Autour du son musical - IREM des Pays de la Loire

Journées académiques de l IREM des Pays de la Loire
Atelier du 20 avril 2011
Méthodes et Pratiques Scientifiques
Autour du son musical
I. Présentation
1. MPS… pour quoi faire ?
Ce que nous avons compris :
Savoir utiliser et compléter ses connaissances ;
S informer, rechercher, extraire et organiser de l information utile ;
Raisonner, argumenter, s exercer à la démarche scientifique ;
Communiquer à l aide d un langage et d outils adaptés.
2. Comment travaillons-nous ?
Chaque groupe de MPS est pris en charge par deux professeurs (Sciences
Physiques/SVT/Maths).
Chaque professeur intervient dans deux groupes d une quinzaine d élèves, à raison d une
heure et demi tous les quinze jours.
Les séances se déroulent généralement en Labo de physique ou SVT pour des raisons
pratiques (contraintes matérielles). Nous avons aussi accès à une salle informatique.
Les élèves ont un cahier dans lequel ils prennent des notes. Ils y décrivent leurs expériences
et leurs manipulations. Ils y écrivent leurs observations, les synthèses. Ils y font des
schémas et y collent les documents qui leur sont distribués.
3. Le choix du thème
Un thème porteur pour les sciences physiques, la SVT et les mathématiques ;
Une volonté d ouverture : rapprochement improbable entre les sciences et la musique pour
les élèves.
II. Le démarrage
1. Extraits musicaux
Ecoute de divers types de musiques intégrant des sons humains, animaux, minéraux, sans
avoir annoncé le thème.
o Around the world / Daft Punk
o Offrande musicale / Bach
o 4 minutes 33 ou Silence / John Cage
o Ice girl / Emilie Simon
o Petites esquisses d oiseaux : Rouge-gorge / Olivier Messiaen
o Pierrot lunaire / Shoenberg
Questions posées aux élèves :
o Quel va être le thème du travail en MPS ?
o De quoi va-t-il être question ?
Travail réalisé par les élèves :
o Décrire ces extraits sonores par des qualificatifs.
o Représenter par un dessin, un schéma ces extraits.
2. Vers une caractérisation des sons
Cette caractérisation va se faire progressivement en groupe avec l aide des deux
professeurs.
Pour compléter le travail des élèves, des adjectifs sont proposés : rapide, lent, répétitif,
rythmique, arythmique, harmonieux, dissonant, fort, faible, aigu, grave…
Vers la fin de la séance, on demande aux élèves ce qui objectivement, physiquement,
différencie ces sons ?
Il s agit de dégager les notions de hauteur, d intensité, de durée et de timbre d un son
musical.
3. Synthèse
On fait noter aux élèves que : « Une note est un son qui a une certaine fréquence (« hauteur ») et
une certaine durée. Une son musical est une succession de notes, superposées (accord) ou pas et
peut être représenté graphiquement par une partition dans laquelle fréquence et durée sont codées
d’une certaine manière. »
III. Mise en évidence de l intensité et de la hauteur d un son – Sciences
physiques
1. Comment produire une note ?
Discussion : comment produire un son musical ? Sans instrument de musique ?
Solution : alimenter un haut parleur avec un générateur de tension alternative.
Consignes : expliquer pourquoi le HP produit un son ? Quelles sont les caractéristiques du son mises en
évidence ?
2. Comment analyser le son produit ?
Discussion : utiliser un microphone et visualiser la tension à ses bornes : c’est l’image du son produit à
ses bornes ;
Consignes : visualiser le signal à l’aide d’une carte d’acquisition et du logiciel Généris 5+. Représenter le
signal électrique sur un schéma et indiquer quelles grandeurs sont portées en abscisse et en ordonnée.
Différencier un son aigu d’un son grave
3. Objectifs de la séance :
Arriver à définir la période (ou la repérer).
Relier la fréquence ( = hauteur d un son) à la période.
Définir l amplitude (ou la repérer) comme l intensité d un son.
