Cours de thermodynamique - Espace d`authentification univ

Transcription

L2 Parcours Physique Chimie
Thermodynamique: Transferts thermiques1
Nathalie Daniault
27 avril 2009
1
Les deux premiers chapitres sont tirés d’un cours écrit par Charles Fravalo, Professeur (E.R.) de l’Université de
Bretagne Occidentale. Pour les chapitres suivants, ce cours s’inspire très largement du cours écrit par Yves Jannot,
trouvé sur le web à l’adresse suivante http://www.thermique55.com/, du livre “Introduction aux transferts thermiques”
de Dominique Marchio et Paul Reboux, cours de l’Ecole des Mines de Paris et du dossier “Transmission de l’énergie
thermique” par Alain Degiovanni, Techniques de l’ingénieur, BE 8200.
2
Table des matières
1 Les potentiels thermodynamiques
1.1 Les fonctions d’état U et H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Energie interne U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Enthalpie H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les fonctions d’état F et G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 L’énergie libre F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 L’enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Transformation mathématique de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Application : retour sur les coefficients calorimétriques . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Le potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Définition selon l’enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Autres définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Grandeurs molaires partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Relation de Gibbs - Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Calcul de potentiels chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Equilibre et évolution d’un système thermodynamique . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Rappel de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Cas d’un système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Transformation monotherme d’un système fermé . . . . . . . . . . . . .
1.7 Equilibre et évolution d’un système hétérogène fermé . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Conditions d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Evolution d’un système diphasé avec transfert de matière entre les phases
1.8 Variance d’un système : règle de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Changement de phase des corps purs
2.1 Caractéristiques des états de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 L’état solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 L’état fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Autres états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Définition relatives aux transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Description qualitative des transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Palier de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Diagrammes d’équilibre P(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Étude thermodynamique d’une transition de phase . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Équilibre d’un corps pur sous deux phases . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Chaleur latente d’une transition de phase . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Formule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Étude de l’équilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Les isothermes d’Andrews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Point représentatif de l’équilibre liquide-gaz : théorème des moments
3
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TABLE DES MATIÈRES
4
2.6
2.5.3 Chaleur latente de vaporisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés du point triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Définition des grandeurs fondamentales . . . . . . . . . . .
3.2.1 Température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur . . . . .
3.3.1 Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Expression des flux d’énergie . . . . . . . . . . . .
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4 Transfert de chaleur par conduction
4.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Conduction en régime permanent . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Notion de résistance thermique . . . . . . . . .
4.2.3 Transfert unidirectionnel . . . . . . . . . . . .
4.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état
4.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Nombres sans dimension . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Quelques cas d’école . . . . . . . . . . . . . .
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5 Transfert de chaleur par rayonnement
5.1 Généralités, définitions . . . . . . . . . .
5.1.1 nature du rayonnement . . . . . .
5.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . .
5.2 Lois du rayonnement . . . . . . . . . . .
5.2.1 Loi de Lambert . . . . . . . . . .
5.2.2 Lois physiques . . . . . . . . . .
5.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques
5.3.1 Problème général . . . . . . . . .
5.3.2 Plans parallèles infinis . . . . . .
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6 Transfert de chaleur par convection
6.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . .
6.1.1 Dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Convection : généralités, définitions . . . . . . . . . . .
6.2.1 Convection naturelle et forcée . . . . . . . . . .
6.2.2 Régime d’écoulement . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Expression du flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée .
6.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle
6.4 Introduction à la convection avec changement d’état . . .
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Chapitre 1
Les potentiels thermodynamiques
Dans ce chapitre, on introduit les différents potentiels thermodynamiques ou fonctions thermodynamiques
que l’on utilise selon le type de variables expérimentales accessibles. Ces potentiels thermodynamiques sont
des fonctions d’état extensives. Il s’agit d’énergies exprimées en Joules, à l’exception de l’entropie exprimée
en Joule/Kelvin. Quelques exemples d’application de ces fonctions thermodynamiques sont donnés dans ce
chapitre : obtention des coefficients calorimétriques ainsi que l’équilibre et l’évolution d’un système thermodynamique à l’échelle macroscopique. La fin du chapitre est consacrée à l’étude des potentiels chimiques qui
sont des variables intensives.
1.1 Les fonctions d’état U et H
1.1.1
Energie interne U
Prenons le cas d’un corps pur monophasé constituant un système fermé subissant une transformation réversible. L’application des deux principes conduit aux relations
dU = δQ + δW
où δW = −P dV et δQ = T dS soit
dU = T dS − P dV
L’état du système est caractérisé par deux variables indépendantes S et V ou variables naturelles de l’énergie
interne U. On dit que le système est divariant (ou bivariant) soit
U = U (S, V )
La différentielle dU étant une différentielle totale exacte, on en déduit les relations
µ
T =
∂U
∂S
¶
µ
V
∂U
et P = −
∂V
¶
S
et
µ
∂T
∂V
¶
S
µ
∂P
=−
∂S
¶
V
Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énergie interne. Elle découle de l’égalité de
Schwartz associée à la différentielle totale dU.
On peut généraliser les définitions précédentes à un système quelconque n-variant dans lequel une variable
intensive extérieure (Xie ) est associée à une variable extensive relative au système (Yi ). Ces deux variables Xie
et Yi sont conjuguées et l’expression généralisée du travail s’écrit
δW =
n−1
X
Xie dYi =
i=1
n−1
X
i=1
5
Xi dYi
CHAPITRE 1. LES POTENTIELS THERMODYNAMIQUES
6
car pour une transformation réversible, on a : Xie = Xi
On écrit donc l’énergie interne sous la forme généralisée
n−1
X
dU = T dS +
Xi dYi
i=1
avec U = U (S, {Yi })
où Yi représente l’ensemble des variables extensives Yi .
Dans le cas particulier d’un système di variant (n = 2) soumis aux seules forces extérieures de pression, on
a bien entendu Xi = −P (l’opposée de la pression) et Yi = V .
Exemple énergie interne d’un fil soumis à une force de traction F~e = −T~n . La longueur du fil est L
et la tension Tn . Pour un allongement dL du fil, le travail de la force appliquée est appelé travail utile. Il vaut
δWu = Tn dL et dU = T dS + Tn dL
Il s’agit d’un système di variant.
1.1.2 Enthalpie H
On appelle enthapie d’un corps pur monophasé la fonction
H = U + PV
On en déduit la différentielle dH sur un chemin réversible
dH = dU + d(P V )
dH = T dS + V dP
Pour un système divariant, l’enthalpie est fonction des deux variables indépendantes S et P (ou variables
naturelles de H) soit
H = H(S, P )
on en déduit les relations
µ
T =
∂H
∂S
¶
µ
et V =
P
∂H
∂P
¶
S
et
µ
∂T
∂P
¶
µ
=
S
∂V
∂S
¶
P
Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énthalpie.
Quant à l’enthalpie généralisée d’un système n-variant, elle s’écrit :
H=U−
n−1
X
Xi Yi
i=1
On calcule alors
dH = δQ + δW −
n−1
X
Xi dYi −
i=1
où
δQ = T dS
n−1
X
i=1
Yi dXi
1.2. LES FONCTIONS D’ÉTAT F ET G
7
et
δW =
n−1
X
Xi dYi
i=1
pour une transformation réversible.
On en déduit
dH = T dS −
n−1
X
Yi dXi
i=1
et H s’écrit sous la forme
H = H(S, {Xi })
Dans le cas du fil de longueur L on a donc
dH = T dS − LdTn
1.2 Les fonctions d’état F et G
1.2.1
L’énergie libre F
On appelle énergie libre ou fonction de Helmholtz, la fonction d’état d’un corps pur monophasé
F = U − TS
La température T du système doit donc être uniforme dans le système et F est une fonction d’état extensive
exprimée en Joule.
Calculons la différentielle totale dF pour un corps pur monophasé constituant un système fermé et subissant
une transformation réversible. On a :
dF = dU − T dS − SdT
dF = T dS − P dV − T dS − SdT
dF = −SdT − P dV
On en déduit que les variables naturelles indépendantes de l’énergie libre F sont T et V, d’où
F = F (T, V ) et
µ
S=
∂F
∂T
¶
µ
et P =
V
∂F
∂V
¶
T
et
µ
¶
µ
¶
∂P
∂S
=
∂V T
∂T V
Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’énergie libre.
On écrit également l’énergie libre généralisée sous la forme
dF = −SdT +
n−1
X
Xi dYi
i=1
d’où
F = F (T, {Yi })
Dans le cas du fil élastique, F se met sous la forme :
dF = −SdT + Tn dL
8
1.2.2
L’enthalpie libre G
On appelle enthalpie libre G ou fonction de Gibbs la fonction d’état d’un corps pur monophasé
G = H − TS
G est définie pour un système de température et de pression uniformes. C’est une fonction d’état extensive
qui s’exprime en Joule.
Calculons la différentielle dG pour une transformation réversible
dG = dH − T dS − SdT
dG = V dP − SdT
d’où
G = G(T, P )
Les variables naturelles indépendantes de l’enthalpie libre G sont les variables intensives Pet T. On en
déduit les trois relations
µ
V =
∂G
∂T
¶
µ
et S = −
T
∂G
∂T
¶
P
et
µ
¶
µ
¶
∂V
∂S
=−
∂T P
∂P T
Cette dernière relation est la relation de Maxwell relative à l’enthalpie libre.
Pour un système n-variant l’enthalpie libre s’écrit sous la forme généralisée
dG = −SdT +
n−1
X
Yi dXi
i=1
d’où
G = G(T, {Xi })
Dans le cas du fil élastique, F se met sous la forme :
dG = −SdT − LdTn
1.3 Transformation mathématique de Legendre
On appelle transformation mathématique de Legendre pour un système divariant, une transformation qui permet de changer de fonction thermodynamique, en retranchant à l’énergie interne U(S,Y) les
produits d’une variable extensive Y par la variable intensive conjuguée X.
La transformation de Legendre a d’autres propriétés intéressantes qui ne seront pas étudiées ici.
La différentielle totale dU se mettant sous la forme
d(U − XY ) = T dS + XdY − d(XY ) = T dS − Y dX
On peut prendre deux exemples pour illustrer la définition précédente.
Construction de la fonction enthalpie Dans le cas d’un fluide soumis aux seules forces extérieures de pression, on a X = −P et Y = V . On retrouve alors la définition de la fonction d’état enthalpie
d(U + P V ) = T dS + V dP = dH
1.4. APPLICATION : RETOUR SUR LES COEFFICIENTS CALORIMÉTRIQUES
Construction de la fonction enthalpie libre
9
En procédant de même pour les variables S et T, on obtient
d(U − XY − T S) = T dS + XdY − d(XY ) − d(T S) = −SdT − Y dX
On retrouve alors l’enthalpie libre dans le cas du fluide précédent (X = -P et Y = V) soit
d(U + P V − T S) = d(H − T S) = −SdT + V dP = dG
La transformation de Legendre peut être généralisée à un système n-variant.
1.4 Application : retour sur les coefficients calorimétriques
Nous redémontrons ici les relations de Clapeyron relatives aux coefficients calorimétriques.
Pour une transformation élémentaire réversible, la variation d’entropie s’écrit en fonction de T et de V
δQ
CV
l
=
+ dV
T
T
T
dS =
A l’aide de la relation de Maxwell relative à l’énergie libre, on en déduit
l
=
T
µ
¶
∂S
∂V
µ
=
T
d’où la relation de Clapeyron pour l
µ
l=T
∂P
∂T
∂P
∂T
¶
V
¶
V
En écrivant dS en fonction de T et P soit
δQ
CP
k
=
+ dP
T
T
T
dS =
pour une transformation réversible, on a
k
=
T
µ
∂S
∂P
¶
T
En comparant avec la relation de Maxwell relative à l’enthalpie libre, on établit immédiatement la relation
µ
∂S
∂P
¶
T
µ
∂V
=−
∂T
¶
P
On en déduit la relation de Clapeyron pour k
µ
k = −T
∂V
∂T
¶
P
1.5 Le potentiel chimique
1.5.1
Position du problème
Jusqu’à présent nous avons étudié les systèmes fermés et monophasés où le nombre de moles n était
constant. Dans ces conditions, les fonctions thermodynamiques ou potentiels thermodynamiques sont écrits
en fonction des variables naturelles et pour un système divariant on a
U = U (S, V ) S = S(U, V )
H = H(S, P ) S = S(H, P )
F = F (T, V ) G = G(T, P )
10
Lorsque le nombre de moles du système ou des constituants du système n’est plus invariable, les variables
précédentes ne sont plus suffisantes pour décrire l’évolution du système, il y a lieu d’y ajouter de nouvelles
variables qui déterminent la composition du système. Cela se produit dans les cas suivants :
- pour un système fermé monophasé à plusieurs constituants, du fait des réactions chimiques entre les
constituants et la création de nouveaux produits ;
- pour un système fermé où un ou des constituants changent progressivement de phase. Pendant la transition,
deux phases coexistent ;
- pour un système ouvert où de la masse est retirée ou ajoutée au système.
Les grandeurs pertinentes pour décrire la composition des systèmes précédents sont les nombres de moles
ni (ou les masses Mi ) de chaque constituant Ai , dans une phase déterminée. En raisonnant sur les nombres de
moles ni , les potentiels thermodynamiques s’écrivent donc :
U = U (S, V, {ni }) S = S(U, V, {ni })
H = H(S, P, {ni }) S = S(H, P, {ni })
F = F (T, V, {ni }) G = G(T, P, {ni })
Dans ces expressions, on peut naturellement remplacer les nombres de moles ni par les masses Mi des
constituants.
1.5.2
Définition selon l’enthalpie libre G
De toutes les fonctions précédentes, l’enthalpie libre G a un rôle privilégié dans la mesure où les variables
naturelles P et T peuvent facilement être mesurées et contrôlées par l’expérience (cf chimie).
Imaginons un mélange monophasé composé de r constituants Ai subissant une transformation réversible au
cours de laquelle, les variables T, P et ni varient de manière infinitésimale. On a donc
