Correction - maths

Correction devoir no 4
points
TES
durée 60mn-20
( 5 points )
Exercice 1
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f définie sur [0; 10]
1.
Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique notée α sur [0; 10] et en donner une valeur
arrondie aux dixièmes.
* Solution:
Sur l’intervalle [0; 1] :
le maximum de f est f (0) = −5 donc f (x) ≤ −5 < 0
donc donc l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
Sur l’intervalle [1; 10] :
f est continue et strictement croissante et on a f (1) = −8 et f (10) = 14 donc f (1) < 0 et
f (10) > 0 donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f (x) = 0 admet une solution
unique α ∈]1; 10[
L’équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur [0; 10] avec 1 < α < 10
2.
On donne f (4) = 0.
En déduire le signe de f (x) sur [0; 10]
* Solution:
D’après le tableau de variation de f , on a :
Exercice 2
( 7 points )
f est une fonction définie et deux fois dérivable sur [0; 4] dont on donne la représentation graphique C.
Les tangentes T1 et T3 sont parallèles
àl’axe des abscisses respectivement aux points N et Q.
5
T2 est la tangente à C au point P 2;
et le point P est un point d’inflexion de la courbe C.
2
1.
Déterminer f 0 (1), f 0 (2) et f 0 (3) graphiquement en justifiant la réponse donnée.
* Solution:
f 0 (1) est le coefficient directeur de la tangente T1 à la courbe C au point d’abscisse 1 et T1 est parallèle
à l’axe des abscisses
donc f 0 (1) = 0
f 0 (2) est le coefficient directeur de la tangente T2 à la courbe C au point d’abscisse 2
−1, 5
donc f 0 (2) =
= −1, 5
1
donc f 0 (2) = −1, 5
f 0 (3) est le coefficient directeur de la tangente T1 à la courbe C au point d’abscisse 1 et T3 est parallèle
à l’axe des abscisses
donc f 0 (3) = 0
2.
Déterminer une équation de la tangente T2
* Solution:
5
5
T2 a pour coefficient directeur
= −1, 5 et passe par le point P 2;
donc f (2) =
2
2
T2 : y = f 0 (2)(x − 2) + f (2) = −1, 5(x − 2) + 2, 5 = −1, 5x + 3 + 2, 5 = −1, 5x + 5, 5
f 0 (2)
3.
Déterminer f 00 (2) (justifier la réponse)
* Solution:
Le point P d’abscisse 2 de la courbe est un point d’inflexion
donc f 00 (x) s’annule et change de signe en x = 2
donc f 00 (2) = 0
4.
Rappeler la définition d’une fonction convexe sur un intervalle I de R.
et déterminer la convexité de f
* Solution:
f est convexe sur I si la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes.
donc f est concave sur [0; 2] et convexe sur [2; 4]
5.
En déduire les variations de f 0 et le signe de f 00 (x)
* Solution:
f est convexe sur [2; 4] donc f 0 est croissante sur [2; 4]
donc sa dérivée f 00 est telle que f 00 (x) > 0 sur [2; 4]
On a donc :
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur [0; 4] par f (x) = 2x3 − 12x2 + 55
et on note Cf sa représentation graphique.
1.
Calculer f 0 (x) et f 00 (x)
* Solution:
f 0 (x) = 2 × 3x2 − 12 × 2x + 0 = 6x2 − 24x
f 00 (x) = 6 × 2x − 24 = 12x − 24
f 0 (x) = 6x2 − 24x et f 00 (x) = 12x − 24
2.
Dresser le tableau de variation de f 0 et en déduire la convexité de f
* Solution:
Il faut étudier le signe de f 00 (x) :
12x − 24 > + ⇐⇒ 12x > 24 ⇐⇒ x > 2
On a donc :
avec f 0 (0) = 0, f 0 (2) = 6 × 22 − 24 × 2 = −24 et f 0 (4) = 6 × 42 − 24 × 4 = 0
( 8 points )
3.
Dresser le tableau de variation de f
* Solution:
Pour déterminer les variations de f , il faut étudier le signe de f 0 (x) :
Racines de f 0 (x) :
f 0 (x) = 0 ⇐⇒ 6x2 − 24x = 0
⇐⇒ x(6x − 24) = 0
⇐⇒ x = 0 ou bien x = 4
Remarque
On peut aussi calculer le discriminant ∆ mais comme le coefficient c = 0, ce n’est ici pas indispensable.
∆ = b2 − 4ac = (−24)2 − 4 × 6 × 0 = 576 = 242
Signe de f 0 (x) :
f 0 (x) est du signe de −a = −6 coefficient de x2 entre les racines.
Tableau de variation de f :
avec f (0) = 55, f (4) = −5
4.
Cf admet-elle un point d’inflexion ?
Si oui, préciser ses coordonnées.
* Solution:
f 00 (x) s’annule et change de signe en x = 2
donc la courbe Cf admet un point d’inflexion au point d’abscisse 2 et d’ordonnée f (2) = 23
donc la courbe Cf admet un point d’inflexion au point (2; 23)
5.
Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique x0 sur [0; 4] et en donner un encadrement
d’amplitude 0,1.
* Solution:
f est continue et strictement décroissante sur [0; 4]
et f (0) > 0 et f (4) < 0
donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f (x) = 0 admet une solution unique
x0 sur [0; 4]
f (x) = 0 admet une unique solution sur [0; 4]
f (3) = 1 et f (3, 1) ≈ −0, 7
donc 3 < x0 < 3, 1
6.
Déterminer l’équation réduite de la tangente ∆ à la courbe au point d’abscisse
* Solution:
f (2) = 23 et f 0 (2) = −24
∆ : y = f 0 (2)(x − 2) + f (2) = −24(x − 2) + 23 = −24x + 71
∆ : y = −24x + 71
7.
Tracer ∆ dans le repère ci-dessous, placer x0 et compléter le tracé de Cf .