DÉFINITION DES MATRICES DE MASSE, D`AMORTISSEMENT ET

FR9805487
EDF
-
Direction des Etudes et Recherches
Electricité
De France
Servic e
Ensembles de Production
Département Acoustique et Mécanique Vibratoir e
Modèles de Dynamique des s tructures
L
1 avenue du Général de Gaull e
F-92141 CLAMART CEDEX
Téléphone: (33 1) 47 .65.37 .13
Fax : (33 1) 47 .65.39.78
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L
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DÉFINITION DES MATRICES DE MASSE,
D'AMORTISSEME NT ET DE RAIDEUR POUR
UNE STRUCTURE VIBRANTE PLACÉE
DANS UN ÉCOULEMENT POTENTIEL .
~
LUU Trong Hoang
Stagiaire I.N.S .T.N.
Avril - Juin 199 5
~l
Responsable de stage :
Mr Gilles ROUSSEAU
~.~j .~
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . Équations et c onditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2 . Condition s aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .4
2. 1 A la paroi vibrante ( interface fluide-structure ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2.2 . Aux frontières fluides du domaine .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . . . .. . ..7
I`-
3.
Problèmes
à résoudre. .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
4. Expression de la force élémentaire exerçant sur la paroi . . . .... . . . ... . . . ...... ..... . . ..... 10
-
5 . Expression de la pression instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Définition de s coefficient s de la force fluide-élastique... . . . ... . . ... . . . ... . . .... . ... . . . . .. . 1 1
7 . Problèmes variationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
7. 1 .
Problèmes co ntinu s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.
Problèmes
discrets . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 14
7.3 . Résolution des problème s discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.3. 1 Résolution du problème (PMV)d (concernant (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Vli)d (concernant le potentiel
7.3. 2 Résolution du problème ( P
(Pj(1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
7.3.3 Résolution du problème (PV2i )d (c once rnant le potenti el
0 <<2~ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 9
7 .4 Mi se en oeu vre numérique . . . .. . . . . . .. .. . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . . 20
8 Exemple s d'application et de validation dan s le code ASTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8. 1 Résultats analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8. 1 . 1 Mouvement de translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8. 1 .2 Mouvement de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2 Éléments de discrétisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 .3 Résultat s numé rique s obtenus . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 26
8.3. 1 Condition de Dirichlet en un point du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3.2 Condition de surface libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I `- Conclusion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
INTRODUCTIO N
Les fluides en écoulement, au contact des structures, induisent des grandeurs
ajoutées . L'effet de ces fluides est de rajouter de la masse, de la raideur et de
l'amortissement. le comportement dynamique des structures est donc fortement influenc é
par cette interaction fluide- structure, appelée couplage fluide-élastique, le fluide devan t
rester seulement au contact de la structure sans pénétrer à l'intérieur . On trouve souvent
ce type de couplage dans de nombreux domaines d'application industriels, tels que
- certains composants des centrales nucléaires : crayons combustibles dans les réacteur s
immergés dans l'eau, structures tubulaires à l'intérieur desquelles s'écoulent les fluides,
etc. . .
Dans ce type de couplage, des instabilités peuvent apparaître car il existe un
échange d'énergie irréversible entre le fluide en écoulement permanent et la structure
vibrante : lorsque l'échange d'énergie se fait de la structure vers le fluide, ce dernier
exerce sur la structure un effet amortissant alors que dans le cas contraire, qui a lieu si la
vitesse d'écoulement dépasse une valeur critique, les vibrations de la structure sont
amplifiées . Mais notre étude se limite seulement à déterminer les mouvements vibratoires
d'une structure induits par un fluide en écoulement. L'écoulement agit non seulement par
sa composante moyenne mais aussi par une composante fluctuante du au mouvement
vibratoire de la paroi . De ce fait, on considérera un écoulement permanent, autour duquel
on linéarisera nos équations afin d'obtenir des efforts permanents et fluctuants exercés
sur les parois vibrantes . Nous donnerons les masse, raideur et amortissement ajoutes .
L'écoulement de notre étude sera modélisé par un écoulement potentiel . Cet écoulemen t
peut se faire soit perpendiculairement ( écoulement transverse ), soit parallèlement à l'ax e
de la structure (écoulement axial ) .Nous implanterons par la suite le calcul de ce s
coefficients dans le code de calcul ASTER afin de résoudre numériquement de s
problèmes dont les solutions analytiques ne sont pas forcément évidentes .
1
b~
NOTATION S
D : domaine fluide limite par la structure et des surfaces fluides fictives .
Eo : surface de la structure au repos ou à l'équilibre .
E : surface de la structure à l'instant courant t .
E f : surfaces de fluide fictives
V : vitesse totale du fluide
P : pression totale dans le fluide
V vitesse permanente du fluide
v : vitesse fluctuante du fluide
P : pression permanente dans le fluide
p : pression fluctuante dans le fluide .
n' : normale unitaire dirigée du fluide vers la structure à l'instant t
n : normale unitaire
Vo : vitesse d'écoulement du fluide à travers les surfaces d'entrée et de
sortie du domaine D
XS :
déplacement de la structure
tD : potentiel de vitesse correspondant à l'écoulement permanent
tp :
potentiel de vitesse correspondant à l' état fluctuan t
~ ~.
2
1 . Équations et conditions aux limites .
On se place d an s le cas de l'écoulement axial . Soit D le domaine fluide délimité par des
- parois solides et des parois fluides fictives où entre et so rt un écoulement de fluide
incompressible parfait de vitesse Vo
Is
If
01-
Vo
D
If
Vo
Is
Pour un fluide incompressible et parfait, les équations d'Euler s'écrivent :
divV = 0
DV
p Dt + gradP = 0
_ L'écoulement étant supposé irrotationnel, cela équivaut à dire qu e
rotV= Ô
b
.
il existe alors un potentiel de vitesse (D tel que :
V = gradO (4)
Combinée avec l'équation d'incompressibilité du fluide (1) , (D doit vérifier :
4 O = 0 (5)
cette équation est valable en régime stationnaire et en régime instationnaire .
Les mouvements vibratoires de la structure induisent des perturbations dans l'écoulement
Pour voir donc cet aspect, on pose que :
0 = 0 + ço (6)
En substituant (6) dans (5),on a:
-
e ço = o
où j représente le potentiel de vitesse stationnaire de l'écoulement perm anent , par
rappo rt auquel nous linéarisons les équations et (P est le potentiel de vitess e
instationnaire .
De même pour le champ de vitesse et de p ression,
Soit
JQ(,t) = V(r)+v(r,t) (7)
P(r,t) = P ( r)+P( r,t) (8)
3
on peut encore écrire l'équation d'Euler sous la forme :
+ ~ grad(V)2 + 1 gradP = 0 (9)
P
car le fluide est parfait et l'écoulement irrotationnel .
Avec (4), (9) devient :
Sraà( dO + 2(Srad~h)2 + P) = 0 ( 10)
P
ce qui implique que :
P = -p( ~~ + ~ (grad~h)2)+C(t) (1 1)
C est une constante dépendante du temps, que l'on prendra égale à zéro . Dans
l'hypothèse des petits mouvements de la structure autour de sa position d'équilibre, nous
linéarisons (11) pour obtenir les expressions de la pression permanente et la pressio n
fluctuante .
