Exercices

DEUG-Sciences 2001–2002
Enseignement U1 P
Université de la Méditerranée
UFR-Sciences de Luminy
Dynamique des systèmes – T.D. I
Cinématique galiléenne
I.1 Record du monde. Un sprinter court le 100 m en 9,79 s. Trouver sa vitesse moyenne en
km · h−1 et . . . son nom.
I.2 Vitesse orbitale de la terre. Le mouvement de la terre ⊕ autour du soleil ¯ étant
bien approximé par un mouvement circulaire uniforme, donner la valeur numérique de sa
vitesse v⊕ orbitale sachant que la distance moyenne terre-soleil est l’Unité Astronomique1 :
1 UA ∼
= 1,5 1011 m.
I.3 Distance intergalactique.
1) Le parsec (pc) est une unité de longueur représentant la distance d’une étoile qui verrait
le rayon de l’orbite terrestre sous un angle de 100 d’arc. Convertir 1 pc en km puis en année
lumière (ly) sachant que la vitesse de la lumière dans le vide est2 c ∼
= 3 108 m s−1 .
2) La nébuleuse d’Andromède est la galaxie la plus proche de notre propre galaxie —
la voie lactée — dont elle est distante d’environ 2 Mly (deux Millions d’années lumière).
Donner, en km puis en Mpc, la distance qui nous sépare de cette “proche” voisine.
I.4 Course poursuite. Un cycliste roulant à vitesse constante v > 0 sur une route en ligne
droite observe, à un instant donné, une voiture distante de d qui démarre devant lui avec
une accélération constante a > 0.
1) Dans un référentiel R lié à la route pour lequel le choix de l’origine des temps et de
l’espace aura été précisée, écrire l’équation horaire du cycliste et de la voiture.
Donner la nature de chacun des mouvements.
2) Si a et v sont fixées, pour quelles valeurs de d le cycliste rattrapera-t-il la voiture ?
3) Déterminer le temps t de la course poursuite en fonction de a, v, et d.
4) Tracer les “lignes d’univers” (t, x(t)) du cycliste et de la voiture. Discuter graphiquement
les divers scénarios de la course poursuite,
(i) dans le référentiel R lié à la route,
(ii) dans un référentiel galiléen R∗ lié au cycliste.
5) A.N . Calculer les dates de croisement pour d = 10 m, a = 2 m/s2 et v = 36 km/h.
1
2
1 UA = 1,4959787066(2) 1011 m.
La valeur “officielle” est c = 299792458 m s−1 .
1
I.5 Voyage en avion. Un avion de tourisme relie Brest à Strasbourg, 900 km à l’est. Sa
vitesse par rapport à l’air est v ∗ = 400 km/h et le vent souffle du Nord-Ouest avec une
vitesse w = 60 km/h.
1) Donner la vitesse w
~ du vent. Trouver la vitesse ~v ∗ de l’avion par rapport à l’air en
∗
fonction de v et w. En déduire le cap que doit garder l’avion.
2) Donner la vitesse v de l’avion par rapport au sol en fonction de v ∗ et w. A.N .
3) Calculer numériquement la durée du vol Brest-Strasbourg.
4) Même problème pour le vol de retour dans les mêmes conditions atmosphériques.
I.6 Détermination de trajectoire. Une particule est animée d’un mouvement d’accélération
~a(t) = a(ωt ~ex + cos ωt ~ey + e−ωt ~ez ).
Préciser les dimensions de a et ω.
a
(−2~ex +~ey +2~ez ),
ω
trouver la vitesse ~v (t) et la position ~r(t) de la particule à chaque instant. Vérifier à chaque
étape que vous avez les bonnes dimensions physiques.
Si, au temps t = 0, la particule est située en ~r0 = ~0 et sa vitesse est ~v0 =
I.7 Optimisation de trajectoire. Un promeneur marche sur un chemin (l’axe xx0 ) et longe
ainsi un champ à vitesse v1 constante. Partant du point A = (a, 0), il décide d’atteindre
un épouvantail situé dans le champ en B = (0, b). Sachant que le déplacement dans le
champ se fait en ligne droite à vitesse v2 constante, chercher en quel point M = (x, 0)
notre marcheur devra quitter le chemin pour minimiser la durée t(x) de son trajet. On
discutera soigneusement les deux cas: v1 > v2 et v1 ≤ v2 .
A.N . Si a = 10 m et b = 5 m, déterminer le point M et la durée minimale tmin du trajet
dans les cas: v1 = 2 v2 = 2 km/h et v2 = 2 v1 = 2 km/h.
I.8 Boosts. Un “boost” galiléen de vitesse ~v ∈ R3 est le changement de référentiel suivant:
µ ¶
B(~v ) :
~r
t
µ
7−→
~r − ~v t
t
¶
.
Donner le composé B(~v1 ) ◦ B(~v2 ) de deux boosts de vitesses ~v1 et ~v2 . Vérifier que les
boosts forment un “groupe” commutatif. Interprétation physique de la loi de groupe ?
I.9 Effet Doppler classique. On admet que la propagation d’un son pur s’effectue par
“phonons” émis à intervalles de temps réguliers (la période du phénomène sonore) à la
vitesse |c| ∼
= 340 m/s par rapport à l’air, et ce indépendamment de la vitesse de la source.
1) Un camion de pompiers (Source) actionne, à l’arrêt, sa sirène de fréquence νS = 1/TS .
Votre voiture (Récepteur) le croise à vitesse vR constante. Tracer les lignes d’univers de
votre voiture, du camion de pompiers et de deux “phonons” successifs. Donner la période
TR du signal sonore que vous percevez en fonction de TS et vR /c. Commentaires ?
2) Même exercice dans le cas où vous êtes à l’arrêt et le camion de pompiers animé d’une
vitesse vS par rapport à l’air.
3) Vous percevez (vR = 0) le son d’une sirène de pompier avec un décalage d’un ton vers
les graves. Le camion se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il ? Quelle est sa vitesse vS ?
