Machines thermiques

◦ C sous sa pression
∆h = cest
T la
pour
un GP ; transfo
et réversible
d’un gaz
parfait :
b) Une
GP :masse
en grandeurs
m = 1 gmassiques
d’eau liquide
température
de 50adiabatique
de vapeur
satup.ƈ
rante. On la vaporise entièrement sous cette pression Psat = 0, 73 bar à température constante.
ംషభ
TD T5 La vapeur d’eau est assimilée
à un gaz parfait.
loi de Laplace. ܶଵ = ܶ௢ . ߰ ം
Calculer lors de cette opération : (a) la variation d’enthalpie de l’eau ; (b) sa variation d’énergie
interne ; (c) sa variation d’entropie.
γ −1
−1 ; masse


Données : R = 8, 31J.K−1.mol
de
2−1γ; Rmasse molaire
γ l’eau : Meau = 18 g.mol
ψ
w
x
=
T
0
1
−
Par le bilan
établi
en
a
on
tire
:
en
considérant
que
w(0)
≈ 0.
−1
(
)
(
)


volumique de l’eau liquide : ρeau = 1000g.L ; enthalpie
 de vaporisation de l’eau à 50◦ C :
M γ −1
−1


∆eau H = 340 J.g .
Machines thermiques
1/7
Un congélateur
2. Puissance
d’une
pompe
:
Ex-T6.3
Une machine frigorifique fonctionne réversiblement entre deux sources à 0◦ C et 20◦ C. La source
représente
l’atmosphère
et la source
froide
une sallepressurisé
parfaitement
dans laquelle
Couplage
moteur
àdans
chaleur
Exercice
1:chaude
Une pompe
aspire
l’eau d’un
puits et-lapompe
transvase
un réservoir
aveccalorifugée
un débit massique
constant Dm. Le niveau
◦ C grâce à la machine frigorifique.
est
stockée
de
la
glace
qui
est
maintenue
à
0
supérieur de l’eau dans le réservoir est à une altitude zs au dessus de celui du puits et la pression y est égale à P1 , supérieure
On veut
régulerle prix
la température
bungalow
la maintenir
fixe)
= 293 K en
Calculer
de revient de d’un
1 tonne
de glace (c’est-à-dire
sachant que l’eau
est introduite
dansà la 2salle
à la pression atmosphérique Po.
◦ C.
frigorifique
à
la
température
de
20
utilisant le site où il se trouve : air −1
extérieur chaud à 1 = 310 K et eau froide du lac à 3 = 285 K. On
Données : cP = 4, 18 kJ.K .kg −1 ; Lf us = 330 J.kg −1 ; prix : 1 kW.h = 0, 15 e et 1 m3 d’eau
a)
On
néglige
toute
viscosité
:
le
fluide
alors la relation
entre enthalpie
et pression
= (1/ρ).dP
où ρ est la
utilise à cet= effet
un moteur ditherme suit
réversible
fonctionnant
entre massique
l’air extérieur
et :ledhlac,
fournissant
3 e.
depompe
l’eau. Calculer
la puissance
Pf fournie
par la pompe
au le
fluide.
volumique
l’énergie masse
nécessaire
àune
à chaleur
réversible
fonctionnant
entre
bungalow et le lac. En appelant
Ex-T6.4estCongélation
de l’eau
à l’aide d’un
réfrigérateur
b) La viscosité
prise en compte
: l’écoulement
du fluide
dissipe une énergie K.Dm/ρ par unité de masse transvasée, où ρ
reçue par
le moteurest
de l’air=extérieur
et un 2réfrigérateur
la chaleurschématisé
réellement
reçue
par le bungalow,
1 la chaleur
pression
atmosphérique
1 bar. Dans
par la
une
machine
estLa
la masse
volumique
du fluide etPKatm
un coefficient
caractérisant
le phénomène. Calculer
nouvelle
valeur de Pf .
2
fonctionnant
de façon
le fluide=
réfrigérant
effectue des transferts thermiques
.
déterminer ditherme
l’efficacité
thermique
d’un réversible,
tel dispositif,
avec une source chaude et une source froide. La source 1chaude est l’atmosphère extérieure à la
Réponses
: a) Pf =Dm.(gz
+ (P1 –KPoconstante
)/ρ) ; b) Petf =D
.(gzs + (P
1 – Po)/ρ) + K.Dm²/ρ
température
Tc s= 293
lamsource
froide
est l’échantillon d’eau à congeler, sa masse
est m0 = 10 kg et TF sa température variable.
3. Réfrigérant :
de l’eau liquide est c = 4, 18 kJ.kg −1 .K −1 . L’enthalpie massique
Exercice 2:La capacité thermique massique
◦
de fusion de la glace à 0 C est ∆fus H = 340 kJ.kg −1 . La température de fusion est notée Tf .