Avec (6) et (8), (11) donne :
la partie permanente de la pression (terme d'ordre 0) :
P(r) _ - ~ (grad~)2 (12)
la partie fluctuante de la pression (terme d'ordre 1) :
P(r, t) _ -p( ~ +grad~j . grad(p) (13 )
2. Conditions aux limites.
2.1 A la paroi vibrante ( interface fluide-structure )
La composante normale de la vitesse du fluide est égale à la composante normale de l a
vitesse de la paroi (condition d'imperméabilité de la structure au fluide) :
SurEs, V' .n' = Xs .n' a (V' +v ).n' = Xs .n' (14)
~
où les quantités primes indiquent que l'on considère que l'on est sur la positio n
instantanée de la paroi . La normale est un vecteur variable au cours du temps (fig . 1).
Cette condition est donc valable à tout inst an t. On remarque de ce fait que v,la vitess e
4
de l'écoulement permanent de la position d'équilibre peut être différente de celle de la
position déformée, V, .
Exprimons la condition (14) sur la position de la paroi à l'équilibre _vo ,
[((V'-V)+V)+((v'-v)+v].[(n'-n)+n] = XS.[(n'-n)+n] (15)
I
Fig. l
Nous considérerons que V et n sont d'ordre 0, v' - v, (n' - n) , (V' - V) , XS sont
d'ordre 1, nous obtenons alors sur la surface 1o, en déduisant de l'équation (14) :
A l'ordre 0,
V.n = 0
qui est la condition aux limites portant sur l'écoulement permanent ;
A l'ordre 1,
v.n = Xs .n-V.(n -n)-(V'-V).n (15 )
La première composante, Xs, n, représente la vitesse normale de la paroi la deuxième,
V. (n' - n) , est la projection de la vitesse de l'écoulement permanent sur le changemen t
5
_ de direction de la normale à la paroi et la troisième, ( V' - V). n , représente l'éventuelle
non-uniformité de l'écoulement permanent projetée sur la normale de la paroi .
_ Explicitons ces différents termes grâce à des résultats de géométrie différentielle exposés
dans l'annexe 1 .
- Posons :
_
Xs .n = XS
L'équation (15) devient :
n
v.n = XS -V .(n'-n)-(V'-V).n ( 16)
n
-
Commençons par exprimer le dernier terme de (16) comme un développement de Taylo r
- au premier ordre, au voisinage de la position d'équilibre de la paroi :
_
(V'
-
V
). n = (XS . gradV ). n
(V'-V).n = Xs .grad(V .n)-(Xs .gradn). V
Avec V . n= Vn + composante normale de V dans le système de coordonnées locale s
_ Le premier terme de la dernière équation s'écrit :
_
XS
OU
_
. gradV„ = XSl aX + XS2 aX2+ XS n an
XS _ Xslel + XS2e2 + Xsnn
De plus Vn = 0 sur la paroi donc ses variations suivant XI et X2 sont nulles, d'où on a:
n
XS . gradVn = XS av
..,
n
dn
D'après l'annexe 1,
divE o
D'où, nous avons :
V aV„
dn
XS .gradV„ =-XSndivIo V
Exprimons le terme : (XS . gradn). V
X,.. gradn est donné par :
6
XS . gradn = (XS1 e + Xs2 ~
1
2
-
Xsn ~
D ' aprè s les résultats de l'annexe 1 :
D ' où :
XS . gradn). V=(Xsl el + Xs2 e2 ). V
RI R2
Finalement :
-
X
X
(V' - V ). n = -Vndivy V - ( sl él + s2 é2 )
Rl R2
D'après l'expression de dn donnée dans l'annexe 1 ,
V(n'-n=
. rad
X+V
~ ) -Vg
Eo
sn.(X
siel
-+sX
2 2
R1
R2
Sur la paroi, à la position d'équilibre, la condition aux limites portant sur la vitesse
fluctuante s'écrit :
v. n= Xsn - V . gradEo Xsn + Xsn divzo V (17 )
On peut exprimer cette condition en terme de potentiel de vitesse instationnaire introduit
précédemment:
_
~=
Xsn
-
V . gradzo Xsn + XSn divlo V (18)
On rappelle que ce potentiel satisfait l'équation de Laplace dans le domaine fluide .
2.2. Aux frontières fluides du domaine .
` On a la continuité de la composante normale de la vitesse d'écoulement:
V.n = Ûo .n (19 )
On a posé par définition :
V = gradO
Ce qui donne pour notre condition :
grad O. n = Ûp. n (20)
7
Ot 0 _ ~+lp
Alors,
A l'ordre 0, on a :
grad~.n = Ûo .n (21 )
- Ce qui correspond à la partie stationnaire de l'écoulement .
A l'ordre 1, on a :
-
grad
(p
=
0
(22 )
Ce qui correspond à la partie fluctuante de l'écoulement.
3. Problèmes à résoudr e
On pose :
e - (P1+ (P 2
- La décomposition du potentiel fluctuant est un artifice mathématique qui facilite par l a
suite la solution. Elle est suggérée par la forme de la condition aux limites (18 )
Le problème, linéaire, est alors la combinaison linéaire de deux problèmes suivants :
Ael = 0 dans D
(Pl) gradel .n = Xs .n sur Eo
grad el . n= 0 surEf
~et
'
(pl = 0 en un po int
O(p2 = 0 dans D
grad~p2 .n = gradO .gradjo (Xs .n)
(P2) +(X,. .n)divj0 (grad~) sur Eo
grad (p2 . n= 0 sur E f
~.
e2 = 0 en un poin t
Le potentiel permanent doit vérifier, quant à lui
8
0(D = 0
dans D
(PM) grad~ .n = 0 sur E o
-
grad(D .n = Vo .n sur Ef
J(D = 0 en un point
On impose une valeur nulle en un point sur les potentiels pour avoir l'unicité des
potentiels .
~ On décompose le déplacement de la structure sur sa base modale en air :
XS = ai(t)Xj(r)
_
Les coefficients ai sont appelés coordonnées généralisées, caractérisant le système à
l'instant, les Xt(r) étant les modes propres du système .
_ Les Xi(r) étant les modes propres du système .
Cette décomposition en base modale nous suggère de poser :
-
(pl
= Y~ âi (t)~pi(l) : d'après la condition portant sur Eode P 1
i
(p2 =1 ai (t)(pi ( 2 ) : d'après la condition portant sur Eo de P2
-
Où ç0<( 2 ) et tpl(2) vérifient les problèmes suivants :
_
O(p< ( l ) = 0 dans D
(Pli) gradçp<(l) .n' = Xl .n sur E o
-
grad(p<(l) .n' = 0 surEf
{(1) = 0 en un poin t
et
Otpi( 2) = 0 dans D
gradçoi ( 2 ) .n = grado.gradE0 (Xi .n)
(P2i) +(X; .n)divEo(grad(D) sur E a
gradçpl ( 2 ) .n = 0 sur E f
tp<(2) = 0
en un po int
9
4 . Expression de la force élémentaire exerçan t
sur la paroi .
