critère de Nyquist

Automatique
Stabilité
F. Rotella
I. Zambettakis
[email protected], [email protected]
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
1
Stabilité
La réponse fréquentielle
La réponse fréquentielle
réponses temporelles
fournissent des mesures directes des qualités d’un système.
réponses fréquentielles
permettent l’utilisation de méthodes graphiques performantes.
Théorème
La réponse à une entrée sinusoïdale sin ωt d’un système linéaire
Asymptotiquement Stable est, en Régime Permanent une sinusoïde de
même pulsation ω, amplifiée et déphasée.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
2
Stabilité
La réponse fréquentielle
Réponse fréq. d’un système linéaire-1
N(p)
F (p) =
→
D(p)
(
s (d) (t) + · · · + a0 s(t) = bn e (n) (t) + · · · + b0 e(t)
v (t)
= u(t)
e(t) = sin ωt =⇒e(t) = e jωt
u(t) = N(jω)e jωt
Résolution des E.Diff. :
(
sol.générale ss 2nd membre (C.I)
s(t) =
+une sol.part. avec 2nd membre
F. Rotella I. Zambettakis
→ 0 SA
Se jωt+ϕ
v (t) = SD(jω)e jωt+ϕ
Automatique
3
Stabilité
La réponse fréquentielle
Réponse fréq. d’un système linéaire-2
l’équa.diff. v (t) = u(t) devient donc :
SD(jω)e jωt e jϕ = N(jω)e jωt
Se
jϕ
N(jω)
=
=⇒
D(jω)
(
S = |F (jω)|
ϕ = arg(F (jω))
Système linéaire + S.A.
SA =⇒ le régime transitoire tend vers 0
en réponse à sin ωt, s(t) → |F (jω)| sin [ωt + arg(F (jω))]
Fonction de transfert
F (jω) : fonction de transfert de la variable complexe jω
=⇒ Bode, Black, Nyquist
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
4
Stabilité
Critère de Nyquist
Critère de Nyquist
C’est un critère de stabilité :
I
du système G (p) bouclé par retour H(p) ;
I
fréquentiel ;
I
graphique ;
I
utilise le modèle transfert de la boucle ouverte G (p)H(p).
Théorème de Cauchy
f (p) fonction de la variable complexe p ayant P pôles et Z zéros à
l’intérieur d’une courbe fermée C, en parcourant C dans le sens rétrograde
la courbe d’affixe f (C) fait autour de 0 T = P − Z tours dans le sens trigo.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
5
Stabilité
Critère de Nyquist
Illustration graphique du théorème de Cauchy
C
(C)
P pôles
Z zéros
de f (p)
F. Rotella I. Zambettakis
C
f (p)
×
f (C)
×
p
(0) {f (C)} = P − Z
Automatique
6
Stabilité
Critère de Nyquist
Application à la stabilité
le transfert en boucle fermée :
FBF (p) =
G (p)
,
1 + G (p)H(p)
sera asymptotiquement stable si les zéros de 1 + GH(p) sont tous dans C− .
On applique le th. de Cauchy à f (p) = 1 + GH(p)
I
mais : (0) {1 + GH(C)} = (−1) {GH(C)}
I
donc, si GH(C) effectue T tours dans le sens trigo autour de −1, et
que par ailleurs GH(p) a P pôles dans C (donc 1 + GH aussi !),
I
ALORS : 1 + GH(p) a Z = P − T zéros dans C, c’est-à-dire
F. Rotella I. Zambettakis
FBF (p) =
G (p)
a P − T pôles dans C.
1 + G (p)H(p)
Automatique
7
Stabilité
Critère de Nyquist
Contour de Bromwich
choix de C
pas de pôles à Re = 0 ⇒ C contour d’exclusion qui les englobe.
F. Rotella I. Zambettakis
Im
ρ=
∞
C
C+
Re
C−
Automatique
8
Stabilité
Critère de Nyquist
Critère de stabilité de Nyquist
Définition
GH(C) , où C est le contour de Bromwich, constitue le lieu de Nyquist
complet de GH(p), soit G (jω)H(jω), ω ∈ ]−∞, +∞[.
condition nécessaire et suffisante de S.A.
Le lieu de Nyquist complet de la boucle ouverte GH(C) doit faire autour de
−1 un nombre de tours dans le sens trigo identique au nombre de pôles
non asymptotiquement stables (Re ≥ 0) de GH(p) :
F. Rotella I. Zambettakis
T(−1) = PNAS (BO)
Automatique
9
Stabilité
Critère de Nyquist
Critère du revers
Cas particulier d’application
Pour les systèmes asymptotiquement stables en boucle ouverte
PNAS (BO) = 0, soit :
T(−1) {GH(C)} = 0.
Critère simplifié de Nyquist
GH(p), asymptotiquement stable, est asymptotiquement stable en boucle
fermée si et seulement si le point -1 est laissé à gauche lorsque l’on parcourt
le lieu de Nyquist de GH(jω), ω ≥ 0, dans le sens des ω croissants.
Extension
Cette propriété est encore vraie si GH(p) a un pôle nul (intégrateur).
