Les pentagones OIJAKHBCDE On commence par tracer un cercle

Les pentagones
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Comment tracer un pentagone avec une règle et un compas ?
A
H
B
E
K
qp
O
I
C
J
D
On commence par tracer un cercle de centre O et deux diamètres
perpendiculaires.
I est le milieu du segment [O,J] et on trace l’arc de cercle de centre I passant
par A. Ce cercle coupe le diamètre perpendiculaire à OA en K. On reporte
ensuite 5 fois la longueur AK à partir d’un point quelconque (sur le dessin,
on est parti du point A)
Démonstration de la méthode :
Si on considére
que le rayon
√
√ du cercle
√ vaut 2, on a OI=1 et OA=2, et donc
IA = OI 2 + OA2 = 12 + 22 = 5
√
Puisque√IA et IK sont des rayons de l’arc de cercle, on a IK = 5 et
OK = 5 − 1
√
√
2
2
2
2
2
On a donc AK = OK + OA = ( 5 − 1) + 2 = 5 + 1 − 2 5 + 4 =
1
√
p
√
10 − 2 5, et donc AK = 10 − 2 5
Puisqu’on a reporté la longueur AK à partir de A, on a AB=AK et on peut
couper le triangle isocèle √
OAB en deux triangles rectangles OAH et OBH.
On a donc AH =
AB
2
√
10−2 5
=
2
√
√
10−2 5
4
\ = AH =
Et sin AOH
OA
√
ϕ
1+ 5
o
Or, on sait (voir explications sur Penrose), que cos 36 = 2r
, avec ϕ = 2 .
√
q
1+5+2 5
√
2
ϕ
=
On a donc sin 36o = 1 − cos2 36o =
1− 4 =
1 − 44
√
√
q
√
√
√
16−6−2 5
10−2 5
6+2 5
1 − 16 =
=
4
4
\ vaut donc bien exactement 36o, et AOB
[ = 72o , soit un
L’angle AOH
cinquième de tour. La méthode est donc rigoureusement exacte.
2
Les proportions dans le pentagone et le pentagone étoilé
Retraçons un pentagone ainsi que le pentagone étoilé obtenu en joignant
deux points séparés d’arc de 4π
. On obtient la figure suivante.
5
2
A
F
B
E
O
G
C
D
\ soit 72o = 36o
L’angle inscrit \
DAE vaut la moitié de l’angle au centre EOD,
2
\ = BEA
[ = \
Par un raisonnement analogue, on a donc : DAE
BEC =
\ = \
[
CED
ADE = 36o et AF
E = 180o − 3 × 36o = 108o. De même
\ = 3 × 36o = 108o.
AED
Les triangles AED et EFA sont donc semblables.
\
\
\
D’autre part, on a (dans le triangle EFD), EF
D = 180o − F
ED − F
DE =
180o − 2 × 36o − 36o = 72o. Le triangle EFD est donc isocèle et FD=DE.
En utilisant le fait que les triangles AED et EFA sont semblables, on a :
EF
FD
AF
AE
=
,
et
en
utilisant
les
égalités
vues
plus
haut,
=
AD
EA
AD
FD
Le point F divise donc AD en deux segments AF et FD tels que le rapport
entre le petit et le grand soit le même que celui entre le grand et le total.
Ce rapport est donc le nombre d’or ϕ. Pour ceux qui ne connaissent pas,
voici la méthode pour le démontrer :
b
D
= FAFD devient a+b
= ab :
Si on pose AF = a et F D = b, l’égalité FAD
On en déduit immédiatement que b2 = a2 + ab, et en posant ϕ = ab , on a
3
b = aϕ. En remplaçant dans b2 = a2 + ab, on a a2 ϕ2 = a2 + a2ϕ, et en
silplifiant par a2 (non nul), on obtient ϕ2 = ϕ + 1.
La résolution de√ cette équation du second degré ne donne qu’une solution
positive ϕ = 1+2 5 .
On remarque que, puisque AE=FD, on a aussi AD
= ϕ.
AE
On remarque qu’à l’intérieur du polygone étoilé, on a un pentagone régulier
convexe plus petit que le pentagone ABCDE, donc un des cotés est FG. Si
on veut calculer le rapport entre ces deux cotés, il faut calculer le rapport
FG
AE
FG
AE
=
3
Tracer une jolie étoile avec un ordinateur
AG−AF
AE
=
AG−AF
AG
AF
= 1 − AG
= 1 − FAFD = 1 − ϕ1 =
ϕ−1
ϕ
=
ϕ2 −ϕ
ϕ2
=
1
ϕ2
Il suffit de construire un polygone en alternant un point sur un grand
cercle, et un point sur un cercle de rayon plus petit, le rapport entre les
deux cercles étant ϕ12 . Les points sur le grand cercle démarrent de π2 et on
pour avoir le suivant. Les points sur le petit cercle démarrent de
rajoute 2π
5
π
+ π5 et on rajoute 2π
pour avoir le suivant.
2
5
Ci joint un programme en Python avec le logiciel SAGEMATH qui visualise
l’étoile et affiche les coordonnées.
n=5
phi=(1+sqrt(5))/2
r=1/phi^2
p=[]
4
g=Graphics()
g+=circle((0,0),1)
for i in range(n):
p+=[[cos(2*pi/n*i+pi/2),sin(2*pi/n*i+pi/2)]]
p+=[[r*cos(2*pi/n*i+pi/2+pi/5),r*sin(2*pi/n*i+pi/2+pi/5)]]
g+=polygon(p,rgbcolor=(1,204/255,0))
g.show(aspect_ratio=1)
for i in range(10):
print("("+str(p[i][0].n())+" , "+str(p[i][1].n())+")")
5