Numérique ( 12 points )

Numérique ( 12 points )
Exercice 1 : ( 3 points )
1. Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
A=
2 5 7
2 35
8 35
43
2 5×7
 ×  =



=
=
=
3 4 3
3 12
12 12
12
3 4×3
2. Calculer le nombre C en donnant le résultat sous la forme scientifique :
10−8×42×1042
42 10−8 ×1042
10 −842
×
 = 6×

B=
=
5
5
7
7×105 
10
10
10 34
 = 6×10 34−5 = 6×10 29
B = 6×
5
10
3. Ecrire le nombre D sous la forme a  5 où a est un nombre entier :
C = 3  20 45 = 3 4×5 9×5 = 3×2  53 5 = 9  5
Exercice 2 : ( 2 points )
1. Calculer le PGCD de 1470 et 2310
2310 = 1470 × 1 + 840
1470 = 840 × 1 + 630
840 = 630 × 1 + 210
630 = 210 × 3 + 0
Le PGCD de 2310 et 1470 est 210
2. Rendre irréductible la fraction :
1470
7
=
2310
11
en simplifiant par 210.
Exercice 3 : ( 5 points )
On considère l'expression E = ( 2x + 3 )² + ( x – 1 )( 2x + 3 )
1. Développer et réduire cette expression
E = 4x² + 2 × 2x × 3 + 9 + 2x² + 3x – 2x – 3
E = 6x² + 12x + 3x – 2x + 6
E = 6x² + 13x + 6
2. Calculer cette expression pour x = –2
E = ( 2 × –2 + 3 )² + ( –2 – 1 )( 2 × –2 + 3 )
E = ( –4 + 3 )² – 3 ( –4 + 3 )
E = ( –1 )² – 3 × –1 = 1 + 3 = 4
3. Factoriser l'expression E.
E = ( 2x + 3 ) ( ( 2x + 3 ) + ( x – 1 ) )
E = ( 2x + 3 )( 2x + 3 + x – 1 )
E = ( 2x + 3 )( 3x + 2 )
4. Résoudre l'équation : ( 2x + 3 )( 3x + 2 ) = 0
−3
2
−2
soit 3x + 2 = 0 c'est à dire 3x = –2 donc x =
3
soit 2x + 3 = 0 c'est à dire 2x = –3 donc x =
L'équation précédente a deux solutions
−3
−2
et
.
2
3
Exercice 4 : ( 2 points )
ABCD est un carré de côté 6 cm. E est un point du segment [AB]; on pose EB = x.
x
A
B
E
6
D
C
1. Exprimer en fonction de x la longueur de AE puis l'aire du triangle ADE.
AE = 6 – x
L'aire du triangle AED puisqu'il est rectangle en A vaut
L'aire de AED = 3 ( 6 – x ).
6−x×6
AE×AD
=
2
2
2. Déterminer x pour que l'aire du carré ABCD soit le triple de l'aire du triangle ADE.
L'aire du carré est de 6² = 36 cm².
L'aire du triangle vaut le tiers de l'aire du carré, ce traduit par l'équation :
3(6–x)=
36
3
18 – 3x = 12
–3x = 12 – 18
–3x = –6
x=2
Pour que l'aire du triangle soit le tiers de celle du carré il faut que x = 2 cm
Géométrie ( 12 points )
Exercice 1 : ( 8 points )
1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.
2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E
d'une part FG² = 13² = 169
d'autre part EF² + EG² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
on en déduit que FG² = EF² + EG², le triangle est donc rectangle en E
d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
3. Calculer la mesure de l'angle 
EFG . Le résultat sera arrondi au degré près.
Le triangle EFG est rectangle en E
tan 
EFG =
donc
côté opposé
EG
5
=
=
EF
12
côtéadjacent 