IV. Construction d une échelle musicale – Mathématiques
Idée générale : il s agit de s intéresser uniquement à la hauteur des sons, d en prendre un nombre limité
que l on ordonne du plus grave au plus aigue, et de n utiliser que ces sons pour faire de la musique.
On parle d échelle musicale.
Questions posées aux élèves :
De quoi a-t-on besoin pour faire de la musique ?
Quels choix ? A quoi correspondent-ils ?
D après les réflexions des élèves, on note que :
On dispose d un nombre variable de notes. Le pianiste en a entre 80 et 90 (touches du piano),
la voix en offre une infinité, comme le violon (entre la note la plus grave et la plus aigue, il y a
une infinité de sons possibles).
On parle parfois de "8 notes" : Do – Ré – Mi – Fa – Sol – La – Si – Do.
Peut-on considérer les deux "Do" comme des notes différentes (la deuxième est plus aigue que
la première) alors qu elles portent le même nom ?
1. Comme les pythagoriciens
Le mathématicien Pythagore vouait aux nombres et aux proportions un profond
mysticisme. Avec son école, il aurait créé la première gamme de notes de musique. Il voulait
associer la réalité physique du son avec les mathématiques.
Les pythagoriciens se sont rendu compte que lorsque l on pince deux cordes dont la
longueur de l une est le double de l autre, les deux cordes produisent un son tout à fait
similaire. Mais la plus courte produit un son plus aigu. On dit qu une octave sépare les deux
sons.
Le rapport des longueurs des cordes qui produisent deux notes à l octave est
1
.
2
Avec le monocorde :
En pinçant la corde de longueur 1, puis la corde de longueur 1 , on entend des notes ressemblantes. On
2
dit que la deuxième est à l octave supérieure de la première.
L intervalle entre ces deux notes est une octave.
Au préalable, avant de laisser les élèves travailler :
Maintenant que nous avons deux notes à l octave, nous pourrions construire une gamme (échelle
de sons). Cela revient, en pensant "longueur de corde", à choisir un ensemble de nombres compris
entre 1 et 1.
2
Présenter le monocorde et la façon dont on peut l utiliser :
o
une des cordes servira de référence (le son fondamental – un Do) ;
o s assurer que les deux cordes donne la même note (utiliser l accordeur) ;
o le chevalet permet d obtenir avec la deuxième corde, différents sons plus ou moins aigus
(plus aigus que le son fondamental).
Difficultés rencontrées par les élèves :
Il y a une infinité de possibilités ! Combien de notes ?
Quels critères de choix ?
Comment faire ?
o Ne pas fixer a priori le nombre de notes.
o Prendre le temps de déplacer doucement le chevalet.
o Relever les positions donnant une note "agréable" lorsqu
"fondamentale". C’est assez subjectif...
Quelles idées ?
o Une division arithmétique.
o Une division géométrique.
o …
Il faut juger à l oreille de la validité du choix ainsi fait.
jouée à la suite de la note
2. Construction de la gamme pythagoricienne
Ce travail est très difficile pour les élèves.
Je leur propose de procéder à la façon des pythagoriciens.
L idée des pythagoriciens :
Lorsque le chevalet d un monocorde est placé au milieu de la corde, les deux moitiés donnent
le même son (évidemment). On dit qu elles sont à l unisson. De plus, elles donnent un son qui
ressemble beaucoup à celui produit par la corde entière (mais plus aigu). On appellera octave
l écart avec le son initial.
1
L’octave correspond donc à un rapport de longueurs 2 .
L idée suivante est de partager la corde en trois parties de même longueur. Que se passe-t-il ?
On obtient deux sons à l octave l un de l autre, puisque l un des deux côtés est deux fois plus long
que l autre. Il se trouve que le son produit par le plus grand des morceaux "sonne bien" avec le son
de la corde entière (son fondamental). L’intervalle obtenu entre ces deux sons constitue la quinte.
