Devoir1 - Cours en Ligne

Devoir n° 1 : modélisation de la résistance au soc de charrue
On veut modéliser la résistance du sol (variable res) au soc de charrue en fonction de la vitesse (variable vit).
Pour cela, on a mesuré la résistance du sol à 4 vitesses différentes (exprimées en m/s) au cours de 6 répétitions.
Les données et le graphe des données sont présentés ci-dessous
obs vit res
1 2 36
2
2 36
3
2 45
4
2 33
5
2 49
6
2 43
7
4 61
8
4 52
9
4 57
10 4 52
11 4 56
12 4 47
13 6 86
14 6 78
15 6 67
16 6 61
17 6 60
18 6 56
19 8 76
20 8 64
21 8 65
22 8 56
23 8 67
24 8 60
Annexes
Pour répondre à la question, plusieurs modèles ont été envisagés :
1. la régression polynomiale de degré 3,
2. la régression polynomiale de degré 2,
3. la régression polynomiale de degré 2 sur la racine carrée de la résistance.
L'analyse de ces modèles est présentée dans la partie « Annexes » .
Les variables vit2 et vit3 représentent respectivement le carré et le cube de la vitesse, et la variable resq
représente la racine carrée de la résistance.
Questions
1. Modèles correspondants aux parties 1 et 2 :
• Écrire les modèles statistiques en spécifiant toutes les hypothèses.
• Aurait-on pu envisager des polynômes de degrés plus élevés (compte tenu du dispositif
expérimental) ?
• Aurait-on pu envisager un modèle d’une autre forme ?
2. Analyse du modèle de la partie 1 « Régression polynomiale de degré 3 » :
• Quelle est la valeur de la statistique de test dans la table obtenue par la commande « summary » ?
Quelles sont les hypothèses H0 et H1 testées ? Justifier les degrés de liberté 3 et 20 ?
• A combien est estimée la variance résiduelle ?
• Combien vaut le coefficient de détermination ?
• Quels sont les effets significatifs ?
• Le passage au modèle polynomial de degré 2 est-il justifié ?.
3. Analyse du modèle de la partie 2 « Régression polynomiale de degré 2 » :
• Donner les estimations des coefficients. Interpréter physiquement ces estimations.
• Commenter les graphiques de diagnostic. Est-ce que les hypothèses du modèle sont validées ?
4. Transformation racine « Régression polynomiale de degré 2 sur la racine carrée » :
• Écrire le modèle correspondant à la partie 3.
• Commenter les sorties et les graphiques.
• Quel est l’objectif de la transformation racine ? Cet objectif est-il atteint ?
5. Prédiction :
• Quel modèle retiendriez-vous finalement ?
• En utilisant ce modèle, donner une estimation de la résistance moyenne pour une vitesse v = 5 m/s,
ainsi qu’un intervalle de confiance pour cette estimation.
• Même question pour v = 10 m/s.
Annexes
Partie 1. Régression polynomiale de degré 3.
> summary(reg1)
Call:
lm(formula = res ~ vit + vit2 + vit3, data = Don)
Residuals:
Min
1Q Median
3Q
Max
-12.0000 -5.2500 -0.8333 3.2917 18.0000
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 43.6667
vit
26.5671 1.644
0.116
-8.8194
20.3155 -0.434
0.669
vit2
4.2917
4.4876 0.956
0.350
vit3
-0.3576
0.2980 -1.200
0.244
Residual standard error: 7.834 on 20 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6946,
Adjusted R-squared: 0.6488
F-statistic: 15.17 on 3 and 20 DF, p-value: 2.216e-05
> anova(reg1)
Analysis of Variance Table
Response: res
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
vit
1 2262.01 2262.01 36.8555 6.202e-06 ***
vit2
1 442.04 442.04 7.2023
0.01428 *
vit3
1
88.41
88.41 1.4405
0.24409
Residuals 20 1227.50
61.38
Partie 2. Régression polynomiale de degré 2.
> summary(reg2)
Call:
lm(formula = res ~ vit + vit2, data = Don)
Residuals:
Min
1Q Median
3Q
Max
-9.742 -4.912 -1.133 3.708 20.575
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 13.625
8.997 1.514 0.14482
vit
15.071
4.104 3.672 0.00142 **
vit2
-1.073
0.404 -2.656 0.01478 *
Residual standard error: 7.916 on 21 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6727,
Adjusted R-squared: 0.6415
F-statistic: 21.58 on 2 and 21 DF, p-value: 8.082e-06
> anova(reg2)
Analysis of Variance Table
Response: res
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
vit
1 2262.01 2262.01 36.0984
5.802e-06 ***
vit2
1 442.04
0.01478 *
Residuals
442.04
7.0543
21 1315.91 62.66
> Covariances estimées entre les estimateurs
(Intercept)
vit
vit2
(Intercept) 80.938806
-35.247545
3.2636615
vit
-35.247545
16.840494
-1.6318308
vit2
3.263662
-1.631831
0.1631831
> Graphiques de diagnostic
> Graphe des données avec la courbe de régression estimée
Partie 3. Régression polynomiale de degré 2 sur la racine carrée de la résistance.
> summary(reg3)
Call:
lm(formula = resq ~ vit + vit2, data = Don)
Residuals:
Min
1Q Median
3Q
Max
-0.63395 -0.30022 -0.04667 0.28098 1.18797
Coefficients:
Estimate
Std. Error
(Intercept) 4.48587
t value
Pr(>|t|)
0.57111 7.855 1.1e-07 ***
vit
1.05288
0.26051 4.042 0.000588 ***
vit2
-0.07549
0.02564 -2.944 0.007757 **
Residual standard error: 0.5025 on 21 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7078,
Adjusted R-squared: 0.68
F-statistic: 25.44 on 2 and 21 DF, p-value: 2.451e-06
> anova(reg3)
Analysis of Variance Table
Response: resq
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
vit
1 10.6579 10.6579 42.2072 1.948e-06 ***
vit2
1 2.1881
2.1881
Residuals 21 5.3028
0.2525
8.6651
0.007757 **
> Covariances estimées entre les estimateurs
(Intercept)
vit
(Intercept) 80.938806
vit
vit2
vit2
-35.247545
3.2636615
-35.247545
16.840494
-1.6318308
3.263662
-1.631831
0.1631831
> Graphiques de diagnostic
> Graphe des données avec la courbe de régression estimée