(BTS IG- 2012 _corrigé_) - Web-IG

BTS IG
SESSION 2012-CORRIGÉ
ÉPREUVE E2 - MATHÉMATIQUES I
Epreuve obligatoire
Durée : 3 heures Coefficient : 2
Exercice 1 (5 points)
1. Le passage de Monsieur Germain chaque jour devant le feu est assimilé à une
expérience de Bernoulli, le succès étant lui-même assimilé à l’obtention du feu vert
(probabilité 0,4). On répète cette expérience 250 fois, donc X suit la loi binomiale de
paramètres n =250 et p = 0,4.
2.a) La variable aléatoire X1 suit la loi Normale N(m, σ) de moyenne m = np = 100 et
= √60 ≈ 7.75
écart-type σ =
b) La variable aléatoire X1 suit la loi Normale N(m, σ) de moyenne m = 100 et écart-type
σ = 7.75
Les bornes a et b ont pour valeurs a = 90 ; b = 110
a ≤ X1 ≤ b équivaut à
(a-m)/ σ ≤ (X1-m)/ σ ≤ (b-m)/ σ
(a-m)/ σ ≤ Y ≤ (b-m)/ σ
d'où
90 ≤ X1 ≤ 110 équivaut à
-1.2903225806451613 ≤ Y ≤ 1.2903225806451613
On a donc
P ( 90 ≤ X1 ≤ 110 ) = P(-1.2903225806451613 ≤ Y ≤ 1.2903225806451613)
où Y suit la loi loi normale centrée réduite N(0, 1)
= PI(1.2903225806451613) - PI(-1.2903225806451613)
= PI(1.29) - PI(-1.29)
où PI est la fonction dont la table est donnée dans le formulaire
Si la variable est négative, on utilise : PI(-x) = 1 - PI(x)
= 0.9015 - 0.0985
Donc P ( 90 ≤ X1 ≤ 110 ) = 0.803
Pour P ( X1 ≤ 80 ) on a P ( X1 ≤ 80 ) = P ( Y ≤ -2.58 ) = PI(-2.58) = 1 - PI(2.58) ≈ .
c) L’intervalle est centré sur la moyenne et donc a doit être égal à deux fois l’écart-type ce qui
correspond à 16 si on arrondi à l’entier.
Cela signifie donc qu’il y a 95% de chances pour que, Monsieur Germain ait le nombre de
fois le feu au vert entre 84 et 116.
Exercice 2 (4 points)
a) L’expression se note sr
b) Celle-ci se note r +
2. a) Voici le tableau de Karnaugh :
00
01
m 0
0
0
1
1
1
11
1
1
10
1
1
← sr
Au regard de la 2°ligne on peut assurer qu’il y a toujours m et en considérant les 1 des
deux colonnes de gauche, on peut dire que s est assuré donc F = m + s
b) Cela signifie que l’ascenseur A monte ou est à un étage supérieur au 15°.
̅ qui correspond au
c) C’est l’expression contraire à savoir
+ , ce qui équivaut à
cas où « l’ascenseur A ne monte pas et n’est pas à un étage supérieur au 15° ».
Exercice 3 (11 points)
Partie A
1. a) X suit la loi binomiale de paramètres n =300 et p = 0,001
b) P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) = 1 - 0,999
≈ 0,259
2. a) λ = np = 0,3
b) P ( Y≥ 3 ) = 1 – ( P ( Y = 0 ) + P ( Y = 1 ) + P ( Y = 2 ) )
= 1 – ( 0.7408 + 0.2222 + 0.0333)
= 0.0037
Partie B
1) f’(x) = 100* ( 3
+ (3x-8)* () ) = 100
(11 – 3x) et comme
> 0 pour tout x, on a
bien f’(x) du signe de 11 – 3x.
2) On en déduit le tableau de variations suivant (avec valeurs arrondies au centième) :
x
0
11/3
8
f’(x)
+
0
7,67
f(x)
↗↘
-800
0,54
3) a) F’(x) = 100* (- 3
+ (-3x+5)* (-
) ) = 100 (3x-8)
= f(x) ce qui prouve que F est une
primitive de f sur [0;8].
b) F étant une primitive de f, l’aire cherchée est F(6) - F(3) ≈ 16,7 u.a.
Partie C
1) Le bénéfice maximal est pour 11/3= 3,666… centaines de composants i.e. 367 composants
et il vaut f(11/3 )=7,6684… milliers d’euros soit à l’euro près 7668 euros.
2) On lit les abscisses des points de la courbe qui sont situés au-dessus de la droite d’équation
y = 5, ce qui donne graphiquement x entre 3 et environ 4,9 et cela signifie qu’il faut produire
entre 300 et environ 490 composants.