2
La quinte correspond donc au rapport de longueurs 3 .
Do
1
2
Sol
Do
2
3
1
une octave
Ces simples remarques ont permis aux pythagoriciens de créer une échelle musicale. L’idée consiste à
réitérer la division initiale en considérant la quinte de la quinte, puis la quinte de la quinte de la
quinte… de façon à obtenir des sons intermédiaires dans l octave.
Travail fait par les élèves :
Reconstruire la gamme pythagoricienne.
Repérer chaque note par un rapport de longueurs.
Questions posées par les élèves :
Que faire lorsque la note sort de l octave ?
Quand s arrête-t-on ?
Construction de la gamme pythagoricienne :
On part du son fondamental produit par la corde de longueur 1.
2 1 2
3
3
2 2 4
or 4 1
On sort de l octave.
3 3 9
9 2
Do
Sol
Ré
Pour se ramener à l octave, on multiplie le rapport par 2. On obtient :
2
3
2
3
8 16
9 27
16 32
27 81
on a bien 1
2
32
1
or
81 2
16
27
64
81
2
3
128
243
128
243
256
729
on a bien 1
2
or 256
729
8
9
1
La
Mi
Pour se ramener à l octave, on multiplie le rapport par 2. On obtient :
2
3
4 2
9
128
243
32 2
81
64
81
1
Si
1
2
Fa
Pour se ramener à l octave, on multiplie le rapport par 2. On obtient :
256 2
729
512
729
2 519 1024 ( 0,468)
3 729 2187
On obtient à peu près le Do une octave plus haut que le son fondamental.
Do
1
2
Si
128
243
La
16
27
Sol
2
3
Fa
512
729
Mi
64
81
Do
Ré
8
9
Do
1
Erreur !
une octave
Quand va-t-on s arrêter ?
Dans l idéal, les subdivisions ainsi obtenues diviseraient l octave en un certain nombre d intervalles qui
fixeraient les sons intermédiaires entre deux notes à l octave.
n
n
1.
Malheureusement, puisque 2n est pair et 3p est impair, on n a jamais 2p 1, ni 2p
2
3
3
Ce découpage produit une infinité de sons distincts à l intérieur de l octave. Cela est vrai théoriquement,
d un point de vue pratique, notre oreille ne distingue guère deux sons correspondant à des longueurs de
cordes voisines.
n
Ainsi, on considère que "la boucle est bouclée" lorsque 2p est voisin de 1 ou de 1 . On obtient alors une
2
3
échelle à p notes, cela grâce p quintes ramenées à l octave.
Pourquoi 7 notes ?
On constate que la 7ème fraction est plus proche de 1 que les précédentes. On peut considérer que la
2
boucle est presque bouclée.
3. Une construction inachevée
Problèmes de la gamme pythagoricienne.
Les douze intervalles (appelés 1 tons) constituant l'octave sont inégaux. Cela n'est pas choquant
2
d'un point de vue musical, mais cela rend la transposition difficile.
La 4ème note obtenue – Mi – peut heurter. On remplacera cette note par une plus grave. Pour cela
on va choisir une fraction plus grande, la plus simple qui peut jouer ce rôle est 3 .
4
L échelle pythagoricienne ne faisait intervenir que des quintes : cela ne pouvait suffire à représenter tous
les accords musicaux. La tierce majeure prit sa revanche à la Renaissance, avant que s impose la quête
encore inachevée d une échelle parfaite.
Si l on place le chevalet au cinquième d une corde, la partie la plus courte sonne deux octaves au-dessus
de la partie la plus longue. Le son produit par ce petit morceau de corde se situe entre le son fondamental
et sa quinte supérieure. Le nouvel intervalle ainsi obtenu est la tierce majeure. Lorsque l on joue
simultanément un son, sa tierce et sa quinte, on obtient l accord parfait majeur, nommé ainsi parce q 'il
est particulièrement harmonieux.