µ
dG =
∂G
∂T
¶
µ
dT +
P,ni
∂G
∂P
¶
dP +
T,ni
¶
r µ
X
∂G
i=1
∂ni
P,T,nj6=i
dni
Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, les deux premières dérivées partielles s’écrivent
µ
∂G
∂T
¶
µ
= −S et
P,ni
∂G
∂P
¶
=V
T,ni
et pour un système fermé dont les nombres de moles des constituants sont fixes (ni = cste), on retrouve
bien l’expression
dG = −SdT + V dP
Par définition, le potentiel chimique molaire d’un constituant Ai d’un système monophasé vaut
µ
µi =
∂G
∂ni
¶
P,T,nj6=i
La variation de G s’écrit donc
dG = −SdT + V dP +
r
X
µi dni
i=1
La signification physique du potentiel chimique molaire µi qui s’exprime en Jmo1−1 est donc la suivante :
- c’est la variable intensive associée au nombre de moles ni du constituant Ai dans une phase déterminée
(ni est une variable extensive) ;
- µi traduit l’effet produit sur G par l’apport ou le retrait d’une certaine quantité du constituant Ai dans
une phase déterminée. Le dernier terme du second membre de dG est en effet appelé travail chimique et µi
représente le travail à fournir pour introduire dans le système, une mole du constituant Ai dans une phase
déterminée.
1.5. LE POTENTIEL CHIMIQUE
1.5.3
11
Autres définitions
On peut définir le potentiel chimique à partir des autres fonctions d’état soit
dU = T dS − P dV +
r
X
µi dni
i=1
avec
µ
µi =
∂U
∂ni
¶
S,V,nj6=i
dH = T dS + V dP +
r
X
µi dni
i=1
avec
µ
µi =
∂H
∂ni
¶
S,P,nj6=i
dF = −SdT − P dV +
r
X
µi dni
i=1
avec
µ
µi =
∂F
∂ni
¶
T,V,nj6=i
Il convient cependant de noter que les variables extensives S et V sont moins intéressantes que les variables
intensives T et P d’où la définition la plus courante de µi à partir des dérivées partielles de la fonction d’état G.
1.5.4
Grandeurs molaires partielles
Exprimons une grandeur extensive X quelconque, en fonction des variables intensives T et P et des variables
extensives ni . On a
X = X(T, P, {ni })
d’où
µ
dX =
∂X
∂T
¶
µ
dT +
P,ni
∂X
∂P
¶
dP +
T,ni
¶
r µ
X
∂X
i=1
∂ni
P,T,nj6=i
dni
Par définition la grandeur partielle molaire relative au constituant Ai est
µ
ζi =
∂X
∂ni
¶
P,T,nj6=i
dni
ζi est une grandeur intensive (unité de X par mole). Si on multiplie les variables extensives ni par un nombre
réel λ, X est aussi multipliée par λ car les deux premières dérivées partielles sont des grandeurs extensives
associées à T et P soient S et V respectivement. Par conséquent :
X(T, P, {λni }) = λX(T, P, {ni })
Une telle fonction est dite homogène de degré 1 1 . Elle vérifie le Théorème d’Euler :
∗ et si f est différentiable en X et homogène de degré α alors l’ identité d’Euler
Si X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R+
est vérifié
∂f
∂f
∂f
x1
+ x2
+ ... + xn
= αf (X)
∂x1
∂x2
∂xn
1
Fonction homogène de degré α : f (tX) = tα f (X) ;
x
exemple f (x) = x3 , f (3x) = 33 x3 = 33 f (x) ⇒ α = 3 et x ∂f
= x(3x2 ) = 3x3 = 3f (x)
∂x
12
Par application du théorème d’Euler, avec ici α = 1, on déduit que
X(T, P, {ni }) =
r
X
µ
ni
i=1
∂X
∂ni
¶
P,T,nj6=i
En résumé, toute grandeur extensive X peut se mettre sous la forme
X=
r
X
µ
ni ζi avec ζi =
i=1
∂X
∂ni
¶
P,T,nj6=i
On peut ainsi exprimer le volume, et toute autre grandeur extensive, d’un système monophasé comprenant
les constituants Ai en fonction de sa grandeur molaire partielle
V =
r
X
µ
vi ni avec vi =
i=1
∂V
∂ni
¶
volume molaire partiel
P,T,nj6=i
En comparant la définition du potentiel chimique µi faite à partir de G et celle de l’enthalpie libre molaire
partielle gi , on vérifie que µi = gi . Le potentiel chimique molaire d’un constituant est donc égal à son enthalpie
libre molaire.
1.5.5
Relation de Gibbs - Duhem
Comparons l’expression générale de la différentielle de G et celle issue de la relation d’Euler
dG = d
Ã r
X
!
µi ni
i=1
=
r
X
µi dni
(1.1)
i=1
r
X
r
X
i=1
i=1
µi dni +
ni dµi
(1.2)
On en déduit
r
X
ni dµi = −SdT + V dP
i=1
Cette relation est appelée relation de Gibbs-Duhem. Si les valeurs de T et de P sont fixées, ce qui est réalisé
par exemple dans le cas d’un changement de phase, on obtient
r
X
ni dµi = 0
i=1
1.5.6
Calcul de potentiels chimiques
Pour un corps pur monophasé constituant un système fermé, on a
dG = −SdT + V dP
Si nous supposons n = 1mole, on a G = µ
d’où dµ = −sdT + vdP
Dans cette relation que l’on peut également établir à partir de la relation de Gibbs-Duhem, s et v sont des
grandeurs molaires.
1.6. EQUILIBRE ET ÉVOLUTION D’UN SYSTÈME THERMODYNAMIQUE
13
1.6 Equilibre et évolution d’un système thermodynamique
1.6.1
Rappel de mécanique
Considérons un système mécanique soumis à des forces dérivant d’une énergie potentielle EP (système dit
conservatif). Si EC est l’énergie cinétique du système, l’énergie mécanique EM est conservée soit
EP + EC = EM = cste
Désignons par q un paramètre de position d’un système simple à un seul degré de liberté : q est une coordonnée qui peut être une longueur ou un angle par exemple. On démontre en mécanique les résultats suivants
(théorème des travaux virtuels) :
- le système est en équilibre si EP est extrémal2 , d’où
µ
dEP
dq
¶
=0
e
(l’indice e correspond à la position d’équilibre)
- l’équilibre est stable si EP est minimal, soit3
Ã
d2 EP
dq 2
!
>0
e
Les autres cas d’équilibre où le potentiel n’est pas minimal sont dits instables (EP est maximal ou inflexionnel)
- enfin, un système exempt de contrainte, évolue spontanément vers sa position d’équilibre stable et son
énergie potentielle décroît soit
dEP < 0 ou ∆EP < 0
En s’appuyant sur ces résultats, il est possible d’établir les conditions d’équilibre thermodynamique ainsi
que le sens de l’évolution spontanée d’un système. Nous nous intéressons aux cas les plus courants en montrant
que les fonctions d’état que nous avons définies jouent le rôle de potentiels thermodynamiques. Notons qu’il
s’agit d’un équilibre macroscopique et non d’un équilibre microscopique
1.6.2 Cas d’un système isolé
Bien que dans la pratique, on a rarement affaire à un système isolé, il s’agit d’un cas théorique intéressant.
Désignons par E l’énergie totale d’un système isolé (E comprend l’énergie mécanique et l’énergie interne selon
la définition vue au premier principe, soit E = EP + EC + U ) et q un paramètre susceptible de faire varier
cette énergie. Entre deux instants t et t + dt, l’application des deux principes donne :
dE = O et dS = δSi ≥ 0
Pour une transformation finie, l’évolution spontanée d’un système isolé doit donc satisfaire les relations
∆E = O et ∆S = Si ≥ 0
Quant aux conditions d’un équilibre stable, elle s’écrivent
µ
dS
dq
Ã
¶
= 0 et
e
On peut donc énoncer la proposition suivante :
2
3
~ = −gradE
~
~ .dl
~
δW = F
0 soit
P . Equilibre si F = ~
forme convexe
dEP
dq
=0
d2 S
dq 2
!
<0
e
14
l’énergie totale d’un système réel isolé reste constante, mais son entropie ne peut que croître, sous
l’effet de transformations internes irréversibles. Dans le cas théorique d’une évolution idéale réversible,
l’entropie reste constante.
De la même façon, on peut conclure que tout système isolé évolue spontanément en augmentant son entropie. L’équilibre thermodynamique, s’il existe, correspond donc à un maximum de l’entropie. Pour avoir une
analogie parfaite avec la mécanique, on définit parfois comme potentiel thermodynamique la quantité −S, que
l’on appelle néguentropie, de façon que la situation d’équilibre stable corresponde à un minimum et non à un
maximum.
1.6.3
Transformation monotherme d’un système fermé
Considérons un système au contact avec un seul thermostat de température constante Te . C’est le cas usuel
d’un système en contact thermique avec l’atmosphère. Au cours d’une transformation finie monotherme.
F = U − Te S
∆U = W ∗ + Q
avec W ∗ le travail total qui est la somme du travail W des forces extérieures de pression et du travail utile Wu ,
soit
W ∗ = W + Wu
µ
Q
Q
∆F = ∆U − Te ∆S avec ∆S =
+ S i ⇒ ∆F = ∆U − Te
+ Si
Te
Te
¶
∆F = W ∗ + Q − Q − Te S i ⇒ ∆F + Te S i = W ∗
∆F ≤ W ∗
si ∆F ≥ 0 le travail W ∗ ≥ ∆F ≥ 0 reçu par le système est supérieur ou égal à l’augmentation de F.
si ∆F ≤ 0 le travail −W ∗ ≤ −∆F fourni par le système est inférieur ou égal à la chute de la fonction F. D’où
le nom d’énergie libre pour F, qui représente la part d’énergie récupérable sous forme de travail.
transformation monotherme et isochore
Lors d’une transformation monotherme et isochore le travail des forces de pression est nul W = 0, d’où
∆F ≤ Wu . Si le système est soumis aux seules forces pressantes (pas de travail utile) Wu = 0 alors
∆F ≤ 0
Cette inégalité montre que l’énergie libre décroît nécessairement au cours d’une transformation réelle monotherme et isochore. On en déduit également que l’équilibre est atteint lorsque F est minimum.
L’énergie libre F est donc le potentiel thermodynamique d’un système chimique subissant transformation monotherme et isochore.
Transformation monotherme et monobare d’un système fermé
Dans la pratique, il s’agit du cas particulier important d’un système évoluant en relation avec le milieu extérieur ambiant de température Te constante et de pression Pe également constante (cas de nombreux systèmes
chimiques). Le système n’est pas nécessairement à la pression Pe ni à la température Te car l’évolution peut
être irréversible.
On se rappelle que
G = H − TS = U + PV − TS = F + PV
En tenant compte du travail autre que celui des forces de pression, le travail total s’écrit
1.7. EQUILIBRE ET ÉVOLUTION D’UN SYSTÈME HÉTÉROGÈNE FERMÉ
15
W ∗ = −Pe ∆V + Wu
où ∆V est la variation de volume du système. L’inégalité établie pour une transformation monotherme est
toujours valable, soit
∆F ≤ W ∗ ou ∆F ≤ −Pe ∆V + Wu
En exprimant cette inégalité en fonction de l’enthalpie libre, soit
dG = dF + d(Pe V ) ⇒ dG = dF + Pe dV ou en intégrant ∆G = ∆F + Pe ∆V
on obtient donc
∆G ≤ Wu
Il convient encore de remarquer que G est définie à partir des grandeurs intensives extérieures Te et Pe et des
grandeurs extensives U, V et S du système.
Si le travail utile est reçu, ∆G ≤ Wu traduit que l’accroissement d’enthalpie libre ne peut excéder le travail
utile.
Si le travail utile est fourni par le sytème (Wu < 0)
−∆G ≥ −Wu ⇔ GI − GF ≥ −Wu
Le travail utile fourni par le système ne peut excéder la diminution de son enthalpie libre. GI − GF est
appelée exergie : elle représente l’énergie utile maximale.
Evolution et équilibre d’un système chimique
Pour un système chimique on a Wu = 0, d’où
∆G ≤ 0
Pour une transformation monotherme et monobare d’un système chimique, l’enthalpie libre ne peut que
décroître et le minimum de cette fonction définit l’état d’équilibre du système.
L’enthalpie libre G est le potentiel thermodynamique d’un système chimique subissant une transformation monotherme et monobare
Remarque Bien entendu, les conclusions obtenues pour les transformations monotherme et monobare s’appliquent aux transformations isotherme et isobare qui sont constamment en équilibre thermique et mécanique
avec le milieu extérieur. Dans ce cas, les fonctions F et G sont définies à partir de la température et de la pression
du système.
1.7 Equilibre et évolution d’un système hétérogène fermé
1.7.1 Conditions d’équilibre
Considérons un corps pur présent sous plusieurs phases, constituant un système fermé hétérogène en équilibre thermodynamique. Désignons par φ le nombre de phases (φ = 3 si les phases solide, liquide et gazeuse
sont présentes mais très souvent φ = 2). Le système des φ phases étant en équilibre, la pression P et la température T sont communes à toutes les phases. Dans ces conditions, en désignant par nj et µj le nombre de moles
et le potentiel chimique molaire de la phase j, la différentielle de l’enthalpie libre s’écrit :
φ
X
j=1
µj dnj
16
Dans cette expression, les variables extensives entropie et volume sont sommées sur toutes les phases, soit :
S=
φ
X
Sj et V =
j=1
φ
X
Vj
j=1
Lorsque le système est en équilibre, P et T sont constantes, et l’enthalpie libre est minimale, d’où
dG =
φ
X
µj dnj = 0
j=1
Cette relation se met sous la forme
φ
X
µ1 dn1 +
µj dnj = 0
(1.3)
j=2
Par ailleurs, le système étant fermé, les nombres de moles ne sont pas indépendants. On a en effet
φ
X
nj = cste soit
j=1
φ
X
dnj = 0
j=1
Cette dernière relation se met aussi sous la forme
dn1 +
φ
X
dnj = 0
(1.4)
j=2
En comparant les relations (1.3) et (1.4), on en déduit
−µ1
φ
X
dnj +
φ
X
µj dnj = 0
j=2
j=2
ou
φ
X
dnj (µj − µ1 ) = 0
j=2
Finalement l’équilibre se traduit par les égalité
µj = µ1 ∀j
soit
µ1 = µ2 = µ3
si les trois phases sont présentes. Cette relation appelée relation de l’équilibre chimique, peut être élargie à
un ensemble hétérogène de plusieurs constituants sous plusieurs phases.
Conclusion : pour un système hétérogène en équilibre thermodynamique, le potentiel chimique de
tout constituant est le même, quelle que soit la phase à laquelle il appartient.
1.7.2 Evolution d’un système diphasé avec transfert de matière entre les phases
Considérons un système fermé constitué d’un corps pur présent sous deux phases distinctes (n1 et n2
moles). On étudie la transformation qui fait passer le constituant d’une phase à l’autre à pression et à température constantes. Pour une transformation élémentaire lors de cette transition, on a
dG =
φ=2
X
j=1
µj dnj
1.8. VARIANCE D’UN SYSTÈME : RÈGLE DE GIBBS
17
soit
dG = µ1 dn1 + µ2 dn2
Puisque
n1 + n2 = cste
dn2 = −dn1
d’où
dG = dn1 (µ1 − µ2 )
Comme dans cette transformation dG < 0, le sens de l’évolution est déterminé par le signe de µ1 − µ2 .
Si µ1 < µ2 le nombre de moles de la phase 1 augmente (dn1 > 0) au détriment de celui de la phase 2
(dn2 < 0).
Conclusion : le transfert de matière entre deux phases se fait dans le sens des potentiels chimiques décroissants. En d’autres termes, le constituant quitte la phase où le potentiel chimique est le plus élevé pour aller vers
celle où il est le plus faible. Le transfert s’arrête lorsque l’équilibre entre les potentiels chimiques est réalisé.
1.8 Variance d’un système : règle de Gibbs
Les variables d’état intensives d’un système chimique (pression, température, fractions molaires) ont un
grand intérêt car elles sont plus facilement contrôlables par l’expérimentateur ;
- elles sont indépendantes de la quantité de matière ;
- elles permettent d’exprimer l’équilibre du système facilement
Par définition la variance φ d’un système thermodynamique est le nombre minimal de grandeurs intensives
qu’il suffit de connaître pour déterminer toutes les autres (ou le nombre de variables intensives indépendantes).
C’est également le nombre de grandeurs intensives nécessaires et suffisantes pour définir un état d’équilibre du
système.
On considère un système composé de r constituants A1 , ...Ai , ...Ar en équilibre sous φ phases Φ1 , ...,Φj ,...
Φφ . Si B est le nombre total de variables intensives et Λ le nombre de relations entre elles, la variance s’écrit
σ =B−Λ
1. les variables intensives sont
- la température T
- la pression P
- la fraction molaire xji du constituant i dans la phase j soit rφ fractions molaires au total.
On a donc B = 2 + rφ
2. pour une phase donnée j, on a
r
X
j
xi = 1
i=1
d’où φ relations (une relation par phase).
3. chaque constituant Ai étant en équilibre physique, il y a unicité du potentiel chimique pour chaque
constituant, soit
µ1i = µ2i = ... = µφi
Il y a donc φ − 1 relations par constituant et r(φ − 1) relations pour les r constituants.