De l’air Dans
chaudl’état
(P1 = initial,
6 bar, Tl’eau
esttempérature
refroidi de façon
jusqu’à
la température
= 300
K dans un échangeur
1 = 500
est K)
à la
Tc et isobare
la puissance
constante
fournie Tào la
machine
-1
-1
thermique
parfaitement
calorifugé.
Le
fluide
réfrigérant
est
constitué
d’eau
(capacité
thermique
massique
c = 4180 J.K .kg )
est P = 500 W .
1)à la
Exprimer
le temps
τ1 °C
au et
bout
commence
à geler,
en fonction
de d’eau
m0 , c,est
Tfd, =TC100 g/s et celui de
qui entre
température
θe = 12
qui duquel
sort à lal’eau
température
θs de
l’échangeur.
Le débit
l’application
numérique.
l’air est et
de P.
6,5Effectuer
g/s. On donne
Mair = 29 g/mol
et pour l’air γ ≈ 1,4. Calculer θs.
2) Déterminer la durée τ2 correspondant à la congélation de toute la masse m0 d’eau, en fonction
1
de m0 , ∆fus H, Tf , TC et P. Effectuer l’application numérique.
3) Pour un réfrigérateur fonctionnant de manière quelconque, calculer la masse de glace maximale m∗ formée avec un kilowattheure d’énergie électrique lors de la congélation.
T
T
T
Q
Q
e QQ
Ex-T6.5 Machine thermique et changement d’état
Exercice 3:
Dans
un cycle
de machine à vapeur, la phase motrice est une détente de la vapeur d’eau2008-2009
dans un
Exercices
de Thermodynamique
cylindre fermé par un piston mobile. On supposera que cette détente est adiabatique et réversible.
L’état initial I correspond
à une vapeur saturante sèche (soit : xV I = 1) à la température
http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/
25
T1 = 485 K et à la pression P1 = Π(T1 ) = 20 bars.
L’état final F correspond à une vapeur saturante à la température T2 = 373 K et à la pression
P2 = Π(T2 ) = 1 bar.
On cherche à déterminer le titre en vapeur xV F dans l’état final :
1) En utilisant les données de la table ci-jointe :
Liquide juste saturé : xV = 0
xV = 1
T
P
vL
hL
sL
vV
hV
sV
[email protected]
PCSI 2
(K)
(bar)
485
373
20
1
(m3 .kg −1 )
1, 18.10−3
1, 04.10−3
(kJ.kg −1 )
(kJ.K −1 .kg −1 )
(m3 .kg −1 )
(kJ.kg −1 )
(kJ.K −1 .kg −1 )
909
418
2,45
1,30
0,0998
1,70
2 801
2 276
6,35
7,36
Machines thermiques
2) Sans utiliser ces données ; mais en utilisant les enthalpies de vaporisation massiques à T1 ,
l1 = 1 892 kJ.kg −1 , et à T2 , l2 = 2 258 kJ.kg −1 ; ainsi que la capacité thermique massique de
l’eau liquide : c = 4, 18 kJ.K −1 .kg −1 . MACHINES THERMIQUES
Ex-T6.6 Distinction entre vapeur sèche et vapeur saturante
On introduit 4 g d’eau dans un récipient de volume V = 10 L maintenu à 80◦ C.
1) Quelle est la pression régnant dans le récipient s’il était initialement vide d’air ?
porte ledes
récipient
100◦ C ; quelle est la nouvelle pression ?
I
A
propos
déchets ànucléaires
Exercice 4:2) duOnstockage
Données : M (H2 O) = 18 g.mol−1 ; P ∗ de l’eau : 0, 466.105 P a à 80◦ C ; P ∗0 = 1, 013.105 P a à
−1 .
Le stockage
déchets
radioactifs
constitue
un problème majeur dans la poursuite du programme nucléaire des nations. De
100◦ des
C; R
= 8, 314
J.K −1 .mol
nombreuses
solutionssont à l’étude. Une d’entre elles a pour but d’enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au
béton. OnEx-T6.7
se propose,Méthode
ici, d’étudier
un desde
problèmes
posés parde
cette
méthode : le
production de chaleur.
simple
détermination
l’enthalpie
decontrôle
fusion de
delal’eau
1) Dans un calorimètre de valeur en eau M = 20 g, on dispose une quantité d’eau liquide de
Les parties
A et B sont
indépendantes.
masse m1 = 200 g à la température
ambiante
t1 totalement
= 25◦ C. Puis
on ajoute une quantité d’eau
◦
solide de masse m2 = 10 g à la température t2 , t2 = −5 C.
Partie B
Lorsque l’équilibre thermique est réalisé, on repère la valeur de la température finale, tf = 20, 4◦ C.
(a) On néglige les pertes du calorimètre,
calculerdelalavaleur
destockage
l’enthalpie de fusion de la glace.