Problème, la gamme pythagoricienne ne contient pas de tierce. En effet, 4 ne peut pas
5
n
s écrire sous la forme 2p . D’où l idée du musicien et théoricien Zarlino qui diffusa dès
3
1558 une échelle voisine mais fondée sur l accord parfait.
Travail à faire par les élèves
Il s agit de reconstruire la gamme de Zarlino en utilisant les rapports de longueurs des cordes.
Construction de la gamme de Zarlino :
On part des trois notes de l accord parfait. Ce qui donne les longueurs de corde 1, 4 et 2 .
5
3
Do
Sol
1
2
2
3
Mi
Do
4
5
1
Erreur !
On
2
3
2
3
2
3
une octave
prend la quinte de l accord parfait.
1 2
3
4
8
5 15
2 4
or 4 1
On sort de l octave.
3 9
9 2
Sol
Si
Ré
Pour se ramener à l octave, on multiplie le rapport par 2. On obtient :
Do
1
2
Si
8
15
Sol
2
3
4 2
9
8
9
Mi
4
5
Erreur !
une octave
Il manque encore deux notes.
On pourrait réitérer le procédé, mais cela ne donne pas vraiment de nouveau son.
Ré
8
9
Do
1
L idée consiste à faire un accord parfait descendant basé sur le son fondamental. Cela
produit les longueurs de cordes : 1, 5 et 3 .
4
2
5
3
On a 1
et 1
Pour se ramener à l octave, on divise la longueur de la corde par 2.
4
2
On obtient les longueurs 5 (La) et 3 (Fa).
8
4
Si
Fa
Mi
Do
La
Sol
Ré
Do
1
2
8
15
5
8
2
3
3
4
4
5
8
9
1
Erreur !
une octave
Un des avantages de cette gamme réside dans la simplicité de ses rapports.
Cependant, le problème de la transposition, notamment pour les instruments à sons fixes – à vent) est
encore plus marqué, puisqu il existe trois intervalles différents entre les notes (il n y a que deux intervalles
différents pour la gamme pythagoricienne).
Pour "régler" le problème de la transposition, une nouvelle gamme dite tempérée a été construite.
Elle est parfaitement illustrée par les cases d une guitare.
Une guitare classique est conçue de telle sorte que la longueur de
chaque corde pincée en posant son doigt sur la douzième case (située
à la jonction entre le corps de la guitare et le manche) est égale à la
moitié de la corde complète.
On obtient ainsi l octave de la corde jouée à vide. De plus, la division
en 12 cases respecte le principe de la transposition, ce qui fait que
les douze longueurs de cordes, obtenues en posant le doigt sur la 1 ère
1
case, puis la 2ème… forment une suite géométrique de raison 12
.
2
Il reste à vérifier que cette raison est aussi celle de la suite des
longueurs de cases…
V. Variations de la fréquence d un son – Sciences physiques
1. Quelle grandeur physique mesure la hauteur d’une note ? Quelle est la différence
entre un son grave et un son aigu
2. Y-a-t’il une relation entre les fréquences des notes de la gamme ?
Expérimentation : Générateur et Haut parleur.
Régler la fréquence correspondante à une note de la gamme avec un accordeur et « monter » la gamme.
Noter les différentes fréquences obtenues dans un tableau.
Exploitation : calculer le rapport de deux notes consécutives, le rapport de deux notes de même nom.
Reporter les fréquences d’une seule gamme sur un axe vertical en choisissant une échelle.
VI. Recomposition d un son – Mathématiques
A hauteurs identiques, les sons émis par deux instruments différents (par exemple un violon et une
flûte) ne sonnent pas de la même manière. Chacun se caractérise par ce qu’on appelle son timbre, ce qui
permet de l’identifier. Cela traduit le fait qu’aucun son naturel n’est réellement simple : il résulte de la
combinaison d’un son principal, ou fondamental, qui fixe la fréquence perçue par l’oreille et d’un grand
nombre de ses harmoniques dont les pondérations relatives déterminent, précisément, son timbre.