L'effort exercé par le fluide sur la paroi se résume à la pression du fluide .
La force fluide-élastique élémentaire s'exerçant sur un élément de surface, en position
déformée, dl , est:
r.
dF = (P + p)n'dE (23 )
Les valeurs de P et p sont prises sur la position déformée de la paroi . Pour récupérer
les composantes stationnaires et instationnaires, comme précédemment, nous allons
exprimer l'expression de la force à la position d'équilibre de la paroi :
Pr = P2;o + (gradP )_ro . XS
n'dE = ndEo + (n'dE - ndTo )
En ne retenant que les termes jusqu'à l'ordre 1, l'expression de la force élémentaire
s'écrit:
dF = PndEa + P (n'alE - ndEo ) + PndEo + ((gradP ),o . XS ). ndEo (24 )
..
Toutes les quantités ayant été évaluées sur la configuration d'équilibre de la paroi .
En remplaçant (n'dE' - ndE) par l'expression donnée dans l'annexe 1, l'expression de
la force s'écrit finalement :
A l'ordre 0, on récupère l'expression de la force de la pression permanente :
dF = PndEo (25)
..
A l'ordre 1, la force fluctuante s'écrit :
dF = pndEo + P[(divEo XS )n - gradEo Xsn + Ril él + R2 é2 +( Ri + R2 )Xsn n]dE o
+(XS .gradP)I:o ndEo (26)
Cette expression comporte plusieurs termes contribuant aux efforts fluctuants à la paroi
Le terme pndE est l'effet de la pression fluctuant e
Le deuxième représente les effets de la pression stationnaire P sur les
déformations de la paroi :
P[(divl: XS )n +( 1+ 1)Xsnn] concernant la variation de la normale
° Rl R2
P(-gradEoXsn + XSl él + Xs2 é2) concernant la variation d'aire de
Rl R2
l'élément de surface
10
-
Le dernier terme (XS. gradP) j: na lEo tient compte de la non-uniformit é du
champ de pression stationnaire
5 . Expression de la pression instationnaire .
- La pression totale du fluide est donnée par :
P=P+ p
En remplaçant dans les expressions (12) et (13) tp par sa décomposition tp = tpl + 6 2,
- ce qui donne :
l(â
»
()
»
P = -P
i4P<<l~ +âi ~P<<2 -PSrad(D .âiSrad1pi i +algrad~P<<2
~
t
ce qui implique que :
p = -iii (pt (l ) -âi J (Vi(2) +grad ~.gradVi
P
i
,,
- ai
1
t
-
grad~ .grad (pi( 2 )
D'après l'expression de la force élémentaire fluctuante, linéarisée sur la positio n
d'équilibre, on déduit une force élémentaire pour chaque mode i, en remarquant que l a
pression fluctuante p peut se mettre, d'après l'expression de P précédente, sous la forme :
P = 1 P<
(30)
i
_
...
~ W.
6 . Définition des coefficients de la forc e
fluid e-é l ast ique .
L'expression de la force élémentaire fluctuante exercée par le fluide sur la structure pour
chaque mode i , obtenue à partir de l'expression (26) en remplaçant les expressions de la
pression fluctuante et du déplacement par leur décomposition, s'écrit :
f =Pin+ai(Xi .gradP)yon+aiP[(divEoXi)n-grady o(Xi .n )
+ X`L el él + X`~e2 é2 +(Xi .n)( 1+ 1)n (31)
R1 R2 R1 R2
où (éi,é2,n) est le repère local de la surface à la position d'équilibre . nest la normale
unitaire orientée vers l'extérieur .
11
La force élémentaire fluctuante s'écrira alors :
(32)
La force généralisée relative au mode i, est obtenue par intégration sur la surface à la
_ position d'équilibre de la projection de la force fluctuante élémentaire sur le mode i
F=
J1 f. Xi dS (33)
o
_
d'après la décomposition de la force, on a aussi :
_
F = J X;dS (34)
10
-
On remplace f par sa décomposition 1 f et pt par son expression en fonction des ai
i
-
On déduit alors l'expression de la force généralisée écrite en fonction des coefficient s
modaux de force fluide-élastique
Imm
^ja -cijC;ja -ajKtja) ( 38)
Cette expression comporte un terme inertiel (en dj ), un terme d'amortissement ( en cij )
et un terme de raideur ( en a j) .
Avec les coefficients de
Masse ajoutée :
Mat j = p
J
Eo
~Qiffln .X1dS
(35 )
Amortissement ajouté :
(tpj (2) +grade . gadf~j(1~)n'.XidS
Catj =p
f
-
Raidew ajoutée :
12
(36)
K a ii = p r[ [(divEo Xj )n-gradE o(Xi . n)+
~~
t
Eo
X • .él
X • .é2
R él + R é2
2
(37)
+(Xj .n)( 1 + 1)n].Xi+grad~ .grad~pj ( Z ) ]n.XidS
Rl R2
7. Prob lèmes variatio nn e ls.
7. 1 . Probl èm es continus.
- Soit le problème (Pli) énonc é préc édemment, concernant le potentiel 4pi(l) relatif au
mode numéro i .
O çoi( l ) = 0 dans D
~pl(l) . n = Xi .n sur Yo
(Pli) grad
gradçoi(l) . n = 0 surEf
,p•(l)
~ =0
en un point
Écrivons la formulation variationnelle de ce problème :
Nous allons multiplier l'équation aux dérivées partielles par une fonction-test v bie n
choisi, intégrer sur le domaine D, utiliser la formule de GREEN et utiliser les condition s
aux limites sur les bords 10,surface de la structure à la position d'équilibre, e t
E f,surface fictif fluide délimitant le domaine D .
_
Il se trouve que le bon espace est l'espace vectoriel Hl (D),espace des fonctions de carré
intégrable sur D, dont les dérivées premières sont elles mêmes de carré intégrable .
Soit V l'espace vectoriel des fonctions-test :
V= H l (D)
En appliquant la formule de GREEN :
-
r
r
r a (l)
- Otp<<1>dv= Ô çp;(1).Ôvdv+
~ vdS (39) ,
J
D
J
J
D
E
en posant que: E= Eo u Ef
En tenant compte du fait que dans le code ASTER, la normale unitaire est orientée ver s
l'intérieur du domaine considérée . Le problème variationnel (PVIi) s'écrit, compte ten u
de l'égalité (39) et la condition aux limites à la surface Ea :
13
b'v E V, f
.(1)dv =- (Xi . n )vdS
J
D
où
a(tp<( l ) ,v) =
Ea
J Otpj( l) . '~vdv, a( ., .)étant une forme bilinéaire et symétrique
D
Soit le problème (P2i), concernant le potentiel ~p<( 2) relatif au mode i .
O q)t ( 2 ) = 0 dans D
grad(p,( 2 ) .n = grad~ .gradj o (Xi.n)
-
(P2i) +(Xj .n)divE 0 (grad~) sur Eo
Imm
gradet( 2 ) .n = U sur Ef
( )
,pi 2 = 0 en un point
~
Nous allons procéder de la même façon que précédemment pour transformer le problème
initial (P2i) en problème variationnel que l'on notera (PV2i) .
