UNIVERSITE MOHAMMED V- AGDAL FACULTE DES SCIENCES

UNIVERSITE MOHAMMED V- AGDAL
FACULTE DES SCIENCES
-RABATN°d’ordre :2319
THESE DE DOCTORAT D’ETAT
Présentée par
ARROUD Abdelmajid
Discipline : Mathématiques
Spécialité : Analyse
Titre :
Théorème Généralisé de Weyl pour les Opérateurs
Hyponormaux et les Multiplicateurs
Soutenue le : 24/11/2006 , devant le jury :
Président
:
El Hassan Zerouali ,
professeur à la faculté des sciences de Rabat
Abdelhamid Bourass,
Mohammed Berkani ,
Omar El Fallah,
Mustapha Sarih,
professeur à la faculté des sciences de Rabat
professeur à la faculté des sciences d’Oujda
professeur à la faculté des sciences de Rabat
professeur à la faculté des sciences de Meknès
Examinateurs :
Remerciements
Le professeur Abdelhamid Bourass m’a permis de m’inscrire en doctorat d’état sous sa
direction, je le remercie sincèrement pour son soutien et ses conseils. Qu’il veuille bien
trouver ici l’expression de ma très grande reconnaissance.
Je remercie vivement le professeur Mohammed Berkani qui a proposé le sujet de cette
thèse et assuré la direction de ce travail avec amabilité et compétence. Qu’il veuille bien
trouver ici l’expression de ma très profonde gratitude.
J’exprime mes vifs remerciements au professeur El Hassan Zerouali pour m’avoir fait
l’honneur d’accepter de présider le jury de cette thèse.
Je tiens à remercier les professeurs Omar El Fallah et Mustapha Sarih pour avoir
accepté de participer au jury de cette thèse et pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail.
Je remercie mes collègues et amis de longue date du département de mathématiques
de la faculté des sciences de Rabat qui se reconnaı̂tront ici. Je leur exprime ma profonde
sympathie.
Merci aussi à tous mes collègues du département de mathématiques de la faculté des
sciences d’Oujda pour la sympathie et les encouragements qu’ils ont témoignés à mon
égard. Je leur exprime ici toute ma gratitude.
Enfin mes remerciements vont à ma famille, mes amis et tous ceux qui m’ont soutenu
durant l’élaboration de ce travail.
1
Table des matières
0 Introduction
3
1 Préliminaires
10
2
1.1
Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2
Les Opérateurs B-Fredholm et le spectre B-Weyl . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Les Opérateurs semi-B-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Théorème Généralisé de Weyl pour un Opérateur Hyponormal et Perturbations de Rang Fini
19
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2
Le théorème généralisé de Weyl pour un opérateur hyponormal . . . . . . . 20
2.3
Perturbations de rang fini et théorème généralisé de Weyl . . . . . . . . . . 27
3 Propriétés B-Fredholm et Spectrales des Multiplicateurs dans les Algèbres
de Banach
36
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2
Propriétés B-Fredholm des multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3
Propriétés spectrales des multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Eléments B-Fredholm généralisés dans une Algèbre de Banach Semi-
1
Simple
52
4.1
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2
Eléments B-Fredholm généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
Chapitre 0
Introduction
Soit X un espace de Banach et soit L(X) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires
bornés agissant sur X. Pour T ∈ L(X), on désigne par N (T ) le noyau de T, par α(T ) la
nullité de T, par R(T ) l’espace image de T et par β(T ) sa déficience. Si R(T ) est fermé
et α(T ) < ∞ (resp. β(T ) < ∞), alors T est dit un opérateur semi-Fredholm supérieur
(resp. semi-Fredholm inférieur ). Si T ∈ L(X) est un opérateur semi-Fredholm supérieur
ou inférieur alors T est dit un opérateur semi-Fredholm , et l’ indice de T est défini par:
ind (T ) = α(T ) − β(T ).
Si α(T ) et β(T ) sont tous les deux finis alors T est dit un opérateur de Fredholm .
Dans ce cas il est bien connu que l’espace image R(T ) de T est fermé dans X.
Définissons maintenant pour tout entier naturel n, Tn par la restriction de T à l’espace
R(T n ) vue comme une application de R(T n ) vers R(T n ) (en particulier T0 = T ).
Si pour un entier naturel n l’espace R(T n ) est fermé et Tn est un opérateur semi-Fredholm
supérieur (resp. inférieur), alors T est appelé [8, Definition 2.2] un opérateur semi-BFredholm supérieur (resp. inférieur ). De plus si Tn est un opérateur de Fredholm alors
T est appelé un opérateur B-Fredholm .
Un opérateur semi-B-Fredholm est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur ou inférieur.
L’indice d’un opérateur semi-B- Fredholm T est par définition l’indice de l’opérateur semi3
Fredholm Tn et d’après [6, Proposition 2.1] cette définition est indépendante de n.
Soit BF (X) la classe de tous les opérateurs B-Fredholm sur X. Dans [6] M. Berkani a
étudié cette classe d’opérateurs et a montré [6, Theorem 2.7] qu’un opérateur T ∈ L(X)
est B-Fredholm si et seulement si T = Q ⊕ F, où Q est un opérateur nilpotent et F est
un opérateur de Fredholm.
Il apparaı̂t d’après [9] que l’inversibilité au sens de Drazin joue un rôle important pour
la classe des opérateurs B-Fredholm .
Si A est une algèbre unitaire d’unité e, suivant la définition dans [38], on dira qu’un
élément x de A est Drazin-inversible s’il existe un élément b de A et un entier naturel k
tels que:
xk bx = xk ,
bxb = b,
xb = bx.
(1)
Rappelons que le concept de Drazin-inversibilité a été à l’origine introduit par Drazin dans
[20] où les éléments satisfaisant la relation ( 1) sont appelés éléments pseudo-inversibles.
Le spectre de Drazin d’un element a ∈ A est défini par:
σD (a) = {λ ∈ C : a − λe n’est pas Drazin-inversible}.
Dans le cas d’un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach X, on sait que
T est Drazin-inversible si et seulement s’il a une ascente et une descente finies (Definition 1.1.1). Ce qui est aussi équivalent au fait que T = U ⊕ V, où U est un opérateur
inversible et V est nilpotent,(Voir [38, Proposition 6] et [30, Corollary 2.2]).