4) Si la source émet le La3 (νS = 440 Hz), quelles sont les fréquences νR de réception dans
le cas d’une vitesse relative v = 100 km/h. Discuter les différents cas de figure.
5) Trouver enfin la formule générale de l’effet Doppler dans le cas: vS 6= 0 et vR 6= 0.
2
I.10 Le coup de l’ascenseur. On donne le changement de référentiel suivant (γ = const. < 0):


x∗


 ∗
= x
y = y

z ∗ = z − 12 γt2


 ∗
t = t
1) Une particule a une vitesse ~v et une accélération ~a dans le référentiel galiléen initial R.
Calculer sa vitesse ~v ∗ et son accélération ~a ∗ dans ce nouveau référentiel (galiléen ?) R∗ .
Imaginer une réalisation physique plausible pour R∗ . Commentaires ?
2) Un objet de masse m a un poids P~ = P~ez dans le référentiel R. Quel est son poids P~ ∗
dans R∗ ?
3) En déduire le champ de gravitation ~g ∗ dans R∗ en fonction de sa valeur ~g dans le
référentiel inertiel R et de ~γ = γ~ez . Pour quelle valeur de ~γ pourra-t-on annuler la
gravitation dans R∗ ? (Le coup de l’ascenseur d’Einstein !)
−→
I.11 Triangles et produit scalaire. On considère les trois vecteurs OA = ~ex + ~ey + ~ez ,
−−→
−−→
OB = −~ey + ~ez et OC = −~ex + ~ey − ~ez où O désigne une origine de l’espace euclidien
tridimensionnel et (~ex , ~ey , ~ez ) une base orthonormée directe de R3 .
1) Calculer les produits scalaires ~a · ~b, ~b · ~c et ~c · ~a ainsi que les normes a, b et c des côtés
−−→
−→
−−→
~a = BC, ~b = CA et ~c = AB du triangle ABC.
2) Quels sont les angles aux sommets Â, B̂ et Ĉ de notre triangle ?
I.12 Base polaire. Le vecteur ~er = cos θ ~ex +sin θ ~ey est défini pour chaque angle θ. Déterminer
sa dérivée ~eθ = d~er /dθ et vérifier que (~er , ~eθ ) est une base orthonormée (directe) du plan
euclidien.
I.13 Bissecteur. Montrer que le vecteur || ~a || ~b + ~a || ~b || bissecte l’angle formé par les vecteurs
~a et ~b.
I.14 Triangles et produit vectoriel.
−−→ −→
1) Justifier que S(A, B, C) = 12 || AB × AC || donne la surface d’un triangle ABC.
2) Calculer la surface du triangle ABC de l’exercice (I.11).
I.15 Formule de Héron d’Alexandrie.
1) Montrer que || ~a × ~b ||2 = a2 b2 − (~a · ~b)2 quels que soient ~a et ~b.
2) Héron d’Alexandrie
découvre au II-ème siècle de notre ère l’expression symétrique:
p
s(a, b, c) = p(p − a)(p − b)(p − c) où p = 12 (a + b + c) donnant la surface d’un triangle
de côtés a, b, c. Redémontrer cette élégante formule.
I.16 Double produit vectoriel. Etablir la formule importante: ~a ×(~b×~c ) = ~b (~a ·~c )−~c (~a ·~b ).
3
I.17 Hélice circulaire. On considère la courbe suivante dans l’espace euclidien ordinaire

x(t) = r cos(ωt)



y(t) = r sin(ωt)
hω
t
2π


 z(t) =
où r > 0, h et ω sont des constantes.
1) Calculer la vitesse ~v (t) et l’accélération ~a(t). Exprimer les constantes précédentes en
fonction des conditions initiales ~r0 , ~v0 . Montrer que ~a(t) = ~b × ~v (t) où ~b est un vecteur
constant à déterminer en fonction de ω.
2) Donner l’expression de l’abscisse curviligne s(t) telle que s(0) = 0 et ṡ(t) > 0.
3) Trouver la tangente unitaire T~ en tout point.
~ en fonction de t.
4) Déterminer la courbure ρ et la normale unitaire N
~ = T~ × N
~ . Montrer que (T~ , N
~ , B)
~ forme une base mobile
5) On définit la binormale B
orthonormée directe.
~ · dB/ds.
~
6) On définit en toute généralité la torsion τ = −N
Calculer la torsion en tout
point de cette hélice circulaire. A quelle condition a-t-on une hélice sans torsion ?
7) A.N . Calculer courbure et torsion d’un brin d’ADN (r = 1 nm, et h = 3.4 nm).
I.18 Cycloı̈de. Une roue de rayon r roule sans glisser sur le sol avec une vitesse angulaire ω
constante.
1) Déterminer la trajectoire t 7→ M (t) d’un point de la périphérie de la roue (un gravillon
encastré dans un pneu de bicyclette). Tracer cette courbe appelée cycloı̈de.
2) Donner la vitesse ~v (t) et l’accélération ~a(t) de ce point au cours du temps t. Quelle
distance a parcouru ce point à l’instant t ?
3) Quelle serait la vitesse du gravillon s’il était éjecté à t = 0, π/(2ω), π/ω, 2π/ω ? La
cycloı̈de possède-t-elle des points de rebroussement ?
4) Trouver le rayon de courbure R(t) de la trajectoire.
I.19 Repère mobile. On considère une courbe t 7→ ~r de l’espace euclidien R3 ; son abscisse
curviligne s(t) est telle que v(t) = ṡ(t) > 0 dans un certain intervalle de temps.
~.
1) Prouver que ~v = v T~ et ~a = v̇ T~ + ρ v 2 N
2) En déduire la formule suivante de la courbure (indépendante du paramétrage):
ρ=
|| ~v × ~a ||
.
|| ~v ||3
3) Calculer la courbure d’une hélice circulaire (cf. exercice (I.17)). Même question pour
une spirale d’Archimède r = kθ, pour une chaı̂nette y = k ch(x/k) dans le plan z = 0.