4. s’il existe k équilibres chimiques indépendants entre les constituants, on a k constantes d’équilibres d’où
k relations
5. le nombre total de relations s’écrit donc
Λ = φ + r(φ − 1) + k
18
6. On en déduit la variance
σ = 2 + rφ − [φ + r(φ − 1) + k]
σ =c+2−φ
où c = r − k est le nombre de constituants indépendants. L’expression de σ est connue sous le nom de la
règle de Gibbs.
Pour un corps pur monophasé (r = 1, k = 0, φ = 1 et σ = 2) le système est divariant car P et T peuvent
être choisis arbitrairement.
L’équilibre entre deux phases d’un corps pur (r = 1, k = 0, φ = 2 et σ = 1) peut exister. Le système est
alors monovariant : si P est imposée T l’est aussi et réciproquement car il existe une relation P (T ).
Pour tous les corps à l’exception de l’hélium, l’équilibre des trois phases est possible (r = 1, k = 0, φ = 3
et σ = 0) et le système est invariant. L’équilibre des 3 phases se produit pour une pression et une température
caractéristiques du corps : c’est le point triple. A titre d’exemple, pour l’eau les caractéristiques du point triple
sont T = 273, 16K et P = 6, 13hP a.
Exemple de calcul de variance
équilibre 1
H2 O(liq) ↔ H2 O(gaz)
on a r = 2 et k = 1 d’où c = 1, φ = 2, et σ = 1. Il s’agit d’un système monovariant, entièrement déterminé
par la pression ou la température
équilibre 2
P C15 (gaz) ↔ P C13 (gaz) + C12 (gaz)
On a r = 3 et k = 1 d’où c = 2, φ = 1, et σ = 1. Trois variables intensives sont nécessaires pour décrire
le système (P, T et une fraction molaire) .
Chapitre 2
Changement de phase des corps purs
2.1 Caractéristiques des états de la matière
On ne s’intéresse ici qu’aux trois états classiques de la matière : l’état solide, l’état liquide et l’état gazeux,
ces deux derniers étant qualifiés d’état fluide.
2.1.1
L’état solide
Dans un solide, sous l’effet de l’agitation thermique, chaque atome vibre autour d’une position d’équilibre
moyenne quasiment fixe. Parmi les solides, il convient de distinguer les solides cristallins pour lesquels les
atomes sont disposés selon une structure spatiale périodique, des solides amorphes pour lesquels il y a absence
de structure. L’état cristallin est donc caractérisé par un ordre à courte et à grande distance alors que dans
l’état amorphe, il n’y a pas d’ordre à grande distance. Un corps généralement cristallin, peut parfois exister
sous plusieurs structures. il s’agit alors de variétés allotropiques, comme le fer α et le fer γ qui sont deux états
solides distincts.
2.1.2
L’état fluide
Les molécules ne possèdent plus de position moyenne d’équilibre fixe mais se déplacent librement les unes
par rapport aux autres, sous l’effet de l’agitation thermique : c’est le chaos moléculaire. L’agitation thermique
se traduit par un phénomène de diffusion du aux chocs successifs et aléatoires des molécules entre elles. La
diffusion permet le transfert des molécules, de leur quantité de mouvement, et de leur énergie (transfert de
chaleur) au sein du fluide. Parmi les fluides, il convient de distinguer 1’état liquide de l’état gazeux, bien que
dans certains cas, une telle distinction soit parfois difficile à établir. Il est en effet possible de passer de manière
continue de l’état liquide à l’état gazeux : on parle alors de continuité de l’état fluide. Alors qu’un solide a une
forme propre bien définie, les fluides prennent la forme des récipients qui les contiennent, tout en s’adaptant au
champ gravitationnel. C’est ainsi que la surface libre d’un liquide au repos reste perpendiculaire au champ de
la pesanteur. Ceci est vrai pour un liquide dans un petit récipient comme pour l’eau des océans ou l’atmosphère
entière soumis à la gravitation de la Terre. Pour distinguer simplement l’état liquide de l’état gazeux, on peut
dire qu’aux températures et aux pressions usuelles, les liquides ont des masses volumiques beaucoup plus
grandes que celle des gaz (facteur 103 environ). La compressibilité est également un élément de comparaison
intéressant, celle des liquides étant très faible par rapport à celles des gaz (facteur 10−5 environ).
2.1.3
Autres états
Il existe parfois un état intermédiaire entre l’état cristallin et l’état fluide. C’est l’état mésomorphe observé
dans des milieux particuliers appelés cristaux liquides. Si dans l’état fluide, il y a absence d’ordre à grande
distance, dans les cristaux liquides, cet ordre existe dans la position et l’orientation des molécules de forme
allongée. On peut également considèrer les plasmas, qui sont des gaz très denses et fortement ionisés, comme
un état de la matière.
19
CHAPITRE 2. CHANGEMENT DE PHASE DES CORPS PURS
20
Un corps pur peut exister sous plusieurs états physiques, ou phases, une phase étant une partie homogène
d’un système ayant les mêmes propriétés physiques et chimiques. Les changements d’état physiques sont également appelés changement de phase.
Enfin, les buts de ce chapitre sont détudier :
- les équilibres entre les phases.
- les transitions de phase d’un corps pur,
2.2 Définition relatives aux transitions de phase
La figure 1 schématise les différentes transitions de phase entre les états solide, liquide et gazeux. Sur la
figure 1 on a également reporté un axe orienté dans le sens d’une entropie croissante.
La nomenclature reportée sur la figure 1 n’étant pas toujours respectée, il convient d’apporter quelques
précisions :
– on emploie couramment le terme de phase vapeur pour désigner l’état gazeux d’un corps qui dans les
conditions normales de température et de pression est liquide ou solide (vapeur d’eau par exemple ou
vapeur de sodium). L’emploi des deux termes ne porte pas à conséquence.
– le terme condensation est également employé pour le passage de l’état gazeux à l’état liquide : on dit que
la vapeur d’eau se condense en eau liquide (nuage par exemple).
– le terme évaporation correspond à une vaporisation lente en présence d’air atmosphérique, alors que la
vaporisation se fait de manière rapide et uniquement en présence de la vapeur du corps qui se vaporise.
– enfin, une transition de phase a une définition bien plus large que ne le laisse entrevoir la figure 1. A titre
d’exemple, un corps pur peut présenter plusieurs formes solides et généralement cristallines. Il s’agit de
variétés allotropiques et le passage d’une variété à l’autre est également une transition de phase. En fait,
à chaque fois qu’un corps subit un changement de ses propriétés physiques et/ou chimiques on est en
présence d’une transition de phase.
2.3 Description qualitative des transitions de phase
2.3.1
Palier de température
Chauffons un corps pur solide de manière réversible, sous une pression fixée. Le système étant monovariant
(σ = 1), la température de fusion TF reste constante pendant toute la durée de la fusion où les phases solide
et liquide coexistent. On met ainsi en évidence le palier de fusion de la figure 2 où l’abscisse v représente le
volume massique du corps (m3 kg −1 ) qui subit une discontinuité lors de la transition de phase.
2.3. DESCRIPTION QUALITATIVE DES TRANSITIONS DE PHASE
21
De la même façon le palier de température s’observe pour toutes les transitions de phases qui sont donc des
transformations isobare et isotherme.
2.3.2
Diagrammes d’équilibre P(T)
Si on représente tous les points expérimentaux P-T représentant les changements d’état, on obtient les trois
courbes d’équilibre qui délimitent les régions du plan P-T où le corps est sous forme solide, liquide et gazeuse.
Ces trois courbes représentées figure 3 sont :
– la courbe d’équilibre entre la phase solide et la phase liquide Psl (T ) ou courbe de fusion/solidification
– la courbe d’équilibre entre la phase liquide et la phase gazeuse Plg (T ) ou courbe de vaporisation/ liquéfaction
– la courbe d’équilibre entre la phase solide et la phase gazeuse Psg (T ) ou courbe de sublimation/ condensation
22
Le point triple τ
Les trois courbes se coupent en un point unique qui est le point triple τ . En ce point, le système est invariant
(σ = 0) et il y a équilibre des trois phases. Le point triple est une caractéristique d’un corps (sauf pour l’hélium
qui n’a pas de point triple). Quelques valeurs expérimentales sont données dans le tableau ci-dessous.
Transformation isobare AB
Pour comprendre les différentes transitions de phase, examinons la transformation isobare AB de l’eau à la
pression P = 1 atmosphère, sur le schéma de la figure 3a. On peut imaginer un glaçon auquel on apporte très
lentement une quantité de chaleur de manière continue.
En A, l’eau est sous forme de glace. En chauffant la glace, le point figuratif de la transformation vient en F
où la glace commence à fondre à la température de fusion TF = 273, 15K(0o C). Si on continue à apporter de
la chaleur au système, toute la glace fond sans augmentation de température. La transition de phase correspond
au palier de température de la figure 2 et pendant toute la fusion, le point représentatif reste en F.
Lorsque toute l’eau est sous forme liquide, la chaleur apportée au système contribue à augmenter la température qui croît jusqu’à la température d’ébullition TE = 373, 15K(100o C). Le point figuratif est alors E et
l’eau passe entièrement sous forme de vapeur en ce point : c’est le palier de vaporisation/liquéfaction.
Enfin, de E à B, la chaleur apportée au système augmente la température de la vapeur d’eau.
Existence des chaleurs latentes de transition de phase
Soit une transition de phase isobare et isotherme coupant une courbe d’équilibre P (T ). Une telle transition
est caractérisée par le transfert d’une certaine quantité de chaleur entre le système et l’extérieur appelée chaleur
latente. Par exemple, pour faire fondre la glace, il faut fournir au système, une quantité de chaleur appelée
chaleur latente de fusion. Inversement, lorsque l’eau liquide se transforme en glace, il y a libération de cette
chaleur latente. De la même façon, une transition vapeur-liquide libère une quantité de chaleur égale à la chaleur
latente de vaporisation (ou de liquéfaction) alors qu’il faut fournir cette chaleur latente au système pour la
transformation inverse gaz-liquide. Enfin, une chaleur latente de sublimation doit être fournie au système lors
de la transition solide-gaz, cette chaleur latente étant libérée lors de la transformation inverse.
Le point critique C
La courbe de vaporisation/liquéfaction est limitée par le point triple et le point critique C dont les coordonnées sont également une caractéristique d’un corps. La limitation de cette courbe d’équilibre signifie que l’on
peut faire passer un corps de l’état liquide à l’état gazeux de manière continue, en contournant le point C. Il y
a alors continuité de l’état fluide car on passe de manière continue, sans transition de phase, de l’état gazeux à
l’état liquide par la transformation AB reportée sur la figure 4. Cette transformation contourne le point critique
C, sans couper une courbe d’équilibre et aucune chaleur latente n’intervient dans une telle transformation.
2.4. ÉTUDE THERMODYNAMIQUE D’UNE TRANSITION DE PHASE
23
Quelques coordonnées de points critiques sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.
2.4 Étude thermodynamique d’une transition de phase
2.4.1
Équilibre d’un corps pur sous deux phases
Imaginons un système hétérogène constitué de deux phases 1 et 2 formant un système hétérogène à l’équilibre. Sur la figure 5, le point figuratif I de ce système se trouve sur la courbe d’équilibre 1-2.
Si µ1 et µ2 sont les potentiels chimiques massiques de la phase 1 et de la phase 2 au point I, la condition
d’équilibre entre les deux phases s’écrit
dG = dn1 (µ1 − µ2 ) = 0
24
Les potentiels chimiques massiques des deux phases sont donc égaux, d’où :
µ1 = µ2
A cette condition d’équilibre chimique, s’ajoute une condition mécanique sur l’égalité des pressions des
deux phases
P1 = P2 = P
et une condition thermique sur l’égalité des températures des deux phases
T1 = T2 = T
Si les variables intensives µ, P et T sont identiques d’une phase à l’autre, il n’en est pas de même du
volume massique v. En effet, d’une façon générale, il y a variation de volume lors d’un changement de phase
soit v1 6= v2 comme le montre le palier de la figures 2.
2.4.2
Chaleur latente d’une transition de phase
Par définition, la chaleur latente massique L12 de transition de phase d’un corps pur à la temperature T
et sous la pression P(T) est la quantité de chaleur nécessaire pour réaliser, de manière réversible, à T et à P
constantes la transition de phase de l’unité de masse du corps de la phase 1 à la phase 2.
Imaginons une transformation réversible faisant passer l’unité de masse d’un corps pur de la phase 1 à
la phase 2. Si u est l’énergie interne massique et h l’enthalpie massique (en Jkg −1 ), la quantité de chaleur
élémentaire, mise en jeu pour réaliser cette transformation s’écrit
(δq)p = du + P dv = d(u + P v) = dh
car P = cste. On en déduit la chaleur latente de de transition de phase L12
L12 =
Z 2
1
(δq)p = h2 − h1 = ∆h12
Comme l’entropie massique s s’écrit
ds =
(δq)p
T
on a finalement
L12 = ∆h12 = T ∆s12
ou
L12 = h2 − h1 = T (s2 − s1 )
La chaleur latente massique de transition phase est donc la variation d’enthalpie massique. Pour les autres
fonctions thermodynamiques massiques on établit aisément :
∆u12 = u2 − u1 = ∆h12 − P (v2 − v1 )
et
∆f12 = −P (v2 − v1 )
Selon les relations précédentes, les chaleurs latentes L12 sont positives lorsque la transition de phase 1-2
se traduit par une augmentation de l’entropie. Comme entre les phases gazeuse (g), liquide (l) et solide (s), on
a sg > sl > ss les chaleurs latentes de fusion Lsl = Lf , de vaporisation (ou liquéfaction) L1g = Lv et de
sublimation Lsg = Ls sont des quantités positives.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs des chaleurs latentes de fusion et de vaporisation pour
quelques corps, sous la pression de une atmosphère. On donne également les température d’ébullition TE et de
fusion TF .
2.4. ÉTUDE THERMODYNAMIQUE D’UNE TRANSITION DE PHASE
2.4.3
25
Formule de Clapeyron
Considérons les points voisins A et A’ appartenant à la courbe d’équilibre P = P (T ) de la figure 6. Les
coordonnées de A et de A’ sont respectivement (T, P ) et (T + dT, P + dP )
En A et en A’ il y a équilibre entre la phase 1 et la phase 2 d’où les égalités des potentiels chimiques
massiques µ (ou enthalpies libres massiques g) soit :
µ1 = µ2 ou g1 = g2
On peut donc écrire en A et en A’ respectivement
g1 (T, P )
= g2 (T, P )
g1 (T + dT, P + dP ) = g2 (T + dT, P + dP )
De la même façon
g1 (T + dT, P + dP ) = g1 (T, P ) + dg1
g2 (T + dT, P + dP ) = g2 (T, P ) + dg2
On en déduit
dg1 = dg2
soit
v1 dP − s1 dT = v2 dP − s2 dT
si v et s sont le volume massique et l’entropie massique respectivement. On obtient donc la relation
s2 − s1 = (v2 − v1 )
dP
dT
D’après la définition de la chaleur latente de transition de phase L12 , vue précédemment, il vient
26
dP
dT
On obtient ainsi la formule de Clapeyron qui montre que L12 ne dépend que de la température T car dP
dT
est la pente de la courbe d’équilibre P = f (T ). La formule de Clapeyron est générale et s’applique aux trois
transitions de phase étudiées.
L12 = T (s2 − s1 ) = T (v2 − v1 )