Dans [9, Theorem 3.4] il est démontré que T est un opérateur B-Fredholm si et seulement
si sa projection sur l’algèbre L(X)/F0 (X) est Drazin-inversible, ici F0 (X) désigne l’idéal
des opérateurs de rang fini dans l’algèbre L(X) des opérateurs linéaires bornés agissant
sur X.
Dans [10], les opérateurs B-Weyl et le spectre B-Weyl sont définis comme suit:
4
Si T ∈ L(X), T est un opérateur B-Weyl s’il est un opérateur B-Fredholm
d’indice 0;
le spectre B-Weyl σBW (T ) de T est défini par:
σBW (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un opérateur B-Weyl }.
Si T est un opérateur normal agissant sur un espace de Hilbert H, M. Berkani a montré
[10, Theorem 4.5] que σBW (T ) = σ(T )\E(T ), où E(T ) est l’ensemble des valeurs propres
isolées de T, ce qui donne une généralisation du théorème de Weyl.
Rappelons que le théorème de Weyl classique [45] assure que si T est un opérateur normal
agissant sur un espace de Hilbert H, le spectre de Weyl σW (T ) est égal à l’ensemble des
éléments de σ(T ) moins les valeurs propres isolées de multiplicité finie, ce qui s’écrit:
σW (T ) = σ(T )\E0 (T ),
E0 (T ) étant l’ensemble des valeurs propres isolées de multiplicité finie, et σW (T ) est le
spectre de Weyl de T :
σW (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un opérateur de Fredholm d’indice 0 }.
Dans son article [5], B.A. Barnes a considéré la version II du théorème de Weyl:
σW (T ) = σ(T ) \ Π0 (T ),
où Π0 (T ) est l’ensemble des pôles de rang fini de la résolvante de T.
Cette version est plus connue sous le nom de Théorème de Browder (voir aussi [19]).
Rappelons qu’un point isolé λ du spectre σ(T ) de T est un pôle de rang fini de la résolvante
de T si la projection spectrale associée à l’ensemble {λ} est de rang fini.
Dans [12, Theorem 3.9] il est démontré que si T satisfait le théoreme généralisé de
Weyl:
σBW (T ) = σ(T )\E(T ),
5
alors il satisfait le théorème de Weyl
σW (T ) = σ(T )\E0 (T ).
Il est démontré aussi dans ce même article [12, Theorem 3.15] que si T satsfait la version
II du théorème généralisé de Weyl (Théorème généralisé de Browder ):
σBW (T ) = σ(T )\Π(T ),
alors il satisfait aussi la version II du théorème de Weyl:
σW (T ) = σ(T )\Π0 (T ).
Dans le premier chapitre de ce travail on rappelle les principaux résultats et définitions
concernant les opérateurs B-Fredholms et semi-B-Fredholms. Nous présentons également
un rappel des spectres de Weyl et B-Weyl et les différents théorèmes qui leurs sont associés.
Dans le deuxième chapitre on va considérer le théorème généralisé de Weyl pour un
opérateur hyponormal. En particulier on démontre que si T est un opérateur hyponormal
agissant sur un espace de Hilbert H, alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl:
σBW (T ) = σ(T )\E(T ).
On montre aussi dans ce chapitre que le spectre B-Weyl de T, σBW (T ) satisfait le théorème
de l’application spectrale.
D’autre part si f est une fonction analytique définie sur un voisinage du spectre σ(T )
d’un opérateur hyponormal T sur un espace de Hilbert H, alors on démontre que f (T )
satisfait le théorème généralisé de Weyl.
Un résultat analogue a été obtenu pour le spectre de Weyl par K.K. Oberai dans [36] si
f est un pôlynome, et plus récemment par W. Y. Lee et S. H. Lee dans [32], si f est une
fonction analytique sur un voisinage du spectre de T.
6
Dans la section 3 du chapitre 2 nous étudions les perturbations de rang fini pour des
opérateurs vérifiant le théorème de Weyl ou le théorème généralisé de Weyl. Nous donnons
une condition nécessaire et suffisante pour que l’opérateur T + F vérifie le théorème de
Weyl si T est un opérateur satisfaisant le théorème de Weyl et F est un opérateur de
rang fini. Ce résultat est une amélioration d’un résultat obtenu par K.K. Oberai [36,
Theorem 4].
De manière analogue, si T satisfait le théorème généralisé de Weyl et F est de rang fini
et commute avec T, on donne une condition nécessaire et suffisante pour que l’opérateur
T + F vérifie le théorème généralisé de Weyl. Ensuite on démontre que le théorème
généralisé de Weyl est satisfait par T + F si T est un opérateur isoloide ou quasi-nilpotent
satisfaisant le théorème génèralisé de Weyl et F un opérateur de rang fini qui commute
avec T.
Dans le chapitre 3 de ce travail on étudie les propriétés spectrales et B-Fredholm d’un
opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach taubérienne commutative
semi-simple régulière A.
Rappelons qu’un multiplicateur T sur l’algèbre A est une application T : A → A telle
que:
aT (b) = T (a)b ∀a, b ∈ A.
Les résultats obtenus par P. Aiena et K.B. Laursen dans [3] montrent que les opérateurs
multiplicateurs agissant sur une algèbre de Banach A semi-simple commutative regulière
taubérienne ont des propriétés Fredholm intéressantes.
Nous nous sommes naturellement posés la question pour savoir si de telles propriétés sont
valables dans le contexte B-Fredholm.
La réponse est positive; en effet on démontre dans le chapitre 3 que si T est un multiplicateur agissant sur A alors T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si T est un
7
opérateur semi B-Fredholm, et dans ce cas on obtient l’indice de T, ind (T ) = 0.
Un résultat similaire a été obtenu par P. Aiena et K.B. Laursen pour le cas des opérateurs
Fredholm dans [3, Theorem 4.4].
Dans la suite on donne quelques propriétés spectrales des multiplicateurs.
Une application des premiers résultats obtenus nous permettra de montrer que l’opérateur
de multiplication Ta par un élément a d’une C ∗ -algèbre A régulière commutative est un
opérateur B-Fredholm si et seulement si a est Drazin-inversible dans A.
Les théorèmes de l’application spectrale pour le spectre de Weyl ou B-Weyl d’un multiplicateur sont aussi considérés dans ce chapitre.