Refroidissement
salle de
On donne la chaleur massique de l’eau liquide : c(l) = 4, 18 J.g −1 .K −1 et celle de l’eau solide
−1 . On
c(s) = 2,
1 J.g −1 .Kassure
quantités
constantes
sur les intervalles
températures
Une installation
frigorifique
le suppose
maintien ces
de la
cellule (ou
salle) de stockage
des déchetsdeà une
températuredemodérée. Un fluide
(fréon) permet,
en
décrivant
un
cycle supposé quasi-statique, de prélever de l’énergie à l’intérieur de la salle et de céder de l’énergie à
l’expérience.
Laure
Lycée Thiers - MPSI3
uneSandeau
source
(b)extérieure.
En déduire les variations d’entropie de chaque masse d’eau au cours de la transformation.
Commenter leurs signes.
nombreuses solutions sont à l’étude. Une d’entre elles a pour but d’enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au
béton. On se propose, ici, d’étudier un des problèmes posés par cette méthode : le contrôle de la production de chaleur.
TD T5
2/7
Les parties A et B sont totalement indépendantes.
Partie B
Refroidissement de la salle de stockage
Une installation frigorifique assure le maintien de la cellule (ou salle) de stockage des déchets à une température modérée. Un fluide
(fréon) permet, en décrivant un cycle supposé quasi-statique, de prélever de l’énergie à l’intérieur de la salle et de céder de l’énergie à
une source extérieure.
•
•
•
•
A la sortie de l’évaporateur (radiateur échangeur) E, la vapeur sèche, tout juste saturante à la pression P1 et à la température T1
(état A), est entraînée dans le compresseur P où elle est comprimée jusqu’à la pression P2 et la température T’2 (état B). La
compression AB est considérée comme isentropique.
Maintenu sous la pression constante P2, le fluide, entièrement gazeux, pénètre dans le condenseur (radiateur échangeur) C où
il se refroidit, puis se liquéfie totalement. A la fin de cette étape, l’état du corps pur est caractérisé par les paramètres P2 et T2
(état C).
Le liquide passe ensuite dans le détendeur D, dans lequel il subit une détente isenthalpique (absence de pièces mobiles) en se
vaporisant partiellement : soit x le titre (ou fraction) massique en vapeur. Au terme de cette étape, l’état du corps pur est
caractérisé par les paramètres P1 et T1 (état D).
Ce mélange liquide-vapeur pénètre ensuite dans l’évaporateur E, où il achève, à pression constante, de se vaporiser à l’état de
vapeur saturante (état A).
Hypothèses de travail :
•
•
•
•
•
•
Le groupe fonctionne en régime permanent. L’énergie cinétique du fluide et l’action de la pesanteur sont négligées.
h est l’enthalpie de l’unité de masse (1 kg) de ce corps pur (ou enthalpie massique).
cl est le cœfficient thermique massique (constant) du fréon liquide.
P*(T) est la pression de l’équilibre liquide-vapeur du corps pur, ou pression de vapeur saturante, à la température T.
La chaleur latente (massique) de vaporisation du fluide, à la température T, est notée LV(T).
Le corps pur gazeux, de masse molaire M, est supposé parfait. Sa caractéristique énergétique γ = cp,m/cv,m (rapport des
coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et isochore) est constante.
Données :
T (K)
P*(T) (bar)
240
0,85
250
1,25
265
2,40
T1 = 240 K
LV(T1) = 170 kJ.kg-1
T2 = 310 K
LV(T2) = 130 kJ.kg-1
-3
-1
M = 120.10 kg.mol
γ = 1,20
R = 8,31 J.mol-1.K-1 (constante des gaz parfaits)
280
3,90
295
5,90
310
8,50
P1 = 0,85.105 Pa
P2 = 8,50.105 Pa
cl = 1,00 kJ.K-1.kg-1
1) Diagramme du corps pur
a) Soit u le volume massique du corps pur. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(u) du corps pur. On y fera
figurer la courbe de saturation du fluide, les isothermes, ainsi que les points A, B, C et D.
b) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(T) du corps pur. On y représentera la courbe d’équilibre P*(T) ainsi
que les points A, B, C et D.
PCSI 2
2) Compression
Machines thermiques
a) Exprimer, en fonction de T1, P1, P2 et γ, la température T’2 du fréon à la sortie du compresseur P.
2013
2014
1/12
b)–Le
travail massique w, reçu par l’unité de masse de corps pur ayant transité dans le compresseur, est égal à la variation
d’enthalpie massique ΔhAB de ce fluide. Donner, en fonction de T1, T’2, M, R et γ, l’expression de w.
c) Application numérique : calculer T’2 et w.
3) Refroidissement et liquéfaction dans le condenseur (B → C)
a) Donner la température d’apparition de la première goutte de fréon liquide.
b) Exprimer, en fonction de T2, T’2, M, R, γ et LV(T2), l’expresssion de la variation d’enthalpie massique ΔhBC du fluide.
c) Application numérique : calculer ΔhBC.