I.20 Vitesse moyenne.
1) Un avion relie les villes A et B à vitesse v1 pendant la moitié de la durée totale du
voyage et à vitesse v2 pendant l’autre moitié du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
2) Un avion relie les villes A et B à vitesse v1 sur la moitié de la distance totale du voyage
et à vitesse v2 sur l’autre moitié du voyage. Quelle est sa vitesse moyenne ?
N .B. Tracer la ligne d’univers de l’avion dans chaque cas.
4
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Dynamique des systèmes – T.D. II
Dynamique
II.1 Chute des graves. (Ainsi dénommait-on les corps pesants.)
1) Trouver la loi horaire t 7→ x(t) de la chute d’un corps pesant régie par la loi (fausse !)
due à J.-B. Baliani (contemporain de Galileo Galilei)
dv
= C = const. > 0,
dx
dx
= v.
dt
(1)
2) Même question pour le modèle de Galileo Galilei dans lequel l’Eq. (1) est remplacée par
dv
= −g = const. < 0,
dt
dx
= v.
dt
(2)
II.2 Equations différentielles et exemples de processus chimiques. Dans une réaction
chimique A → B mole pour mole, la vitesse de disparition de A, et donc la vitesse de
formation de B, sont à chaque instant proportionnelles à la concentration de A qui vaut
C0 à l’instant initial.
Etablir et intégrer les équations différentielles auxquelles satisfont les concentrations CA (t)
et CB (t).
II.3 Mouvement d’un projectile. Au voisinage de la surface terrestre, on admet que le
champ de pesanteur ~g est uniforme et que l’on peut négliger les autres forces, en particulier
celle due au frottement de l’air.
1) Ecrire les équations du mouvement pour la vitesse ~v (t) et la position ~r(t) d’un projectile.
2) Donner le mouvement défini par les conditions initiales, ~r0 = ~r(0) et ~v0 = ~v (0).
3) On choisit désormais un repère cartésien {O, (~ex , ~ey , ~ez )} tel que ~g = −g~ez avec g =
const. > 0. Le projectile est lancé, à la date t = 0, de l’origine ~r0 = ~0 avec la vitesse
~v0 = v0 (cos α ~ex + sin α ~ez ), où α est l’angle de tir.
A partir de l’équation du mouvement pour ~r(t), montrer que la trajectoire est une parabole
z = ax2 + bx + c, les constantes a, b et c s’exprimant en fonction de v0 , tg α et g.
4) En terrain horizontal, la vitesse initiale v0 étant donnée, quelle(s) valeur(s) faut-il donner
à l’angle de tir α pour atteindre une cible C de coordonnées (xC , 0, zC ) ?
5) En déduire l’ensemble des points accessibles par le projectile pour une vitesse initiale v0
donnée (parabole de sûreté).
5
II.4 Chute dans un fluide visqueux. Une goutte d’eau de rayon R soumise au champ de
pesanteur ~g tombe dans l’air avec une vitesse suffisamment faible pour que la résistance
de l’air soit, en bonne approximation, donnée par
• une force de frottement “visqueux”, F~ = −η ~v , où η est une constante positive qui
dépend du milieu et de la taille de la goutte.
1) Etablir l’équation différentielle qui gouverne la vitesse de la goutte.
2) Montrer que la goutte d’eau atteint une vitesse limite que l’on déterminera, et ce,
indépendamment de la vitesse initiale.
3) Les forces exercées par l’air (vu comme un fluide), non prises en compte dans le frottement, sont assimilables, avec une bonne approximation et bien qu’il y ait mouvement, à
• la poussée d’Archimède, f~ = −M~g , où M est la masse de l’air occupant un volume
égal à celui de la goutte d’eau.
Avec cette modification, répondre aux questions 1) & 2) ci-dessus.
4) A.N . Calculer cette vitesse limite pour R = 0,5 mm, η = 1,81 10−5 SI, g = 10 m s−2 ,
la densité de l’air relativement à celle de l’eau, ρeau = 103 kg m−3 , étant 1,3 10−3 .
II.5 Force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse. Une bille de plomb
de masse m est lachée, en chute libre, sans vitesse initiale. La vitesse de la bille étant
relativement grande au cours de sa chute, l’intensité de la force de frottement de l’air est,
avec une bonne approximation, donnée par f = ηv 2 avec η = const. > 0.
1) Ecrire l’équation différentielle qui gouverne la vitesse de la bille.
2) Intégrer l’équation différentielle trouvée en 1).
3) Montrer que la bille atteint une vitesse limite, V , finie que l’on précisera.
N .B. On utilisera la primitive suivante
Z
a2
dx
1
a+x
=
ln
+ const.
2
−x
2a a − x
6
(|x| < |a|)
II.6 Vitesse et accélération en coordonnées polaires. On munit le plan d’un repère
cartésien orthonormé {O, (~ex , ~ey )} fixe. Les coordonnées polaires (r, θ) sont reliées aux
coordonnées cartésiennes (x, y) par
(
x = r cos θ
y = r sin θ
−−→
et la position de tout point M du plan est donnée par le vecteur ~r = OM .
1) Ecrire l’expression du vecteur ~r dans le repère cartésien et calculer sa norme.
2) Posant r = || ~r ||, on définit, pour chaque angle θ, le vecteur
~er =
~r
= cos θ ~ex + sin θ ~ey .
r
Vérifier que ~er est un vecteur unitaire.
3) En déduire que le vecteur ~eθ = d~er /dθ est unitaire et orthogonal à ~er . Montrer que la
base polaire (~er , ~eθ ) est directe.
4) On suppose que le point M décrit une trajectoire t 7→ M (t) dans le plan, ses coordonnées
cartésiennes – comme ses coordonnées polaires (r, θ) – dépendant différentiablement du
temps t. Exprimer la vitesse ~v = ~r˙ et l’accélération ~a = ~v˙ de ce point dans la base polaire.