Dans le théorème 3.3.8 on démontre que le théorème généralisé de Weyl est satisfait
par f (T ) si T est un multiplicateur agissant sur une algèbre de Banach semi-simple A
et f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre de T. Par suite d’après [12,
Theorem 3.9 et Theorem 3.11], la proposition 3.3.3 et le corollaire 3.3.4, il résulte que le
théorème de Weyl ( Resp. a-Weyl) et le théorème généralisé de Weyl (Resp. généralisé aWeyl) [voir Définition 3.5] sont satisfaits par un multiplicateur T agissant sur une algèbre
semi-simple régulière commutative et taubérienne.
A la fin de ce chapitre on considère une algèbre A semi-simple régulière commutative et
taubérienne satisfaisant la condition de Glicksberg, et on donne des conditions suffisantes
pour qu’un multiplicateur sur A vérifie l’égalité: T = P B, où P est un opérateur inversible
et B est un opérateur idempotent.
Dans [17] S.R. Caradus a introduit la classe des opérateurs de Fredholm généralisés.
T ∈ L(X) est appelé un opérateur de Fredholm généralisé, s’il existe S ∈ L(X)
vérifiant T ST = T et I − T S − ST est un opérateur de Fredholm.
Cette classe d’opérateurs est étudiée dans [41],[42] et [43].
8
Dans une algèbre A semi-simple les éléments de Fredholm généralisés ont été introduits
dans [33].
Les éléments de Fredholm et les éléments de Fredholm généralisés dans une algèbre de Banach A ont été étudié par Ch. Schmoeger dans [41] et plus récemment par Ch. Schmoeger
et D. Männle dans [34].
De manière naturelle nous essayons dans le chapitre 4 de définir les éléments B-Fredholm
généralisés dans une algèbre de Banach A. La classe des éléments B-Fredholm généralisés
est notée ΦgBF (A).
On démontre en particulier que x ∈ ΦgBF (A) si et seulement si xb est inversible au sens
de Drazin dans L’algèbre quotient A/Soc(A), où Soc(A) désigne le socle de A. Ceci nous
permettra de démontrer que ΦgBF (A) est une régularité et par conséquent le spectre qui
lui est associé,
g
(a) = {λ ∈ C : a − λe ∈
/ ΦgBF (A)}
σBF
vérifie le théorème de l’application spectrale:
g
g
(f (a)),
(a)) = σBF
f (σBF
où f est une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(a), a ∈ A.
9
Chapitre 1
Préliminaires
Dans ce chapitre on présente les définitions et les principaux résultats sur les opérateurs
B-Fredholm et semi-B-Fredholm. Nous présentons aussi les différents spectres utilisés et
les différents théorèmes de Weyl associés.
1.1
Rappels et notations
Soient X un espace de Banach et L(X) l’algèbre des opérateurs bornés sur X.
Si T ∈ L(X) on note par N (T ) le noyau de T et par R(T ) l’image de T.
T est dit un opérateur de Fredholm si R(T ) est fermé et α(T ) = dim N (T ) et β(T ) =
dim(X/R(T )) sont finis .
T est dit un opérateur semi-Fredholm si R(T ) est fermé et α(T ) ou β(T ) est fini.
T est dit un opérateur semi-Fredholm supérieur (Resp. inférieur) s’il est semi-Fredholm
et α(T ) fini (Resp. β(T ) fini).
L’indice de T est par définition ind (T ) = α(T ) − β(T ).
L’ascente de T, notée a(T ) est le plus petit entier naturel tel que N (T n ) = N (T n+1 ) et la
descente de T, notée δ(T ) est le plus petit entier naturel tel que R(T n ) = R(T n+1 ).
Plus précisément on a la définition suivante:
10
Définition 1.1.1 : Pour T ∈ L(X) on définit les suites (cn (T )), (c0n (T )) et (kn (T ))
comme suit:
(i) cn (T ) = dim(R(T n )/R(T n+1 )),
(ii) c0n (T ) = dim(N (T n+1 )/N (T n )),
(iii) kn (T ) = dim[(R(T n ) ∩ N (T ))/(R(T n+1 ) ∩ N (T ))].
La descente δ(T ) et l’ascente a(T ) sont définies par :
δ(T ) = inf{n : cn (T ) = 0} = inf{n : R(T n ) = R(T n+1 )},
a(T ) = inf{n : c0n (T ) = 0} = inf{n : N (T n ) = N (T n+1 )},
avec inf ∅ = ∞.
Définition 1.1.2 : Soit T ∈ L(X), si on pose:
∆(T ) = {n ∈ N : ∀m ∈ N, m ≥ n ⇒ (R(T n ) ∩ N (T )) ⊂ (R(T m ) ∩ N (T ))};
alors le degré d’itération stable dis(T ) de T est défini par dis(T ) = inf ∆(T ).
Définition 1.1.3 : Si d ∈ N, on dit que T a une descente uniforme pour n ≥ d si
R(T ) + N (T n ) = R(T ) + N (T d ) ∀n ≥ d; ( ce qui est équivalent à kn (T ) = 0 ∀n ≥ d).
Si de plus, R(T ) + N (T d ) est fermé alors on dit que T a une descente uniforme topologique
pour n ≥ d.
Un opérateur T ∈ L(X) est dit de Weyl s’il est de Fredholm d’indice 0. T est dit de
Browder s’il est de Fredholm d’ascente et descente finies.
Le spectre de Weyl et le spectre de Browder sont définis respectivement par:
σW (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas de Weyl}
σB (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas de Browder}.
11
Soit E0 (T ) l’ensemble des valeurs propres isolées de T de multiplicité finie et Π0 (T )
l’ensemble des pôles de rang fini de la résolvante de T.
On dit que T ∈ L(X) satisfait le théorème de Weyl si:
σW (T ) = σ(T )\E0 (T ),
et que T satisfait la version II du théorème de Weyl ( théorème de Browder) si:
σW (T ) = σ(T )\Π0 (T ),
Soit SF+ (X) la classe des opérateurs semi-Fredholm supérieurs. On définit :
SF+− (X) = {T ∈ SF+ (X) : ind (T ) ≤ 0}.
et
σSF+− (T ) = {λ ∈ C : T − λI ∈
/ SF+− (X)}.
