Chapitre 4 : Etude du mouvement circulaire

Noguet
Lycée Blaise Pascal Colmar
Ch 4 Mouvement circulaire.doc
17/02/09
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Chapitre 4 : Etude du mouvement circulaire
1.- Présentation du mouvement circulaire :
1.1.- Définition :
On dit qu’un point M est animé d’un mouvement circulaire par rapport à un repère R si sa trajectoire
est un cercle fixe dans R.
1.2.- Trajectoire du point mobile M dans le repère R :
y
M
AM
OM
O
θ
AA x
La position du point peut être définie dans le repère R :
-
-
soit par les coordonnées paramétriques :
Ce sont les composantes de OM . Ces composantes dépendent ici, uniquement de l’angle θ. θ = f
(t) amènera à définir les caractéristiques angulaires du mouvement de M par rapport à R.
soit par l’abscisse curviligne AM = s qui amènera à définir les caractéristiques linéaires du
mouvement de M par rapport à R.
2.- Caractéristiques angulaires du mouvement circulaire de M/R :
2.1.- Vecteur vitesse angulaire ΩM/R :
C’est un glisseur qui a pour caractéristiques :
o
o
Support :
Sens :
o
Module :
axe de rotation
direct (ire-bouchon)
Ω M/R = ω M/R
ΩM/R
O
M
•
mvt
∆
ω M / R est la vitesse angulaire algébrique en rad/s. Elle s’obtient en dérivant l’espace angulaire θ = f(t).
θ’ = ω M / R
où ω M / R =
dθ
dt
θ = espace angulaire
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Remarque : On peut exprimer ω M / R en tr/min par la relation :
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ωM / R =
π.N
30
2/5
N en tr /mn
2.2.- Vecteur accélération angulaire ΩM/R' :
C’est un glisseur qui a pour caractéristiques :
o
∆
o
Support :
axe de rotation
Sens :
si son sens est identique à celui de ΩM/R alors
le mouvement est accéléré
Ω M/R
O
si son sens est opposé à celui de ΩM/R alors le
mouvement est décéléré
Module :
d ωM/R
ΩM/R ' = ω'M/R =
= θ''
en rad/s2
dt
M
•
mvt
Ω' M/R
Cas du mouvement décéléré
2.3.- Equations angulaires de mouvements circulaires particuliers
2.3.1.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniforme (MCU)
ω' = 0
ω = cte
θ = ω t + θ0
2.3.2.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)

ω' = cte
ω = ω' t + ω 0
θ = 1 ω' t 2 + ω t + θ0
0
2

2.3.3.- Equation angulaire indépendante du temps :
En éliminant le paramètre t entre les deux dernières équations du MCUV, il vient :
2ω ' ( θ - θ 0 ) = ω 2 - ω 20
3.- Caractéristiques linéaires du mouvement circulaire de M/R :
3.1.- Vecteur vitesse linéaire VM/R :
C’est un pointeur qui a pour caractéristiques :
o
o
Point d’application :
Support :
o
Sens :
o
Module :
Ω M/R
O
M
•
VM/R
le point M considéré
tangent à la trajectoire
du point M dans son
mouvement par rapport
à R au point M
donné par le sens du
mouvement
VM/R = v M/R
mvt
∆
VM/R est la vitesse linéaire algébrique en m/s. Elle s’obtient en dérivant l’abscisse curviligne s par rapport
au temps.
ds
ds
dθ
dθ
v M/R =
or s = θ.R
donc
= R.
On avait posé :
=ω
Ainsi,
dt
dt
dt
dt
D’où :
v M/R = ωM/R .R
avec :
v M/R = vitesse linéaire algébrique en m/s
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ωM/R = vitesse angulaire algébrique en rad/s
R = rayon de la trajectoire en m
θM/R = espace angulaire en rad
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3.2.- Vecteur accélération linéaire a M/R :
C’est un pointeur qui a pour caractéristiques :
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M
•
TM/R
a M/R
4/5
o
Point d’application :
le point M considéré
o
Support de l’accélération tangentielle a T :
VM/R
aT
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tangent à la trajectoire du point M dans son
mouvement par rapport à R au point M
o
Support de l’accélération normale aN * :
Normale** à la trajectoire du point M dans son
mouvement par rapport à R au point M
aN
o
Sens de l’accélération tangentielle a T :
- si son sens est identique à celui de VM/R alors
le mouvement est accéléré
si son sens est opposé à celui de VM/R alors le
mouvement est décéléré
o
Sens de l’accélération normale aN :
L’accélération normale est toujours dirigée
vers le centre de la courbure
o
Module :
a M/R = a M/R = a2T + aN2
* L’accélération normale est aussi appelée accélération centripète.
** Normale à une courbe en un point = perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.
Remarque importante :
r
d v M / R r (v M / R ) 2 r
⋅T +
⋅N
Dans le cas général : a M / R =
ρ
dt
Ici
v M/R = ωM/R .R et
ρ =R
D’où l’expression de l’accélération dans le cas particulier du mouvement circulaire :
r
r
•
r
a M/R = ωM/R .R .T + ω2M/R .R .N
•
où :
a T = ωM/R .R ( a T représente la valeur algébrique de l’accélération tangentielle)
et
aN = ω2M/R .R ( a N représente la valeur algébrique de l’accélération normale)
3.3.- Equations linéaires de mouvements circulaires particuliers
2.3.1.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniforme (MCU)
a T = 0

v = cte
s = v t + s0
Attention :
aT = 0 mais aN = ω2R ≠ 0 car ω ≠ 0 ( VM/R est variable en direction)
2.3.2.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)
a = cte
 T
v = ω'R t + v 0
s = 1 ω'R t 2 + v t + s
0
0
2

Attention :
aT = cte mais aN ω2R ≠ cte car ω ≠ cte ( VM/R est variable en direction et en module)
4.- Relation entre vecteurs vitesse angulaire et linéaire :
Les vecteurs Ω M/R et VM/R sont les éléments de réduction du torseur cinématique :
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
Ω
=
 M/R

=
M 

 VM/R =


{V }
M/R
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ωx
ωy
ωz
vx
vy
vz
=
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ωx v 
x

ωy v y 
ωz v z 


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