« Si le son était un puzzle, ses pièces en seraient des sinusoïdes ». Telle est la découverte de
Fourier qui, au dix-neuvième siècle, établit l un des résultats les plus importants de
l analyse moderne.
1. Quelle courbe pour la représentation d un son ?
On part d enregistrements réalisés par les élèves. Si ces derniers sont inexploitables, on utilise des
enregistrements préparés par le professeur.
Visualisation du signal :
La courbe présente quelques caractéristiques. Il s agit de les dégager avec les élèves.
Rapidement, on parle de fonctions sinusoïdales. On peut introduire la fonction sinus sans trop
s arrêter sur sa définition…
On présente l enregistrement d un son '"pur" comme le "La" du téléphone.
Que peut-on en dire ?
Il s agit d une courbe représentant une fonction.
Le signal est périodique. On dira aussi que la fonction est périodique.
La courbe obtenue est une sinusoïde. Il s agit de la fonction sinus.
C est un son plat.
Il n y a que des générateurs électroniques qui savent en produire.
2. Comment traduire les variations d intensité d un son ?
A partir de l enregistrement d un son '"pur" comme le "La" du téléphone.
Travail réalisé par les élèves :
A l aide du logiciel Geogebra, tracer la courbe de la fonction sinus en saisissant la commande
f (x) sinus(x).
Tracer sur le même graphique, les courbes de fonctions obtenues en multipliant f par différents
nombres réels.
Qu observe-t-on ?
A quel phénomène physique cela correspond-il ?
3. Comment traduire les variations de hauteur d un son ?
A partir de l enregistrement d un son '"pur" comme le "La" du téléphone.
Travail réalisé par les élèves :
A l aide du logiciel Geogebra, tracer la courbe de la fonction sinus en saisissant la commande
f (x) sinus(x).
Tracer sur le même graphique, les courbes de fonctions obtenues en prenant l image du produit de
x par un nombre réel par la fonction f.
Qu observe-t-on ?
A quel phénomène physique cela correspond-il ?
4. Recomposer un son
Un son se compose d un son fondamental, c est lui qui donne la fréquence du son et donc sa hauteur
mais aussi d une ou plusieurs de ses harmoniques.
Jouer un do avec le monocorde (utiliser l accordeur).
Présenter l enregistrement de la note jouée avec le monocorde.
Le son émis par le monocorde se compose d un son fondamental, le Do, et de plusieurs autres sons dont
les fréquences sont des multiples de celle de la fondamentale (ce sont les harmoniques). La fondamentale a
une fréquence f, la première harmonique est un son de fréquence 2f , la deuxième harmonique est un son
de fréquence 3f , etc. On reconnaît les fréquences préférées de Pythagore…
Question : si le son fondamental est un Do, quelle est sa première harmonique ? sa deuxième ? sa
troisième? sa quatrième ?
Réponse : sa première harmonique est l octave du Do donc un Do. La deuxième harmonique est la quinte
du Do, c est-à-dire un Sol. La troisième harmonique est encore un Do. La quatrième harmonique est un
Mi. D’ailleurs, l accord Sol – Mi- Do s appelle un accord parfait et est très mélodieux…
On souhaite, à partir d un son "pur" composer un son plus "riche".
Question : comment à partir de la courbe de la fondamentale, retrouver la courbe ci-dessus ?
Travail réalisé par les élèves :
A l aide du logiciel Geogebra, tracer les courbes d équations y sin(x) sin(2x), y sin(x) sin( 3x).
Qu observe-t-on ?
Combiner le son "pur" et ses harmoniques pour retrouver la courbe du son "riche".
Conclusion
Grâce aux travaux du mathématicien Joseph Fourier, on peut démontrer qu une fonction f
représentant une onde sonore peut être écrite comme une somme de fonctions sinusoïdales :
f(x) sin( x) sin(2x) sin( 3x) … sin( 1 0x) … où , , … , … sont des constantes.