- Le problème variationnel (PV2i) s'éc ri t alors:
`dv E V,
-
f
D
~
(2) .Ovdv
=-
f
o (grad
.gra2Eo (Xi .n)+(Xl .n)divEa (gradtD ))vdS
1
Soit le problème (PM),conce rnant le potentiel ~
0(D = 0
_
dans D
(D .n = 0 sur E o
(PM) grad
gradO .n = Vo .n sur Ef
i = 0 en un po int
mm De même que précédemment, le problème variationnel que l'on note (PMV), se tradui t
par .
b'v E V,
J D;~.Ovdv f(Vo.n)vdS
D
If
7.2. Problèmes discrets.
14
Nous allons chercher une approximation des solutions (pl ( l ) ,~pi( 2 ) , ;e des problèmes
variationnels établis ci-dessus par la méthode des éléments finis .
Pour cela, nous allons discretiser le domaine en éléments finis et chercher le s
_ approximations aux noeuds de la discrétisation
Nous noterons par
discre ts suivants:
`dv" E V,
( ) 0 ( ) (D
l , 12 ,
les approximations des problèmes variationnels
J ~~.Ov"dv = - J (Vo .n)vdS (PMV)d
D
J
D
Ef
=- f(grac7
.graai(Îi .n)
Eo
+(X, . n)div_ra (grad O ))vdS (P2iV)d
6M
,
J O~p< <l~ . ~ v"dv = - J (Xj .n)vdS (P1iV)d
D
Eo
Où V représente l'espace d'interpolation bien chois i
7.3. Résolution des problèmes discrets .
La méthode que nous exposons ici est valable pour les trois problèmes variationnels de
notre étude .
7.3.1 Résolution du problème (PMV)d (concernant (D )
On cherche une approximation (D du problème :
bv E V, ~àD.Ovdv = -
J
D
J (Vo .n)vdS (PMV) d
Ef
Comme on cherche l'approximation 0 dans l'espace V, on la projette alors sur une
base de cet espace .
Nous allons choisir les fonctions d'interpolation, que l'on notera Ni,telles qu'elle s
... valent 1 au noeud numéro i et zéro aux autres noeuds :
`d i E[ 1, NlNt =1 en A1 et Ni = 0 en Aj pour i # j
N étant le nombre total de noeuds et Ai désigne le noeud numéro i du maillage .
Soit at E R pour i appartenant à [l, N] , en se plaçant successivement en tous les noeud s
du maillage et en utilisant la définition des fonctions Ni,il résulte que :
15
Li
N
aiNi =0 =* ai = 0
1
Le système (Nl ... NN) est donc libre, ce implique que les fonctions Ni (i=1 ...N) sont
bien indépendantes . Comme dim V=N, ces fonctions constituent bien une base de V .
- Nous pouvons donc écrire :
~ ..
I~
N
~ =1:Ni
1
0 est la fonction prenant les valeurs O, aux noeuds A; et zéro sur les autres noeuds .
En utilisant cette décomposition et en prenant les fonctions Ni pour fonction-test v, la
formulation variationnelle équivaut au système de N équations dites nodales :
Pour 1 S j<_ N,nous avons :
W E V,
J
N
cDiVNi (r).ONj(r)dv = -
D
1
J (Vo .n)Nj dS
Ef
Soit:
N
~ij f ONi .ONjdv = D
J (Vo .n)Nj dS (40)
Ef
Ce qui peut enco re s'éc rire sous la forme mat ricielle suivante:
KP=-B (41 )
K est la matrice de composante:
Kij = f ONI .ONjdv (42)
D
Comme la forme bilinéaire a( .,.) est symétrique, il en est de même pour la matrice K de
notre système :
Kij = Kjj (43)
K est une matrice carrée symétrique, appelée matrice de rigidité du fluide .
P désigne le vecteur-colonne des N inconnues Ol et B le vecteur-colonne au signe près
des N données figurant au second membre du système(41) :
16
_
-
B
=
(bj)ISj sN avec bj =
f
(Vo .n)Nj dS (44)
Ef
En pratique, le calcul des ma trices K et B ne s'effectuent pas directement mais pa r
assemblage de matrices élémentaires calculées sur les éléments de la discrétisation .
Ainsi:
Ne 1y,,
HHl et B=IBl (45)
1= 1
1=1
_
où Ne est le nombre d'éléments de la discrétisation .
Les coefficients des mat ri ces élémentaires Hi et BI sont donnés par:
Kij( l) = f'Ni.1Nidv (46 )
De
bj( < ) = f(
.n)NjdS (47 )
On peut encore utiliser une approximation des compos antes de la vitesse Vo par leur s
t,o- décompositions sur la base des N fonctions Ni :
N
Vox =
I: VoxkNk
l= 1
(48)
et
N
voy _
VoykNk
(49)
l= 1
L On peut , par la suite, étendre notre approximation au cas 3D en introduisant une
composante de plus du vecteur vitesse Vo
Le vecteur-colonne B de dimension N peut encore s'écri re alors:
N
B=(bj )1< j <N avec bi
Voxk
k=1
f
N
NjNknxdS +
Ef
D'où matriciellement:
17
Voyk
k=1
j'NiNknydS 50)
~f
B = BxVx + ByVy (51)
Avec les matrices Bx et By de coefficients :
(bx)j k =
f
N NknxdS et (by) k =
i
j
Is
f
NjNknydS (52)
Es
Obtenue à partir des matrices élémentaires Bi de coefficients :
(bx)j k (l) =
f
N NknxdS et (by) k(1) =
i
j
I fe
f
Nj NknydS (53)
Ife
Et Vx et Vy le vecteur-colonne des différentes valeurs Voxk et Voyk aux noeuds de la
paroi fluide fictive limitant le domaine D .
Finalement, nous avons donc à résoudre le système suivant :
KP = -(BxVx + ByVy) (54 )
7.3.2 Résolution du problème
( »
(Pi l
(PVli)d (concernant le potentiel
On utilise la même démarche employée pour la résolution du problème discret portant sur
le potentiel permanent.
Le problème (PVli)ds'écrit :
•-
b'v
E
V, f7
.(1)dv
D
=-
J (Xi .n)v"dS
(55)
Eo
On décompose le potentiel iP1 ( l ) en:
h.
N
47i~l~ - ~
Tik(1)Nk(r) (56)
Le second membre de la formulation précédente se met aussi sous la forme :
f
XinvdS
~o
En posant Xjn = Xi . n
De même, résoudre le problème précédente revient à trouver la solution du systèm e
linéaire :
18
N
I
k= 1
f ONk.ONjdv = -
Tik
D
J XinNjdS (57 )
I.
Soit matr iciellement :
KËI) = -8f 1) (58)
- Où K est la matrice de ri gidité de coefficients:
-
K
ik
(e) =
J ONk .ONjdv
(59 )
De
P(1) est le vecteur-colonne des inconnues tP1k ( 1)
-B(l ) est le vecteur-colonne du second membre et B(l) est la matrice de coefficients :
bj(l) = J (Xi .n)NjdS (60)
Eo
K et B(l) sont aussi obtenues, en pratique par assemblage de matrices élémentaires d e
- coefficients :
-
Ki k( e) =
f
ONk. '~Nj dv et bj( l )e =
De
f
(Î .n)Nds (61)
~oe
Pour calculer le second membre, on peut procéder à la décomposition de (Xi .n) de la
même façon que pour Vo . n .