4) Détente isenthalpique (C → D)
a) Le fréon entre liquide à la température T2 dans le détendeur D, et en sort sous forme de mélange liquide-vapeur à la
température T1. La détente est isenthalpique. Soient hliq et hvap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liquide et
vapeur. Donner la relation entre hliq(T2), hliq(T1), hvap(T1) et x.
b) Le liquide étant de volume massique constant, il n’échange que de la chaleur avec l’extérieur : la variation d’enthalpie du
liquide est approximativement égale à la variation d’énergie interne. Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre
Δhliq,CD, cl, T1 et T2 ?
c) Exprimer, en fonction de cl, T1, T2 et LV(T1), la fraction massique de vapeur x à la sortie du détendeur.
d) Application numérique : calculer x.
5) Fin de la vaporisation (D → A)
a) Donner, en fonction de x et de LV(T1), la quantité de chaleur ΔhDA reçue par 1 kg de corps pur au cours de cette étape.
b) Application numérique : calculer ΔhDA.
Laure
6) BilanSandeau
énergétique du cycle
a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle.
Lycée Thiers - MPSI3
€
c) Application
: calculer
2 et w.
4) Détentenumérique
isenthalpique
(C →T’
D)
a) Le fréon entre liquide à la température T2 dans le détendeur D, et en sort sous forme de mélange liquide-vapeur à la
3) Refroidissement et liquéfaction dans le condenseur (B
→ C)
température T1. La détente est isenthalpique. Soient hliq et hvap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement
liquide et
TD a)T5
3/7
Donner la température d’apparition de la première goutte de fréon liquide.
vapeur. Donner la relation entre hliq(T2), hliq(T1), hvap(T1) et x.
b) Exprimer,
fonction
dede
T2,volume
T’2, M, massique
R, γ et LV(T
de laque
variation
d’enthalpie
ΔhBC
fluide. d’enthalpie du
2), l’expresssion
b) Le en
liquide
étant
constant,
il n’échange
de la chaleur
avecmassique
l’extérieur
: laduvariation
c) Application
numérique
:
calculer
Δh
.
BC
liquide est approximativement égale à la variation d’énergie interne. Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre
Δhliq,CD, cl, T1 et T2 ?
4) Détentec)
isenthalpique
→ D) de c , T , T et L (T ), la fraction massique de vapeur x à la sortie du détendeur.
Exprimer, en(C
fonction
l
1
2
V
1
a) Le fréon
entre
liquide
à la température
d) Application numérique
: calculer x.T2 dans le détendeur D, et en sort sous forme de mélange liquide-vapeur à la
température T1. La détente est isenthalpique. Soient hliq et hvap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liquide et
vapeur.
Donner
relation entre(Dhliq
2), hliq(T1), hvap(T1) et x.
5) Fin
de la la
vaporisation
→(TA)
b) Le liquide
étant
de
volume
massique
il n’échange
que deΔh
la chaleur
avec l’extérieur : la variation d’enthalpie du
a) Donner, en fonction de x et de Lconstant,
(T1), la quantité
de chaleur
DA reçue par 1 kg de corps pur au cours de cette étape.
liquide est approximativement égale à la Vvariation
d’énergie interne. Pour
cette détente, quelle relation peut-on écrire entre
b) Application numérique : calculer ΔhDA.
Δhliq,CD, cl, T1 et T2 ?
c) Exprimer, en fonction de cl, T1, T2 et LV(T1), la fraction massique de vapeur x à la sortie du détendeur.
6) Bilan énergétique du cycle
d) Application numérique : calculer x.
a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle.
b) Définir l’efficacité frigorifique εfr de l’installation.
5) Fin de la vaporisation (D → A)
c) Application numérique
a) Donner, en fonction de x et de LV(T1), la quantité de chaleur ΔhDA reçue par 1 kg de corps pur au cours de cette étape.
α) Calculer εfr.
b) Application numérique
: calculer ΔhDA.
β) Pour maintenir, en régime
stationnaire, une cellule de stockage de déchets à température constante, il est nécessaire de
prélever une puissance thermique de 105 W. Calculer la puissance mécanique moyenne à fournir au fluide.
6) Bilan énergétique du cycle
γ) Calculer la valeur correspondante de Dm, débit massique moyen du fréon, dans le circuit.
a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle.
b) Définir l’efficacité frigorifique
εfr de l’installation.
1−γ
c) Application numérique
⎛ P ⎞ γ
γR
γR
1
Réponse
: T ' 2 =εT
α) Calculer
⎟ ; w =
(T ' 2 −T1) ; ΔhBC =
(T 2 − T ' 2 ) − LV (T 2 ) ;
fr.1 ⎜
P
γ
−
1
M
γ
−
1) M de déchets à température constante, il est nécessaire de
(
)
(
⎝
⎠
β) Pour maintenir,2 en régime stationnaire, une cellule de stockage
c (T −T
)
prélever une puissance thermique de 105 W. Calculer
la puissance
mécanique moyenne à fournir
ΔhDA au fluide.