Réponse :
(
~v = ṙ ~er + rθ̇ ~eθ
~a = (r̈ − rθ̇2 ) ~er + (rθ̈ + 2ṙθ̇) ~eθ .
5) Applications :
i) Le mouvement de la terre ⊕ autour du soleil ¯ étant bien approximé par un mouvement
circulaire uniforme, donner la valeur numérique de sa vitesse v⊕ orbitale sachant que la
distance moyenne terre-soleil est l’Unité Astronomique3 : 1 UA ∼
= 1,5 1011 m.
ii) On se donne la trajectoire paramétrée en coordonnées polaires par
r(t) = v0 t + r0 ,
θ(t) = ωt + θ0 ,
v0 ω > 0.
Déterminer r en fonction de θ et esquisser la trajectoire (spirale d’Archimède).
Calculer vitesse et accélération.
II.7 Mouvement d’une particule chargée dans l’espace. Une particule de charge électrique
~ = E ~ey , et d’un champ magnétique
q est soumise à l’action d’un champ électrique constant, E
~ = B ~ez , qui lui est perpendiculaire.
constant, B
1) Étudier son mouvement pour les conditions initiales: ~r0 = ~0 et ~v0 = ~0.
2) Préciser le type de trajectoire qu’elle décrit (on se reportera à l’exercice I.18).
~ B)
~
N .B. Une particule chargée, de charge q, plongée dans un champ électromagnétique (E,
~
~
~
est soumise à la force de Lorentz F = q(E +~v × B) dépendant de la vitesse ~v de la particule.
3
1 UA = 1,4959787066(2) 1011 m.
7
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UFR-Sciences de Luminy
Dynamique des systèmes – T.D. III
Lois de conservation
III.1 David et Goliath. Une grosse boule (Goliath) de masse m1 = 3m entre en collision
frontale avec une boule plus petite (David) de masse m2 = m. Sachant que la vitesse
de Goliath est ~v1 avant le choc, quelle doit être la vitesse ~v2 de David pour qu’il arrête
Goliath ? Quelle est, après le choc, la vitesse ~v2 0 de David ?
III.2 Collision élastique. Une particule de masse m1 et de vitesse ~v1 entre en collision parfaitement élastique avec une particule de masse m2 au repos dans le laboratoire. Un
expérimentateur, qui connaı̂t les deux masses et la vitesse incidente ~v1 , mesure l’angle θ2
sous lequel est éjectée la deuxième particule relativement à la direction incidente lors de la
collision. Muni de ces informations (m1 , m2 , v1 = ||~v1 || et θ2 ) et en utilisant la conservation
P’
1
θ
P
1
1
θ
P’
2
2
de l’impulsion et de l’énergie, il peut déterminer toutes les autres quantités cinématiques
relatives à la collision. Mettez-vous à sa place et déterminer alors
1) la vitesse v20 = ||~v20 || de la particule 2 après le choc en fonction de m1 , m2 , v1 et θ2 .
2) les vitesses ~v2 0 , d’abord, et ~v1 0 ensuite, en fonction des mêmes quantités.
3) la valeur de la tangente de l’angle θ1 de la trajectoire de la première particule après la
collision relativement à la direction incidente.
4) Pour quel angle de déviation θ2 la vitesse v20 est-elle maximale ?
5) Application Des neutrons n de vitesse vn bombardent une cible contenant des protons p
au repos. Donner la vitesse maximum vp0 des protons après collision en fonction des masses
mn , mp et de vn .
6) Même question pour une cible contenant des noyaux d’azote N de masse
mN = 7(mn + mp ).
0 ∼ 7, 50034, déterminer le rapport
7) Sachant que l’on trouve expérimentalement vp0 /vN
=
mn /mp des masses du neutron et du proton.
8
III.3 Glaglagla. Un petit esquimau se laisse glisser sans vitesse initiale du sommet du toit de
son igloo, supposé de forme sphérique. Si on néglige le frottement, déterminer l’endroit où
il décolle du toit ?
III.4 Catapulte. Afin d’expliquer le principe de propulsion par réaction de la fusée, nous allons
considérer l’exemple simple suivant : Soit une catapulte de masse totale M pouvant rouler
sur des rails rectilignes sans aucun frottement. La catapulte peut éjecter parallèlement
aux rails une masse m avec une vitesse relative ~c.
1) On suppose la catapulte initialement au repos. Elle éjecte une masse m. Par conservation de l’impulsion, déduire la vitesse acquise par la catapulte.
2) A présent la catapulte possède une vitesse initiale ~v0 , et éjecte une masse m vers l’arrière.
Ecrire la conservation de la quantité de mouvement. Elle éjecte une seconde masse m vers
l’arrière. Quelle est la vitesse finale acquise par la catapulte après deux jets ?
III.5 Fusée. Une fusée (à un étage) de masse totale initiale M0 , comprenant une masse ²M0 de
combustible, est lancée. Les gaz sont ejectés avec une vitesse relative constante c. Dans
tout l’exercice, on suppose que le mouvement de la fusée se produit en dehors de toute
influence extérieure.
1) Déterminer l’équation du mouvement de la fusée.
2) En déduire la formule donnant, pour une vitesse initiale nulle, la vitesse de la fusée
lorsque tout le combustible a été consommé.
III.6 Diffusion d’un photon par un électron. Effet Compton. La lumière monochromatique peut être considérée
– soit comme une onde de fréquence ν et de vitesse c (c vitesse lumière dans le vide) ; c’est
l’aspect ondulatoire :
– soit comme constituée de particules appelées photons (Einstein), d’énergie E = hν (h
est la constante de Planck) et de quantité de mouvement ||~
p|| = E/c ; c’est l’aspect
corpusculaire.