2.5 Étude de l’équilibre liquide-gaz
2.5.1
Les isothermes d’Andrews
On détermine le réseau d’isothermes d’Andrews d’un fluide à l’aide d’un dispositif dont le principe de la
figure 7 est celui de la machine de Cailletet (1850)
La machine est une enceinte contenant le fluide (C02 par exemple) sous une pression et une température que
l’on peut faire varier. La pression P, contrôlée par un piston, est mesurée par un manomètre et la température T
est imposée par une enceinte d’eau constituant un thermostat, que l’on peut chauffer ou refroidir. Lorsque, pour
différentes températures, on fait varier le volume massique v en changeant la pression P, on obtient le réseau
d’isothermes d’Andrews de la figure 8
2.5. ÉTUDE DE L’ÉQUILIBRE LIQUIDE-GAZ
27
Pour T < Tc les isothermes présentent trois parties :
1. la courbe AG est relative au gaz ou vapeur sèche et en G la première goutte de liquide apparaît. La vapeur
qui est alors en équilibre avec le liquide est appelée vapeur saturante.
2. un palier isobare GL appelé palier de liquéfaction (vaporisation) correspondant à l’équilibre dit saturant
entre le liquide et la vapeur. Sur ce palier GL, la pression est dite pression de vapeur saturante Ps et elle
suit la relation d’équilibre Ps = Ps (T )
3. une partie LB représentant la courbe de compressibilité isotherme du liquide. A partir de L il n’y a plus
de phase gazeuse : seul le liquide existe.
Les points G et L sont appelés point de rosée et point d’ébullition respectivement. Ces points s’inscrivent
sur la courbe de rosée GC et sur la courbe d’ébullition LC. Le point C est le point critique ou les deux courbes
ont une tangente horizontale. L’ensemble des deux courbes est la courbe de saturation qui délimite le domaine
de coexistence des deux phases.
La longueur GL du palier de liquéfaction décroît lorsque la pression augmente. Elle devient nulle en C où
l’isotherme critique (T = Tc ) présente un point d’inflexion à tangente horizontale, d’où
µ
∂P
∂v
Ã
¶
=
T =Tc
∂2P
∂v 2
!
=0
T =Tc
Au point critique C, on ne peut distinguer le liquide du gaz : on a un tout simplement un fluide.
Pour T > T c, les isothermes présentent un point d’inflexion à tangente oblique qui disparaît lorsque T
devient suffisamment grand. Ce domaine est celui du fluide.
2.5.2
Point représentatif de l’équilibre liquide-gaz : théorème des moments
Imaginons un équilibre liquide-gaz à la température T (figure 9). On désigne par vl le volume massique du
liquide saturant (point L) et par vg le volume massique de la vapeur saturante (point G).
Au point intermédiaire I, d’abscisse v sur le palier de liquéfaction LG, on a un mélange hétérogène des
deux phases liquide et vapeur à l’équilibre. Désignons par xg le titre massique de la phase vapeur
mg
m
avec mg la masse de vapeur pour une masse unité m de mélange. Quant au titre massique de la phase
liquide, il vaut
ml
m − mg
xl =
=
= 1 − xg
m
m
xg =
28
avec ml la masse de liquide (ml = m − mg ). Au point I, le volume massique v vaut donc
v = xg vg + (1 − xg )vl
On en déduit
xg =
LI
IG
v − vl
=
et 1 − xg =
vg − vl
LG
LG
La position de I sur le palier LG permet ainsi de calculer géométriquement le titre massique xg . Il est clair
que xg = 1 au point G (vapeur saturante) et xg = 0 au point L (liquide de saturation). En égalant les expressions
de LG dans les deux relations précédentes, on déduit également
(1 − xg )LI = xg IG
Cette dernière relation traduit le théorème des moments par analogie avec la mécanique.
La relation obtenue en I pour le volume massique v du mélange peut être étendue aux énergies massiques
en ce même point I, soit :
u = xg ug + (1 − xg )ul
h = xg hg + (1 − xg )hl
s = xg sg + (1 − xg )sl
2.5.3
Chaleur latente de vaporisation
Appliquée à la transition liquide-gaz, la formule de Clapeyron donnant la chaleur latente massique de
vaporisation vaut
dPs
Lv = T (vg − vl )
dT
Dans cette relation Ps = Plg est appelée pression de vapeur saturante. On a également les relations
Lv = ∆hlg = T ∆slg ou Lv = hg − hl = T (sg − sl )
Dans le cas où la vapeur saturante est assimilable à un gaz parfait on a la relation
Ps vg =
RT
M
avec M la masse molaire du corps. Par ailleurs, si on se situe suffisamment loin du point critique vg À vl ,
d’où la relation approchée
RT 2 dPs
RT 2 d (ln Ps )
Lv =
=
Ps M dT
M
dT
2.6 Propriétés du point triple
Rappelons d’abords qu’au point triple, il y a équilibre entre les trois phases solide, liquide et gazeuse. Le
système est invariant (σ = 0) et il y a égalité des 3 potentiels chimiques
µs (Tτ ) = µl (Tτ ) = µg (Tτ )
Considérons une transformation réversible, isotherme et isobare au point triple (Tτ , Pτ ) qui fait passer
l’unité de masse d’ un corps pur de l’état solide à l’état liquide, puis à l’état gazeux et enfin ‘a l’état solide.
Pour cette transformation cyclique réversible, on a :
∆h = ∆hsl + ∆hlg + ∆hgs = 0
∆h = Lf + Lv − Ls = 0
2.6. PROPRIÉTÉS DU POINT TRIPLE
29
On en déduit la relation suivante au point triple
Ls = Lf + Lv
D’autre part, comme vg À (vl , vs ), les formules de Clapeyron s’écrivent de manière approchée
Ls ' T vg
Sachant que Ls > Lv on en déduit
dPs
dPsg
et Lv ' T vg
dT
dT
dPsg
dPs
>
dT
dT
Au point triple, la pente de la coourbe de sublimation est supérieure à celle de la courbe de saturation.
30
Chapitre 3
Rappels -Définitions - Introduction aux
transferts thermiques
3.1 Introduction
La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’extérieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre.
La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps)
l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibre
initial et l’état d’équilibre final.
Les deux notions fondamentales en transferts thermiques sont la température et la chaleur. La température
(T) caractérise l’état d’un corps ; la chaleur (Q) exprime un échange énergie.
Lorsque deux points dans l’espace sont à des températures différentes, il y a systématiquement transfert de
chaleur toujours du corps “chaud” vers le corps “froid”. C’est une conséquence directe du deuxième principe
de la thermodynamique. Considérons un système isolé :
T1
T2
δQ
dS = dS1 + dS2
µ
¶
δQ −δQ
1
1
dS =
+
= δQ
−
T1
T2
T1 T2
T2 − T1
dS = δQ
T1 T2
dS > 0 ⇒ T2 > T1
Ce processus est irréversible, car bien qu’isolé du milieu extérieur, il y a création d’entropie.
3.2 Définition des grandeurs fondamentales
3.2.1 Température
C’est une variable d’état qui, du point de vue de la structure intime de la matière, caractérise le degré
d’agitation de ses particules.
31
CHAPITRE 3. RAPPELS -DÉFINITIONS - INTRODUCTION AUX TRANSFERTS THERMIQUES
32
R
L’énergie cinétique EC de chaque particule est liée à la température T par EC = 32 kT , où k = N
=
−23
−1
= 1, 38 10 JK . Avec k la constante de Boltzmann, R, la constante des gaz parfaits et N le
nombre d’Avogadro.
Elle résulte donc de la détermination d’une moyenne et, de ce fait, il est impossible, en toute rigueur, de
définir la température en un point géométrique.
L’unité de la température est définie comme suit (JO 23/12/75) :”le Kelvin (K) est la fraction 1/273.16 de la
température thermodynamique du point triple de l’eau”. On utilise fréquemment la température Celsius définie
par la différence T − T0 entre deux températures thermodynamiques T et T0 avec T0 = 273.16K. Un intervalle
ou une différence de températures peuvent s’exprimer soit en Kelvin soit en degrés Celsius.
8,314
6,025 1023
Champ de température
Nous dirons qu’à l’instant t la température d’un corps est uniforme si, en cet instant, tous les appareils de
mesure indiquent la même valeur T quelle que soit leur position. Nous dirons en outre qu’elle est constante si
T est indépendante de l’instant d’observation. Si ces deux conditions ne sont pas réalisées, nous dirons que la
température est une fonction scalaire T(x,y,z,t) des coordonnées du repère d’espace-temps.
Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la température T(x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champ
de température. Nous distinguerons deux cas :
– Champ de température indépendant du temps : le régime est dit permanent ou stationnaire.
– évolution du champ de température avec le temps : le régime est dit variable ou instationnaire.
Gradient de température
à l’intérieur d’un corps homogène, on peut définir à chaque instant t des surfaces isothermes caractérisées
par T(x,y,z,t)=cste. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à la
surface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température :
grad (T)
isotherme T0
∂T −
−−→
→
grad(T ) =
n avec
∂n
(
−
→
n Vecteur unitaire de la normale
∂T
∂n dérivée de la température le long de la normale
³
´
−
→
∂T ∂T
En coordonnées cartésiennes le vecteur gradient de température ∇T a pour coordonnées1 ∂T
∂x , ∂y , ∂z .
1
−
→
−
→
→
→
→
→
→
→
soit ∇T = A−
x + B−
y + C−
z et dl = dx−
x + dy −
y + dz −
z
→
−
→ −
∇T. dl = dT = Adx + Bdy + Cdz
dT = ∂T
dx + ∂T
dy + ∂T
dz
∂x
∂y
∂z
∂T
∂T
⇒ A = ∂T
;
B
=
;
C
=
∂x
∂y
∂z
3.2. DÉFINITION DES GRANDEURS FONDAMENTALES
3.2.2
33
Chaleur
Définitions
Le premier principe de la thermodynamique affirme l’existence d’une fonction d’état d’équilibre thermodynamique, l’énergie interne U(A) correspondant à un état déterminé (ici l’état A) et définie à une constante
additive près.
L’augmentation d’énergie interne U(B) - U(A) est due à :
– la réalisation d’un travail macroscopique WA→B , par exemple des forces de pression.
– la réalisation d’un transfert d’énergie microscopique, qui donc ne se voit pas, mais existe néanmoins, qui
est appelé, par définition, la chaleur lors de la transformation QA→B .
On déduit donc la définition formelle de la chaleur (parce qu’on a énoncé le premier principe, non évident
per se) :
Q(A→B ) = U(B)- U(A) - W(A→B ) le long de la transformation de A à B
Si nous insistons sur le “long de la transformation”, c’est que l’intégrale curviligne (par exemple des forces
de pression ) n’est pas indépendante du chemin suivi pour aller de A vers B.
La chaleur est donc une forme d’énergie au même titre que le travail d’un système de forces au cours
d’un déplacement. La prise en compte d’une quantité de chaleur Q implique une situation évolutive. Il s’agit
forcément d’un échange d’énergie entre plusieurs corps (ou entre plusieurs domaines d’un même corps) au
cours d’un laps de temps déterminé. L’unité est le Joule (J).
Flux de chaleur
Si entre deux instants t et t’, l’interaction étudiée s’accompagne d’un échange de chaleur δQ, on appelle
flux thermique moyen la quantité δQ/(t0 − t) et, par un passage à la limite, on peut définir :
– Un flux thermique instantané (c’est une puissance) en Watt (W) :
Φ(W ) =
δQ(J)
dt(s)
– Un flux thermique à travers une surface, c’est la quantité de chaleur qui traverse la surface par unité de
temps.
– Ramené à l’unité de surface on parle de densité de flux thermique (W m−2 ) :
ϕ(W
m−2 )
=
δQ(J)
S(m2 ) dt(s)
1
où S est l’aire de la surface traversée
– On peut également définir le vecteur densité de flux thermique en tout point ϕ
~:
dΦ = ϕ
~ .~n.dS
où ~n normale à la surface dS
ϕ
~ caractérise en chaque point M du milieu, la direction, le sens et l’intensité du flux thermique. L’ensemble des ϕ
~ constitue un champ de vecteurs analogue aux autres champs physiques : champ électrique,
champ de forces ...
– Lignes de courant, tubes de courants Les lignes de courant sont les courbes tangentes en chaque
point aux vecteurs densité de flux ϕ
~ ; l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour
fermé constitue un tube de courant.
Chaleur spécifique
Lorsqu’un corps reçoit, ou perd, de l’énergie sous forme de chaleur, on constate expérimentalement que sa
température augmente ou baisse. l’énergie calorifique correspond
– pour les gaz et les liquides, à l’agitation moléculaire (EC = 32 kT ) ;
34
– pour les solides, à l’agitation de vibration autour d’une position.
Pour une même quantité d’énergie, la masse (m) à échauffer intervient en diluant cette chaleur : plus la
masse est importante, plus la variation de température ∆T est faible (il y a plus de molécules à mettre en
mouvement avec la même énergie).
Enfin la qualité de la matière intervient, sous la forme d’un coefficient c, appelé chaleur spécifique (ou
massique) : la chaleur spécifique (J kg −1 K −1 ) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température
de l’unité de masse de 1 degré Celsius.
L’équation fondamentale régissant la quantité de chaleur en fonction des variables citées (à pression constante) est :
Q = mc∆T
(3.1)
Avec m la masse (quantité de matière) du système concerné, c, la chaleur spécifique de la matière dont est
constitué le système et ∆T la variation de température.
Changement d’état : Chaleur latente
L’équation ci dessus (3.1) s’applique pour un état (ou phase) fixé de la matière. Or la matière peut se trouver
sous trois états différents (solide, liquide, vapeur) qui correspondent à des états de désorganisation (entropie)
croissante. Lorsqu’il y a changement d’état (de phase), la température ne varie pas tant qu’il reste deux phases
en présence : par exemple, dans la casserole, l’eau est à 100o C que le gaz (la quantité de chaleur fournie) soit
fort ou moyen, il y a seulement plus ou moins d’eau qui s’évapore. à chaque unité de masse évaporée, il a fallu
apporter une certaine quantité d’énergie : c’est la chaleur latente de changement de phase (L) :
– chaleur latente de fusion (solidification) : passage de l’état solide à l’état liquide ;
– chaleur latente de vaporisation (liquéfaction) : passage de l’état liquide à l’état vapeur ;
– chaleur latente de sublimation (condensation) : passage de l’état solide à l’état vapeur ;
L(J kg −1 ) quantité de chaleur nécessaire pour évaporer l’unité de masse d’un corps pour qu’il change
d’état et
Q = mL (= ∆H variation d’entropie)
3.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur
3.3.1
Bilan d’énergie
Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventaire
des différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être :
(S)
Φst
Φg
Φs
Φe
Φst flux de chaleur stocké
Φg flux de chaleur généré
Φe flux de chaleur entrant
Φs flux de chaleur sortant
¯
¯
¯
¯
¯
¯ dans le système (S)
¯
¯
¯
3.3. FORMULATION D’UN PROBLÈME DE TRANSFERT DE CHALEUR
35
On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie par unité de temps
(en W) du système (S) :
Φe + Φg = Φs + Φst
3.3.2
(3.2)
Expression des flux d’énergie
Il faut maintenant établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans le
bilan d’énergie, nous obtiendrons l’équation différentielle dont la résolution permettra de connaître l’évolution
de la température en chaque point du système.
Conduction
C’est le transfert de chaleur dans la masse d’un milieu matériel, sans déplacement de matière, sous l’influence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corps
s’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et
une transmission par les électrons libres. C’est donc un mécanisme de chocs qui intervient.
S
T1
T1 > T2
T2
−λS ∂T
∂x
x
La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier : la densité de flux de chaleur 2 est proportionnelle au gradient de température :
−−→
−
→
−
→
ϕ W m−2 = −λgrad T = −λ ∇T
(3.3)
et sous forme algébrique, le flux de chaleur unidirectionnel s’écrit :
Φ = −λS ∂T
∂x