= l 2 1 ; ΔhDA = (1− x ) LV (T1) ; εfr.=
x hγ)vapCalculer
=D
0 ;, xdébit
= 2,14 ; Pméca = 46,65 kW ;
(T1) − hliqla(Tvaleur
1 ) + hcorrespondante
liq (T1 ) − h liq (T 2 )de
massique
m
LV (T1 ) moyen du fréon, dans le circuit. w
D
€
€m = 1 kg.s-1. 1−γ€
⎛ P ⎞ γ
γR
γR
1
(T ' 2 −T1) ; ΔhBC = €
(T 2 − T ' 2 ) − LV (T 2 ) ;
€ Réponse : T ' 2 = T1⎜ ⎟ ; w =
P
γ
−
1
M
γ
−
1) M stationnaire d’une €
(
)
(
⎝
⎠
€
2
II L’objectif
machine ditherme de réfrigération.
Exercice
5: de ce problème est l’étude du fonctionnement
c l (T 2 −T1 )
ΔhDA
x hvap (Le
T1 ) cycle
− hliq (représenté,
T1) + hliq (T1dans
LV (T1) ; εfr.=
; Δh
= 2,14 ; Pméca = 46,65 kW ;
) − hliqun(Tdiagramme
(1− x)ci-contre
2 ) = 0 ; x =de Clapeyron,
parDAla=figure
LV (T1 )
P w
Courbe de
constitue
un modèle de fonctionnement d’une machine de réfrigération dans
D
kg.s-1.
€
€
€m = 1 laquelle
saturation
une masse m de fluide frigorigène subit les transformations suivantes :
• A → B : compression adiabatique dans le compresseur.
D
B
€
€ le P
• B → D : refroidissement
et liquéfaction isobares de la vapeur dans
€
II L’objectif de ce problème est l’étude
du fonctionnement stationnaire d’une machine2 ditherme de réfrigération.
condenseur.
•
D →dans
E : détente
adiabatique
et isenthalpique
le détendeur.
Le cycle représenté,
un diagramme
de Clapeyron,
par ladans
figure
ci-contre
P
•
E
→
A
:
vaporisation
isobare
dans
l’évaporateur.
Courbe de
constitue un modèle de fonctionnement d’une machine de réfrigération dans
Les
sources
froide
Σ
(intérieur
de
l’enceinte
à
réfrigérer)
et
chaude
Σ
(milieu
saturation
F
P1
A
laquelle une masse m de fluide
frigorigène subit les transformations suivantes :C
assimiléesadiabatique
à des thermostats
températures respectives TF et TC
E
• ambiant)
A → B :sont
compression
dans le de
compresseur.
D
B
• constantes.
B → D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le P2
condenseur.
variations
d’énergie
cinétique
et d’énergie
potentielle
• Les
D→
E : détente
adiabatique
et isenthalpique
dans le
détendeur.du fluide sont
O
V
négligeables.
• E → A : vaporisation isobare dans l’évaporateur.
Données
:
m
=
1
kg
T
=
278
K
T
=
293
K
F
C
Les sources froide ΣF (intérieur de l’enceinte à réfrigérer) et chaude ΣC (milieu P1
A
massiques
fluide frigorigène
dans les états
représentés
PCSIEnthalpies
2sont assimilées
Machines thermiques
ambiant)
à desduthermostats
de températures
respectives
TF et par
TC les-1points A, B etED : -1
-1
h
=
390,2
kJ.kg
;
h
=
448,6
kJ.kg
;
h
=
286,4
kJ.kg
.
A
B
D
constantes.
A – Performances de l’installation
Les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle du fluide sont
O l’état initial i à l’état final f. Au cours deVcette
A-1 Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer de
négligeables.
2013 – 2014le système reçoit les quantités d’énergie Q par transfert thermique et W par transfert mécanique (travail).
2/12
transformation,
Données
:
m = 1 kg
TF = 278 K
i f TC = 293 K
i f
A-1-1
Appliquerdulefluide
premier
principe de
la Thermodynamique
cettelestransformation.
Enthalpies
massiques
frigorigène
dans
les états représentésà par
points A, B et D :
-1
A-1-2 Etablir la relation entre la variation
d’enthalpie
hA = 390,2
kJ.kg-1 ; hΔH
kJ.kg-1 et
; hQ
f du système
i f.286,4 kJ.kg .
B =i 448,6
D=
A-2 On désigne par QF et QC les quantités d’énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, respectivement au contact de la source
froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-dessus.
A-2-1 Exprimer QF et QC en fonction des données.
2013 –A-2-2
2014 Calculer QF et QC.
2/12
A-3 On désigne par W l’énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d’un cycle.
A-3-1 Exprimer W en fonction des données.
A-3-2 Calculer W.
A-4 On désigne par SF et SC les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement avec la source froide et la
source chaude au cours du cycle.
A-4-1 Exprimer SF et SC en fonction des données.
A-4-2 Calculer SF et SC.
A-4-3 Calculer l’entropie Sp créée au cours du cycle. Conclusion.