Dans l’interprétation corpusculaire de la lumière, quand les photons interagissent avec la
matière, on assiste à des “chocs élastiques” entre photons et électrons donnant lieu à l’effet
Compton, expérience confirmant la validité de l’hypothèse corpusculaire de la lumière.
y
u
ν
θ
O
ν
m
0
φ
0
V
9
x
On considère un photon se déplaçant le long de l’axe Ox avec une fréquence incidente
ν0 . En O, le photon rencontre un électron initialement au repos, de masse m0 . Après
le choc élastique, le photon est diffusé selon une direction ~u faisant un angle θ avec l’axe
~ faisant un
Ox, avec une fréquence ν, tandis que l’électron se déplace avec une vitesse V
angle φ avec l’axe Ox. On assimilera l’électron à une particule classique dénergie cinétique
~ || ¿ c approximation non relativiste).
E = 12 m0 V 2 , (V = ||V
1) Ecrire les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion pour l’effet Compton.
2) A partir des équations précédentes, en éliminant l’angle φ trouver l’expression de m20 V 2
en fonction de ν0 , ν, h, c et θ.
3) A partir de la conservation de l’énergie, en éliminant la vitesse V de l’électron après de le
choc, donner la relation la variation de fréquence ∆ν = ν − ν0 en fonction de h, c, m0 , θ, ν0
et ν.
4) En supposant ∆ν/ν0 ¿ 1, montrer que l’on obtient l’approximation
hν02
(1 − cos θ).
m0 c2
∆ν ' −
En déduire que l’effet Compton change la couleur de la lumière après collision. Vers quelle
couleur (rouge ou bleu) ce décalage se produit-il ?
III.7 Travail d’une force : Intégrale curviligne. Considérons le champ de forces
F~ (x, y) = (y 2 − x2 )~ex + 2xy ~ey .
1) Calculer la circulation de F~ de O à P de coordonnées (a, b) le long des courbes Γ1 , Γ2 , Γ3
et Γ4 , où Γ4 est l’arc de parabole y = bx2 /a2 .
y
P
b
Γ
1
Γ
3
Γ
4
x
Γ
O
2
a
2) La force F~ est-elle conservative ? Si oui, calculer l’énergie potentielle V (x, y) et vérifier
les calculs de 1).
3) Calculer le travail du champ de forces
F~ (x, y) = (y 2 − x2 )~ex + 3xy ~ey ,
le long du chemin fermé Γ4 ∪ Γ3 , où Γ3 est le chemin Γ3 parcouru en sens inverse.
Ce champ de forces est-il conservatif ?
10
III.8 Looping. Un petit bloc de masse m glisse sans frottement sur un rail qui fait une boucle
circulaire de rayon R.
1) Le bloc est lâché sans vitesse initiale d’un point A situé à une altitude h au-dessus du
point le plus bas B de la boucle. Quelle est la norme v0 de la vitesse du bloc en B ? Le
bloc aborde la boucle circulaire, et on repère sa position par l’angle θ entre OM et OC (cf.
figure), en supposant que le bloc ne quitte pas le rail. Quelle est la norme v de la vitesse
du bloc en M ?
A
C
M
θ
h
m
O
R
B
2) Quand le bloc est en M , faites un schéma des forces qui s’exercent sur le bloc. Quelle
est la norme T de la réaction du rail sur le bloc en fonction de v, θ, m et R ?
3) Montrer que T s’annule pour une valeur θ0 de θ donnée par:
cos θ0 =
2
3
µ
¶
h
−1 .
R
Quelle est la vitesse du bloc en ce point ?
4) Décrire qualitativement le mouvement du bloc dans les trois cas suivants:
a) h < R,
b) R < h <
5R
,
2
c) h >
5R
.
2
III.9 Radioactivité. Un noyau X initialement au repos se désintègre par émission d’un
électron e et d’un neutrino ν à angle droit:
X −→ X 0 + e + ν.
L’impulsion de l’électron est Pe = 1,2 10−22 kg m s−1 , celle du neutrino Pν = 6,4 10−23 kg m s−1 .
→
−
1) Trouver le moment de recul P X 0 du noyau.
2) Calculer, en eV, l’énergie cinétique TX 0 de recul du noyau sachant que la masse résiduelle
est mX 0 = 5,8 10−26 kg. (On rappelle que 1 eV ∼
= 1,6 10−19 J.)
11
DEUG-Sciences 2001–2002
Enseignement U1 P
Université de la Méditerranée
UFR-Sciences de Luminy
Dynamique des systèmes – T.D. IV
Gravitation newtonienne
IV.1 Force centrale et orbites. (cf. cours)
1) Montrer qu’une force centrale, F~ (~r) = f (r) ~er , dérive d’un potentiel V (r) que l’on
calculera explicitement (à une constante additive près).
Cas particulier : Calculer le potentiel newtonien correspondant à f (r) = −GM m/r2 où M
désigne la masse du centre attracteur, m la masse de la particule d’essai et G la constante
de Newton.
2) Exprimer l’énergie totale E d’un point matériel de masse m dans le champ newtonien
précédent en fonction des coordonnées polaires (r, θ) et de leurs dérivées associées au plan
~ 6= ~0).
de l’orbite. (On supposera le moment angulaire L
3) Montrer que L = mr2 θ̇ et que E = mṙ2 /2 + Veff (r) où Veff s’exprime en fonction de
L, m, M et G. Tracer le graphe du potentiel effectif Veff .
4) Montrer que les orbites circulaires correspondent au minimum strict de Veff . En déduire
la troisième loi de Kepler,
ω 2 a3 = GM ,
pour les orbites circulaires de rayon a et de vitesse angulaire ω.
IV.2 Orbites circulaires. Les notations sont celles introduites dans l’exercice IV.1.
1) a) Retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas particulier des orbites circulaires,
T2 =
4π 2 a3
.
GM
b) On pose ω = 2π/T . Montrer que, pour les orbites circulaires, l’énergie s’écrit :
E=−
2
m GM
m
= − (GM ω) 3 .
2 a
2
c) Que représente a dans le cas d’une orbite elliptique ?
2) Calculer la masse du soleil connaissant le rayon a de l’orbite terrestre (supposée pratiquement circulaire). On donne a = 1,496 1011 m.