Le spectre approximatif de T est défini par:
σa (T ) = {λ ∈ C : inf k(T − λI)(x)k = 0}
kxk=1
Soit E0a (T ) l’ensemble des valeurs propres de T de multiplicité finie qui sont isolées
dans σa (T ).
On dit que T ∈ L(X) satisfait le théorème a-Weyl si:
σSF+− (T ) = σa (T )\E0a (T )
Si T satisfait le le théorème a-Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl mais la réciproque
est fausse [37].
Définissons l’ensemble LD(X) par :
LD(X) = {T ∈ L(X) : a(T ) < ∞ et R(T a(T )+1 ) est fermé }.
12
On dira que λ ∈ σa (T ) est un pôle à gauche de T si T − λI ∈ LD(X), et que λ ∈ σa (T )
est un pôle à gauche de T de rang fini si λ est un pôle à gauche de T et α(T − λI) < ∞.
On notera par Πa (T ) l’ensemble de tous les pôles à gauche de T, et par Πa0 (T ) l’ensemble
de tous les pôles à gauche de T de rang fini.
On dit que T satisfait le théorème a-Browder si:
σSF+− (T ) = σa (T )\Πa0 (T ).
1.2
Les Opérateurs B-Fredholm et le spectre B-Weyl
Comme nous l’avons défini dans l’introduction, un opérateur T sur un espace de Banach
X est appelé B-Fredholm s’il existe un entier naturel n tel que R(T n ) soit fermé et la
restriction de T à R(T n ), Tn vue comme une application de R(T n ) vers R(T n ) soit un
opérateur de Fredholm .
Proposition 1.2.1 [6]: Soit T ∈ L(X). S’il existe un entier naturel n tel que R(T n ) soit
fermé et tel que Tn soit un opérateur de Fredholm, alors R(T m ) est fermé, Tm est un
opérateur de Fredholm et ind(Tm ) = ind(Tn ) pour tout m ≥ n.
Cette proposition permet de définir l’indice d’un opérateur B-Fredholm.
Définition 1.2.2 : Soit T ∈ L(X) un opérateur B-Fredholm et soit n un entier naturel
quelconque tel que Tn soit un opérateur de Fredholm. Alors l’indice de T, ind(T ) est
l’indice de l’opérateur Tn .
Les opérateurs B-Fredholm ont été introduits par M. Berkani dans [6]. Il a donné une
caractérisation importante de cette classe d’opérateurs notée BF (X) :
13
Théorème 1.2.3 [6] : Soit T ∈ L(X), alors T est un opérateur B-Fredholm si et seulement s’il existe deux sous espaces fermés M et N de X tels que X = M ⊕ N et:
a) T (N ) ⊂ N et T|N est un opérateur nilpotent,
b) T (M ) ⊂ M et T|M est un opérateur de Fredholm.
Si A est une algèbre unitaire d’unité e, suivant la définition dans [38], on dira qu’un
élément x de A est Drazin-inversible s’il existe un élément b de A et un entier naturel k
tels que:
xk bx = xk ,
bxb = b,
xb = bx.
(1.1)
Dans le cas d’un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach X, on sait que T
est Drazin-inversible si et seulement s’il a une ascente et une descente finies.
La notion de Drazin-inversibilité joue un rôle important pour cette classe BF (X) des
opérateurs B-Fredholm. En effet si on note F0 (X) l’idéal des opérateurs de rang fini dans
L(X) et π : L(X) → L(X)/F0 (X) la projection canonique, alors on a le résultat suivant:
Théorème 1.2.4 [9] : Soit T ∈ L(X), alors T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si π(T ) est Drazin-inversible dans l’algèbre L(X)/F0 (X).
Rappelons maintenant quelques propriétés de l’indice d’un opérateur ( voir [10] et
[14]):
i) Si S, T, U, V sont des opérateurs qui commutent entre eux, tels que:
U S + V T = I et S, T ∈ BF (X), alors:
ST ∈ BF (X) et ind (ST ) = ind (S) + ind (T ).
ii) Si T ∈ BF (X) et n ∈ N∗ , alors T n ∈ BF (X) et ind (T n ) = n.ind (T ).
iii) Si S, T ∈ BF (X), ST = T S et T − S est compact , alors ind (T ) = ind (S).
iv) Si T ∈ BF (X), ST = T S, kT − Sk assez petit et T − S inversible, alors S
est un opérateur de Fredholm et ind (T ) = ind (S).
14
En particulier si Si T ∈ BF (X) et n ∈ N∗ assez grand, T − n1 I est un opérateur de
Fredholm et ind (T − n1 I) = ind (T ).
On a aussi la proposition suivante qui montre que la classe BF (X) est invariante par
les perturbations de rang fini avec conservation de l’indice.
Proposition 1.2.5 [10]: Soit T ∈ L(X) un opérateur B-Fredholm et soit F un opérateur
de rang fini dans L(X). Alors T +F est un opérateur B-Fredholm et ind(T +F ) = ind(T ).
Le spectre B-Fredholm σBF (T ) d’un opérateur T ∈ L(X) est défini par:
σBF (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un opérateur B-Fredholm }.
Dans [6] il est démontré que:
a) σBF (T ) est fermé.
b) σBF (T ) est stable par les perturbations de rang fini.
c) σBF (T ) vérifie le théorème de l’application spectrale.
Définition 1.2.6 : Soit T ∈ L(X), T est un opérateur B-Weyl s’il est un opérateur
B-Fredholm d’indice 0.
Le spectre B-Weyl σBW (T ) de T est défini par:
σBW (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un opérateur B-Weyl }.
Le spectre de Drazin de T est défini par:
σD (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas Drazin-inversible }.
Remarquons que σD (T ) = σ(T ) − Π(T ), où Π(T ) est l’ensemble de tous les pôles de la
résolvante de T.
15
Rappelons les propriétés suivantes des opérateurs B-Fredholm et du spectre de Weyl
pour un opérateur T ∈ L(X), démontrées dans [10]:
a) T est un opérateur B-Fredholm d’indice 0 si et seulement si T = T0 ⊕ T1 , où
T0 est un opérateur de Fredholm d’indice 0 et T1 est un opérateur nilpotent.
b) Si 0 est isolé dans le spectre σ(T ), alors T est un opérateur B-Fredholm
d’indice 0 si et seulement si T est Drazin-inversible.
c) σBW (T ) =
T
F ∈F0 (X)
σD (T + F ),
où F0 (X) désigne l’ensemble des opérateurs de rang fini sur X.
