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Département de génie physique
École Polytechnique de Montréal
PHS3104 - Mécanique quantique II
Contrôle périodique – Automne 2013
(Mardi 8 octobre, 14h45, M-2401)
Professeur : David Ménard
Durée de l’examen : 1h50
Documentation : une page recto-verso
Calculatrice permise
Poids : 30% de la note du trimestre
Question 1 (2/40 points)
La fonction d’onde d’un système de deux particules est
 x1 y2
  r1 ,  1 ; r2 ,  2   C 
 r1

x2 y1 
      ,
r2  
où C est une constante de normalisation. Déterminer s’il s’agit (i) de deux fermions, (ii) de
deux bosons ou si (iii) on ne peut pas le savoir. Justifier votre réponse (maximum deux
lignes).
Question 2 (7/40 points)
1  i 
L’état de spin d’un électron isolé est (dans la base usuelle) :   A 
 , où A est une
1  i 
constante de normalisation.
a) Normaliser cet état (trouver A) ;
b) Déterminer la direction (en coordonnées polaires) du moment cinétique de spin ;
c) Déterminer la valeur moyenne (espérance mathématique) de l’observable Sy.
Question 3 (13/40 points)
Alice envoie un spin électronique vers Bob. L’état du spin, polarisé dans la direction positive
2.
suivant l’axe x, peut s’exprimer dans la base usuelle par     


a) Si Bob mesure l’état du spin suivant l’axe z, déterminer les valeurs mesurées possibles et
calculer leurs probabilités respectives ;
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Examen mi-trimestre – PHS3104 – Automne 2013
Si maintenant un espion vient mesurer l’état de spin dans la direction 45 entre l’axe x et
l’axe z    4,   0  , au cours de la transmission entre Alice et Bob, et qu’il renvoie vers
Bob, suite à sa mesure, un état de spin identique à celui qu’il vient de mesurer :
b) Déterminer les valeurs mesurées possibles par l’espion et leurs probabilités respectives ;
c) Déterminer l’opérateur densité reflétant l’incertitude sur le système suite à la mesure de
l’espion ;
d) Déterminer les valeurs mesurées possibles par Bob (suivant l’axe z) et leurs probabilités
respectives suite à la mesure de l’espion.
Question 4 (18/40 points)
On considère un système de deux électrons, a et b, le premier se déplaçant vers Alice et le
second vers Bob. Alice et Bob sont tous deux équipés d’un appareil de Stern-Gerlach pour
mesurer les états de spin électroniques dans les directions de quantification ua et ub
respectivement. On définit la fonction de corrélation entre leurs mesures
E  u a , ub  
où

4
2
  S ( a )  u a    S (b )  ub  
est l’état du système de deux spins (espace de dimension 4). On admet qu’Alice
oriente son détecteur suivant la direction de quantification a   4, a  0  , tandis que Bob
choisit la direction b  0, b  0  .
(note – il n’est pas nécessaire de résoudre a et b pour pouvoir résoudre c, d, f et g) :
a) Représenter l’opérateur  S( a )  ua    S(b )  ub  , pour le choix spécifique d’orientation ua et
ub de l’énoncé, sous forme d’une matrice 4x4 dans la base usuelle des vecteurs propres de
l’opérateur Sˆz : a b , a b , a b , a b ;


b) Considérant que la pair d’électrons est dans l’état intriqué
 
a
b
 a b

2 , calculer
la valeur de la fonction de corrélation ;
Admettant qu’un champ magnétique uniforme et constant est appliqué dans la direction x
positive, pour une durée t, avant la mesure des états de spin :
c) Représenter l’Hamiltonien du système sous forme d’une matrice 4x4 ;
d) Déterminer l’évolution temporelle de l’état du système en fonction du champ appliqué et
du temps t * (on rappel que l’état initial est donné en b) ;
e) Déterminer l’expression de la fonction de corrélation en fonction du champ appliqué et du
temps t ;
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Examen mi-trimestre – PHS3104 – Automne 2013
Supposant qu’après un temps t, seule Alice effectue une mesure de l’état du spin a dans sa
base orientée suivant la direction ua :
f) Selon le résultat qu’elle obtient, peut-elle prédire le résultat de la mesure de l’état du spin
b qui sera effectuée par Bob (calculer les probabilités)?
g) Existe-t-il des circonstances (valeurs de B et t) pour lesquelles elle peut prédire le
résultat avec certitude ?
* Rappel : fonctions propres et valeurs propres du Hamiltonien pour le champ appliqué selon x :
1  1
1  1
 
   E1  2  B B   
2  1
2  1
1  1
1 1
2 
 
   E2  0 
2  1
2  1
1 1
1  1
3 
 
   E3  0 
2  1
2  1
1 1
1 1
4 
 
   E4  2  B B    
2  1
2  1
1 
Quelques formules utiles :
cos 2  cos 2   sin 2  , sin 2  2sin  cos  , ei  cos   i sin  , ei  cos   i sin 
cos   2    sin  , sin   2   cos 
Hamiltonien pour un spin dans un champ magnétique : Hˆ  B B  σˆ


  0 1   0 i   1 0  
Opérateurs de spin : Sˆ  2 σˆ , σˆ   
 
 

  1 0   i 0   0 1 
 

y
z
x


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