3) Un satellite paraı̂t immobile dans le ciel. Montrer que sa trajectoire doit être circulaire
équatoriale. Calculer son altitude, sa vitesse et son énergie totale connaissant sa masse m.
A.N . On donne la masse M = 5,974 1024 kg et le rayon R = 6381 km de la terre; on
prendra m = 68 kg.
4) Un des satellites de Jupiter (Ganymède) effectue sa révolution en 7 jours, 3 heures
43 minutes et se trouve à une distance du centre de Jupiter égale à 15 fois le rayon de la
planète. La lune effectue sa révolution en 27 jours, 7 heures 44 minutes et se trouve à une
distance du centre de la Terre égale à 60 fois le rayon de la Terre. Trouver le rapport des
masses volumiques de Jupiter et de la Terre.
12
IV.3 Comète. On mesure la vitesse v d’une comète de masse inconnue m au moment où elle
se trouve à 266 109 m du soleil; le résultat expérimental donne v ∼
= 105 m s−1 .
1) Donner l’expression de l’énergie totale de la comète. A.N .
2) Cette dernière repassera-t-elle un jour au voisinage du soleil ?
3) Une étude précise de la trajectoire de la comète permettrait-elle de déterminer sa masse ?
N .B. La masse du soleil est M = 1,99 1030 kg, et G = 6,67 10−11 m3 kg−1 s−2 .
IV.4 Retour sur Terre. Un astronaute, parti pour une exploration interstellaire, revient sur
la Terre. Sa fusée s’approche, moteur coupé, sur une orbite parabolique. On désigne par
m la masse totale de la fusée et de l’équipage.
x
V
B
r
RT
θ
y
r*
A
O
VA
1) Soit r∗ la distance minimale d’approche de la Terre. Quelle est la vitesse vA de la fusée
au périgée A ?
A.N . : On donne r∗ = 1,2 RT où RT est rayon de la Terre; on désignera par MT la masse
de la Terre.
2) L’équation de la trajectoire parabolique est, en coordonnées polaires,
r=
2r∗
.
1 + sin θ
On appelle B le point correspondant à θ = 0. Quel est l’angle polaire du point A ? Quel
_
est le temps mis pour parcourir le trajet BA. (N .B. utiliser la loi des aires et calculer
l’aire balayée en coordonnées cartésiennes.)
3) Arrivé en A, le pilote veut satelliser sa fusée sur une orbite circulaire de rayon r∗ . De
combien doit-il faire varier la vitesse de la fusée ?
A.N . Mêmes données que précédemment.
13
IV.5 Comète de Halley. En 1456, la comète de Halley effraya tant les gens qu’ils prièrent
“pour être sauvés du Diable et de la Comète”. Elle repassera pour la huitième fois depuis
cette époque en 2061. Le 20 avril 1910, lors de son passage au périhélie, on mesura sa
distance au soleil: 0,6 UA (l’Unité Astronomique correspond au demi-grand axe de l’orbite
terrestre: 1 UA ∼
= 1,496 1011 m).
Sachant que la masse du soleil est M = 1,99 1030 kg, calculer la distance maximum rmax
de la comète au soleil (lors de son passage à l’aphélie).
N .B. L’intervalle de temps entre deux passages successifs de la comète n’est pas tout à
fait constant car sa trajectoire est perturbée par les planètes.
IV.6 Vitesse de libération. La force de gravitation créée par une planète sur un objet de
masse m dérive du potentiel Newtonien V = −Km/r où r est la distance de l’objet au
centre de la planète.
1) Déterminer K sachant que le rayon de la planète est R et la vitesse de libération de
l’attraction planétaire vlib .
A.N . On donne R = 10000 km et vlib = 10 km / s.
2) Depuis la surface de la planète, quelle vitesse initiale v0 faut-il donner à un projectile
pour qu’il atteigne une altitude h (au dessus du niveau du sol) avec une vitesse vh nulle ?
A.N . Calculer v0 si h = R = 10000 km.
3) Quelle est, sur cette planète, l’accélération g de la gravitation au niveau du sol ?
4) Désireux de recueillir des informations sur leur environnement, les habitants de cette
planète se proposent de lancer un projectile (une sonde équipée d’instruments de mesure)
à une altitude h (cf. question (2)), mais, mauvais physiciens, ils effectuent leurs calculs en
utilisant les formules du champ uniforme. Quelle vitesse initiale vont-ils trouver ?
A.N . Avec h = 4R que deviendra le projectile ?
y,{
IV.7 Pathfinder et Voyager II. On essaie dans cet exercice de décrire le voyage de Pathfinder
de la Terre vers Mars, où fut déposé un petit véhicule, le “Rover”, Sojourner.
RM
Mars
(T)
Terre
A2
Soleil
RT
A1
1) Les orbites de la Terre et de Mars autour du Soleil sont assimilées à des circonférences
coplanaires de rayon RT = 1,496 1011 m et RM = 1,52 RT . Sachant que la période de
révolution TT de la Terre est d’une année, calculer la période de Mars.
2) La sonde Pathfinder envoyée de la Terre vers Mars est soumise à l’attraction de la
Terre, de Mars et du Soleil. On supposera que seule l’attraction du Soleil est importante
pendant le voyage. On rappelle que la masse MS du Soleil est MS = 1,99 1030 kg et que
MT /MS = 3 10−6 et MM /MS = 3,2 10−7 où MT et MM sont les masses de la Terre et de
Mars.
14
Au départ, la sonde est placée sur une orbite d’attente où sa vitesse par rapport à la Terre
est très faible. De même, à l’arrivée sur Mars, elle est placée sur une orbite d’observation
autour de Mars avec une vitesse très faible par rapport à Mars. On peut donc considérer le
voyage Terre-Mars comme réduit à un problème de transfert d’orbite: la sonde localisée sur
l’orbite terrestre autour du Soleil (de rayon RT ) doit être transférée sur l’orbite de Mars
autour du Soleil (de rayon RM ) — voir schéma. L’orbite de transfert étant l’ellipse T .
a) Calculer l’énergie ET de la sonde sur l’orbite terrestre en fonction de C = GmMS et de
RT , où G est la constante de gravitation, et m la masse de la sonde (supposée constante).
b) Calculer de même l’énergie EM de la sonde lorsqu’elle sera sur l’orbite de Mars.
