1- Portes logiques et équations logiques

Nom :
OPERATEURS LOGIQUES
Prénom :
Date :
X
Association d’opérateurs logiques
3
COURS
(+ commentaires prof. à partir d’une rédaction élève envoi n° 2 )
BEP MEL
1/5
 I– LOGIGRAMME : Association d'opérateurs logiques :
Le traitement logique des informations peut nécessiter la mise en œuvre d'un nombre important
d'opérateurs logiques qui sont interconnectés.
Définition : La représentation graphique de l’association de plusieurs opérateurs logiques est un
logigramme ou diagramme logique …………………..
Exemple : - Système de commande d'ouverture de la porte automatique d'un hôtel :
 Pour l'entrée dans le garage : Avec la demande d'accès du client ET l'autorisation d'entrée
délivrée par le réceptionniste depuis son bureau, le système
d'ouverture de la porte est actionné.
 Pour la sortie du garage : Seule la demande de sortie du client est nécessaire pour ouvrir la
Autorisation du réceptionniste
e1
Demande d'entrée du client
e2
&
Commande de
l'ouverture de
la porte
>1
Demande de sortie du client
S
e3
Ce logigramme représente l’association : - d’un opérateur ET à 2 entrées
- avec un opérateur OU à 2 entrées
.…………………………………….……………
porte. ………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………….
II – 1) DÉFINITION DU DÉCODAGE D'UN LOGIGRAMME
:
..
 II – DECODAGE D'UN LOGIGRAMME :

Définition : Décoder un logigramme revient à rechercher la (ou les) combinaison (s) d’états
des variables d’entrées qui affecte (nt) l’état logique 1 à la sortie.
PLUSIEURS METHODES SONT APPLICABLES ……
 II – 2) DÉMARCHE ÉQUATIONELLE :
Définition : Cette méthode consiste à établir les équations logiques de la sortie de chaque
opérateur binaire, en partant des entrées vers la sortie.……………………
Exemple : - Système de commande d'ouverture de la porte automatique d'un hôtel :
…………………………………………
a
A.B=0 alors 0+1=1
0+0=0
A.B=1 alors 1+0=1
1+1=1
a.b
&
b
(a.b)+c
>1
-
c
Nom :
OPERATEURS LOGIQUES
Association d’opérateurs logiques
3
COURS
(+ commentaires prof. à partir d’une rédaction élève envoi n° 2 )
BEP MEL
2/5
Prénom :
Date :
X
 II – 3) DÉCODAGE DE LA TABLE DE VÉRITÉ CORRESPONDANT AU LOGIGRAMME :
Définition : Cette méthode consiste à établir la table de vérité du logigramme pour mettre en
évidence les combinaisons d’états des entrées pour lesquelles la sortie est à l’état 1.
..…
Exemple : - Système de commande d'ouverture de la porte automatique d'un hôtel :
e 3 e2 e1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
S'
S
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Pour toutes ces 5 combinaisons des états des entrées,
la sortie est à l’état HAUT [ 1 ]
S = (e1. e2. e3) + (e1. e2. e3) + (e1. e2. e3) + (e1. e2. e3)
Après simplification des équations, on obtient :
S = ((e1. e2) + e3………………….
……………………………………………………………
…………….
…………………………….
EXERCICE : Soit le montage ci-dessous.
S2=
&
e
e1
&
e2
>1
S1
S
&
S3
a ) Déterminer l'équation logique de la fonction réalisée par ce montage.
b ) Retrouver le résultat précédent en remplissant la table de vérité
REPONSE :
a ) S1=e1.e2
S2=(e1.(e1.e2))le tout bare S3=(e2.(e1.e2)) le tt bare S=S2+S3
b)
e1
e2
S1 =.e1.e2
S = S2+S3
S2
S3
=(S1.e1)bar
e
=(S1.e2)bar
e
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
…………………………………………………….………………………………….
Nom :
OPERATEURS LOGIQUES
Association d’opérateurs logiques
3
COURS
(+ commentaires prof. à partir d’une rédaction élève envoi n° 2 )
BEP MEL
3/5
Prénom :
Date :
X
 II – 4) SIMPLIFICATION D'UNE EQUATION
LOGIQUE
:
Après avoir extrait l'équation logique d'un logigramme par l'une des deux méthodes décrites dans le
paragraphe précédent, nous allons tenter d'en déduire une expression simplifiée.