- Ce qui donne alors :
N
-
N
b.r~~l~e =~ X•~ xk fNfNknxds+ ~ X:•yk
k=1
T
oe
k=1
f
N~•Nkny dS (62)
o
T e
Ainsi, matriciellement:
-
B(l)
=
Bx(1)Xx + By( 1) Xy (63 )
où Xx et Xy sont des vecteurs-colonnes des valeurs aux noeuds des coordonnée s
- suivant les axes OX et OY du mode numéro i.
~~.
7 .3 .3 Résolution du problème
0( )
t 2 )
19
(PV2i)d
(concernant le potentie l
Otpt(2) . ~7vdv = 5(graa
b'v E V
,f
D
. grad~ ( X~ . n )
X.
+(Xl. n' )div_r0 (grad0 ))vdS
On procède alors à la décomposition du potentiel tp"i(2)comme pour les potentiel s
(Wl) et e :
N
1 0 ( )
i(2) =
ik 2 Nk(r)
(64)
k= 1
On a à résoudre le système de N équations suivant :
j =1. . . N
N
~pik ( 2 ) f1 ONk .ONj dv=
J (grad (D .gradEo(Xl .n)
k=1 D Eo
(65)
+ (X; .n)divIo (grad~))NjdS
Soit:
..
KP (2) = -B(2) (66 )
..
P( 2 ) étant le vecteur-colonne des composantes de 01 ( 2) aux noeuds, H la matrice de
rigidité du fluide et -8 ( 2) le vecteur second membre
. .
8(2)=Îbjll5j5N , bi
I=
(grad(D.gradEo(Xt .n)+(Xi .n)divEo(grad(D))NjdS
f
Eo
Comme précédemment ces matrices sont obtenues par assemblage de matrices
élémentaires calculées sur un élément de discrétisation. Pour plus de détails sur le calcul
de ce second membre, le lecteur pourra se reporter à l'annexe 3
..
7.4 Mise en oeuvre numériqu e
Pour résoudre les problèmes de Laplacien dans le fluide, on utilise les éléments finis de
thermique dans le code prévus pour la résolution des problèmes de thermique en
stationnaire, par exemple. La température joue alors le rôle du potentiel .
Nous essayons d'abord de développer dans le code ASTER des modules de calcul pour
pouvoir déterminer les différents potentiels de vitesse sans lesquels il ne serait pas
possible de calculer les différents coefficients précédents . nous sommes en fait amenés a
résoudre des systèmes d'équations linéaires de type A X= B
Elle se fait après calcul des différents termes composant le système d'équations . Mais
d'abord, il nous faut déterminer la base modale de la structure en air .
a. Calcul de la matrice de rigidité .
20
f
Cette matrice résulte de l'assemblage des intégrales
~N1 .ONkdv portant sur un
De
_ élément de discrétisation . On utilise une routine de calcul de termes élémentaires de
rigidité thermique prévue pour la résolution de problèmes thermiques .
b. Factorisation de la matrice de raideur précédente par la décompositio n
LDLT
Elle se réalise après avoir défini la numérotation du système et l'assemblage de matrices
élémentaires .
c. Calcul du sec ond me mbre du problème portant sur le potentiel ~pl
-
il nous faut estimer les termes
f
Ni NknxdS et
Eo
f
NiNknydS, ensuite ex tr aire et
Eo
récupérer les valeurs des modes sur les axes OX et OY aux noeuds .
L'assemblage de ces matrices élémentaires est effectuée avec la numérotation déjà établie
pour le calcul de la matrice de raideur. Ces deux étapes sont regroupées dans une routin e
-
-
e. C alcul du vect eur sec ond m embre du problè me portant s ur le potentie l
Ç02
On développe donc une routine de calcul de termes élémentaires et pour estimer le s
intégrales, on fait alors appel à la méthode d'intégration par quadrature de GAUSS :
f. Résolution de ces systèmes linéaires .
-
g. Récupération des valeurs aux noeuds des potentiel s
h . Calcul des coefficients d'amortissement ajout e
Ct~a =P
« ( ) +grad~ .gradçp<<l » n.XidS
Pi 2
J
Ea
Le coefficient est la somme de deux terme s
P
f
'Pi
( )
2 n. XidS et
P
Y, o
a. p
J
J
1
8rad 0 • 8 radçoi( l )n. Xi dS
o
1oi ( 2 )n. XidS
1o
On utilise la décomposition du potentiel : (p<( 2 ) _1 Nk ço k ( 2 ) de so rte que l'intégrale
('
1J
devienne : p
( )
plk 2 (
Y, Ç
k
-
r
k
J Ni NknxdS+ J NiNknydS)
et on récupère le calcul des intégrales sur les fonctions de forme effectues précédemmen t
21
-
/3. p
JEo grad'~ .gradçp<( 1 ) n.Xi dS
L'intégrale devient, avec les approximations : (D _INk~ et (pi(l)_YNktplk (l)
k
sur les potentiels (D
et q,1 (l) : pl 1 (Pjk ( l ) (Pik ( 2 )
i k
-
k
J ÔNj .ONkdS
Eo
Il nous reste à effectuer le produit des gradients des fonctions de forme aux points de
GAUS S
i . Calcul du coefficient d e masse ajoutée
Mÿa = P f Çoi(1)n .XidS
_
Ea
On procède de la même façon que pour le premier terme de l'amortissement en
remplaçant (p,( 2) par t0, (1 )
8 Exemples d'application et de validation dan s
le code ASTER .
..
Avant d'appliquer notre théorie à des cas aux géométries complexes et à plusieur s
degrés de liberté, considérons d'abord le cas d'un écoulement annulaire de deu x
cylindres droits concentriques, d'axe OY de rayons respectifs Ri et RQ rayons des corp s
intérieur et extérieur, délimitant ainsi un espace annulaire uniforme où s'écoule suivan t
l'axe OZ un fluide supposé incompressible .(fig.2)
Nous allons supposer que le corps extérieur est en mouvement vibratoire suivant l'ax e
OY alors que le corps intérieur reste immobile .
..
I y
22
-
Fig .2
8.1 Résultats analytiques.
`,
`
8.1.1 Mouvement de translation .
Le cylindre extérieur possède un mouvement de translation de corps rigide suivant l'ax e
OY . L'unique mode propre s'écrit alors :
X=1. ÿ
On obtient donc pour les conditions aux frontières du domaine fluide :
X.n = sin8 sur Eo
5
lVo . n = ±Vo
Dans l'annexe 2, on démontre que les différents potentiels de vitesse peuvent s'écrire :
Pour le potentiel permanent :
(D =Vo z
Pour les potentiels fluctuants :
~1--
I
Re2 2
2
Re - Ri
(r + n`2 sin0
et
e2
=0
23
Y
Le coefficient d'amortissement vaut :
Ca = 0
Car la formule générale vaut, pour un système à un de gré de liberté, :
Ca
-
=p
JEa «P2 + grado . grad(pl )n . XdS
avec Çp2 = 0 et gra d (D .gra dçpl = 0
Le coefficient de raideur ajoutée se réduit à :
_
Ka
=
p
JEo (grad(D . grad (p l )n. XdS
en remplaç an t les potenti els par leurs expressions, on trouve:
Ka = 0
car on peut démon trer, dans l'annexe 2, que d an s le cas considère, le coefficient d e
raideur ajoutée corre spondant aux effets de la pression perm anente est nul.