Soit E(T ) l’ensemble des valeurs propres isolées de T. On dit que T satisfait le théorème
généralisé de Weyl si:
σBW (T ) = σ(T )\E(T ).
Dans [12, Theorem 3.9] M. Berkani et J.J. Koliha démontrent que si T satisfait le théorème
généralisé de Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl. Dans ce même article ils
démontrent que si T satisfait le théorème généralisé de Browder:
σBW (T ) = σ(T )\Π(T ),
alors il satisfait le théorème de Browder:
σW (T ) = σ(T )\Π0 (T ),
où Π0 (T ) est l’ensemble de tous les pôles de rang fini de la résolvante de T.
1.3
Les Opérateurs semi-B-Fredholm
Soit T ∈ L(X) et soit Tn la restriction de T à R(T n ). S’il existe un entier naturel n tel
que Tn : R(T n ) → R(T n ), soit un opérateur semi-Fredholm alors T est appelé un opérateur
16
semi-B-Fredholm. T est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur (Resp. inférieur) si Tn
est un opérateur semi-Fredholm supérieur (Resp. inférieur).
Si T est un opérateur semi-B-Fredholm et si d = dis(T ) est le degré d’itération stable
de T ( voir définition 1.1.2) alors il résulte de [8, Proposition 2.1] que Tm est un opérateur
semi-Fredholm, et ind (Tm ) = ind (Td ), ∀m ≥ d. Ce qui permet de définir l’indice d’un
opérateur semi-B-Fredholm T comme étant l’indice de l’opérateur semi-Fredholm Td .
Soit SBF+ (X) la classe de tous les opérateurs semi-B-Fredholm supérieurs. On définit:
SBF+− (X) = {T ∈ SBF+ (X) : ind (T ) ≤ 0}.
et
σSBF+− (T ) = {λ ∈ C : T − λI ∈
/ SBF+− (X)}.
Soit E a (T ) l’ensemble des valeurs propres de T isolées dans le spectre approximatif σa (T ).
Un opérateur T ∈ L(X) satisfait le théorème généralisé a-Weyl si:
σSBF+− (T ) = σa (T ) \ E a (T ),
et il satisfait le théorème généralisé a-Browder si:
σSBF+− (T ) = σa (T ) \ Πa (T ).
Dans [12] M. Berkani et J.J. Koliha ont etudié les différents théorèmes de Weyl et
théorèmes de Browder et les implications possibles entre ces théorèmes, nous résumons
les résultats (voir [12]) dans ce qui suit:
Soit T ∈ L(X) alors on a les propriétés suivantes:
1. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème
généralisé a-Browder.
2. Si T satisfait le théorème a-Weyl alors il satisfait le théorème a-Browder.
17
3. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème
généralisé de Weyl.
4. Si T satisfait le théorème généralisé a-Browder alors il satisfait le théorème
généralisé de Browder.
5. Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl alors il satisfait le théorème
de Weyl.
6. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème
de Weyl.
7. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème
a-Weyl.
8. Si T satisfait le théorème généralisé a-Browder alors il satisfait le théorème
a-Browder.
18
Chapitre 2
Théorème Généralisé de Weyl pour
un Opérateur Hyponormal et
Perturbations de Rang Fini
2.1
Introduction
Soit T un opérateur linéaire borné, le spectre B-Weyl σBW (T ) est défini comme étant
l’ensemble de tous les λ ∈ C tels que T − λI ne soit pas un opérateur B-Fredholm d’indice
0. Soit E(T ) l’ensemble de toutes les valeurs propres isolées de T. Dans la première partie
de ce chapitre on va démontrer que si T est un opérateur hyponormal alors T satisfait le
théorème généralisé de Weyl : σBW (T ) = σ(T )\E(T ),
et le spectre B-Weyl de T, σBW (T ) satisfait le théorème de l’application spectrale.
On démontre aussi que si T est un opérateur isoloide qui agit sur un espace de Banach
X et satisfait le théorème généralisé de Weyl alors pour toute application f analytique
dans un voisinage du spectre σ(T ) de T, f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl si
et seulement si f (σBW (T )) = σBW (f (T )), et par suite si T est hyponormal agissant sur
un espace de Hilbert alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.
Dans la deuxième partie on va considérer les perturbations de rang fini pour des
opérateurs satisfaisant le théorème généralisé de Weyl (ou le théorème de Weyl). On
19
donnera une condition nécéssaire et suffisante pour que T +F vérifie le théorème généralisé
de Weyl (ou le théorème de Weyl) lorsque T le satisfait et F et un opérateur de rang fini.
A la fin de ce chapitre on donne un exemple d’un opérateur F de rang fini et un opérateur
T satisfaisant le théorème généralisé de Weyl tel que T +F ne le satisfait pas; Cela permet
de prouver que les perturbations de rang fini ne conservent pas en général la validité du
théorème généralisé de Weyl. Cependant on va démontrer que cela est vrai pour un
opérateur T isoloide ou quasi-nilpotent qui commute avec un opérateur F de rang fini.
2.2
Le théorème généralisé de Weyl pour un opérateur
hyponormal
Soit X un espace de Banach. Rappelons quelques définitions utiles dans ce chapitre.
Définition 2.2.1 : : Soit T ∈ L(X) et n ∈ N posons : cn (T ) = dim R(T n )/R(T n+1 ), et
c0n (T ) = dim N (T n+1 )/N (T n ).
Alors la descente de T est définie par:
δ(T ) = inf{n : cn (T ) = 0} = inf{n : R(T n ) = R(T n+1 )},
et l’ascente de T est définie par:
a(T ) = inf{n : c0n (T ) = 0} = inf{n : N (T n ) = N (T n+1 )}, avec inf ∅ = ∞
Pour T ∈ L(X) on définit le spectre B-Fredholm de T :
σBF (T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un opérateur B-Fredholm }
et l’ensemble résolvant B-Fredholm par :
ρBF (T ) = C \ σBF (T ) .
Définition 2.2.2 : Soit T ∈ L(X). On dira que T est d’indice de signe stable si pour
tout λ, µ ∈ ρBF (T ), ind (T − λI) et ind (T − µI) ont le même signe.
