5 - Faculté des Sciences Dhar Mahraz Fès
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Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions usuelles Brahim Boussouis Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès. Octobre 2013 Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Nous supposons connues les propriétés des fonctions logarithmes et exponentielles de base a > 0 (x 7→ loga x et x 7→ ax ), des fonctions puissances (x 7→ x α , α ∈ R) et des fonctions trigonométriques circulaires (sin, cos, tg et cotg). Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Sommaire 1 Applications circulaires réciproques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg 2 Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Trigonométrie hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Théorème et définition L’application sin réalise une bijection continue strictement croissante de [−π/2, π/2] sur [−1, 1] et, elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule pas sur ]−π/2, π/2[. Sa réciproque est appelée arc sinus, notée Arcsin, et on a : π y = sin x , |x | ≤ ⇐⇒ (x = Arcsin y , |y | ≤ 1). (1) 2 ∀x ∈ ]−1, 1[ , d dx (Arcsin x ) = √ 1 1 − x2 . (2) Démonstration. Seule la formule 2 mérite une démonstration. En utilisant la formule de dérivation d’une fonction réciproque, on peut écrire pour tout x ∈ ]−1, 1[ : d 1 (Arcsin x ) = . Or cos(Arcsin x ) ≥ 0 (car |Arcsin x | ≤ π/2) dx cos (Arcsin x ) et cos2 (Arcsin x ) + sin2 (Arcsin x ) = cos2 (Arcsin x ) + x 2 = 1, donc √ cos (Arcsin x ) = 1 − x 2 . Brahim Boussouis Fonctions usuelles L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques 5 5 4 4 3 3 1 1 0 0 −5 −4 −3 −2 −1 arcco 2 arcsin x 2 0 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 Brahim Boussouis Fonctions usuelles 0 1 Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Théorème et définition L’application cos réalise une bijection continue strictement décroissante de [0, π] sur [−1, 1] et, elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule pas sur ]0, π[. Sa réciproque est appelée arc cosinus, notée Arccos, et on a : (y = cos x , 0 ≤ x ≤ π) ∀x ∈ ]−1, 1[ , d dx (Arccos x ) ⇐⇒ = (x = Arccos y , |y | ≤ 1). −√ 1 1 − x2 . (3) (4) La démonstration est analogue à la précédente. Remarque L’application x 7→ Arcsin x + Arccos x est continue sur [−1, 1] de dérivée nulle sur ]−1, 1[, donc elle est constante sur [−1, 1]. Comme Arcsin 0 + Arccos 0 = 0 + π 2 = π 2 , on en déduit : ∀x ∈ [−1, 1], Arcsin x + Arccos x = Brahim Boussouis Fonctions usuelles π 2 . (5) Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Théorème et définition L’application tg réalise une bijection continue strictement croissante de ]−π/2, π/2[ sur R, et elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule jamais. Sa réciproque est appelée arc tangente notée Arctg. On a : ∀x ∈ R, d dx (Arctg x ) = 1 1 + x2 . (6) Remarque La fonction f : x 7→ Arctg x + Arctg 1 est continue sur R∗ et sa dérivée est x nulle. Donc elle est constante sur les intervalles R∗− et R∗+ . Comme Arctg 1 = π 4 et que f est impaire, on obtient : ∀x ∈ R∗ , Arctg x + Arctg Brahim Boussouis 1 x = Fonctions usuelles π 2 sgn x . (7) Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Remarques I On a : ∀x ∈ [−1, 1], sin (Arcsin x ) = x, mais Arcsin (sin x ) n’est pas toujours égal à x : En effet, soit f (x ) = Arcsin (sin x ). f est définie sur R, elle est 2π-périodique et impaire et coïncide avec l’identité uniquement sur [−π/2, π/2]. I De même, on a cos (Arccos x ) = x, pour tout x ∈ [−1, 1] et tg (Arctg x ) = x, pour tout x ∈ R, mais Arccos (cos x ) et Arctg (tg x ) ne sont pas toujours égaux à x. (voir figure). Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Brahim Boussouis L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Sommaire 1 Applications circulaires réciproques L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg 2 Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Trigonométrie hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Définition On désigne par : ex − e−x I sinus hyperbolique l’application sh : x 7→ I cosinus hyperbolique l’application ch : x 7→ I 2 . e x + e −x 2 sh x tangente hyperbolique l’application th : x → 7 . ch x . Proposition Les fonction sh, ch et th sont définies et de classe C ∞ sur R. De plus, sh et th sont impaires et ch est paire. 0 0 On a, pour tout x ∈ R, (ch x ) = sh x, (sh x ) = ch x > 0 et 1 (th x )0 = 2 = 1 − th2 x > 0. Donc sh et th sont strictement % sur R. ch x 0 Pour tout x > 0,(ch x ) = sh x > sh(0) = 0, donc ch est strictement % sur R+ . 1 − e−2x lim ch x = lim sh x = +∞ et lim th x = lim = 1. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 + e−2x Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques ch x,sh x,th x, e2 x Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Les formules suivantes sont faciles à établir et sont analogues aux formules de trigonométrie circulaire. ch x + sh x = ex ch2 x − sh2 x = 1 sh(x − y ) = sh x ch y − ch x sh y ch(x − y ) = ch x ch y − sh x sh y th(x − y ) = th x − th y 1 − th x th y sh 2x = 2 sh x ch x 2 sh x sh y = ch(x + y ) − ch(x − y ) 2 sh x ch y = sh(x + y ) + sh(x − y ) a−b a+b sh a − sh b = 2 sh ch 2 2 a+b a−b sh ch a − ch b = 2 sh 2 2 Brahim Boussouis ch x − sh x = e−x sh(x + y ) = sh x ch y + ch x sh y ch(x + y ) = ch x ch y + sh x sh y th x + th y th(x + y ) = 1 + th x th y ch 2x = 2 ch2 x − 1 th 2x = 2 th x 1 + th2 x 2 ch x ch y = ch(x + y ) + ch(x − y ) a+b a−b sh a + sh b = 2 sh ch 2 2 a+b a−b ch a + ch b = 2 ch ch 2 2 Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Théorème et définition L’application sh : R → R, l’application th : R → R et l’application ch : R+ → [1, +∞[ sont des bijections continues, strictement croissantes et dérivables. Leurs réciproques sont respectivement appelées argument sinus hyperbolique (notée Argsh), argument tangente hyperbolique (notée Argth) et argument cosinus hyperbolique (notée Argch). (Argsh x )0 = (Argch x )0 (x ) = (Argth x )0 = Brahim Boussouis 1 √ , (x ∈ R); x + 1 + x2 1 √ , (x > 1); x2 − 1 1 , (−1 < x < 1). 1 − x2 Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Argsh x, Argch x, Argth x Brahim Boussouis Fonctions usuelles Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques On a les formules suivantes : √ Argsh x = log x + 1 + x 2 1 1+x Argth x = log 2 √1 − x ch (Argsh x ) = 1 + x 2 √ sh (Argch x ) = √ x 2 − 1 x2 − 1 th (Argch x ) = ch (Argth x ) = √ Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques √ Argch x = log x + x 2 − 1 sh (Argsh x ) = x th (Argsh x ) = √ x 1 + x2 ch (Argch x ) = x sh (Argth x ) = √ x 1 x 1 − x2 th (Argth x ) = x 1 − x2 Démonstration. Vérifions par exemple la première formule. On a : e y − e −y t − 1/t Argsh x = y ⇐⇒ x = sh y = ⇐⇒ x = , où t = ey . On en 2 2 √ √ déduit que t 2 − 2tx − 1 = 0. Donc t ∈ x + x 2 + 1, x − 1 + x 2 . Comme √ y t = ey > 0, on a t = x 2 + 1 et e = √x + 2 y = Argsh x = log x + x + 1 . Brahim Boussouis Fonctions usuelles