VII. Timbre d un son – Sciences physiques
1. Faire écouter un « la 3 » joué par des instruments différents
Discussion : la note jouée est-elle la même ? Qu’est ce qui les différencie (hauteur, timbre, intensité) ?
Comment mettre en évidence les différences ? les similitudes ?
Solution : visualiser le signal correspondant.
2. Visualisation du signal
A partir de fichiers enregistrés dans Généris, analyser les signaux.
3. Analyser le signal
A l’aide de l’application « Harmonique100 », retrouver approximativement la forme d’un des sons étudiés.
4. Analyser de Fourier de la même note jouée par différents instruments
Utiliser la fonction « Transformée de Fourier » du logiciel Généris 5+.
Analyser et expliquer la courbe obtenue.
VIII. Conclusion
Réinvestir les différentes notions abordées au cours des sénaces précédentes.
1. Présentation de logiciels pouvant être utilisés
Logiciel vv-realtime
Permet d’analyser un enregistrement, d’analyser des notes jouées en direct et de les enregistrer, de
visualiser le sonagramme
Exemple : analyser une note, un extrait musical.
Logiciel RTSpectr
Permet de faire l’analyse instantanée de sons joués, de les imprimer.
2. Dossier de synthèse
A partir de l’enregistrement d’une suite de notes, jouées sur un instrument de votre choix, vous devrez
faire apparaître les techniques et les notions vues en physique et en maths
Le dossier comportera :
Un enregistrement
Un compte rendu écrit de l’expérience réalisée
Une analyse des sons avec documents imprimés ou informatiques
Il doit y avoir les idées suivantes :
Quelles sont les propriétés physiques du son ?
Qu’est ce qu’un son pur ?
Qu’est-ce qu’un son musical ?
Comment la dimension d’une corde ou d’un tuyau influence-t-elle la note jouée ?
Qu’est ce qu’une gamme ?
Dans quels rapports de fréquences les notes d’une gamme sont-elles entre elles ?
Comment analyser un son ?
Références / Mathématiques
1. Bernard PARSZYSZ, "Musique et Mathématiques"
Brochure n°53
APMEP
Brochure à télécharger à l adresse suivante :
http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article2142
2. Nicolas MINET, "7 notes dans une gamme… toujours ? Pourquoi ?
PLOT n°21
APMEP
Fichiers téléchargeables à l’adresse suivante :
http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille7/7notes/7notes.html
3. Xavier HUBAUT, "Pourquoi n ai-je jamais rien compris au solfège ?"
Fichier téléchargeable à l’adresse suivante :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/thmus.htm
4. Xavier HUBAUT, "Harmonie et musique"
A consulter à l’adresse suivante :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/app/musique.htm
5. Xavier HUBAUT, "Musique et symétrie"
A consulter à l’adresse suivante :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/vie/symmus.htm
6. Patrice BAILHACHE, Travaux en histoire de l acoustique musicale
A consulter à l’adresse suivante :
http://patrice.bailhache.free.fr/thmusique/index.html
Fichiers "sons" téléchargeables à l’adresse suivante :
http://patrice.bailhache.free.fr/decibels/
7. Dossier transversal sur les Méthodes et Pratiques Scientifiques
http://www.math.ens.fr/culturemath/forum/dossier-transversal.html
8. Jos LEYS, "Jean-Sébastien BACH : L offrande musicale"
Une superbe vidéo à voir à l adresse suivante :
http://www.inclassablesmathematiques.fr/tag/bach
9. Partitions de Jean-Sébastien BACH
Fichiers à télécharger à l adresse suivante :
http://www.free-scores.com/partitions_gratuites_Jean-Sebastien-Bach.htm
Logiciels / Physiques
1. Logiciel Généris 5 + : Jeulin
2. Logiciel vv-realtime
3. Logiciel Real Time Spectrum
http://www.phon.ucl.ac.uk/resource/sfs/rtspect/
4. Application harmonique
http://fabrice.sincere.pagesperso-orange.fr/application_builder5/education.htm#harmoniques