3) L’orbite de transfert T est une ellipse tangente aux orbites terrestres et martiennes en
A1 et A2 , le soleil étant l’un des foyers de l’ellipse (cf. schéma). Calculer l’énergie de la
sonde sur cette orbite.
4) Le transfert d’orbite se fait au point A1 pour aller jusqu’à A2 où il y aura rencontre
avec Mars. Calculer la vitesse VT de la sonde lorsqu’elle est sur l’orbite terrestre (juste
avant le transfert en A1 ). A.N .
5) En A1 , on allume des moteurs supplémentaires pour envoyer Pathfinder sur l’orbite
elliptique T . Calculer la vitesse de la sonde VA1 en A1 sur l’orbite T . A.N .
6) Quelle est la variation de vitesse nécessaire pour ce transfert d’orbite. A.N .
7) Démontrer que la vitesse de la sonde au point A2 sera VA2 = VA1 RT /RM . A.N .
8) En arrivant en A2 il faut de nouveau accélérer la sonde pour la mettre sur orbite autour
de Mars à la vitesse de cette planète autour du soleil. Calculer cette augmentation de
vitesse.
9) Calculer la durée du voyage de A1 à A2 . A.N . En fait, Pathfinder, lancé le 4/12/96
a subi quatre corrections de trajectoire avant son arrivée le 4/7/97, après sept mois de
voyage.
10) En admettant que le lancement à partir de la terre a lieu en A1 , où devrait se trouver
alors Mars à cet instant-là pour que la rencontre soit effectuée en A2 . (Repérer Mars par
rapport au soleil par un angle α à calculer.)
11) Estimer avec ce modèle approximatif la durée du voyage jusqu’à Neptune de Voyager II.
On donne le rayon RN = 30 RT de l’orbite de Neptune autour du Soleil. En fait, lancé le
5/9/77, Voyager II est arrivé le 24/8/89 au voisinage de Neptune.
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DEUG-Sciences 2001–2002
Enseignement U1 P
Université de la Méditerranée
UFR-Sciences de Luminy
Dynamique des systèmes – T.D. V
Oscillateurs
V.1 Oscillateur harmonique simple. Un bloc de masse M est attaché à un ressort de
raideur c dont l’autre extrémité est fixée à un mur. Le bloc glisse sans frottement sur un
axe horizontal.
1) Établir l’équation du mouvement du bloc autour de sa position d’équilibre.
2) Donner la solution du problème sachant que la position du bloc est x0 à t = 0 et qu’à
cet instant sa vitesse est nulle.
3) Calculer la période des oscillations. Quelle est la dimension de c ?
V.2 Pendule simple. On considère un pendule simple de longueur ` et de masse m dont
le mouvement est celui d’un point matériel, lié à un cercle de rayon `, dans le champ
(constant) de pesanteur d’accélération ~g . On repère la position du pendule par l’angle θ
qu’il fait avec la verticale.
1) Déterminer l’énergie totale E du système. En déduire l’équation du mouvement en θ.
2) Donner la solution de l’équation du mouvement linéarisée pour les conditions initiales
θ(0) = θ0 et θ̇(0) = 0. En déduire la période des petits mouvements.
3) Évaluer la tension T~ de la corde.
V.3 Mercure dans un tube. Un tube en U de section S contient du mercure, supposé non
visqueux, de masse volumique ρ. La longueur totale de mercure dans le tube est `. On
écarte le mercure de sa position d’équilibre. Il effectue alors des oscillations dans le tube.
Calculer la période de ces oscillations. Que se passe-t-il si on change le diamètre du tube?
Et si on change de liquide (non visqueux)?
V.4 Oscillateur harmonique isotrope. Dans cet exercice, on se propose d’étudier le mouvement d’un point matériel M , soumis uniquement à une force de rappel proportionnelle
−−→
à la distance r = ||OM || du centre fixe O du champ de forces.
1) Établir et résoudre l’équation du mouvement.
2) En supposant qu’à l’instant t = 0 le point M se trouve en ~r0 avec pour vitesse ~v0 ,
déterminer la trajectoire du point M .
3) Dans quelles configurations initiales, le mouvement se réduit-il à celui d’un oscillateur
à un degré de liberté ?
4) Calculer la période T de la trajectoire déterminée en 2). Cette période dépend-elle des
conditions initiales ?
V.5 Deux ressorts. On étudie les mouvements du système ci-dessous, constitué de deux
ressorts identiques de raideur k reliés à deux solides de même masse m. L’extrémité du
ressort de gauche est maintenue fixe, et les mouvements se font sans frottement sur un
axe horizontal. Les deux masses sont repérées par les élongations x1 et x2 des ressorts par
rapport à leur position d’équilibre.
16
m
m
k
k
1) Écrire les équations du mouvement des deux masses.
2) On cherche des solutions du type X = αx1 + βx2 . En combinant linéairement les
équations du mouvement, montrer que X obéit à une équation du type Ẍ + ω 2 X = 0
à condition que ω 2 , α et β satisfassent à un système d’équations. En exprimant
α/β et
√
3− 5
2
2
β/α dans ce système, en déduire que ω peut prendre les deux valeurs ω1 = 2 k/m ou
ω22 =
√
3+ 5
2 k/m.
3) En choisissant α = 1, montrer que X1 = x1 +
solutions de l’équation type obtenue en 2.
√
1+ 5
2 x2
et X2 = x1 +
√
1− 5
2 x2
sont des
4) Intégrer les équations différentielles satisfaites par X1 et X2 . En déduire les expressions
de x1 (t) et x2 (t) en adoptant les conditions initiales: x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02 et ẋ2 (0) =
ẋ2 (0) = 0.
V.6 Oscillateur anharmonique. Une particule de masse m a pour énergie potentielle
1
1
V (x) = Ax2 + Bx4 , avec B > 0.