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
10
Stabilité
Critère de Nyquist
Tracé du lieu de Nyquist de GH(p)
1. Tracer G (jω)H(jω), ω variant de 0 à +∞ : décomposition en
transferts élémentaires.
2. Symétrie par rapport à l’axe réel pour ω variant de −∞ à 0.
3. Si GH n’a pas de pôle imaginaire pur : courbe fermée.
4. Si GH possède un pôle jβ d’ordre n sur l’axe imaginaire :
Principe de fermeture
On contourne le pôle jβ par un demi-cercle infiniment proche
Im
ρ=ε→0
jβ
Image d’un contournement
Pour ω = β − à ω = β + on obtient :
F. Rotella
I I. Zambettakis
Automatique
11
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 1
Le transfert F (p) =
F. Rotella I. Zambettakis
10000(1 + 0.1p)4 (1 + 0.001p)2
, a pour lieux de Bode :
(1 + p)4 (1 + 0.01p)4
100
Amplitude (dB)
50
0
−50
−100
−150
−200
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−225
−270
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Pulsation (rad/sec)
Automatique
12
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 1
L’axe réel étant défini par les valeurs de phase :
ϕréel = kπ, k ∈ Z,
on en déduit que le lieu de Nyquist possède 4 intersections avec l’axe réel
en :
10000, −0.32, −4, −1514,
lorsque ω croît de 0 à +∞.
D’où viennent ces chiffres ?
Soit g la valeur du gain en dB pour une phase de kπ :
1. Comme g = 20 log10 |α|, l’intersection avec l’axe réel vaut (en
module) :
g
|α| = 10 20 .
2. Si k est pair, signe(α) = +1, sinon signe(α) = −1.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
13
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 1
Des variations du gain et de la phase on déduit le lieu de Nyquist de F (p).
2
C
−1514
F. Rotella I. Zambettakis
−4
(ω = −∞)
−0.32 (ω = ∞)
10000
(ω = 0)
1
Automatique
14
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 1
Étude de stabilité en boucle fermée
Comme :
−4 < −1 < −0.32,
on est dans la situation suivante F (p) est asymptotiquement stable en
boucle fermée.
F. Rotella I. Zambettakis
(-1)
•
−1
le nombre de tours C
autour de −1
(comptés algébriquement) est de :
(+1)+(−1) = 0
(ω = −∞)
(ω = ∞)
(ω = 0)
(+1)
Automatique
15
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 2
Lieu de Nyquist de F (p) =
1
.
p(p + 1)2
ω
1
p
Tableau
de
variations
1
(1 + p)2
∞
Gain ∞
Arg.
Gain 1
Arg. 0
Gain ∞
F (p)
F. Rotella I. Zambettakis
0
π
Arg. − 2
Automatique
0
− π2
0
−π
0
− 3π
2
16
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 2
Tracé du lieu de Nyquist
Fermeture
par 1 demi-tour
dans le sens direct
F. Rotella I. Zambettakis
(ω = 0− )
2
symétrique
C
1
lieu de
Nyquist de F (p)
pour ω : 0 → ∞
(ω = 0+ )
Automatique
17
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 2
Calcul de l’intersection avec l’axe réel
1. On cherche la pulsation pour laquelle arg(F (jω)) = −π.
1
π
2. Or déphase constamment de − .
p
2
1
π
3. Donc, on cherche ω pour laquelle arg
=− .
2
(jω + 1)
2
Il s’agit de ω−π = 1 rad/s.
1
1
1
4. Pour cette pulsation : = 1 et = .
2
p ω=1
(p + 1) ω=1 2
Conclusion
1
L’intersection du lieu de Nyquist avec l’axe réel vaut − .
2
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
18
Stabilité
Critère de Nyquist
Exemple 2
Étude de stabilité en boucle fermée
Comme :
1. Le nombre de pôles non asymptotiquement stables de F (p) est :
1 (1 pôle en zéro) ;
2. Le nombre de tours algébriques autour de -1 est de :
1 (car −1 < −0.5).
Conclusion
F (p) est asymptotiquement stable en boucle fermée par retour unitaire.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
20
Stabilité
Réglage de k
Remarque
Que se passe-t-il sur le lieu de Nyquist si F (p) est remplacé par kF (p) ?
Interprétation graphique
La multiplication par k agit comme une homothétie :
de centre 0, de rapport k.
En conséquences
Si k :
I
augmente en module, le lieu se dilate ;
I
diminue en module, le lieu se contracte ;
I
à module constant, change de signe, on effectue une symétrie par
rapport à 0.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
21
Stabilité
Réglage de k
Application au réglage du gain k
Conditions de stabilité relatives au gain k, pour le système bouclé :
-+
- k
−
6
- F (p)
-
Procédure
1. On trace le lieu de Nyquist de F (p).
2. On mène l’analyse de stabilité pour k = 1.
3. Soient αi les intersections de ce lieu avec l’axe réel.
4. Valeurs limites de stabilité du système en boucle fermée :
ki = −
1
.