Le coefficient de mas se ajoutée est égal à :
Ma
-
=P
JEo e1X.ndS
d'où:
3
2
M" = PRe (R + R` )l r
Re2 - Ri2 e
_
Ke
8.1.2 Mouvement d e rotation.
Le mode prop re correspondant s'écrit:
-
X = zÿ
Les conditions aux limites sont:
JX.fi=zsin~
sur Eo
Vo .n = ±Vo sur Ef
- On obtient alors les potentiels :
(D = Vo Z
Re2
2
çPt=R2R2(r+R` )zsin 6
e ,24
i w
-
2 Vo R; 2
Re
~p2 = R 2 R~r+ r )zsin 9
e
- Les coefficients d'amortissement, de raideur et de masse ajoutes se calculen t
respectivement par les formules précédentes :
3
Ca = PVoRe n (R+ R 2 )1 2
Re2 - Ri2 e
Re
Ka = 0
a_ p~3 R~ 2 l3n
)
3
M Re2-R,Z(Re+Re
8.2 Éléments de discrétisation.
-
-
Nous choisissons de discretiser le domaine fluide, qui est volumique, en élément s
volumiques HEXA20 dont les faces sont des QUAD8 (fig .3) qui vont alors constituer l e
maillage de l'interface fluide-structure car nous avons besoin d'estimer le term e
div~ gra d(W) du second membre pour la résolution du problème portant sur le potentie l
(
e< 2) par les dérivées secondes des fonctions de forme a cause de l'approximation faite
sur W. Par contre paur mailler la structure en coque, nous sommes obliges de le faire e n
éléments TRIA3 (fig .4) car les éléments QUAD8 n'existent pas encore à ce degr é
d'interpolation en coques dans le code . On y affecte alors les conditions portant su r
` déplacements pour calculer les modes propres .
Fig.3
25
r.
r
Fig.4
w
8.3 Résultats numériques obtenus
V
Pour faciliter la comparaison, on ne considérera que les valeurs numériques obtenue s
dans le cas de la translation, du potentiel % des coefficients de masse ajoutée . et du
premier terme de l'amortissement (calculé avec le potentiel q> 2 ) .On constate que l a
finesse du maillage et l'affectation des conditions aux limites sur les bases du cylindr e
jouent un rôle non négligeable.
Maillages dans le fluide :
~
8 .3.1 Condition de Dirichlet en un point du fluide .
En un noeud du fluide, on impose que tpl et
Potentiel ~p2 et coefficients :
26
Ç02 soient nuls .
Li
Le potentiel reste insensible au ch angement de discrétisation, Cpa se trouve toujours d an s
le même ordre de grandeur mais loin du zéro numérique . Par contre, le coefficient de
masse ajoutée est relativement bien estime . On vérifie bien que le terme divEo (grad (D )
■- est proche de zéro numé riquement, alors que le terme grad(D .gradj (Xi .n) en est encor e
loin.
8.3.2 Condition de surface libre.
.,, Au lieu d'imposer la condition en un noeud, on le fait désormais sur tous les noeud s
d'une des bases du cylindre, Par analogie cette condition se trouve être une condition de
surface libre portant dans ce cas sur les potentiels .(potentiels nuls à ces noeuds et o n
néglige de plus la gravité) .
Potentiel (p2 et coefficients:
L
c^a
472
60
cas
cas
=101
101
Ma
0588 . 10-2
13,0892
0589.10-2
13,0894
lm
■-
IL
On note le même comportement pour la masse ajoutée et le potentiel Ç02 qu e
précédemment: insensibilité à la discrétisation. La masse ajoutée analytique étant calculé e
avec la formule donnée dans la référence [3] (p. 316) .
Ir
Ma = p R3l
e [1- nZ
th R avec n=1
1
Et on trouve Ma = 13, 4kg
l : longueur du cylindre
R : rayon du cylind re extérieur
Par contre, les valeurs du potentiel tp2 et par conséquent celles du coefficient partiel
d'amortissement sont toujours loin du zéro numérique .
27
Conclusion :
- On a présenté un modèle permettant de calculer les matrices de masse ,
d'amortissement et raideur ajoutés sur une structure vibrante de géométrie quelconque à
priori dans un écoulement potentiel
_ On a ensuite exposé une méthode numérique que l'on implante dans le code d e
calcul ASTER et quelques résultats numériques obtenus à partir d'un cas test .
Toujours dans le cas de translation, le coefficient de masse ajoutée est très bie n
estimé . Par contre, le calcul du potentiel tp2 et du coefficient d'amortissement partie l
restent encore loin du résultat souhaité.
_ C'est le terme gradtD .gradz (Xj .n) que l'on aura à regarder de plus près dans l a
0
suite de notre travail notamment sur la façon de le calculer et sa variation en fonction de l a
discrétisation orthoradiale.
28
B ibliographie
-
[1]
G .Porcher
Contribution à l'étude des instabilités fluide-élastiques de structure s
tubulaires, sous écoulement axial confiné . Thèse de doctorat de l'université Pari s
6
[2] F.Belanger - E .de Langre
Forces fluide-élastiques associées à une structure vibrant dans écoulemen t
potentiel
Rapport CEA-DMT/90 .397
[3] R. J. Gibert
Vibrations des structures . Collection de la Direction des études et
Recherches d 'Élec tricité de Fr ance .
[4] G .Rousseau
Prise en compte d'un fluide parfait incompressible au repos comme mass e
ajoutée sur une structure . Synthèse bibliographique . Collection de notes interne s
de la Direction des Études et Recherches Février 199 4
[5] D. Euvrard
Résolution numérique des équations aux dérivées pa rtielles (différences
finis, éléments finis, méthodes des singularités)-2 édition . Edition MASSON
[6] G .Dhatt-G .Touzo t
Une présentation de la méthode des éléments finis 2 edition-Collectio n
- Université de Compiegne-1984-Edition MALO INE
29
►..
6.
.
~r.
Annexe
Géométrie différentiell e
1
1 . Rappels d e géométrie diffé rentielle.
Nous allons d'abord rappeler et admettre quelques résultats de géométri e
différentielle:
En tout point d'une surface tridimensionnelle, il existe deux directions principale s
qui sont les directions des courbures maximale et minimale . Ces directions sont
orthogonales en un point . Soit le vecteur position X( X 1, X 2) des points sur une
surface E définissant ainsi la représentation paramétrique de cette surface .
On la choisit de telle sorte que la courbe décrite sur la surface en faisant varier X 1 e t
en gardant X2 soit une ligne de courbure (courbe sur la surface dont la surface don t
la direction en chaque point est selon une des directions principales) de laquelle X 1
représente la longueur . Inversement, la courbe décrite sur la surface en faisan t
varier X2 et en gardantX1 constant est une ligne de courbure correspondant à
l'autre direction principale, X2 étant la longueur de cette courbe .