2
4
Déterminer les positions d’équilibre stable et la pulsation des petites oscillations en discutant le signe de A.
V.7 Potentiel de Lennard-Jones. Deux atomes identiques, de masse m, interagissent par
une force conservative dérivant du potentiel de Lennard-Jones:
õ
V (r) = V0
r0
r
¶12
µ
r0
−2
r
¶6 !
où r est la distance entre les atomes et V0 = const. > 0
1) Calculer la force dérivant de ce potentiel.
2) Tracer qualitativement le graphe de V et déterminer la pulsation des petites oscillations
autour de la position d’équilibre.
V.8 Oscillations sur un cercle. Un point matériel M de masse m se déplace sans frottement
sur un cercle fixe de centre O et de rayon R dans le plan horizontal z = 0.
−−→
1) Exprimer la position ~r = OM du point dans la base orthonormée (~er , ~eθ ) des coordonnées polaires.
2) Donner vitesse ~v et accélération ~a de M dans cette base.
−−→
3) Ce point M est soumis à une force de rappel F~ (M ) = −k AM due à un ressort de
raideur k > 0, d’extrémité fixe A à la distance L du centre du cercle (voir figure). Écrire le
17
y
M
F(M)
Θ
x
O
L
A
principe fondamental de la dynamique; en déduire que l’angle θ est solution de θ̈ = f (θ),
où f est à déterminer en fonction des données m, R, L, k du problème.
4) Déterminer les positions d’équilibre. Trouver une position d’équilibre stable. Donner la
pulsation ω des petits mouvements autour de cette position en fonction des données du
problème.
V.9 Oscillateur harmonique amorti. Un bloc de masse m est attaché à un ressort de
raideur c et glisse avec frottement sur un plan horizontal. La force de frottement s’oppose
à son mouvement. Son intensité est proportionnelle au poids du bloc. Le coefficient de
proportionnalité µ est le coefficient de friction.
1) On allonge le ressort de x0 par rapport à sa position d’équilibre. A quelle condition le
bloc se met-il en mouvement?
2) Cette condition étant réalisée, à quelle distance x1 de la position d’équilibre le bloc
s’immobilisera-t-il une première fois avant de repartir en sens inverse?
3) A quelle distance x2 de la position d’équilibre le bloc s’immobilisera-t-il une deuxième
fois avant de repartir?
4) Combien d’oscillations le bloc va-t-il effectuer avant de s’immobiliser définitivement?
V.10 Une bille dans un liquide. Une bille de masse m est suspendue à un ressort de raideur c.
Le système est plongé dans un liquide, et est donc soumis à une force de viscosité proportionnelle à la vitesse: Fvisc = −ηv avec η > 0.
1) Déterminer la dimension de η. Écrire l’équation du mouvement de la bille autour de sa
position d’équilibre.
2) Quelle est la solution x(t) de cette équation sachant que x(0) = x0 et ẋ(0) = v0 .
3) Tracer la représentation graphique de x(t).
V.11 Oscillations forcées. On considère un oscillateur forcé dont l’équation du mouvement
est donnée par: ẍ + 2αẋ + ω02 x = f (t)/m, la force excitatrice étant de la forme
½
f (t) =
0
F
si t < 0
si t ≥ 0
avec F = const. Sachant que le point est au repos en x = 0 pour t < 0, déterminer la
réponse en élongation x(t) et en vitesse ẋ(t) pour t ≥ 0.
V.12 Deux masses, trois ressorts. Deux masses m identiques sont reliées entre elles par un
ressort de raideur c; chacune des deux est reliée à un mur par un ressort identique. On
18
notera x1 (t) et x2 (t) les abscisses des deux masses mesurées en prenant pour origine les
positions d’équilibre respectives.
c
m
c
m
c
Le mouvement s’effectuant sans frottement, résoudre les équations du mouvement en utilisant les variables X1 = x1 + x2 et X2 = x1 − x2 dans les cas suivants:
• en l’absence d’amortissement,
• avec un amortissement. On rappelle que la force d’amortissement est proportionnelle
à la vitesse relative du cylindre et du piston. Pourquoi, lorsque t → ∞, les deux
masses oscillent-elles en phase, quelles que soient les conditions initiales?
V.13 La couleur du ciel. Les interactions entre une onde lumineuse caractérisée par son
~
~ 0 cos ωt et les électrons de la couche externe d’un atome, sont
champ électrique E(t)
=E
décrites dans l’hypothèse de J.-J. Thomson. Dans ce modèle, on admettra qu’un électron
externe, de charge q et de masse m, subit une force de rappel F~R = −k ~r, vers le centre
de l’atome, et qu’il est freiné par une force F~f = −η~v , où ~r est sapposition par rapport au
centre de l’atome, et ~v sa vitesse. On posera 2α = η/m et ω0 = k/m.
1) Établir l’équation du mouvement de l’électron externe quand il est excité par l’onde
~
lumineuse E(t).
~ 0.
2) Montrer qu’en régime établi, l’électron oscille parallèlement à E
3) On notera x l’élongation de l’électron. On considère que la réponse de l’atome à
l’excitation extérieure est l’accélération a de son électron périphérique. Donner l’expression
du module |a| de l’accélération complexe en fonction de ω. Que se passe-t-il si ω → 0,
ω → ∞, et si ω → ω0 ?
4) Un atome est éclairé par de la lumière blanche, composée d’ondes de pulsations ω
comprises entre ω1 (rouge) et ω2 (bleu). Sachant que α et ω2 sont tous deux très inférieurs
à ω0 , montrer que, dans ces conditions, l’amplitude de a est proportionnelle à ω 2 .
5) Sachant qu’un électron accéléré rayonne une puissance P lumineuse proportionnelle
au module carré de son accélération, expliquer pourquoi la couleur du ciel est bleue. On
donne: λ1 /λ2 = ω2 /ω1 ; λ1 = 800nm et λ2 = 500nm.
19