20
Si H est un espace de Hilbert, rappelons la définition d’un opérateur hyponormal:
T ∈ L(H) est dit hyponormal si T ∗ T − T T ∗ ≥ 0,
où T ∗ désigne l’opérateur adjoint de T.
Proposition 2.2.3 : Soit H un espace de Hilbert et T ∈ L(H) un opérateur hyponormal.
Alors T est d’indice de signe stable.
Preuve : Soit T un opérateur hyponormal alors ∀x ∈ H on a kT xk2 ≥ kT ∗ xk2 . Donc
N (T ) ⊂ N (T ∗ ) = R(T )⊥ . Puisque N (T 2 )/N (T ) ' N (T ) ∩ R(T ), alors N (T 2 ) = N (T ).
De plus, si T est un opérateur B-Fredholm, il existe un entier naturel n tel que R(T n )
soit fermé et Tn : R(T n ) → R(T n ) un opérateur de Fredholm.
On a ind (T ) = ind (Tn ) = dim(N (T )∩R(T n ))−dim R(T n )/R(T n+1 ) = − dim R(T n )/R(T n+1 ).
Donc ind (T ) ≤ 0.
D’autre part, si λ ∈ ρBF (T ) alors T − λI est un opérateur B-Fredholm, et T − λI
est aussi un opérateur hyponormal. D’après ce qui précède on a ind (T − λI) ≤ 0. On en
2
déduit que T est d’indice de signe stable.
Théorème 2.2.4 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X) un opérateur d’indice de
signe stable, soit f une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
Preuve : Si λ ∈
/ σBW (f (T )), alors f (T ) − λI est un opérateur B-Fredholm d’indice 0.
On peut écrire
f (T ) − λI = (T − µ1 I) · · · (T − µr I)g(T )
où µ1 , . . . , µr sont des scalaires complexes et g une fonction analytique non nulle sur le
spectre σ(T ) de T. En particulier g(T ) est inversible. Puisque f (T ) − λI est un opérateur
21
B-Fredholm, d’après [6, Theorem 3.4] il résulte que pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, T − µi I est un
opérateur B-Fredholm. D’autre part puisque ind (f (T ) − λI) = 0 et T d’indice de signe
stable, alors d’après [10, Theorem 3.2] on a pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, ind (T − µi I) = 0.
Donc pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, µi ∈
/ σBW (T ).
Si λ ∈ f (σBW (T )), il existe µ ∈ σBW (T ) tel que λ = f (µ). Par suite
0 = f (µ) − λ = (µ − µ1 ) · · · (µ − µr )g(µ).
Ceci implique µ ∈ {µ1 , . . . , µr }. Donc il existe i, 1 ≤ i ≤ r, tel que µi ∈ σBW (T ), et ceci
est contradictoire. D’où λ ∈
/ f (σBW (T )).
Réciproquement supposons que λ ∈
/ f (σBW (T )). Si λ ∈ σBW (f (T )) alors λ ∈ σ(f (T )) =
f (σ(T )). Par suite il existe µ ∈ σ(T ) tel que λ = f (µ). On a :
f (T ) − λI = f (T ) − f (µ)I = (T − µ1 I) · · · (T − µr I)g(T ),
où µ1 , . . . , µr sont des scalaires complexes et g une fonction analytique non nulle sur le
spectre σ(T ) de T.
Puisque f (T )−λI n’est pas un opérateur B-Fredholm d’ indice 0, d’après [6, Theorem 3.4]
et [10, Theorem 3.2] il existe α ∈ {µ1 , . . . , µr } tel que T − αI n’est pas un opérateur BFredholm d’ indice 0. Donc λ = f (α) et λ ∈ f (σBW (T )).
Ceci contredit notre hypothèse et par conséquent, λ ∈
/ σBW (f (T )) d’où:
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
2
Un opérateur hyponormal étant d’indice de signe stable [Proposition 2.2.3], on obtient
le corollaire suivant:
22
Corollaire 2.2.5 : Soit Hun espace de Hilbert, soit T ∈ L(H) un opérateur hyponormal
et soit f est une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
Dans [6, Theorem 4.5] il a été démontré qu’un opérateur normal T sur un espace de
Hilbert satisfait le théorème généralisé de Weyl, σBW (T ) = σ(T )\E(T ). Dans le théorème
qui suit nous allons étendre ce résultat au cas d’un opérateur hyponormal.
Théorème 2.2.6 : Soit H un espace de Hilbert. Si T ∈ L(H) est un opérateur hyponormal alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl:
σBW (T ) = σ(T )\E(T ).
Preuve : Si λ ∈ σ(T ) et λ ∈
/ σBW (T ), alors T − λI est un opérateur B-Fredholm
d’indice 0. D’après [6, Lemma 4.1] , il existe deux sous-espaces fermés M, N de H tels
que H = M ⊕ N et T − λI = U ⊕ V avec U = (T − λI)|M un opérateur de Fredholm
d’indice 0 et V = (T − λI)|N un opérateur nilpotent.
Soient S = T|M et IM = I|M . Puisque T est un opérateur hyponormal , alors S est aussi
un opérateur hyponormal et S − λIM = U est un opérateur de Fredholm d’indice 0.
Si λ ∈ σ(S), S étant un opérateur hyponormal , d’après [18, Theorem 3.1] on a :
σW (S) = σ(S)\ E0 (S).
Puisque λ ∈
/ σW (S) on a λ ∈ E0 (S). En particulier λ est isolé dans σ(S). Du fait que
T − λI = U ⊕ V = (S − λIM ) ⊕ V,
et V est un opérateur nilpotent, on a :
σ(U )\{0} = σ(T − λI)\{0}.
23
Par suite 0 est isolé dans σ(T − λI) ou d’une manière équivalente λ est isolé dans σ(T ).
Puisque λ ∈ E0 (T ) alors λ ∈ E(T ).
Si λ ∈
/ σ(S), alors T − λI est Drazin-inversible. Donc λ est isolé dans σ(T ). Puisque
T − λI n’est pas inversible , on a λ ∈ E(T ).
Réciproquement si λ ∈ E(T ), alors λ est isolé dans σ(T ).