Φ(W )




Flux de chaleur transmis par conduction
λ(W m−1 K −1 ) Conductivité thermique du milieu
avec
 x(m)
Variable d’espace dans la direction du flux



S(m2 )
Aire de la section de passage du flux de chaleur
* Le gradient de température en chaque point est normal à la surface isotherme passant par ce point
** Nous pouvons écrire la quantité de chaleur ayant traversé la surface dS pendant l’intervalle de temps dt :
∂T
−−→
dQ = −λgrad T.~n dS dt = −λ
dS dt
∂n
Convection
C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide.
Le mouvement du fluide peut avoir deux causes. Ou bien il est imposé de l’extérieur par une machine (pompe,
ventilateur , compresseur) ; c’est la convection forcée. Ou bien le contact du fluide avec la surface du solide
(paroi) plus chaude ou plus froide crée des différence de masse volumique, génératrices de mouvement au sein
du fluide ; c’est la convection naturelle.
−
→
ϕ est souvent noté jQ dans la littérature
2−
→
36
Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton :

Φ(W )





 h(W m−2 K −1 )
Φ = hS(Tp − T∞ ) avec
T
p (K)



T

∞ (K)


S(m2 )
Flux de chaleur transmis par convection
Coefficient de transfert de chaleur par convection
Température de surface du solide
Température du fluide loin de la surface du solide
Aire de la surface de contact solide/fluide
(3.4)
T∞
Φ
S
TP
La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, de sa
température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide.
rayonnement
C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide).
C’est une transmission d’énergie à distance, entre deux corps séparés ou non par un milieu matériel. C’est le
cas de l’énergie qui nous vient du soleil. L’interprétation physique est la suivante : tout corps émet des particules
désignées par “photons” ; ceux ci se déplacent à la vitesse de la lumière et transportent une énergie fonction de
leur “longueur d’onde”. Un corps C émettant des photons dans toutes les directions possibles, certains d’entre
eux sont reçus par l’autre corps C’ et éventuellement absorbés, en tout ou partie. Bien entendu, le corps C’ émet
aussi des photons dont certains seront reçus et absorbés par C. le bilan net se traduit par un échange d’énergie
entre C et C’.
Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation :

Φ(W )
Flux de chaleur transmis par rayonnement




σ(W m−2 K −4 ) Constante de Stephan = 5.67 10−8



 ²
Facteur d’émission de la surface
p
4 ) avec
Φ = σ²p S(Tp4 − T∞
(3.5)

T
Température de la surface
p (K)




T
Température du milieu environnant la surface


 ∞ (K)
S(m2 )
Aire de la surface
Stockage d’énergie
Le stockage d’énergie dans un corps correspond à une augmentation de son énergie interne au cours du
temps d’où (à pression constante) :
Φst = ρ V c
∂T
∂t

Φst(W )




ρ(kgm−3 )




avec








V(m3 )
c(J kg−1 K −1 )
T(K)
t(s)
Flux de chaleur stocké
Masse volumique
Volume
Chaleur spécifique
Température
temps
ρ, V et c sont supposés constants, le produit ρV c est appelé la capitance thermique du corps.
(3.6)
3.3. FORMULATION D’UN PROBLÈME DE TRANSFERT DE CHALEUR
37
T∞
Φ
S
TP
Génération d’énergie
Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertie
en énergie thermique. Nous pouvons l’écrire sous la forme :


 Φg(W )
Φg = q̇V
avec
q̇(W m−3 )

 V 3
(m )
Flux d’énergie thermique générée
Densité volumique d’énergie générée par unité de temps
Volume
(3.7)
Combinaison des modes de transfert
Le transfert de chaleur ou transfert thermique se réalise généralement par une combinaison de plusieurs
mode.
Par exemple, le système chauffage central, combine la convection (en général forcée) pour chauffer le fluide
dans la chaudiére, la conduction pour chauffer les parois du radiateur et la convection (en général naturelle) pour
chauffer l’air autour du radiateur. Dans le cas du chauffage d’un solide (non transparent au sens strict du terme)
par radiation, la transmission de chaleur sera une combinaison de radiation et de conduction. C’est le cas du
verre chauffé par le rayonnement solaire. Dans ce cas, le transfert pourra être également combiné avec une
convection naturelle derriére la vitre d’une piéce.
On notera que parfois le transfert thermique s’accompagne d’un transfert de matière. Par exemple, c’est le
cas de l’ébullition où une partie du liquide subit une transformation de phase et le gaz ainsi créé se déplace.
38
Chapitre 4
Transfert de chaleur par conduction
4.1 L’équation de la chaleur
Dans sa forme monodirectionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un mur
plan :
Φg
Φx
L
Φx+dx
L>>e
Φst
x
0
x+dx
e
Considérons un système d’épaisseur dx dans la direction x et de section d’aire S normalement à la direction
Ox. Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit1 :
Φx + Φg = Φx+dx + Φst avec