A-5 Calculer l’efficacité µ de cette installation.
A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est de 500 W, calculer le débit
massique qm que l’on doit imposer au fluide frigorigène.
[
[
]
]
→
→
→
→
B-Etude de la compression de la vapeur
La vapeur
issue de l’évaporateur est comprimée de la pression P1 = 2,008 bar (état A) à la pression P2 = 16,810
barThiers
(état B). - MPSI3
Laure
Sandeau
Lycée
Dans cette partie du problème, on admettra que l’on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ des capacités thermiques
A-4-1 Exprimer
SF et
SCimposer
en fonction
des données.
massique
qm que l’on
doit
au fluide
frigorigène.
A-4-2 Calculer SF et SC.
A-4-3 Calculer l’entropie Sp créée au cours duB-Etude
cycle. Conclusion.
de la compression de la vapeur
TD
T5
4/7
A-5 Calculer l’efficacité µ de cette installation.
A-6
Sachantissue
que de
la puissance
PF à est
extraire
de la source
froide pour
sa(état
température
constantePest
de 500 W, calculer le débit
La vapeur
l’évaporateur
comprimée
de la pression
P1 =maintenir
2,008 bar
A) à la pression
2 = 16,810 bar (état B).
massique
qmpartie
que l’on
doit imposer
fluide frigorigène.
Dans cette
du problème,
onauadmettra
que l’on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ des capacités thermiques
conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié.
B-Etude
la compression
de la
On envisage le cas où cette compression pourrait
être de
supposée
adiabatique
et vapeur
réversible.
B-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression P.
La vapeur
issue de
l’évaporateur
comprimée
de la pression
P1 =l’on
2,008
bar (état A)
à lade
pression
P2 = 16,810 bar (état B).
B-2 Sachant
que
TA = 263 K,estcalculer
la température
T’ que
atteindrait
en fin
compression.
Dans cette partie du problème, on admettra que l’on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport γ des capacités thermiques
conserve une valeurC-Détermination
constante égale à des
1,14conditions
dans le domaine
étudié.
de fonctionnement
permettant d’obtenir l’efficacité maximale
On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible.
Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression P.
C-1B-1
Préciser
la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l’efficacité maximale µmax de la machine de
B-2 Sachant que TA = 263 K, calculer la température T’ que l’on atteindrait en fin de compression.
réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle.
C-2 Sachant qu’au
cours de ce cycle
variation d’entropie
massiquepermettant
ΔSC du fluide
au coursl’efficacité
de la transformation
C-Détermination
deslaconditions
de fonctionnement
d’obtenir
maximale qu’il subit au contact
de la source chaude est de – 0,416 kJ.K-1.kg-1, calculer les quantités d’énergie Q’F et Q’C reçues, par transfert thermique, par 1 kg de
fluide
frigorigène,
au cours
de ce
cycle, respectivement
au contact
de afin
la source
froide àetl’efficacité
au contact maximale
de la source
C-1
Préciser
la nature
du cycle
réversible
que devrait décrire
le fluide
de parvenir
µmaxchaude.
de la machine de
C-3
Exprimer
l’efficacité
µ
en
fonction
des
températures
T
et
T
et
calculer
µ
.
max
F
C
max
réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle.
C-2 Sachant qu’au cours de ce cycle la variation d’entropie massique ΔSC du fluide au cours de la transformation qu’il subit au contact
-1
-1
h − hDQ’F et Q’ChDreçues,
− hB par transfert thermique,
de
la source
Réponse
: Qifchaude
= Δhif est
; QFde= –hA0,416
– hD kJ.K
; QC =.kg
hD –, calculer
hB ; W =les
hBquantités
– hA ; SF d’énergie
= A
; SC =
; Sp = 180,2 J.K-1.kg-1 ; par 1 kg de
fluide frigorigène, au cours de ce cycle, respectivement au contact de la source
de la source chaude.
T F froide et au contact
TC
C-3 Exprimer l’efficacité
µmax en
des températures TF et TC et calculer µmax.
γ −fonction
a
µ = 1,78 ; qm = 4,8 g.s-1 ; k =
; Q’C = -122 kJ.kg-1 ; Q’F = 116 kJ.kg-1 ; µmax = 18,53.
1− a
h − hD
h − hB
Réponse : Qif = Δhif ; QF = hA – hD ; QC = hD – hB ; W = hB – hA ; SF = A
; SC = D
; Sp = 180,2 J.K-1.kg-1 ;
€
€
TF
TC
III Propulsion d’un -1avion γ − a
-1
-1
Exercice
µ = 1,78 ; q6:
m = 4,8
€ g.s ; k = 1 − a ; Q’C = -122 kJ.kg ; Q’F = 116 kJ.kg ; µmax = 18,53.