Nous utiliserons pour réaliser cette simplification, les règles de l’algèbre de Boole et les
théorèmes de DE MORGAN qu’il faut connaître par cœur..….………….
ALGEBRE DE BOOLE
Commutativité
a+b=b+a
a.b=b.a
Associativité
( a + b) + c = a + ( b + c )
( a . b) . c = a . ( b . c )
Distributivité
a.(b+c)=(a.b)+(a.c)
a+(b.c)=(a+b).(a+c)
Complémentation
a+a=1
a.a=0
Eléments Neutres
a+0 =a
a. 1=a
Eléments Absorbants
a+1 =1
a. 0=0
Idempotence
a+a =a
a. a=a
Tiers exclus
EXERCICE : Simplifiez les équations logiques, ci-dessous :.
S1 = a + ( a . b ) = (a.1)+(ab)=a.(1+b)=a.1=a
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
S2 = a . ( a + b ) = (a.a)+(a.b)=a+(ab)=(a+1).(a+b)=a.(1+b)=a.1=a
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
S3 = ( a + b ) . ( a + c ) = a+(b.c)
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
S4 = a + ( a b ) = (a+â).(a.b)=1.(a.b)=a.b
……………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
Nom :
OPERATEURS LOGIQUES
Association d’opérateurs logiques
3
COURS
(+ commentaires prof. à partir d’une rédaction élève envoi n° 2 )
BEP MEL
4/5
Prénom :
Date :
X
Théorèmes de DE MORGAN :
THÉORÈME N° 1 : LE COMPLÉMENT D’UN PRODUIT LOGIQUE EST ÉGAL À LA SOMME LOGIQUE DES
COMPLÉMENTS DES FACTEURS DE CE PRODUIT ………………………………….
(a.b)barre=â+^b
THÉORÈME N° 2 : LE COMPLÉMENT D’UNE SOMME LOGIQUE EST EGALE AU PRODUIT LOGIQUE DES
COMPLÉMENTS DES MEMBRES DE CETTE SOMME :-……………………………….
(a+b)barre=â.^b
EXERCICE : Déterminer l'équation logique de la fonction réalisée dans le montage ci-dessous et
ensuite simplifiez les équations logiques :( S de bas en haut et de gauche à droite)
S1=â
S2=^b S3=â+^b S4=â.^b
S=(â+^b)+(â.^b)=((a+b).(a.b))tt bare
=((a.b).b)+((a.b).a)tt bare
=((b.b).a)+((a.a).b)tt bare
=((b.a)+(b.a))tt bare
=( a.(b+b))ttbare
=(a.b)tt bare= a+b
EXERCICE : Déterminer l'équation logique de la fonction réalisée dans le montage ci-dessous et
ensuite simplifiez les équations logiques :( S de bas en haut et de gauche à droite)
Il est préférable d’écrire le résultat de
l’opération à la sortie de chacune des portes
logique. Cela facilite la lecture ainsi que
l’auto-vérification.
S1=(a.b)bare S2=(a.a)bare=â
S3=^b S4= ((a.b)bare.(a.b)bare)ttbare=(a.b).(a.b)=a.b
S5=â.^b=(a+b)bare
S=(a+b)bare.(a.b)=0
S = (a . b) . (a . b)
à simplifier
EXERCICE : Déterminer l'équation logique de la fonction réalisée dans le montage ci-dessous et
ensuite simplifiez les équations logiques
Nom :
OPERATEURS LOGIQUES
Association d’opérateurs logiques
3
COURS
(+ commentaires prof. à partir d’une rédaction élève envoi n° 2 )
BEP MEL
5/5
Prénom :
Date :
X
Il est préférable d’écrire le résultat de
l’opération à la sortie de chacune des portes
logique. Cela facilite la lecture ainsi que
l’auto-vérification.
S1=(a+b)bare
S2=â
S3=^b
S4=(â+^b)bare=a.b
S5=((a.b)+(a.b))tt bare=(a.b)bare=a+b
S6=((a+b)+(a+b)bare)ttbare=(a.b).(a+b)=((a.b).a)+((a.b).b)=(a.b)+(a.b)=(a.b)
S=(a.b)+(a.b)ttbare=a+b
Procédez comme indiqué ci-dessus :
Ecriture des équations en sortie de chaque porte logique,
Puis utiliser « les » propriétés du paragraphe II-4.
EXERCICE : Donner l'équation la plus simplifiée possible pour les trois schémas logiques précédent et
proposer trois schémas de votre équation simplifiée avec : --------------------------------------1°) Les portes que vous désirez
(le plus simple)
2°) des portes NAND
3°) des portes NOR
Pour les exercices 2 et 3, il faut :
(Exemple=> S1=a . b)
- Complémenter deux fois l’équation en question,
o (S1=a . b , les 2 barres ne changent pas l’égalité )
- Garder la barre du dessus, et transformer l’équation en complémentant à
l’aide de barre du dessous
o
(S1=a+b , cette nouvelle équation nécessite donc, 3 portes NOR :
2 pour obtenir les variables a et b et une pour l’opération +)
a
>=1
a
a+b
>=1
b
>=1
b