D’après [25, Théorème 7.1] on a X = M ⊕ N, où M, N sont deux sous espaces fermés
de X, U = (T − λI)|M est un opérateur inversible et V = (T − λI)|N un opérateur
quasi-nilpotent. Puisque T est un opérateur hyponormal, alors V est aussi un opérateur
hyponormal. Comme V est quasi-nilpotent, de [39, Theorem 5.1, Chapter XI] on a V = 0.
Par suite T − λI est Drazin-inversible. D’après [10, Lemma 4.1] T − λI est un opérateur
2
B-Fredholm d’indice 0.
Considérons un espace de Hilbert H, un opérateur T ∈ L(H), et une fonction analytique f dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Dans [32], il est démontré que si T est
un opérateur hyponormal alors f (T ) satisfait le théorème de Weyl. Nous allons montrer
dans ce qui suit que f (T ) satisfait aussi le théorème généralisé de Weyl. Auparavant nous
donnons le lemme suivant.
Lemme 2.2.7 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Alors
σ(f (T ))\E(f (T )) ⊂ f [σ(T )\E(T )].
Preuve : Si λ ∈ σ(f (T ))\E(f (T )) alors λ ∈ σ(f (T )) = f (σ(T )).
(a) si λ n’est pas isolé dans f (σ(T )), alors il existe suite infinie (µn )n∈N ⊂ σ(T ) telle
que f (µn ) → λ. Comme σ(T ) est compact, on peut supposer que (µn )n∈N converge vers
µ0 dans σ(T ). On en déduit que µ0 n’est pas isolé dans σ(T ) et λ = f (µ0 ) . Donc
λ ∈ f [σ(T )\E(T )].
24
(b) Supposons maintenant que λ est isolé dans f (σ(T )). Alors λ ∈
/ E(f (T )), et λ n’est
pas une valeur propre de f (T ). On peut écrire :
f (T ) − λI = (T − µ1 I) · · · (T − µr I)g(T )
où µ1 , . . . , µr sont des scalaires complexes et g(T ) est un opérateur inversible. Comme
λ ∈
/ E(f (T )), alors pour tout µ ∈ {µ1 , . . . , µr }, µ n’est pas une valeur propre de T.
Puisque f (T ) − λI n’est pas inversible, il existe µ ∈ {µ1 , . . . , µr } tel que T − µI n’est pas
inversible. Donc f (µ) = λ et λ ∈ f [σ(T )\E(T )].
2
Définition 2.2.8 [36]: Soit X un espace de Banach . Un opérateur T ∈ L(X) est dit
isoloide si iso σ(T ) ⊆ E(T ), où iso σ(T ) est l’ensemble de tous les élements isolés dans
σ(T ).
Lemme 2.2.9 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T est isoloide, alors :
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].
Preuve : Montrons que f [σ(T )\E(T )] ⊂ σ(f (T ))\E(f (T )).
Si λ ∈ σ(f (T )) ∩ E(f (T )), écrivons:
f (T ) − λI = (T − µ1 I)m1 · · · (T − µr I)mr g(T ),
où m1 , . . . , mr sont des entiers, µ1 , . . . , µr sont des scalaires complexes, g(T ) est un
opérateur inversible , et µi 6= µj pour i 6= j.
Puisque f (T )−λI n’est pas inversible, il existe µ ∈ {µ1 , . . . , µr } tel que µ ∈ σ(T ). Comme
λ est isolé dans σ(f (T )), µ est isolé dans σ(T ). Donc λ = f (µ) ∈
/ f [σ(T )\E(T )]. Par suite,
f [σ(T )\E(T )] ⊂ σ(f (T ))\E(f (T )).
25
Selon le lemme 2.2.7 on sait que σ(f (T ))\E(f (T )) ⊂ f [σ(T )\E(T )].
D’où l’égalité:
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].
2
Théorème 2.2.10 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X) un opérateur isoloide
qui satisfait le théorème généralisé de Weyl, soit f une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl si et
seulement si :
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
Preuve : Puisque T est un opérateur isoloide on a
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].
De plus , comme T satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors :
σBW (T ) = σ(T )\E(T ).
Donc
f (σBW (T )) = f [σ(T )\E(T )] = σ(f (T ))\E(f (T )).
Par conséquent f (T ) satisfait le le théorème généralisé de Weyl si et seulement si :
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
2
26
Corollaire 2.2.11 : Soit H un espace de Hilbert , soit T ∈ L(H) un opérateur hyponormal et soit f une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors f (T )
satisfait le théorème généralisé de Weyl
σBW (f (T )) = σ(f (T ))\E(f (T )).
Preuve : Un opérateur hyponormal sur un espace de Hilbert satisfait le théorème
généralisé de Weyl, et on sait qu’un opérateur hyponormal est isoloide.
D’après le
théorème 2.2.4, on a :
σBW (f (T )) = f (σBW (T )).
Du théorème 2.2.10, il résulte que f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.
2.3
2
Perturbations de rang fini et théorème généralisé
de Weyl
Dans cette partie on considère un opérateur T satisfaisant le théorème généralisé de Weyl
et un opérateur de rang fini F qui commute avec T. Nous donnons une condition nécéssaire
et suffisante pour que T + F vérifie le théorème généralisé de Weyl. Nous obtenons aussi
des résultats similaires comme ceux obtenus dans le cas du théorème de Weyl dans [24],
[31] et [36]. On commence avec le cas du théorème de Weyl et on donne une amélioration
d’un théorème de K.K. Oberai [36, Theorem 4].
Théorème 2.3.1 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le théorème
de Weyl et F est un opérateur de rang fini dans L(X), alors T + F satisfait le théorème
de Weyl si et seulement si :
Π0 (T + F ) = E0 (T + F ).
27
Preuve : Si T + F satisfait le théorème de Weyl alors d’après [5, Corollary 5], on a
Π0 (T + F ) = E0 (T + F ).
Réciproquement si on a Π0 (T + F ) = E0 (T + F ), comme T satisfait le théorème de Weyl,
alors de [5, Corollary 5] on obtient E0 (T ) = Π0 (T ). Puisque F est un opérateur de rang
fini, d’aprés [10, Theorem 4.3] on a σW (T + F ) = σW (T ). Si F commute avec T, on a
aussi σB (T + F ) = σB (T ), où σB (T ) est le spectre de Browder de T (voir [5]). Puisque T
satisfait le théorème de Weyl, alors
σW (T + F ) = σW (T ) = σB (T ) = σB (T + F ).