αi
5. Les intervalles de k garantissant la stabilité sont définis par le nombre
de tours du lieu autour de -1.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
22
Stabilité
Réglage de k
Exemple 1 (suite)
La présence d’un gain proportionnel k donne le diagramme de Nyquist :
plusieurs situations suivant la valeur de k
C
−4k
−1514k
F. Rotella I. Zambettakis
10000k
−0.32k
Automatique
23
Stabilité
Réglage de k
Exemple 1 (suite)
Conditions de stabilité en boucle fermée
D’après ce qui précède, pour avoir un système stable en boucle fermée, il
faut :
I
−4k < −1 < −0.32k ;
I
−1 < −1514k ;
I
−1 < 10000k.
Valeurs de k qui garantissent la stabilité asymptotique en boucle
fermée
Soient :
1. −10−4 < k < 6.6 × 10−4 .
2. 0.25 < k < 3.125.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
24
Stabilité
Réglage de k
Exemple 2 (suite)
Avec un gain k :
C
−0.5k
Conditions de stabilité en boucle
fermée
1. Pour −0.5k < −1, soit k > 2, le
système est instable.
2. Pour −1 < −0.5k < 0, soit
0 < k < 2, il est stable.
3. Pour k < 0, il est instable.
Lieu de Nyquist
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
25
Stabilité
Critère simplifié
Remarques historiques
I
Le critère de stabilité de Nyquist et la démonstration n’ont pas été
proposés par Nyquist.
I
Nyquist a seulement établi un critère simplifé de stabilité en étudiant
les conditions expérimentales d’instabilité des premiers amplificateurs
opérationnels sur les lignes téléphoniques :
“On regeneration theory”, 1932.
I
La forme complète (et exacte) a été établie par en 1945 (L.A.
MacColl).
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
26
Stabilité
Robustesse
Marges de stabilité
Constatation
Plus le lieu passe loin du point critique -1 plus le système est stable.
Avantage du lieu de Nyquist
Mise en évidence graphique du degré de stabilité par l’éloignement du lieu
de Nyquist par rapport au point critique.
Indicateurs de robustesse en stabilité
Pour qualifier l’éloignement du lieu relativement à -1, on dispose des
marges :
I
de gain ;
I
de phase ;
I
de retard ;
I
de module.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
27
Stabilité
Robustesse
Marge de gain
Interprétation
Indique par quel facteur on peut multiplier le transfert en boucle ouverte
avant que le système en boucle fermée soit instable.
I
−1
•
−α
(ω−π )
F. Rotella I. Zambettakis
1
> 0, le système devient
α
instable et la marge de gain s’exprime
(en dB) par :
Pour k =
R
1
mg = 20 log10 ( ).
α
Automatique
28
Stabilité
Robustesse
Marge de phase
Si le lieu tourne de la marge de phase
mϕ le système devient instable. Mais
peu interprétable sur un transfert.
I
−1
•
Marge de retard
R
mϕ
1
(ω|1| )
F. Rotella I. Zambettakis
Avec ω|1| , on définit la marge de
retard :
mϕ
mR =
,
ω|1|
qui s’interprète comme l’erreur que
l’on peut commettre sur le retard pur
du système sans le rendre instable en
boucle fermée.
Automatique
29
Stabilité
Robustesse
Marge de module
C’est le critère le plus pertinent pour mesurer la robustesse en stabilité
d’une régulation.
−1
•
mM
F. Rotella I. Zambettakis
I
Mesure de la marge de module
R
C’est le rayon mM du plus grand
cercle :
I
centré en -1 ;
I
qui tangente le lieu de Nyquist
du système en boucle ouverte.
Automatique
30
Stabilité
Robustesse
Lecture sur les lieux de Bode
Lieux de Bode du système en boucle ouverte :
ω−π
gain
0 dB
mg
mϕ
phase
ω|1|
−π
Remarque : mg et mϕ se lisent plus facilement sur les lieux de Bode.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
31
Stabilité
Robustesse
Exercices
1. Tracer les lieux de Nyquist des transferts suivants :
1−p
,
(1 + p)(1 + 3p + p 2 )
1 − 2p + p 2
,
1 + 2p + p 2
1
,
p(p + 1)(3p + 2)
1
,
(1 + p)4
1 − 2p
,
p(1 + p)
1
.
1 + p + p2 + p3
2. En déduire, dans chaque cas, les conditions de stabilité sur k pour la
structure :
-+
- k
- N(p)
−
D(p)
6
3. Vérifier ces résultats à l’aide :
3.1 du critère de Routh.
3.2 d’un logiciel de simulation.
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
32
Stabilité
Robustesse
Preuve du contournement
Soit :
GH(p) =
K (p)
,
(p − jβ)n
avec 0 < |K (jβ)| < ∞.
Soit p = jβ + εe jϕ pour ϕ : −
GH(p) =
π
3π
→ − , alors :
2
2
K (p)
K (p)
= n e −jnϕ .
(εe jϕ )n
ε
Conclusion
π
3π
→−
et ε → 0 :
2
2
nπ
3nπ
−nϕ :
→
, soit n 1/2 tours dans le sens trigo
2
2
K
de rayon |GH(p)| = n → ∞.
ε
Lorsque ϕ : −
I
I
F. Rotella I. Zambettakis
Automatique
Suite
33