1) Moteur à explosion
€
€
En 1890, un avion a pu décoller pour la première fois
grâce à la seule
poussée de son moteur : Clément Ader avait équipé l’Eole
III Propulsion
d’un
avion
d’un moteur à vapeur de 20 CV, actionnant une hélice quadripôle construite avec des cannes de bambou. Dans la recherche de la
€
légèreté, le moteur à combustion interne et à pistons, le plus souvent à quatre temps, supplanta rapidement le moteur à vapeur.
1)
Moteur
à explosion
Dans
un moteur
à explosion, le fluide supposé parfait décrit un cycle de Beau de Rochas en quatre temps :
En 1890, un(1)
avion
a pu
pourlelacylindre
premièreà fois
grâce
la seule poussée
de son
moteur
: Clément
: L’air
estdécoller
admis dans
travers
uneà soupape
d’admission
dans
un volume
V1 ;Ader avait équipé l’Eole
d’un moteur(2)
à vapeur
de
20
CV,
actionnant
une
hélice
quadripôle
construite
avec
des
cannes
de
bambou.
Dansjusqu’au
la recherche
de la
: (2.a) Alors que les soupapes sont fermées, le mélange subit une compression isentropique
volume
V2 ;
légèreté, le moteur (2.b)
à combustion
interne
et à pistons,
le plus{carburant,
souvent à quatre
supplantaisochore
rapidement
le moteur
vapeur.
Il y a alors
explosion
du mélange
air} ettemps,
échauffement
jusqu’à
l’état à(3)
(P3, V3, T3) ;
Dans un moteur
explosion,
fluide supposé
un cycle
Beau de Rochas
en quatre
temps :isentropique jusqu’à l’état (4)
(3) : àles
soupapeslerestent
ferméesparfait
et les décrit
produits
de la de
combustion
subissent
une détente
(1)
:
L’air
est
admis
dans
le
cylindre
à
travers
une
soupape
d’admission
dans
un
volume
V1 ;
(P4, V4, T4) ;
(2)
:
(2.a)
Alors
que
les
soupapes
sont
fermées,
le
mélange
subit
une
compression
isentropique
jusqu’au
; piston
(4) : La soupape d’échappement s’ouvre, le fluide subit un refroidissement isochore jusqu’à
l’étatvolume
initial.V2Le
(2.b) Il y a alors explosion du mélange {carburant, air} et échauffement isochore jusqu’à l’état (3) (P3, V3, T3) ;
refoule alors les gaz brûlés.
(3) : les soupapes restent fermées et les produits de la combustion subissent une détente isentropique jusqu’à l’état (4)
a) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V).
PCSI 2
Machines thermiques
(P4, V4, T4) ;
b) Exprimer
le rendement théorique ηth de ce cycle en fonction du taux de compression α = V1/V2. Calculer la valeur du
(4) : La soupape d’échappement s’ouvre, le fluide subit un refroidissement isochore jusqu’à l’état initial. Le piston
rendement théorique
dans
casbrûlés.
où le taux de compression est de 6. Le gaz considéré est de l’air pour lequel γ = 1,4.
refoule alors
leslegaz
a) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V).
2013 – 2014
3/12
2) Turbine
à gaz
b) Exprimer
le rendement théorique ηth de ce cycle en fonction du taux de compression α = V1/V2. Calculer la valeur du
Une turbine à gaz fonctionne suivant le cycle théorique de Joule (ou cycle de Brayton), composé de deux adiabatiques et de deux
isobares. Une unité de masse d’air, gaz supposé parfait, subit les transformations suivantes :
2013 – 2014
3/12
Etape 1 : L’air, dans l’état (1) (P1, V1, T1) est aspiré dans le compresseur qui l’amène dans l’état (2) (P2, V2, T2) par
une
compression isentropique. On néglige les vitesses d’écoulement. On notera w’1 le travail utile massique fourni par le
compresseur. L’air est initialement à la pression P1 = 1 bar et à la température T1 = 280 K. Le compresseur le porte à la
pression P2 = 10 bar.
Etape 2 : Dans la chambre de combustion, l’air subit un échauffement isobare jusqu’à l’état (3) (P3, V3, T3). On note q2
le transfert thermique massique fourni à l’air dans cette étape. L’échauffement est limité par la température maximale
que peut supporter la turbine : T3 = 1 000 K.
Etape 3 : L’air parvient alors dans la turbine où il subit une détente isentropique jusqu’à l’état (4) (P4, V4, T4). On
néglige les vitesses d’écoulement aussi bien à l’entrée qu’à la sortie de la turbine. On note w’3 le travail utile massique
reçu par l’air dans cette transformation. A la fin de cette détente : P4 = P1.
Etape 4 : L’air est rejeté dans l’atmosphère extérieure où il subit un refroidissement isobare jusqu’à l’état (1).
a) Représenter le cycle de Joule dans les diagrammes (P, V) et (T, S).
b) Etape 1 : Etablir les expressions de T2 et w’1, puis les calculer.
c) Etape 2 : Etablir l’expression de q2, puis calculer sa valeur.
d) Etape 3 : Etablir les expressions de T4 et w’3, puis les calculer.
