premier terme u0 et par la relation pour tout n ∈ N∗ ,
un+1 = f (un ).
Exemple :
un =
u0 = 1
un+1 = 2un + 3
On a u1 = 2u0 + 3 = 2 × 1 + 3 = 5 puis u2 = 2u1 + 3 = 2 × 5 + 3 = 13, u3 = 2u2 + 3 = 2 × 13 + 3 = 16.
1.3 Sens de variation
Dénition :
• Une suite (un )n est croissante si pour tout entier n, un+1 − un > 0.
• Une suite (un )n est décroissante si pour tout entier n, un+1 − un < 0.
1.4 Représentation graphique
Dénition :
La représentation graphique d'une suite (un ) dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées (n; un ).
Exemple :
La gure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite dénie par un = −4 × 21n pour tout
entier naturel n.
3
2
1
0
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
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Suites arithmétiques
2.1 Dénition
Dénition :
Soit r un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison r toute
suite dénie par son premier terme et pour tout entier naturel n par la
relation :
un+1 = un + r
Exemple :
Soit (un ) la suite dénie par u0 = 56 et un+1 = un − 4. (un ) est une suite arithmétique de raison -4. On
a u1 = u0 − 4 = 56 − 4 = 52, u2 = 52 − 4 = 48, u3 = 48 − 4 = 44.
2.2 Expression en fonction de n
Propriété (expression en fonction de n) :
Si (un )n est une suite arithmétique de raison r, alors :
• si le premier terme est u0 , alors pour tout entier n,
un = u0 + nr
• si le premier terme est u1 , alors pour tout entier n,
un = u1 + (n − 1)r
De manière plus générale, pour tous les entiers naturels n et p avec p < n
on a :
un = up + (n − p)r
Exemple :
Soit (un ) la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme u0 = 56. On a par exemple, u12 =
u0 + 12r = 56 + 12 × (−4) = 8 ou encore u15 = u1 2 + 3r = 8 + 3 × (−4) = 8 − 12 = −4.
2.3 Reconnaissance
Propriété :
Soit (un ) une suite de premier terme u0 .
(un ) est arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel
que pour tout entier naturel n un+1 = un + r si et seulement il existe
deux nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n, un s'écrit
un = an + b. Dans ce dernier cas on a u0 = b et la raison de la suite est
a.
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Exemple :
Soit la suite (un ) dénie par un = −3 + 2(n − 1). un s'écrit un = −3 + 2n − 2 donc un = −5 + 2n donc
elle est arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u0 = −5.
Propriété :
On considère une suite (un ). (un ) est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère
du plan sont alignés.
Propriété :
Soit (un ) une suite arithmétique et p et n deux entiers naturels distincts.
Alors la raison r de la suite est donnée par :
r=
un − up
n−p
Exemple :
Soit (un ) une suite arithmétique vériant u10 = 34 et u16 = 43. On recherche la raison de la suite. On
a u16 = u10 + 6 × r où r est la raison de la suite. D'où 43 = 34 + 6r c'est à dire r = 43−34
= 1, 5.
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2.4 Variations
Propriété :
On considère une suite arithmétique de raison r.
• Si r > 0 alors la suite est strictement croissante ;
• si r < 0 alors la suite est strictement décroissante ;
• si r = 0 alors la suite est constante.
Exemple :
La gure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite dénie par un = −4 + 2n pour tout
entier naturel n.
7
6
5
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3
2
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−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
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