Φx



 Φ
´
³
= − λx S ∂T
∂x x
= q̇S³dx
´
= − λx S ∂T
∂x
g

Φx+dx




 Φ
= ρ c Sdx ∂T
∂t
st
x+dx
En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par dx nous obtenons :
³
λx S ∂T
∂x
´
³
x+dx
− λx S ∂T
∂x
´
x
dx
+ q̇S = ρ c S
∂T
∂t
soit
µ
∂T
∂
λx S
∂x
∂x
¶
µ
+ q̇S = ρ c S
∂T
∂
∂T
=⇒
λx
∂t
∂x
∂x
¶
+ q̇ = ρ c
∂T
∂t
et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleur dans le cas le plus général :
µ
∂
∂T
λx
∂x
∂x
1
¶
µ
+
∂
∂T
λy
∂y
∂y
¶
µ
+
∂
∂T
λz
∂z
∂z
avec son volume V = Sdx
39
¶
+ q̇ = ρ c
∂T
∂t
CHAPITRE 4. TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION
40
soit 2
− ´
−
→ ³ →
∇. λ. ∇T + q̇ = ρ c
∂T
∂t
(4.1)
cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas :
– (a) Si le milieu est isotrope (pas de direction privilégiée) : λx = λy = λz = λ
– (b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système : q̇ = 0
– (c) Si le milieu est homogène, λ n’est fonction que de la température T
Les hypothèses (a)+(b) permettent d’écrire :
Ã
∂2T
∂2T
∂2T
λ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
!
∂T
−
→
−
→
+ ( ∇λ).( ∇T ) = ρ c
∂t
avec l’hypothèse (c) (λ = f (T ))3 :
Ã
∂2T
∂2T
∂2T
+
+
λ
∂x2
∂y 2
∂z 2
!
dλ
+
dT
"µ
∂T
∂x
¶2
µ
∂T
∂y
+
¶2
µ
+
∂T
∂z
¶2 #
=ρc
∂T
∂t
– (d) si de plus λ est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson4 :
∂T
∂t
a∇2 T =
(4.2)
le rapport a(m2 s−1 ) = ρλc est appelé diffusivité thermique. La diffusivité thermique exprime l’aptitude
d’un corps à transmettre la chaleur plutôt qu’à l’absorber.
– (e) En régime permanent (champ de température indépendant du temps), nous obtenons l’équation de
Laplace :
∇2 T = 0
(4.3)
Par ailleurs les hypothèses (a), (c) et (d) permettent d’écrire5 :
– équation de la chaleur en coordonnées cylindrique (r, θ, z) :
µ
1 ∂
∂T
r
r ∂r
∂r
¶
1 ∂2T
1 ∂T
∂2T
q̇
+
+ =
2
2
2
r ∂θ
∂z
λ
a ∂t
+
Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température T ne dépend que de r distance à l’axe
et du temps t (2.4) peut s’écrire sous une forme simplifiée :
1 ∂
r ∂r
³
´
r ∂T
∂r +
q̇
λ
=
1 ∂T
a ∂t
– équation de la chaleur en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) :
µ
1 ∂
∂T
r2
2
r ∂r
∂r
¶
µ
1
∂
∂T
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
¶
+
1
∂2T
q̇
1 ∂T
2 ∂ϕ2 + λ = a ∂t
2
r sin θ
Dans le cas d’un problème à symétrie sphérique où la température T ne dépend que de r distance au
centre de symétrie et du temps t (2.5) peut s’écrire sous une forme simplifiée :
1 ∂
r2 ∂r
2
3
5
´
r2 ∂T
∂r +
q̇
λ
=
1 ∂T
a ∂t
−
→ →
avec ∇.(−
− ) l’opérateur différentiel divergence d’un champ de vecteurs
on a alors pour chaque terme dérivé de λ(T )
∂λ ∂T
=
∂x ∂x
4
³
³
∂λ ∂T
∂T ∂x
´
∂T
∂λ
=
∂x
∂T
³
∂T
∂x
avec ∇2 l’opérateur différentiel Laplacien, qui peut aussi s’écrire ∆
voir annexe I
´2
=
dλ
dT
³
∂T
∂x
´2
4.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT
41
4.2 Conduction en régime permanent
4.2.1
Généralités
L’équation de transfert se réduit à :
−−→
div(λgrad T ) + q̇ = 0
Dans le cas de la conduction morte (pas de source interne), le système est à flux conservatif puisque :
−−→
div(λgrad T ) = 0 → div(~
ϕ) = 0
4.2.2
Notion de résistance thermique
Pour un système sans source interne et dont la conductivité thermique λ est indépendante de la température,
on introduit la notion de résistance thermique d’un tube de courant (analogue à la résistance électrique). Soit
un tube de courant compris entre deux surface isothermes (voir figure) :
Φ = −λ(s) S(s) dT
ds
il vient λ(s)dsS(s) = − dT
Φ
R
soit en intégrant entre les deux surfaces isothermes ss12 λ(s)dsS(s) = −
R
2
le flux étant conservatif ss12 λ(s)dsS(s) = T1 −T
Φ
que l’on peut écrire T1 − T2 = R Φ
R
avec R résistance du tube de courant : R = ss12 λ(s)dsS(s)
R T2 dT
T1
Φ
Une analogie est alors possible avec la loi d’Ohm :
U = RI ⇔ ∆T = RΦ
Z s2
ds
où R =
s1 λ(s) S(s)
4.2.3
(4.4)
(4.5)
Transfert unidirectionnel
Mur simple
On se place dans le cas où l’écoulement est unidirectionnel et qu’il n’y a pas de génération ni de stockage
d’énergie.
On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermique λ, et de grandes dimensions transversales
dont les faces extrèmes sont à des températures T1 et T2 .
42
T1
λ
Φx
Φx+dx
Section
S
T2
x x+dx
0
e
Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 4.5)
R=
Z e
0
ds
1
=
λ(s) S(s)
λS
Z e
0
ds =
e
λS
et le flux de chaleur traversant la surface S du mur selon (4.5) :
Φ(W ) =
(T1 −T2 )
e
λS
??
(4.6)
Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité (I = U
R ) qui définit l’intensité du courant comme
le rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsi
e
comme un potentiel thermique et le terme R(KW −1 ) = λS
apparaît comme la résistance thermique d’un mur
plan d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent suivant :
ϕ
T1
T2
R=
e
λS
Mur multicouches
C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaét que
les températures Tf 1 et Tf 2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S :
4.2. CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT
43
Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 4.5)
R=
e
λS
avec e, épaisseur du mur et S sa surface. D’où
RT =
N
X
en
n=1
λn S
+
1
1
+
h1 S h2 S
Et le flux Φ échangé lors de la traversée du mur :
Φ(W ) =
1
h1 S
+
Tf l1 − Tf l2
+ λeBBS + λeCCS +
eA
λA S
1
h2 S
Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait
pas de discontinuités de températures aux interfaces. En réalité, compte tenu de la rugosité de surfaces, une
micro-couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et crée une résistance thermique R (l’air est
isolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente (??) s’écrit alors :
Φ(W ) =
Tf l1 −Tf l2
e
e
e
1
+ λ AS +RAB + λ BS +RBC + λ CS + h 1S
h1 S
2
A
B
C
(4.7)
Le schéma électrique équivalent est le suivant :
Tf l1
T2
T1
1
h1 S
eA
λA S
T4
T3
RAB
eB
λB S
RBC
eC
λC S
Tf l2
1
h2 S
Remarque : une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes.
Mur composite
C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes. Considérons à
titre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux.
En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener au
calcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique R équivalente
44
d’une portion de mur de largeur L et de hauteur l = l1 + l2 + l3 en utilisant les lois d’association des résistances
en série et en parallèle6 par la relation :
R = R1 + R2 +
avec R1 =
R3 =
R6 =
1
+ R6 + R7
+ R14 + R15
1
e1
; R2 =
h1 lL
λ1 lL
e2
e2
e2
; R4 =
; R5 =
λ2 l1 L
λ1 l2 L
λ2 l3 L
e3
1
; R7 =
λ1 lL
h2 lL
1
R3
selon le schéma électrique équivalent :
R3
R1
R4
R2
T1
Tf l1
R7
R6
Tf l2
T4
R5
T3
T2
Cylindre creux long
On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1 , de rayon extérieur r2 ,
de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2 . On suppose que le
gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial. Le flux de chaleur est radial et la
résistance thermique du cylindre, par application de l’équation 4.5 s’écrit :
R=
Z s2
s1
ds
1
=
λ(s) S(s)
λ
Z r2
r1
µ
dr
1
r2
=
ln
2πrL
2πλL
r1
¶
Et par application de la relation ∆T = RΦ, on obtient :
Φ(W ) = −λ2πL
2πλL(T1 − T2 )
T1 − T2
=
ln (r1 /r2 )
ln (r2 /r1 )
6
³
Φ = Φ3 + Φ 4 + Φ 5 =
T2 − T3
T2 − T3
T2 − T3
1
1
1
+
+
= (T2 − T3 )
+
+
R3
R4
R5
R3
R4
R5
´
4.3. CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE, SANS CHANGEMENT D’ÉTAT
45
4.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état
4.3.1
Problème général
La formulation générale de l’équation de la chaleur est (4.1)
³ −
∂T
→ ´
∇. λ ∇T + q̇ = ρ c
∂t
Elle nécessite une condition initiale T0 en tout point, et deux conditions aux limites. Envisageons le cas particulier où la conductivité ne dépend pas de la température dans la gamme de températures considérée. On obtient
alors l’équation de Fourier :
∇2 T +
4.3.2
q̇
1 ∂T
=
λ
a ∂t
Nombres sans dimension
le nombre de variables dans un problème de transfert thermique peut être réduit par l’introduction de
nombres sans dimensions. Montrons le sur cet exemple de conduction unidirectionnelle avec dégagement de
chaleur interne.
Soit :
∂2T
+ λq̇ = a1 ∂T
∂t
∂x2
∂T
∂x = 0
λ ∂T
∂x = −h(T −
pour 0 < x < l et t > 0
pour x = 0 et t > 0
T∞ )
T = T0
pour x = l et t > 0
pour 0 < x < l et t = 0
En utilisant les nombres sans dimension suivant :
x∗ = xl , θ =
G=
T −T∞
T0 −T∞ ,
q̇l2
λ(T0 −T∞) ,
Bi =
hl
λ
Nombre de Biot
F0 =
at
l2
Nombre de Fourier
le système devient :
∂2θ
∂θ
+ G = ∂F
∂x2∗
0
∂θ
∂x∗ = 0
∂θ
λ ∂x
= −Bi θ
∗
pour 0 < x∗ < 1 et F0 > 0
θ=1
pour 0 < x∗ < l et F0 = 0
pour x∗ = 0 et F0 > 0
pour x∗ = 1 et F0 > 0
Deux nombres adimensionnels sont particulièrement importants en régime variable :
Résistance thermique interne
l
1
– Le nombre de Biot : Bi = Résistance thermique externe = λS
/ hS
, l est la dimension caractéristique du
milieu, l = r pour une sphère.
Bi =
hl
λ
(4.8)
Il mesure l’épaisseur thermique du domaine : on dit que le milieu est mince thermiquement (dans le sens
de l) si le nombre de Biot est inférieur é 1. Cela signifie que la résistance externe bloque l’écoulement
de chaleur. On peut alors considèrer la température uniforme suivant la dimension de l.
46
– Le nombre de Fourier :
Fo =
λ ∆T
l2
l
∆T
3
ρcl t
=
at
l2
(4.9)
C’est le rapport du flux à travers l2 à la vitesse de stockage dans l3 , ou encore rapport de la chaleur traversant
sur la chaleur accumulée. Le nombre de Fourier caractérise la pénétration de la chaleur en régime variable.
4.3.3
Quelques cas d’école
Milieu à température uniforme
On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est à priori contradictoire
car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette
approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas : Considérons
par exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la température Ti
dans un bain à température T0 maintenue constante. Si on suppose que la température de la bille est uniforme,
ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut écrire le
bilan thermique7 de cette bille entre deux instants t et t+dt :
µ
¶
dT
dT
hS
T − T0
hS
−hS(T − T0 ) = ρ c V
⇒
=−
dt ⇒
= exp −
t
dt
T − T0
ρcV
Ti − T0
ρcV
On remarque que le regroupement
du système :
ρcV
hS
est homogéne à un temps, on l’appellera τ la constante de temps
τ(s) =
ρcV
hS
Cette grandeur est fondamentale dans
la mesure où elle donne l’ordre de grandeur de temps du phénoméne
¡ t¢
T −T0
physique, on a en effet : Ti −T0 = exp − τ . Ceci s’apparente é la décharge d’un condensateur, ce qui permet de
poursuivre l’analogie électrique : τ = RC, R(KW −1 ) = 1/hS est la résistance superficielle et C(JK −1 ) = ρcV
est la capacité thermique.
La définition des nombres sans dimension (Biot et Fourier) permet d’évaluer l’évolution de la température
de la bille par
T − T0
= exp (−Bi Fo )
Ti − T0
7
Il n’y a pas de conduction car la température est uniforme dans la bille, il n’y a que de la convection : on écrit ici “variation
d’énergie = somme des flux entrants”.
4.3. CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE, SANS CHANGEMENT D’ÉTAT
47
Milieu semi-infini, problème unidirectionnel
Un milieu semi infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pour que la perturbation appliquée sur
une face ne soit pas ressentie par l’autre face. Le milieu semi infini est initialement à la température uniforme
Ti . On impose brutalement la température T0 sur sa surface, cette condition est appelée condition de Dirichlet.
Ti = T (x, t = 0)
T0 = T (x = 0, t)
Milieu semi infini
0
x
l’équation de la chaleur s’écrit :
∂2T
∂x2
=
1 ∂T
a ∂t


 T (x, 0) = Ti
avec les conditions aux limites :
T (x = 0, t) = T0

 lim T (x, t) = Ti
x→∞
On effectue le changement de variables suivant :
∂ T̄
1
1
∂T ∂ 2 T̄
∂2T
i
T̄ = TT0−T
−Ti d’où ∂x = T0 −Ti ∂x , ∂x2 = T0 −Ti ∂x2 et
L’équation devient :
∂ 2 T̄
∂x2
=
∂ T̄
∂t
=
1 ∂ T̄
a ∂t
1
∂T
T0 −Ti ∂t .


