Théorème de la droite des milieux

CHAPITRE
Théorème de la
droite des milieux
Énigme du chapitre.
Tracer un triangle EUX. Puis tracer le triangle
T OI tel que E soit le milieu de [T O], U le milieu
de [T I] et X le milieu de [OI].
Compléter la phrase suivante : « Le triangle
T OI a une aire . . . plus grande que le triangle
EUX. »
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Objectifs du chapitre.
— Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieu des deux côtés du triangle.
I/ Droites des milieux de deux côtés
Activité A. Droites des milieux de deux côtés
Partie A : Conjecture avec GeoGebra
1. Avec GeoGebra :
(a)
Construire un triangle ABC quelconque.
(b)
Placer le point D milieu de [AB].
(c)
Placer le point E milieu de [AC].
(d)
Tracer la droite (DE).
(e)
Tracer le segment [DE].
(f) Déplacer les points A, B ou C. Quelle conjecture peut-on faire sur les droites (DE)
ou (BC) ?
(g) Comment semble-t-on pouvoir construire deux droites parallèles en utilisant seulement
une règle graduée.
2. (a)
Dans le triangle ABC précédent, afficher les longueurs des segments [DE] et [BC].
(b) Déplacer les points A, B et C. Quelle conjecture peut-on faire sur ces deux segments ?
Partie B : Démontration ***
On va démontrer que les conjectures formulées aux questions précédentes sont toujours vraies :
1. Soit le point F , le symétrique du point D par rapport au point E. Démontrer que le
quadrilatère AICK est un parallélogramme.
2. Déduire de la question précédente que la droite (CF ) est parallèle à la droite (BC) et que
CF = AD = BD.
3. Démontrer que BDF C est un parallélogramme.
4. Que peut-on en déduire pour les droites (DE) et (BC) ?
5. D’après la question 3, que peut-on conclure pour les longueurs DE et BC ?
Propriété
Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au
troisième côté.
Exemple
On sait que : ABC est un triangle.
C
I milieu de [AB]
J milieu de [AC]
J
B
I
A
Or, si, dans un triangle, une droite passe par
les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle
au troisième côté.
Donc : (IJ)//(BC).
Remarque
On utilise cette propriété pour démontrer que deux droites sont parallèles.
Propriété
Si, dans un triangle, un segment a pour extrémités le milieu de deux côtés, alors sa longueur est
égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Exemple
C
J
B
I
A
On sait que : ABC est un triangle.
I milieu de [AB]
J milieu de [AC]
Or, si, dans un triangle, un segment a pour
extrémités le milieu de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du
troisième côté.
Donc : IJ = BC
2
Remarque
On utilise cette propriété pour calculer la longueur d’un segment.
Faire les exercices 1 2 3
II/ Milieu d’un côté et parallèle à un autre côté
Activité B. Milieu d’un côté et parallèle à un autre côté
Partie A : Conjecture avec GeoGebra
1.
Construire un triangle ABC quelconque.
2.
Placer le point D milieu de [AB].
3.
Tracer la droite parallèle à [BC] passant par D coupe [AC] en E.
4. Tracer un autre triangle GHI et refaire la construction.
5. Quelle conjecture peut-on faire sur le point E ?
Partie B : Démontration ***
1. Soit M milieu de [BC]. Démontrer que les droites (DM) et (AC) sont parallèles.
2. Démontrer que le quadrilatère DECM est un parallélogramme.
3. En déduire DM = EC.
4. Démontrer que DM =
AC
2
et en déduire que la conjecture établie pour le point E est vraie.
Propriété
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté,
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Exemple
C
J
B
I
A
On sait que : ABC est un triangle.
I milieu de [AB]
(IJ)//(BC).
Or, si, dans un triangle, une droite passe par
le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son
milieu.
Donc : J est le milieu de [AC]
Remarque
On utilise cette propriété pour démontrer qu’un point est le milieu d’un segment.
Faire les exercices 4 5 6 7
Problèmes :
Faire les exercices 8 F 9 F 10 F