EFG ≈ 22,6° donc 23° arrondi au degré.
4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7cm.
5. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG]
en M.
E
12 cm
7 cm
5 cm
B
M
G
F
13 cm
6. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au mm près.
Les points E, M et G sont alignés ainsi que les points E, B et F.
Les droites (FG) et (BM) sont parallèles donc les triangles EBM et EFG sont
en configuration du théorème de Thalès. On obtient donc l'égalité :
EB
EM
BM
=
=
EF
EG
FG
7×13
7
BM
91
=
donc BM =
=
cm
12
13
12
12
BM ≈ 7,583 cm donc 7,6 cm arrondi au mm.
Exercice 2 : ( 4 points )
[AH] est la hauteur issue du sommet A d'un triangle ABC.
1. Calculer la mesure de l'angle 
BAH . On donnera une valeur arrondie au degré
près.
Dans le triangle BAH rectangle en H
côtéadjacent 
AH
5
cos 
=
=
BAH =
AB
8
hypoténuse

BAH ≈ 51,3° donc 51° arrondi au degré.
2. Calculer la longueur HC. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
Dans le triangle AHC rectangle en H
tan 
CAH =
côté opposé
CH
=
AH
côtéadjacent 
HC = AH tan 
CAH = 5 tan 40°
HC ≈ 4,195 cm donc 4,2 cm arrondi au mm.
A
40°
8 cm
5 cm
B
H
C
Problème ( 12 points )
ABC est un triangle rectangle en A tel que
AB = 3 cm et AC = 4 cm. M est un point de [BC].
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.
B
P
A
Partie A : ( 3,5 points ) Justifier que :
M
Q
C
1. BC = 5cm car le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de
Pythagore BC² = BA² + AC² = 4² + 3² = 25
2. Le quadrilatère APMQ est un rectangle car il possède 3 angles droits.
3. Les triangles BPM et BAC sont tels que :
B, P et A sont alignés ainsi que B,M et C.
Les droites (PM) et (AC) sont parallèles
donc d'après le théorème de Thalès
BP BM PM
BP BM PM
=
=
=
=
=
BA BC AC
3
5
4
Partie B ( 3 points ) On suppose dans cette partie que BM = 2 cm
1. Calculer BP; PM puis en déduire AP.
BP 2 PM
= =
3 5 4
d'une part
nous donne :
BP 2
2×3
6
=
duquel on déduit BP =
=
cm = 1,2 cm.
3 5
5
5
d'autre part
PM 2
2×4
8
=
duquel on déduit PM =
=
cm = 1,6 cm
4 5
5
5
On en déduit que AP = 3 – 1,2 = 1,8 cm puisqu'elle vaut AB – BP
2. Calculer l'aire du rectangle APMQ.
APMQ est un rectangle donc son aire se calcule en multipliant sa longueur
par sa largeur. On obtient AP × PM = 1,8 cm × 1,6 cm = 2,88 cm².
Partie C ( 5,5 points )
On suppose dans cette partie que BM = x avec 0 < x < 5.
1. En utilisant la question 3. de la partie A, exprimer BP et PM en fonction de x.
On sait que
BP BM PM
BP x PM
=
=
= =
ce qui nous donne
3
5
4
3 5 4
13
On en déduit alors que :
d'une part
BP x
3
=
×x = 0,6 x cm.
duquel
on déduit BP =
12
3 5
5
PM x
4
=
×x = 0,8 x cm.
duquel on déduit PM =
4 5
5
11
2. En déduire AP en fonction de x.
d'autre part
AP = AB – BP = 3 – 0,6x cm.
10
3. Pour quelle valeur de x, APMQ est-il un carré ?
Pour que APMQ soit un carré il faut que AP = PM, c'est à dire :
9
3 – 0,6x = 0,8x
3 = 0,8x + 0,6x
3 = 1,4x
8
3
x=
= 2,14 cm.
1,4
7 du rectangle APMQ.
4. On note A(x) l'aire, en cm²,
Justifier que A(x) = 2,4x – 0,48x²
L'aire du rectangle APMQ est :
6
AP × PM = ( 3 – 0,6x ) × 0,8x = 3 × 0,8x – 0,6x × 0,8x = 2,4x – 0,48x².
On donne la représentation
graphique de la fonction A :
a°) En s'aidant du
graphique, trouver la ou les
valeurs de x pour lesquelles
l'aire du rectangle APMQ est
de 1 cm².
b°) Déterminer
graphiquement la valeur de
x pour laquelle l'aire de
APMQ est maximale. Donner
cette aire maximale.
H
5
4
( 2,5 ; 3 )
3
2
1
0
-1
0 0,46
-1
1
2
3
4 4,54
5
6