 T̄ (x, 0) = 0
T̄ (x = 0, t) = 1

 lim T̄ (x, t) = 0
x→∞
On pourra utiliser pour résoudre cette équation aux dérivées partielles soit la méthode de superposition, soit
la transformation de Laplace soit des méthodes numériques appropriées.
Milieu semi-infini, température sinusoidale imposée en surface, régime périodique établi
T (x, t = 0) = Ti
T (x = 0, t) = T0 cos ωt + Ti
Milieu semi infini
x
0
l’équation de la chaleur s’écrit :
∂2T
1 ∂T
=
2
∂x
a ∂t
(
T (x = 0, t) = T0 cos ωt + Ti
T (∞, 0) = Ti
On effectue le changement de variables suivant : T̄ = T − Ti d’où
∂T
∂x
=
∂ T̄ ∂ 2 T
∂x , ∂x2
=
∂ 2 T̄
∂x2
et
∂T
∂t
=
∂ T̄
∂t .
48
Les conditions aux limites deviennent T̄ (x = 0, t) = T0 cos ωt et T̄ (∞, 0) = 0
L’équation devient :
∂ 2 T̄
1 ∂ T̄
=
2
∂x
a ∂t
(4.10)
En régime permanent forcé une solution de 2.10 s’écrit en notation complexe :
h
T̄ = X(x).< eıωt
i
(4.11)
où l’excitation étant de nature périodique, on recherche une solution périodique de même fréquence ω que
l’excitation. Donc 2.10 devient :
eıωt
Or ı =
(1+ı)2
2
ıω
ıω
ıω
∂2X
∂2X
∂2X
ıωt
=
=
− X=0
Xe
⇒
X
⇒
2
2
2
∂x
a
∂x
a
∂x
a
d’oé :
∂2X
(1 + ı)2
−
ωX = 0
∂x2
2a
q
Les racines de l’équation caractéristique sont ±(1 + ı)
ω
2a
Donc
√ω
√ω
X(x) = Ae−(1+ı) 2a x + Be(1+ı) 2a x
X(x) doit tendre vers une limite finie quand x tend vers +∞, donc B = 0.
L’équation 2.11 devient :
√ω
√ω
√ω
T̄ = T − Ti = Ae−(1+ı) 2a x eıωt = Ae− 2a x eı(ωt− 2a x)
Soit, en notation réelle
T − Ti = T0 e
√ω
−
2a
r
x
cos (ωt −
ω
x)
2a
En tenant compte des conditions aux limites.
– L’amplitude des oscillations décroét rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface.
– L’amplitude des oscillations décroét rapidement quand la fréquence d’excitation augmente : une excitation de fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur une faible
profondeur.
– Entre les températuresqT1 et T2 de deux points distants respectivement de x1 et x2 de la surface, il existe
ω
un déphasage égal é 2a
(x1 − x2 ) : la connaissance de ω et la mesure de la température au sein du
milieu en deux points situés à des distances connues x1 et x2 de la surface peut permettre d’évaluer la
diffusivité thermique a.
Chapitre 5
Transfert de chaleur par rayonnement
5.1 Généralités, définitions
5.1.1
nature du rayonnement
Tous les corps, quelque soit leur état, solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. le rayonnement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différentes
longueurs d’ondes comme l’a démontré l’expérience de William Herschel :
Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température Te caractérisant l’énergie
reçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe Te = f (λ) on obtient la répartition
spectrale de l’énergie rayonnée pour la température T0 de la source. On constate que :
– l’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde λm variable avec T0 .
– l’énergie n’est émise que sur un intervalle [λ1 , λ2 ] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement
thermique.
5.1.2
Définitions
Classification
Les grandeurs physiques seront distinguées selon :
– La composition spectrale du rayonnement : si elle concerne un intervalle spectral étroit dλ autour d’une
longueur d’onde λ elle est dite monochromatique
– La distribution spatiale du rayonnement : si elle caractérise une direction donnée de propagation elle est
dite directionnelle (Gx ).
Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre et/ou à l’ensemble des directions de l’espace elle est dite
totale.
49
CHAPITRE 5. TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT
50
Définitions relatives aux sources
Flux
On appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notée Φ(W ) par S dans tout l’espace qui l’entoure,
sur toutes les longueurs d’ondes.
– le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solide dΩ1 est noté d2 Φ.
– le flux envoyé dans tout l’espace par un élément de surface dS est noté dΦ.
– le flux envoyé par une surface S dans un angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dΦx
Z
dS
dS cos α
α
~
n
r
dΩ
O
Y
X
Intensité énergétique dans une direction
Source ponctuelle, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelle
On appelle intensité énergétique Ix le flux par unité d’angle solide émis par une source ponctuelle dans un
angle solide dΩ entourant la direction Ox :
Ix(W sr−1 ) =
d
dΩ (dΦx )
=
d2 Φx
dΩ
(5.1)
Luminance énergétique dans une direction (brillance)
Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelle
−
→
dS
~n
α
Ox
Soit α l’angle fait par la normale ~n à la surface émettrice dS avec la direction Ox suivant laquelle la surface
possède une intensité énergétique Ix :
Lx(W m−2 sr−1 ) =
Ix
dSx
=
Ix
dS cos α
=
d2 Φx
dΩdS cos α
(5.2)
On déduit des relations précédentes l’expression du flux d2 Φx envoyé par un élément de surface dSi de
luminance Lx sur un autre élément dSk :
d2 Φx = Ix dΩ = Lx dSix dΩ = Lx dSi cos αi dΩ
1
α
dΩ = dS rcos
: l’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface dS est par définition l’aire de la surface intersection
2
de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface dS.
5.1. GÉNÉRALITÉS, DÉFINITIONS
51
Ox
αk
−→
dSk
r
−→
dSi
αi
où dΩ est l’angle solide duquel depuis la surface dSi on voit la surface dSk donc : dΩ =
k cos αk
d2 Φx = Lx dSi cos αirdS
2
dSk cos αk
r2
(5.3)
émittance énergétique (radiance)
Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, toutes les directions
L’émittance monochromatique d’une source à la température T vaut :
MλT (W m−3 ) =
λ+dλ
dΦλ
dS dλ
(5.4)
L’émittance totale est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par l’élément de surface dS sur
tout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température T de la source :
MT (W m−2 ) =
λ=∞
R
λ=0
MλT dλ =
dΦ
dS
(5.5)
Définitions relatives aux récepteurs
éclairement
C’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface réceptrice, en provenance de l’ensemble des directions.
Réception du rayonnement
ϕ ρλΤ reflechi
λ
ϕ
λ
incident
ϕλα λΤ
corps a T
absorbe
ϕ τ
λ λΤ
transmis
Quand un rayon incident d’énergie ϕλ frappe un corps à la température T, une partie ϕλ ρλT de l’énergie
incidente est réfléchie par la surface S, une autre partie ϕλ αλT est absorbée par le corps qui s’échauffe, et le
reste ϕλ τλT est transmis et continue son chemin :
On a évidemment ϕλ = ϕλ ρλT + ϕλ αλT + ϕλ τλT d’où ρλT + αλT + τλT = 1.
52
On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissant ρλT , absorbant αλT et filtrant τλT qui sont
fonction de la nature du corps, de son épaisseur, de la longueur d’onde λ et de l’angle d’incidence.
Si on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réfléchissant ρT , absorbant αT et filtrant τT totaux.
Milieu transparent et opaque
Un milieu est dit transparent si tout le flux incident est transmis, dans le domaine de longueur d’onde
considéré ; son facteur de transmission τ = 1
Un milieu est dit opaque s’il ne transmet aucune fraction du rayonnement incident dans le domaine de
longueur d’onde considéré ; son facteur de transmission τ = 0
Corps noir, corps gris
Corps noir
C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident. Il est défini par αT = 1.
Propriétés du corps noir :
– tous les corps noirs rayonnent de la même manière.
– le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.
– puisqu’il absorbe tout, il ne réfléchit rien du rayonnement incident ; il apparaît noir à température ordinaire.
– c’est un concept théorique.
Corps gris
Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant αλT est indépendant de la longueur d’onde λ du
rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par αλT = αT .
5.2 Lois du rayonnement
5.2.1
Loi de Lambert
Dans le cas où la source est isotrope, la luminance est indépendante de la direction Lx = L.
or Ln =
et Lα =
In
S
Iα
S cos α
)
Ln = Lα ⇒ Iα = In cos α
In
In
α
S
Iα
L
L
Luminance d’une
source isotrope
α
Iα
Intensite energetique
d’une source isotrope
C’est la Loi de Lambert pour une source isotrope.
Remarque : lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, on montre, après intégration sur toutes les directions,
qu’émittance et luminance sont proportionnelles.
M(W m−2 ) = πL
avec M et L émittance et luminance totales.
5.2. LOIS DU RAYONNEMENT
5.2.2
53
Lois physiques
Loi de Kirchoff
M
à une température T donnée et pour une longueur d’onde λ donnée, le rapport α λT est le même pour tous
λT
les corps.
M
pour le corps noir : αλT = 1, le rapport α λT est donc égal à M0λT en appelant M0λT l’émittance monoλT
chromatique du corps noir donc :
MλT (W m−3 ) = αλT M0λT
L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatique
par l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérét de connaître le rayonnement émis par le corps noir.
Dans le cas du corps gris on peut généraliser cette loi ce qui facilite les applications. En effet, pour un corps
gris αλT = αT , donc :
Z∞
MT (W m−2 ) =
Z∞
MλT dλ =
0
Z∞
αλT M0λT dλ = αT
0
M0λT dλ
0
En appelant M0T l’émittance totale du corps noir à la température T, nous obtenons pour un corps gris :
MT (W m−2 ) = αT M0T
Rayonnement du corps noir
émittance monochromatique Elle est donnée par la loi de Planck :
M0λT (W m−3 ) =
C¡1 λ−5
¢
C
exp λT2 −1
avec
C1 = 3.742 10−16 W m−2
C2 = 1.4385 10−2 m.K
(5.6)
La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les variations de M0λT en fonction de la
longueur d’onde pour diverses températures.
Remarques
54
– La longueur d’onde λM pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température T de la source :
µ
λM (m) =
2.897 10−3
T
et M0λ
MT
(W m−3 )
T
= 0.410
10
¶5
(5.7)
C’est la loi (du déplacement) de Wien.
– pour le soleil (T ≈ 5777K) 90% de l’énergie est émise entre 0.31 et 2.5µm, le maximum étant situé
dans le spectre visible. Par contre un corps noir à 373K(100o C) a son émission maximale vers λ = 8µm
dans l’Infra Rouge.
émittance totale M0T
L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne l’émittance totale M0T du
corps noir qui n’est plus fonction que de la température T, on obtient la loi de Stephan-Boltzmann :
M0T (W m−2 ) = σT 4 avec σ = 5, 675 10−8 W m−2 K −4
(5.8)
Rayonnement des corps non noirs
émissivité
On définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans
les même conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelés
émissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par :
²λT =
MλT
M0
λT
et ²T =
MT
M0
(5.9)
T
D’après la Loi de Kirchoff, on montre que :
αλT = ²λT
Cas des corps gris
Ils sont caractérisés par αλT = αT soit d’après ce qui précède : ²λT = ²T or MT = ²T M0T ; nous en
déduisons l’émittance du corps gris à la température T :
MT (W m−2 ) = ²T σT 4
(5.10)
5.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques
5.3.1
Problème général
Considérons deux surfaces opaques S1 et S2 séparées par un milieu parfaitement transparent, et à des
températures respectives T1 et T2 . Le problème industriel consiste à déterminer le flux net Φ échangé entre les
deux surfaces.
La surface S1 émet un flux Φ1 dont une partie seulement, soit Φ12 vient frapper S2 . De ce flux Φ12 , une
partie est absorbée par S2 , le reste est réfléchi (puisqu’il s’agit de surfaces opaques) ; une partie frappe S1 et
ainsi de suite.
De même, S2 émet un flux Φ2 dont une partie seulement, soit Φ21 vient frapper S1 . De ce flux Φ21 , une
partie est absorbée par S1 , le reste est réfléchi et ainsi de suite.
Finalement le flux net échangé Φ s’obtient en effectuant pour l’une des surfaces, par exemple pour S1 , un
bilan thermique tenant compte :
– du flux qu’elle émet, soit −Φ1 (perte),
– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ12 et absorbe une partie,
– du flux émis par S2 dans sa direction soit Φ21 , dont elle absorbe une partie,
– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ21 , et dont elle absorbe une partie.
Dans le cas général, le calcul nécessite le recours à la résolution numérique.
5.3. RAYONNEMENT MUTUEL DE SURFACES OPAQUES
5.3.2
55
Plans parallèles infinis
Ce cas est particulièrement simple car on est certain que le flux émis par chaque plan vient frapper l’autre.
On suppose que les plans sont gris, alors Φ1 émis par S1 frappe S2 , qui absorbe ²2 Φ1 et réfléchi (1 − ²2 )Φ1 .
le schéma ci-après amorce les répartitions de Φ1 . On voit que les flux absorbés successifs, tant pour S1 que
pour S2 sont en progression géométrique de raison q = (1 − ²1 )(1 − ²2 ). Les bilans2 s’établissent donc ainsi
relativement à Φ1
S1 perd
Φ1
S1 absorbe
S2 absorbe
²1 (1−²2 )
1−(1−²1 )(1−²2 ) Φ1
²2
1−(1−²1 )(1−²2 ) Φ1
S1
S2
Φ1
²2 Φ1
²1 (1 − ²2 )Φ1
(1 − ²2 )Φ1
(1 − ²1 )(1 − ²2 )Φ1
²1 (1 − ²1 )(1 − ²2 )2 Φ1
²2 (1 − ²1 )(1 − ²2 )Φ1
(1 − ²1 )(1 − ²2 )2 Φ1
(1 − ²1 )2 (1 − ²2 )2 Φ1
(1 − ²1 )n (1 − ²2 )n Φ1
Il faut maintenant effectuer le même calcul relativement au flux Φ2 émis par S2 . Il suffit d’échanger les
réles de S1 et S2 et de changer les indices :
S2 perd
Φ2
S2 absorbe
S1 absorbe
²2 (1−²1 )
1−(1−²1 )(1−²2 ) Φ2
²1
1−(1−²1 )(1−²2 ) Φ2
Il est maintenant possible de faire le bilan complet de S1 ; tous calculs faits on trouve que S1 perd (et donc
que S2 reçoit) un flux net Φ égal é :
Φ=
²2 Φ1 − ²1 Φ2
²1 + ²2 − ²1 ²2
Dans le cas de corps gris, Φ1 et Φ2 peuvent s’exprimer en fonction des températures par la loi de Stéphan :
Φ1 = ²1 σS1 T14 et Φ2 = ²2 σS2 T24 . Comme les aires des surfaces en regard ont même valeur S :
Φ(W ) = rσS(T14 − T24 ) avec
1
1
1
=
+
−1
r
²1 ²2
r est le coefficient de transfert. Dans le cas de surfaces noires il est égal é 1. De ce fait Φ(W ) = σS(T14 −T24 ).
Pour des surfaces grises r est inférieur à l’unité.
2
la somme d’une suite infinie de raison q inférieur à 1 a pour valeur
1−q ∞
1−q
≈
1
1−q
56
Chapitre 6
Transfert de chaleur par convection
6.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle
6.1.1
Dimensions fondamentales
On peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d’un nombre limité de dimensions fondamentales.
Exemples : Vitesse : LT −1 , viscosité dynamique : M L−1 T −1 , force : M LT −2 .
Sur ces exemples on voit que le nombre de dimensions fondamentales est de 3 : Masse M, Longueur (L),
Temps (T). Ces trois dimensions fondamentales ne sont pas toujours suffisantes. Pour les problèmes de transfert
de chaleur, il est nécessaire d’ajouter une 4eme dimension : la température θ, on pourra y ajouter si nécessaire
la quantité de chaleur Q (Q, homogéne à un travail qui s’exprime en fonction des dimensions fondamentales
par Q = M L2 T −2 n’est pas une vraie dimension fondamentale).
6.1.2
Principe de la méthode
Si on peut représenter mathématiquement une loi physique en exprimant la variable physique G1 en fonction d’un certain nombre d’autres variables physiques indépendantes G2 , · · · Gn , c’est à dire si
G1 = f (G2 , G3 , · · · Gn ) ou encore f (G1 , G2 , · · · Gn ) = 0 le problème peut être simplifié de la manière suivante :
– on écrit pour chaque variable Gi l’équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales.
On dispose alors de n équations qui ont nécessité p dimensions fondamentales pour caractériser toutes
les grandeurs physiques.
– on préléve p de ces n équations que l’on considère comme équations de base. Il faut que chaque dimension fondamentale apparaisse au moins une fois sur l’ensemble des p équations.
– les (n-p) équations restantes se présentent alors sous forme de (n-p) rapports sans dimensions appelés
groupements π qui sont des grandeurs “réduites”, On obtient alors une équation réduite :
g(π1 , π2 , · · · πn ) = 0
Un groupement π est le rapport d’une équation aux dimensions d’une grandeur physique n’appartenant
pas à l’ensemble des équations de base au produit des équations de base, chacune d’elle étant portée à
une certaine puissance :
[Gi ]
πi =
ai
[G1 ] [G2 ]bi · · · [Gp ]ei
Pour chaque dimension fondamentale M, L, T, θ, Q figurant au dénominateur, on fait la somme des
exposants que l’on identifie avec l’exposant de la même dimension figurant dans l’équation aux dimensions de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un système linéaire de p équations dont la
résolution permet de déterminer les p exposants des équations de base du dénominateur.
Il suffit alors d’écrire le rapport π en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations aux
dimensions de départ.
57
CHAPITRE 6. TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION
58
6.1.3
Exemple d’application
Considérons un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se propose
de déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à une
convection forcée :
Tube
h
Fluide θf
Vitesse u
Temperature θp
h
Détermination des grandeurs physiques
Il faut déterminer tous les paramêtres dont dépend la densité de flux de chaleur Φ (liée à h par Φ = h∆T ).
Ce sont ici :
– Les caractéristiques du fluide :
– λ coefficient de conductibilité thermique
– cp chaleur massique
– ρ masse volumique
– µ viscosité dynamique
– Les caractéristiques de l’écoulement :
– u vitesse moyenne du fluide
– La géométrie de la surface d’échange
– D diamêtre de la conduite
– L’écart de température fluide-paroi ∆T
d’oé :
f (λ, cp , ρ, µ, u, D, ∆T, Φ) = 0
équation aux dimensions des grandeurs
Il faut ensuite écrire l’équation aux dimensions fondamentales M, L, T, θ, Q de chacune des grandeurs, ce
qui s’écrit ici :
λ : QT −1 L−1 θ−1
cp :
QM −1 θ−1
ρ:
M L−3
µ:
M T −1 L−1
u:
LT −1
D:
L
∆T :
Φ:
θ
QT −1 L−2
Détermination des groupements π
Il faut maintenant choisir 5 équations de base (toutes les dimensions fondamentales ont été utilisées) de
façon à ce que les 5 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l’ensemble des équations.
Prenons par exemple λ, ρ, u, D, ∆T , il reste Φ, cp et µ.
6.1. RAPPELS SUR L’ANALYSE DIMENSIONNELLE
59
On écrit alors les rapports sans dimension correspondant à ces variables sous la forme :
π1 =
Φ
(∆T )a1 λb1 ρc1 Dd1 ue1
; π2 =
cp
a2
b2
(∆T ) λ ρc2 Dd2 ue2
; π3 =
µ
(∆T )a3 λb3 ρc3 Dd3 ue3
Pour chaque rapport de π, on remplace les grandeurs physiques par leur équation aux dimensions ce qui donne
par exemple pour π1 :
[π1 ] =
QT −1 L−2
θa1 (QT −1 L−1 θ−1 )b1 (M L−3 )c1 Ld1 (LT −1 )e1
Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénominateurs relatifs à une même dimension ce qui conduit au système :
(Q) :
(T ) :
(L) :
(θ) :
(M ) :
1
−1
−2
0
0

