TD 2 : Introduction à la logique - Page personnelle de Maxime Bailleul

ECE 1
TD 2 : Introduction à la logique
Exercice 1. Écrire le sens littéral des propositions suivantes et dire si elles sont vraies ou fausses.
1. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R/ x + y = 10.
2. ∃x ∈ R/ ∀y ∈ R, x + y = 10.
3. ∃x ∈ R/ ∀y ∈ R, y 2 > x.
4. ∀x ∈ R : x ∈ Z ⇒ x ∈ N.
Exercice 2. Écrire les énoncés suivants à l’aide de quantificateurs et de connecteurs logiques et dire s’ils sont vrais
ou faux.
1. Pour tout réel x, on a 2x + 3 ≤ 1.
√
x < 0.
2. Il existe un réel positif tel que
3. Pour tout nombre réel x strictement positif, on peut choisir un réel y tel que y soit strictement compris entre
0 et x.
4. Si x est un entier naturel alors x est un rationnel.
5. L’expression ln x est positive pour tout réel x strictement positif.
Exercice 3. Nier les propositions suivantes :
1. Toutes les voitures garées dans la rue sont vertes.
2. Un homme a marché sur la lune.
3. Jean Calvin a marché sur la lune.
Exercice 4. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et donner sa négation.
1. ∀x ∈ R+ , 3x + 1 ≥ 0.
2. ∃n ∈ N, n2 = n.
3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0.
4. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R/x + y > 0.
5. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0.
6. ∃x ∈ R/∀y ∈ R, y 2 > x.
Exercice 5. Soient x, y ∈ R. Compléter par les symboles ⇒, ⇐ ou ⇔.
1. x ≥ 0
x2 ≥ 0.
2. x = y
x2 = y 2 .
√
x = 1.
3. x = 1
Donner à chaque fois, les conditions nécessaires et suffisantes.
Exercice 6. Écrire la contraposée de l’implication suivante : « S’il pleut alors il y a des nuages ».
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Exercice 7. Soit n ∈ N. Montrer par contraposée que si n2 est impair alors n est impair.
Exercice 8. Sur une île, il y a deux types d’habitants : les menteurs qui mentent toujours et les honnêtes qui
disent toujours la vérité. Un homme dit « Je suis un menteur ». Montrer par l’absurde que cet homme n’est pas
un habitant de l’île.
Exercice 9. Un soir, René Descartes vint se détendre dans une taverne.
Le patron lui demanda : « Bonsoir, Monsieur Descartes, la même chose que d’habitude ? »
Descartes répondit « Hum ... Je ne pense pas » et il se désintégra.
Cette scène est-elle « logique » ?
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