chap 12 angles particuliers

ANGLES PARTICULIERS
I Généralités – Rappels :
1) On appelle secteur angulaire un couple de 2 demi-droites de même origine.
x
O s'appelle le sommet de l'angle que l'on note xOy (ou yOx )
O
y
2) On dit qu'un angle est aigu si sa mesure est comprise entre 0 et 90°, droit si elle est de 90 °, obtus si elle est
comprise entre 90 et 180 ° et plat si elle est égale à 180°.
x
II Angles adjacents :
Les angles xOy et yOz sont adjacents car :
• xOy et yOz ont même sommet O
• xOy et yOz ont un côté commun [Oy)
• xOy et yOz sont de part et d'autre de ce côté
y
O
z
oui
Exemples :
non
x
III Angles opposés par le sommet :
y'
O
Lorsque les droites (xx') et (yy') sont sécantes en un point O alors
on dit que les angles xOy et x'Oy' sont opposés par le sommet.
Cite deux autres angles opposés par le sommet : x'Oy et xOy'
y
x'
O est le centre de symétrie de cette figure.
Propriété : deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
IV Angles complémentaires :
Construis tAu = 34° et yBx = 56°
x
u
tAu + yBx = 34° + 56° = 90°
On dit que les angles tAu et yBx sont complémentaires.
t
A
B
y
Définition : On appelle angles complémentaires, 2 angles dont la somme des mesures est 90°.
Si tAu et yBx étaient adjacents on obtiendrait un …angle droit …………………………………………………
V Angles supplémentaires :
Dessine deux angles xOy et tAz tel que xOy = 157° et tAz = 23°.
x
u
t
A
xOy + tAz = …180 °…….
O
y
On dit que les angles xOy et tAz sont…supplémentaires.
Définition : On appelle angles supplémentaires deux angles dont la somme des mesures est …180 °..
Si xOy et tAz étaient adjacents on obtiendrait un angle plat……………………………………………
VI Angles déterminés par 2 droites et une sécante :
1) Angles alternes − internes :
z
Les angles xAz' et zBy' sont …alternes-internes
x'
A
x
par rapport aux droites (xx') et (yy') et à la sécante (zz')
Cite deux autres angles alternes - internes par rapport
y
à ces mêmes droites: ……..x'Az' et zBy ……….
Cas particulier :
B
z'
les droites (xx') et (yy') sont parallèles.
Que peut-on dire des angles xAz' et zBy' ?
z
A
x
y'
x'
Ils sont alternes-internes par rapport aux droites (xx')
et (yy') et à la sécante (zz') et de même mesure
Que peut-on dire des angles x'Az' et yBz ?
B
y
y'
Ils sont alternes-internes par rapport aux droites (xx')
et (yy') et à la sécante (zz') et de même mesure
z'
Propriété :
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes - internes qu'elles forment avec la sécante sont
………de même mesure
Réciproquement : si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes -internes de même
mesure, alors ……ces deux droites sont parallèles
2) Angles correspondants :
Les angles xAz' et yBz' sont correspondants
par rapport aux droites (xx’) et (yy’) et à la sécante (zz’).
z
A
x
x'
Les angles xAz et yBz sont correspondants
par rapport aux droites (xx’) et (yy’) et à la sécante (zz’).
Les angles x'Az' et y'Bz' sont correspondants
par rapport aux droites (xx’) et (yy’) et à la sécante (zz’).
y
Les angles zAx' et zBy' sont correspondants
par rapport aux droites (xx’) et (yy’) et à la sécante (zz’).
Cas particulier :
les droites (xx') et (yy') sont parallèles.
B
y'
z'
z
A
x
x'
xAz et z’Ax’ sont opposés par le sommet A donc xAz = z’Ax’ .
Or x’Az’ et yBz sont alternes-internes et égaux car (xx’) et
(yy’) sont parallèles donc xAz = yBz
B
y
z'
y'
Propriété
Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants qu'elles forment avec la sécante sont
………de même mesure…
Réciproquement : si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles correspondants de même
mesure, alors ……les deux droites sont parallèles…
VII Exercices types :
1) Exercice 1 :
J
H
Les droites (HJ) et (KL) sont parallèles, et on donne NLK = 120 °
Donne la mesure de l’angle LHJ en justifiant précisément ta réponse.
L
K
120°
Marquer l’angle connu sur la figure ainsi
que celui demandé.
N
On a : (HJ) // (KL) et NLK = 120 °
Or : Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants qu'elles forment avec la sécante sont de
même mesure
Donc : LHJ = 120°
2) Exercice 2 :
Démontre si les droites des dessins suivants sont parallèles ou non.
143°
148°
73°
142°
Dessin 1
73°
38°
Dessin 2
Dessin 3
Dessin 1
On a : deux angles correspondants tels que 143°≠ 142°
Donc : les droites ne sont pas parallèles.
Dessin 2 :
On a : deux angles alternes-internes de même mesure 73°.
Or : si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes -internes de même mesure, alors
ces deux droites sont parallèles
Donc : les droites sont parallèles.
Dessin 3 :
180° − 38° = 142°
On a : deux angles correspondants tels que 142° ≠ 148°
Donc : les droites ne sont pas parallèles.
3) Angles alternes – externes
z
Les angles xAz et y'Bz' sont …alternes-externes
par rapport aux droites (xx')et (yy') et à la sécante (zz')
A
x
x'
Cite deux autres angles alternes - externes par rapport à
ces droites :
…………x'Az et yBz' ………………….
y
B
y'
z'
Cas particulier :
les droites (xx') et (yy') sont parallèles.
Que peut-on dire des angles xAz et y'Bz' ?
z
A
x
B
y
x'
y'
Ils sont alternes-externes par rapport aux droites
(xx')et (yy') et à la sécante (zz') et de même
mesure
Que peut-on dire des angles x'Az et yBz' ?
Ils sont alternes-externes par rapport aux droites
(xx')et (yy') et à la sécante (zz') et de même
mesure
z'
Propriété :
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes - externes qu'elles forment avec la sécante sont
………de même mesure…………………………………………………………………………………...
Réciproquement :
Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes -externes de même mesure, alors
……ces deux droites sont parallèles……………………………………………………….