EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000)

Proposition de correction Bac Pro : EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000)
EPREUVE DE MATHEMATIQUES ET DE TRAITEMENT DES DONNEES
Exercice n°1 (7 points)
On considère deux lots de taurillons âgés de 15 mois dont les poids en kilogrammes sont repartis selon les tableaux ci-après.
Groupe A :
462
463
481
432
462
459
477
462
455
460
462
461
460
448
463
458
459
467
485
471
446
445
493
471
478
477
480
488
484
499
486
484
435
499
497
461
496
492
473
452
465
475
473
497
475
477
Groupe B :
On donne ci-dessous le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe B ainsi que la moyenne 478,9 kg et l'écart-type 15,4 kg.
43
44
45
46
47
48
49
5
2
1
1
0
2
5
3 3 5 5 7 7 8
4 4 6 8
6 7 7 9 9
1. En prenant l'exemple du groupe B, représenter le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe A : on clase les données
dans l’ordre croissant, le chiffre de la centaine et celui de la dizaine dans la colonne de gauche, celui de l’unité dans la
colonne de droite. Si une données apparaît plusieurs fois, on la reporte plusieurs fois.
43 2
44 5 6 8
45 5 8 9 9
46 0 0 1 2 2 2 2 3 3 7
47 1 7
48 1 5
49 3
2. Calculer la moyenne et l'écart-type du groupe A. Les résultats seront donnés à 10-1 près :
On utilise le mode Stat de la calculatrice graphique : Moyenne des poids du groupe A : 462,2 kg et écart-type des poids du groupe
A : 13,0 kg
3. Comparer les moyennes des deux groupes et interpréter le résultat.
Comparaison des moyennes : 462,2 < 478,9.
La moyenne des poids du groupe A est inférieure à celle du groupe B. On dit que le poids moyen du groupe A est inférieur à celui
du groupe B.
Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000
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Exercice n°2 (13 points) :
Partie A :
1
Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [
; 14 ] par f : x a f (x) = -
1
x + 2 ln x.
2
2
1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe (on donnera les valeurs à 10-2 près) : on utilise le mode Table de la
calculatrice graphique.
x
0,5
1
2
3
4
6
8
10
12
14
f (x)
– 1,64
– 0,5
0,39
0,70
0,77
0,58
0,16
– 0,39
– 1,03
– 1,72
2. a) Déterminer la dérivée f ’ de f.
Pour tout x de I,
1
1
1 2
f ' ( x) = − ×1 + 2 × = − + .
2
x
2 x
b) Montrer que f ’(x) est du signe de (- x + 4).
Pour tout x de I,
1 2 − 1× x 2 × 2 − x 4 − x + 4
f ' ( x) = − + =
+
=
+
=
2 x 2 × x x × 2 2x 2x
2x
Pour tout x de I, 2x > 0 donc f ’(x) et (– x + 4) ont le même signe.
c) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur I.
Signe de f ’(x) :
f ’(x) = 0 équivaut à – x + 4 = 0
c’est-à-dire à
x = 4.
f ’(x) > 0 équivaut à – x + 4 > 0
c’est-à-dire à
x<4
f ’(x) < 0 équivaut à – x + 4 < 0
c’est-à-dire à
x>4
1
; 4 [.
2
donc, f ’(x) < 0 pour tout x de ] 4 ; 14 ].
donc, f ’(x) > 0 pour tout x de [
Sens de variations de f :
Compte tenu du signe de f ’(x), la fonction f est croissante sur [
1
; 4 ] et décroissante sur [ 4 ; 14 ]..
2
Tableau de variations de f :
x
1
2
4
f ’(x)
+
0
f(4) = 0.78
14
–
Sens de variation de f
f(
1
) = – 1,64
2
f(14) = – 1,72.
3. L'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de la fonction f. Préciser laquelle convient en
justifiant votre réponse.
Courbe (C1)
Courbe (C2)
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f(
1
) = – 1,64
2
1
) = – 0.5 donc la courbe (C1) n’est pas la représentation graphique de f .
2
1
Sur le graphique relatif à la courbe (C2), on lit : f( ) = –3 donc la courbe (C2) n’est pas la représentation graphique de f ..
2
Comme l'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de f , cette courbe est la courbe (C3).
Sur le graphique relatif à la courbe (C1), on lit : f(
Partie B :
La société DUGIGA fabrique et vend des micro-ordinateurs.
Son bénéfice B (en dizaines de milliers d'euros) peut s'exprimer en fonction du nombre x (en milliers) d'ordinateurs vendus selon la
1
relation B (x) = - x + 2 ln x.
2
1. a) Déduire de la partie A qu'il existe un nombre d'ordinateurs vendus pour lequel le bénéfice est maximal.
B (x) = f(x) . Donc les variations de B sont celles de la fonction f de la partie A.
D’après la question 2 c) de la partie A, f(4) est la valeur maximale de f.
Il en résulte que le bénéfice est maximal lorsque le nombre d’ordinateurs vendus est égal à 4 milliers, c’est-à-dire à 4000.
a) Calculer ce bénéfice maximal (à l'euro près).
La valeur maximale f(4) de f est environ égale à 0,77259.
Donc, le bénéfice maximal B (4) est environ égal à 0,77259 dizaine de milliers d’euros, c’est-à-dire 7725,9 euros.
Donc, à l’euro près, le bénéfice maximal est 7726 euros.
2. Par lecture graphique, préciser le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de
l'argent.
La société commence à gagner de l'argent dès que le bénéfice qu’elle réalise est positif.
Par lecture graphique, l’ordonnée f(x) d’un point d’abscisse x de la courbe (C3) est positive, dès que x est supérieur à environ
1,4.
Donc, le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent est environ égal à 1,4
milliers d’ordinateurs, c’est-à-dire 1400.
Courbe (C3)
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