= b1
b1 = 1





= −b1 − e1
 a1 = 1
= −b1 − 3c1 + d1 + e1 ⇒
e1 = 0



= a1 − b1
c1 = 0



= c1
d1 = −1
Le rapport π1 s’écrit donc :
π1 =
ΦD
∆T λ
ce qui avec Φ = h∆T peut encore s’écrire :
π1 =
hD
λ
On obtient de la même manière
π2 =
ρuDcp
µ
et π3 =
λ
ρDu
Le théoréme de Vaschy-Buckingham nous permet d’affirmer que la relation :
f (λ, cp , ρ, µ, u, D, ∆T, Φ) = 0
entre 8 variables peut s’exprimer à l’aide des trois nombres sans dimension π1 , π2 , π3 sous la forme :
f (π1 , π2 , π3 ) = 0 ou π1 = f (π2 , π3 )
Signification physique de ces groupements
D 1
– π1 = hD
λ est le Nombre de Nusselt. Il peut aussi s’écrire : N u = λ / h . C’est donc le rapport de
la résistance thermique de conduction à la résistance thermique de convection. Il caractérise le type de
transfert de chaleur.
µ
– π3 = ρDu
= R1e , c’est l’inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le type de transfert de chaleur.
ρuDc
c µ
p
– π2 = λ p , c’est le nombre de Peclet. On peut aussi l’écrire : P e = ρuD
µ . λ et faire apparaître un
cp µ
nouveau nombre sans dimension P r = λ appelé Nombre de Prandtl. Ce nombre est calculable pour
un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend que de la température) et
caractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. On préfére donc
chercher une relation sous la forme
N u = f (Re, P r)
60
Quelques groupements sans dimension
Groupement
ρDu
µ
cp µ
Pr = λ
N u = hD
λ
ρuDcp
Pe = λ
h
M a = ρuc
p
Re =
Nombre de Reynolds
Nombre de Prandtl
Nombre de Nusselt
Nombre de Peclet
Nombre de Margoulis
6.2 Convection : généralités, définitions
Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts de
chaleur par convection.
6.2.1
Convection naturelle et forcée
Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue :
– La convection libre ou naturelle : Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de
masse volumique résultant des différences de températures sur les frontiéres et d’un champ de forces
extérieures (la pesanteur).
– La convection forcée :Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de
températures.
6.2.2
Régime d’écoulement
Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de considèrer le
régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite :
– En régime laminaire : L’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. Entre deux filets
fluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc :
– par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides.
– par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filets
fluides.
– En régime turbulent : l’écoulement n’est pas unidirectionnel : l’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est
en général négligeable par rapport à la convection.
6.3 Expression du flux de chaleur
De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités de
mouvement des molécules lors des chocs inter moléculaires, on explique la transmission de la chaleur par la
transmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs. Cette liaison intime des phénoménes de viscosité
et de transfert de chaleur conduisent à l’analogie de Reynolds : dans un écoulement fluide avec transfert de
chaleur dans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude
Quelque soit le régime d’écoulement, il demeure une sous-couche laminaire dont l’épaisseur est d’autant
plus réduite que l’écoulement est grand. L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans cette sous-couche laminaire. Quelque soit le
6.3. EXPRESSION DU FLUX DE CHALEUR
61
régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entiérement située dans le film
laminaire qui joue le réle d’isolant thermique.
On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que le flux de chaleur rencontrerait
en conduction à travers une paroi dont l’épaisseur serait celle du film laminaire et qui possèderait les mêmes
caractéristiques thermiques que le fluide soit :
e
R=
avec
λ
(
e : épaisseur du film laminaire
λ : conductivité thermique du fluide
Rigoureusement la densité de flux de chaleur s’écrit alors :
Φ(W m−2 ) =
e
(Tp − Ti )
λ
où Tp(K) est la température de la paroi et Ti(K) est la température à la limite du film laminaire.
Pour un régime thermique bien établi, on peut considèrer en premiére approximation que par suite des
courants de convection la masse fluide au-delé du film laminaire est à température constante et prendre comme
loi de la densité de flux de chaleur la relation :
e
Φ(W m−2 ) = (Tp − T∞ ) avec T∞(K) : température du fluide loin de la paroi
λ
Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque l’on ne connaét pas
l’épaisseur e du film laminaire. C’est ce qui améne é définir un coefficient de transfert superficiel ou coefficient
de transfert de chaleur par convection par :
h(W m−2 K −1 ) =
λ
e
Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur Φ est donné par la relation dite loi de Newton :
Φ(W ) = hS∆T
6.3.1
(6.1)
Calcul du flux de chaleur en convection forcée
L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par
convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres
adimensionnels (cf §4.1.3) :
N u = f (Re, P r)
Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante :
– Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl
– Suivant la valeur de Re et de Pr, choix de la corrélation
– Calcul de Nu par application de cette corrélation
u
– Calcul de h = λN
D et de Φ = hS(Tp − T∞ )
6.3.2
Calcul du flux de chaleur en convection naturelle
Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à température T0 . Si l’on porte la paroi à
une température T = T0 + ∆T , le fluide en contact avec la paroi va s’échauffer et la masse du volume unité va
passer de ρ0 à ρ0 − ∆ρ :
Il sera donc soumis à une force ascensionnelle f~ = −∆ρ~g . Pour un volume unité (u) m = ρ d’oé :
∆ρg = ργ et γ = ∆ρ
ρ g, où γ est l’accélération ascensionnelle du fluide.
En introduisant le coefficient de dilatation volumique du fluide défini par β =
γ = βg∆T
1 ∆ρ
ρ ∆T
il vient :
62
Fluide a T0 , ρ0
Fluide a T0 , ρ0
f~ = ∆ρ~g
V = 1u
m = ρ0
Tp = T0
V = 1u
m = ρ0 − ∆ρ
Tp = T0 + ∆T
t=0
t
Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient de
convection dépend des caractéristiques du fluides λ,ρ,µ, cp , β, g, de la paroi, caractérisée par la longueur L et
de l’écart de températures aux bornes du film ce que l’on peut traduire par une relation du type :
Φ = f (λ, ρ, µ, cp , β, g, L, ∆T )
qui se réduit dans le système M,L,T,θ,Q à une relation entre trois nombres adimensionnels
N u = f (Gr, P r)
oé
Gr =
βg∆T ρ2 L3
est le nombre de Grashof
µ2
6.4 Introduction à la convection avec changement d’état
Lorsqu’une paroi céde (algébriquement) de la chaleur à un mélange liquide-vapeur, il en résulte un changement d’état, donc un transfert de masse de l’une des phases vers l’autre. Dans le cas d’un apport de chaleur,
il y a diminution de la phase liquide. Lorsqu’il existe une surface de séparation continue entre le liquide et sa
vapeur, on emploie le terme d’évaporation 1 . dans le cas général, l’interface est constituée par la surface d’un
grand nombre de bulles contenant la phase vapeur : c’est l’ébullition.
S’il y a au contraire retrait de chaleur, on assiste à une condensation. Dans tous les cas, le transfert de masse
exige un déséquilibre thermodynamique. Au voisinage d’un même point, les températures des deux phases sont
généralement différentes, de même que leurs pressions. Dans l’ébullition en particulier, la pression de la vapeur
Psat (Te ) d’une bulle entourée d’eau surchauffée é Te (Te > Tsat (Te ) ) est supérieure à celle du liquide Pe , en
raison des phénoménes de tension superficielle. L’observation visuelle met en évidence plusieurs régimes de
transfert de masses auxquels correspondent des régimes différents de transfert thermique.
Là s’arrêtera notre cours, nous laissant perplexes devant une casserole d’eau bouillante ...
1
– Vaporisation : passage de l’état liquide à l’état gazeux sous l’effet de la chaleur (latente)
– évaporation : transformation d’un liquide en vapeur par sa surface libre à toute température
– ébullition : état d’un liquide soumis à l’action de la chaleur et dans lequel se forment des bulles de vapeur
Annexe
Dans un repère orthogonale et curviligne x1 , x2 , x3 un vecteur élémentaire est donné par :
−
→
dl = (h1 dx1 , h2 dx2 , h3 dx3 )
où h1 , h2 , h3 sont fonctions de x1 , x2 , x3
→
−
~ ∇.
~ −
~ ×→
Les expressions générales pour ∇u,
v et ∇
v s’écrivent :
³
−
→
∇u
=
−
→−
∇.→
v
=
1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u
h1 ∂x1 , h2 ∂x2 , h3 ∂x3
1
h1 h2 h3
³
∂
∂x1 (h2 h3 v1 )

−
→ −
∇ ×→
v =
1
h1 h2 h3
´
+
´
∂
∂x2 (h1 h3 v2 )
+
∂
∂x3 (h1 h2 v3 )

−
→
−
→
e x1 h1 →
e x2 h2 −
e x3 h3
 ∂
 ∂x1
∂
∂x2
h1 v1


∂
∂x3
h2 v2
h3 v3
→
→
→
où −
e x1 , −
e x2 , −
e x3 sont les vecteurs unitaires du repère (x1 , x2 , x3 ) et (v1 , v2 , v3 ) les composantes
→
dans ce repère du vecteur −
v.
Coordonnées cylindriques
x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z
−
→
dl = (dρ, ρdθ, dz) =⇒ h1 = 1, h2 = ρ, h3 = 1
−
→
v = (vρ , vθ , vz )
³
−
→
∇u
=
−
→→
∇.−
v
=
1
ρ
=
1 ∂
ρ ∂ρ (ρvρ )
∂u 1 ∂u ∂u
∂ρ , ρ ∂θ , ∂z
³
∂
∂ρ (ρvρ )

−
→ →
∇ ×−
v
=
−
→2
−
→ −
→
∇ u = ∇.( ∇u) =
=
1
ρ
1
ρ
∂
∂θ (vθ )
1 ∂vθ
ρ ∂θ
+
´
∂
∂z (ρvz )
+
∂vz
∂z

−
→
→
→
eρ −
e θρ −
ez
vρ
∂
∂θ
∂
∂z
ρvθ
vz
∂
∂u
∂ρ (ρ ∂ρ )
1 ∂
ρ ∂ρ
+
+
 ∂
 ∂ρ
³
´
³
´
+
ρ ∂u
∂ρ +
63


∂ 1 ∂u
∂θ ( ρ ∂θ )
1 ∂2u
ρ2 ∂θ2
+
´
+
∂2u
∂z 2
∂
∂u
∂z (ρ ∂z )
64
Coordonnées sphériques
x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ
−
→
dl = (dr, rdθ, r sin θdϕ) =⇒ h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ
−
→
v = (vr , vθ , vϕ )
³
−
→
∇u
=
−
→−
∇.→
v
=
∂u 1 ∂u
1 ∂u
∂r , r ∂θ , r sin θ ∂ϕ
´
³
=
1
∂
∂
∂
(r2 sin θ vr ) + ∂θ
(r sin θ vθ ) + ∂ϕ
(r
sin θ ∂r
1 ∂
1
∂
1 ∂vϕ
2
(r vr ) + r sin θ ∂θ (sin θ vθ ) + r sin θ ∂ϕ
r2 ∂r
r2

−
→ −
∇ ×→
v
´
=
−
→2
−
→ −
→
∇ u = ∇.( ∇u) =
=
1
r
r2
vr
1
sin θ
1 ∂
r2 ∂r

→
→
−
→
e θr −
eϕ
er −
 ∂
 ∂r
³
³


∂
∂θ
∂
∂ϕ
r vθ
r sin θ vϕ
∂
∂u
2
∂r (r sin θ ∂r )
´
r2 ∂u
∂r +
vϕ )
+
∂
1
r2 sin θ ∂θ
∂
∂u
∂θ (sin θ ∂θ )
³
´
sin θ ∂u
∂θ +
´
+
∂
1 ∂u
∂ϕ ( sin θ ∂ϕ )
1
∂2u
r2 sin2 θ ∂ϕ2

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