On a alors :
aX
aX 1 = é
l
( 1)
K--1
aX
~X2 = e2
u
êl et é2 sont des vecteurs unitaires orthogonaux en un point de E et, qui sont dans le
plan tangent en ce point .
L n', le vecteur normal unitaire , à E en ce point est définie par :
n=élné2
(êl, é2, ii), trièdre direct, représente donc le repère local de la surface dont les
coordonnées locales sont (X1, X2,n) .Nous avons alors les relations :
ai
él
an
2
(2)
ax1 - xl ' ax2 - R2
Xe1
aX l
L.
n'
R2
n cé2
R1'aX2
2
6-
aél _ aé2 _ X à~l _ a
~ ~ ~ ax2 - axé2l = 0
(4)
Rl et R2 étant les rayons de courbure des directions principales, positifs si iiest
dirigée à l'opposé du centre de courbure .
2 . Variation d'un élément de surface et
définition de nouveaux opérateurs .
Les vibrations d'une structure induisent la déformation de celle-ci, donc l'élémen t
` de surface et la normale n' de celle-ci changent au cours du temps .
Considérons une surface E, paramétrique selon les lignes de courbure dans s a
position d'équilibre . Soit X S( X 1, X 2, t), le déplacement de la structure du à so n
mouvement vibratoire .
Soit le repère local (X 1, X2 ,n) de élément de surface E dans sa position d'équilibr e
et (X 1, X2~ ,n') celui de E dans sa position déformée .
a
+
n
n•
tac
A
Xl
A'
ël
ël
O
loi.
e2
B
X2
,
Xl
e2
B,
0
Les vecteurs d'élément d'aire de E à ces instants respectifs sont définis par :
I
ifl = OÂ n O. et ul'E' = O'Â' n O'B' (5 )
Ll
avec OÂ = dXl él et O. = dX2 é2
O'Â'= O'Ô+OÂ+ AÂ'= -XS +dXlêl + XS +~S dXlël (6)
i
De même:
O'B' =dX2é2 + ~S dX2 (7)
2
Or
F
,
3
X"
XS = Xslél+ XS2é2 +Xsn n
Alors
avec k=1,2,n et i=1 ou 2
~S =~X ék + X k~
i
j
~
Et d'après les relations portant sur les vecteurs de base, les relations ( 6) et (7) deviennen t
4'A'=
O'B'=[
_
[(
x
l
R
1+ 1 R)e~ +S2 e2 +( dXsn X S1)n]dX
t
t
i
i
axs axs xs axs x s2
1 él +(1+
dX 2
2 + ")é2 +(
n - )n']dX2
dX 2
R2
dX 2
R2
Effectuons le produit O'Â' n O'B'et écrivons la variation de l'élément vectoriel d'aire
entre sa position d'équilibre et sa position déformée :
M
dE' - d'E= O 'Â 'n 0'B '- OÂ n OB
0
en ne gardant que les termes d'ordre 0 et d'ordre 1, nous avons :
dE'-dE= [
XS
XS
1
1
2 ë2 + ( - + - X Sni2- gi'ClCZz X sn +divs (XS)n]dX1dX2
1 él+
Ri R2 Rl R2 )
,
On peut alors mettre en évidence les termes intervenant dans le changement de
l'élément vectoriel de surface :
La variation de la normale à la surface :
On= S1 él+ R é2-gradEXsn
22
R1
La variation d'aire:
4
I I1
OJ = Rl
( 1 R2
+ 1)XSn +divEX'S
- Ou sont définis deux opérateurs surfaciques divl: et gra d l, qui sont en fait le s
opérateurs divergence et gradient pris dans la surfac e
- En utilisant ces nouvelles définitions, nous avons alors :
1 + ~S2
divyXs = ~
1
2
et
..
g1QdE X sn - ~ Sn el ~. ~ Sn e2
axl
ax2
3 . Expression de la divergence surfacique du
vecteur vitesse permanent de l'écoulement.
On a pour ce vecteur de vitesse:
divV = 0
I
Le fluide étant considéré incompressibl e
Exprimons ce vecteur de vitesse dans la base locale (él,é2,n), système de
coordonnées locales prises sur la position d'équilibre de la paroi
V = Vlêl + U2 é2 + V3n
'
Ce qui donne pour sa divergence :
divV =
aVl + aiV2 + aVn
ax, ax2 dn
Ce que nous voulons c'est exprimer sa divergence surfacique en fonction de l a
dérivée normale de sa composante normale à la paroi.
-
La condition d'incompressibilité implique que :
5
av avl + av2 )
~ -~ ax, ax2
C'est à dire que :
aV = -divEV
arz
Rappelons que divl:V est la divergence du vecteur vitesse de l'écoulemen t
permanent prise sur la surface de la paroi à la position d'équilibre.
6
Ow
_
Annexe
2
Co mpl éments sur les exemples
d ' appli cation
~
~t
1
1 . Cas d'un système à un degré de liberté
1 .1 Mouvement de translatio n
La géométrie que nous considérons consiste en deux corps cylindriques concentriques
d'axe OZ et de longueur L, délimitant ainsi un espace annulaire uniforme où s'écoule
alors le fluide . Le corps externe est mobile d'un mouvement de translation suivant l'axe
OY, on notera Ri le rayon du cylindre intérieur et Re celui du cylindre extérieur . La
vitesse Vo est parallèle à l'axe des cylindres .
Vo
Le mode propre de la structure s'écrit alors :
X=1. ÿ
~- Les potentiels ;D, (pl,tp2 sont alors solutions respectives des problèmes PM, P1,P2
suivants:
0 (D = 0 dans D
(PM)
1, gra d~.n =0 sur Eo
n sur Ef
•• On peut choisir W tel que :
4D =Voz
..
60
Car on a bien 0W = 0 dans le domaine fluide et les conditions aux limites sont bie n
vérifiées :
sur Ea n = -é,
La condition portant sur Eo :
gmd(D .n=± 7 = 0
surE f n=±'z
La condition aux limites portant sur les surfaces fluides est alors vérifiée :
gra d4D .n=± ±Vo
2
(e~p1= o
dans
D
gmd~pl .n = sin9
(Pi )
sur Eo
gra d tpl . n' = 0 sur E f
ltpl = 0 en un point
Nous cherchons le potentiel tpl sous la forme :
tpl = A(r+ ~) sin 9
r
A étant une constante réelle à déterminer avec les conditions aux frontières .
sur Eo ,- ~1 (r = Re ) = sin9
~
R2
A
On vérifie bien que :
-
sur
E
f,
a~Pt
=0
dz
Donc, le potentiel (pl a pour expression :
2
2
ÇP1=- RRe R2(r+Rr
)sin 9
,
e
O ~P2 = 0 dans D
-
grad(p2 .n = grad(D .gradEo (sin 0 )
(P2) + sin 9(divj (grad~)) sur E o
0
grad 4p2 . n= 0 sur E f
(p2 = 0 en un po int
Avec les expressions des potentiels précédentes, on obtient que :
~ ..
grad(D.grad4(sin6)=0 et divzo (grad(-D) = 0
Ce qui nou s suggère de prendre pour expre ssion du potentiel (p2 :
~P2 = 0
"
1 .2 Mouvement de rotation .