3) Turbopropulseur
On étudie le cas où le réacteur étudié entraîne une hélice propulsive ainsi que le compresseur (turbopropulseur).
a) Quel est le travail massique disponible pour faire tourner l’hélice ?
b) Exprimer l’efficacité de ce moteur en fonction du taux de compression α = V1/V2. Comparer l’efficacité de ce moteur avec
celle du moteur à explosion étudié à la question 1), pour un même taux de compression α = 6. Quel peut être l’intérêt du cycle
de Joule par rapport à celui de Beau de Rochas ? Comparer le résultat obtenu avec le rendement du cycle de Carnot.
c) Le rapport des températures T3/T1 a une valeur imposée. En revanche, le taux de compression peut être adapté. Pour quel taux
de compression αm obtient-on un travail maximal ? Exprimer ce travail maximal.
A.N. : γ = 1,4 ; M = 29 g.mol-1.
1−γ
γ
⎛ P ⎞
Laure
= 1− α ; T 2 = T1⎜ 1 ⎟
Réponse
: ηSandeau
⎝ P2 ⎠
1−γ
1−γ
γ
⎛ P ⎞
γR
γR
; w'1 =
(T 2 − T1) ; q2 =
(T 3 − T 2 ) ; T 4 = T 3 ⎜ 2 ⎟
M (γ − 1)
M (γ − 1)
⎝ P1 ⎠
Lycée
Thiers - MPSI3
;
PCSI 2
Machines thermiques
TD T5
5/7
⎡ l (T )
T ⎤
TF
q
= 47% ; η = 1+ cond ; qGV = c l (T 2 −T1) + l v (T 2 ) ; qcond = T1( so − s3 ) ; qcond = −T1⎢ v 2 + c l Ln 2 ⎥ ;
T1 ⎦
TC
qGV
⎣ T 2
η = 38,8% < ηC ; x 3 = 64% ; h3 = 1687kJ / kg ; η = 40,5% ; x' 3 = 79% ; h' 3 = 2046kJ / kg ; η' = 42,8% .
Réponse : ηC = 1−
Exercice 7:
€
€
€
€
€
€
VII La centrale nucléaire produit de l'électricité par l'intermédiaire d'un alternateur couplé
aux turbines à vapeur T1 et T2. Le fluide
€
€
€
€
€
€
caloporteur est de l'eau. A la sortie des turbines, l'eau se refroidit dans le condenseur (l'échange d'énergie thermique peut se faire avec
l'eau pompée dans une rivière).
Dans l'évaporateur E', les échanges thermiques peuvent s'effectuer avec un circuit primaire d'eau qui récupère l'énergie thermique
libérée au cœur du réacteur par la fission de l'uranium enrichi.
L'eau du circuit secondaire décrit le cycle représenté sur la figure ci-dessous :
* Les transformations A → B et C → D sont supposées adiabatiques réversibles et correspondent au passage dans les turbines
haute pression (T1) et basse pression (T2).
* Entre les deux turbines, l'eau subit une surchauffe B → C en repassant dans l'échangeur E'.
m vap
).
mtotale
On désigne de plus par h et s les enthalpie et entropie massiques du fluide.
On prendra h = 0 et s = 0 pour le liquide dans l'état Po = 1 atm et To = 273 K (0 degré Celsius). On négligera les variations de volume
de l'eau liquide avec la température et la pression.
€
On donne :
θA = 287 °C et PA = 70 atm (θ : température Celsius)
PB = 10 atm; θC = 270 °C; PD = 0,05 atm
Cl = 4,18 kJ.K-1.kg-1 (capacité thermique de l'eau liquide, supposée constante).
On note T, P, x, température, pression et titre en vapeur (soit x =
1) Déterminer les expressions de hE, hF, sE et sF en fonction de Cl, TE, TF et To.
2) Dresser un tableau où figurent les valeurs de h, s, θ, P et x pour les différents points A, B, C, D, E, F. A cet effet, on s'aidera du
diagramme de Mollier présenté en fin d'énoncé (h est exprimé en kJ.kg-1 et s en kJ.K-1.kg-1).
3) Calculer les valeurs numériques des énergies thermiques "reçues" par le fluide : qFA, qBC, qDE et qEF.
En déduire le travail par unité de masse w1 fourni par la centrale au cours d'un cycle, l'énergie thermique q1 fournie par la source
w
chaude pour 1 kg de fluide, le rendement thermique η = 1 .
q1
4) Exprimer le travail utile wu produit par les turbines lorsqu'elles sont traversées par 1 kg de fluide. Comparer wu et w1.
5) La puissance électrique de la centrale est P = 1300 MW. Quel doit être la valeur du débit massique de fluide dans le circuit
secondaire ?
€
2013 – 2014
Laure Sandeau
8/12
Lycée Thiers - MPSI3
TD T5
PCSI 2
2013 – 2014
Laure Sandeau
6/7
Machines thermiques
9/12
Lycée Thiers - MPSI3