On considère désormais que le cylindre extérieur possède un mouvement de rotatio n
•- autour d'un point pivot que l'on prendra pour origine du repère du système étudie .
Le déplacement, linéarisé, de la structure s'écrit alors : X'S = Ozÿ
- où a représente l'angle de rotation d'une section du cylindre vibran t
En effet
Soit un point M repéré par :
I
!
3
e cos9
M
i sinO
et M' le point tel que :
Re COS B
M' Rt sinO +ztga
Re Siri a
M' représente le point M déduit par rotation de la section du cylindre sur laquelle se
trouve initialement le point M .
Le déplacement est, par définition :
X S = MM'
D'où :
X S = tg a
e sina
A l' ordre 1 , on a alors:
0
XS = z a
Rea
Donc dans le plan perpendiculaire a l'axe OZ, on a bien Xs = azÿ
tpl est alors solution de :
f 0 q~ = 0 dans D
(Pl) gra dçol . n = z sin9
sur Eo
Igrad(pl•n=0 surE f
ltp1= 0
en un point
On cherche~pl sous la forme :
2
~pj = A(r + ~ )z sin O
r
On peut vérifier que:
O~p1= 0 dans le domaine fluide
La condition portant sur la surface vibrante nous permet de déterminer A :
2
~ A(1- R` )(z sin9 )k-Re = z sin O
r
4
=>
RZ
e
A= Re2 - R1 2
(pl peut alors être pris égal à:
R 2 R?
(P1-R2QR2 ( r+ r )zsin9
i
e
(p2 est solution de:
O(p2 = 0 dans D
gra d (P2 .n= grad 9D.gradjo(X .n)
(P2) I + (X . n)divzo (grad ;U) sur E o
gra d (p2 . n= 0 sur Ef
(p2 = 0 enun point
Partant de la forme
2
(p2 = A(1 + R` ) sin ~
r
On prend soin de vérifier que (p2 vérifie O (p2 =0 dans le domaine fluide et que la
condition à la paroi vibrante nous permet de calculer la constante A :
2
A = 2° RQ 2
RQ - R i
Ç02 est alors :
T 2 = RV
2 Re~2p 2( r + ~ 2) sin 8
e "i
5
r
Annexe
3
CALCUL DU SECON D MEMBRE DU
PROBLEME PORTANT SUR LE
POTENTIEL ÇP2
I
Wi
Il s'agit donc d'estimer l'intégrale :
_
f(grad .graa zo(Xi .n)+(Xi .n)divzo(grad(D))NjdS
Eo
Cette intégrale sera estimée à l'aide de la formule de quadrature de GAUSS .On sera donc
amené à calculer l'intégrant à ces points .
D'abord, précisons quelques notations ,
On note (Xl, X2) le système de coordonnées curvilignes locales, on définit la base
naturelle locale en un point M de la surface considérée : (él , é2, n) telle que:
aOM
él = aXl
.r
aoNr
é2 =
~
dX2
A
el e2
Il e l ^ e2 1 1
Notons que les vecteurs él , é.l ne sont pas normés et peuvent ne pas être orthogonaux.
O étant l'origine du repère global, les vecteurs él , éz ne sont pas normés alors que ii l'est .
En l'occurrence, la base orthonormée s'écrit :
Iiei I l
i2 = n n il
n
~
Dans la suite des calculs, on fait l'hypothèse suivante :
On confond le système de coordonnées curvilignes locales (X1, X2) avec l e
système de coordonnées dans le plan de référence (~, rl )
1 . Le terme divy (grad
~)
On considère toujours l'approximation pour le potentiel permanent:
s
~ ..
CD _ 1 (Di Ni
L=1
Aux points de GAUSS :
s
-,~
div~ (Srad~)=
a 2N .+a2N .
2`
a~
2` )~t
~
- Les dérivées secondes des fonctions de forme étant évaluées par conséquent aux points de
GAUSS .
2
2. Le terme grad(D.gradz0 (Xi .n)
a
~= i-1
a►1
cK
a4
4
et
t
dii
Xi . ~
~
cit
c'Â,t
à
1 + X; ~
1
a►1
Intéressons nous au gradient surfacique : chaque compos ante de ce vecteur se trouve être
la somme de deux produits scalaires . on cherche alors à approximer chacun d'eu x
toujours par la même méthode .
a . n. ~`
â
8
Xi
(Xii i+ Xi y,
+X1zj k)N j
j= 1
n=(nxi +nyj+nzk )
Aux points de GAUSS :
491 .
~
it • at
g
aNJ•
X(Xi., ri x+Xjyj it y+XlZj riz )
a
j= 1
i. . .
~y
b.
Il nous faut donc connaî tre la dérivée de la normale.
él n é2
Il el
^ e2 11
an
a.
1 a(él A é2) _
Ilel A e211 a•
1
Il
A e2 Il
(él n é2) allel
ei e^ 2112 a.
avec
aVs xt
i=1
---
8
aNi
ôlq Xi
a4
L=1
CW i
el - t-1 a
4
et
yi
8
i
1 a4
8
aNi
8
aNi
e2
i=1
3
â~J
Zi
car
Ntxi
8
OM = ENiyi
i=i
8
YNizi
xi, y; , z, étant les trois coordonnées de chacun des noeuds de l'élément .
On calcule alors les différents termes qui composent cette dérivée et on forme le résulta t
final ensuite .
él A é2 :
aNl aN;
(y i z; - y A ) a~ ar►
i =i j=i
a
g
( Z i xj
él n é2 =
aNl aN ;
- xtzj ) a
i=1 j=1
4 Oh
aN~ aN;
(xiYj -Yi x j ) a
i=1 j= 1
~ ~Î
a (él A é2 )
a.
a( l n é2) _ ael
n é2 +él n
c 2
a . a. a .
a I kl n é2 .
a.
On pose :
d=élné2
et
1sx = ( YiZj - Yjzi)
S y = (z1xj -xi zj )
lsz - (xiyj - Yixj )
Ce qui entraîne que :
4
u
allel A
day
dGIx
aaZ
Ilel ^ e2 ll ( a. ax + a . ay + a. az ~
e2 11 =
1
a.
et
( da, _
a~
~
j +aVi a2
i_1 J_1 a 2
a4
N. s
x
a«y8a8 2Nj ~; aNi a 2 N .
a4 - ~ 1 a~ 2 a,~ + a4 ana~ ) sy
i_l
aaz
_
a2Nj aN
]L]L ( 4
;_l
tt(aNI
i_1 j_ , 4 2
W
av a 2N;
+4
a Sz
071 (;
aax
_ NaNaNa 2 N ;
- tt(a
i_1 1 ~.na~ an +
j _-
4
an 2~sX
8
8
_ a«y _ ~~~a2Nl ~; aN, a 2N; ~ S
~ an i_1 j_, d na4 ~ +a4 an 2 y
~
da
a4z
i- l ;- l
a 2N ; ~ ; aN, a 2 N;
+
an a~ ~ 2 )Sz
_
5