Comme on a Π0 (T + F ) = E0 (T + F ), alors de [5, Corollary 5], T + F satisfait le théorème
de Weyl.
Si F ne commute pas avec T, alors on utilise le même argument utilisé par K.K. Oberai
2
dans [36, Theorem 4].
Théorème 2.3.2 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le théorème
généralisé de Weyl et F est un opérateur de rang fini dans L(X) qui commute avec T,
alors T + F satisfait le théorème généralisé de Weyl si et seulement si :
Π(T + F ) = E(T + F ).
Preuve : Si T + F satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors de [11, Corollary 2.6],
on a Π(T + F ) = E(T + F ).
Réciproquement supposons Π(T + F ) = E(T + F ).
Comme on a T qui vérifie le théorème généralisé de Weyl, alors:
σBW (T ) = σD (T ).
28
Puisque F est un opérateur de rang fini, d’après [10, Theorem 4.3] on a :
σBW (T ) = σBW (T + F ).
Du fait que F commute avec T, de [11, Theorem 2.7] on obtient:
σD (T ) = σD (T + F )
d’où
σBW (T + F ) = σD (T + F ).
Puisque Π(T +F ) = E(T +F ), alors d’après [11, Corollary 2.6] T +F satisfait le théorème
2
généralisé de Weyl.
Dans ce qui suit, nous donnons un lemme qui est utile pour démontrer les résultats
qui vont suivre.
Lemme 2.3.3 [31, Lemma 2.1]: Soit T ∈ L(X). Si F ∈ L(X) est un opérateur de rang
fini, alors
dim N (T ) < ∞ ⇐⇒ dim N (T + F ) < ∞.
De plus, si F commute avec T, alors
λ ∈ acc σ(T ) ⇐⇒ λ ∈ acc σ(T + F ),
où acc σ(T ) est l’ensemble des points d’accumulation de σ(T ).
Théorème 2.3.4 : Soient T ∈ L(X) un opérateur isoloide et F ∈ L(X) un opérateur de
rang fini qui commute avec T. Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors T + F
satisfait le théorème généralisé de Weyl.
29
Preuve : Comme conséquence du théorème 2.3.2 il suffit de démontrer que
Π(T + F ) = E(T + F ).
Puisque Π(T + F ) ⊂ E(T + F ) est toujours vrai, on va simplement montrer que:
Π(T + F ) ⊃ E(T + F ).
Si λ ∈ E(T + F ), alors λ est isolé dans σ(T + F ) et selon le lemme 2.3.3, λ est isolé dans
σ(T ). T étant isoloide λ ∈ E(T ), et puisque T satisfait le théorème généralisé de Weyl,
on a E(T ) = Π(T ) et λ ∈ Π(T ).
Finalement comme Π(T ) = Π(T + F ) on a λ ∈ Π(T + F ).
2
Remarques 2.3.5 : Soit T ∈ L(X), si T n’a pas de valeurs propres, alors T satisfait le
théorème généralisé de Weyl.
Pour le montrer, soit λ ∈ σ(T ) ; pour simplifier on peut supposer que λ = 0. Si 0 ∈
/
σBW (T ), alors T est un opérateur B-Fredholm d’indice 0. Donc il existe un entier naturel
n, tel que R(T n ) soit fermé et
ind (T ) = ind (Tn ) = dim(N (T ) ∩ R(T n )) − dim R(T n )/R(T n+1 ) = 0.
Puisque N (T ) = 0, alors
R(T n ) = R(T n+1 )
et par suite X = R(T ). Ainsi T est inversible et ceci est une contradiction avec notre
hypothèse. Donc
σBW (T ) = σ(T )
et T satisfait le théorème généralisé de Weyl.
30
Proposition 2.3.6 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le
théorème généralisé de Weyl et N est un opérateur nilpotent de rang fini dans L(X) qui
commute avec T.
Alors T + N satisfait le théorème généralisé de Weyl.
Preuve : Montrons que si λ est une valeur propre de T alors λ est aussi une valeur propre
de T + N. Pour simplifier on peut supposer que λ = 0. Donc il existe x 6= 0 et m ∈ N∗
tels que T (x) = 0 et N m = 0. On a :
m
(T + N ) (x) =
m
X
k
Cm
T k N m−k (x) = 0.
k=0
Ainsi il existe p ∈ N, p ≤ m tel que :
(T + N )p (x) 6= 0 et (T + N )(T + N )p (x) = 0.
Donc 0 est une valeur propre de T + N et E(T ) ⊂ E(T + N ).
Par symétrie on obtient
E(T ) = E(T + N ).
Si λ ∈
/ σBW (T ) alors T − λI est un opérateur B-Fredholm d’indice 0. Alors d’après [10,
Proposition 3.3] , puisque N est de rang fini T +N −λI est aussi un opérateur B-Fredholm
d’indice 0. Par suite λ ∈
/ σBW (T + N ). Par symétrie on a
σBW (T + N ) = σBW (T ).
Puisque σ(T + N ) = σ(T ), alors T + N satisfait le théorème généralisé de Weyl.
Exemple 2: [36, Example 2]
Soient H = `2 , T et N les opérateurs de L(H) définis par :
1
1
T (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .)
2
3
31
2
et
1
N (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, − x1 , 0, 0, . . .).
2
Puisque T n’a pas de valeur propre, de la Remarque 2.3.5 on déduit que T satisfait le
théorème généralisé de Weyl. Par suite de [12, Theorem 3.9] T satisfait aussi le théorème
de Weyl. D’autre part N est un opérateur nilpotent de rang fini. Mais d’après [36,
Example 2], l’opérateur T + N ne vérifie pas le théorème de Weyl et donc d’après [12,
Theorem 3.9] il ne vérifie pas le théorème généralisé de Weyl .
Cet exemple montre que la proposition 2.3.6 n’est pas vérifiée si N ne commute pas avec
T.
Remarques 2.3.7 : Soit T ∈ L(X) un opérateur quasi-nilpotent et F ∈ L(X) un
opérateur de rang fini qui commute avec T.
Si T est injectif alors F est nilpotent.
En effet, sous ces conditions, T F est un opérateur quasi-nilpotent de rang fini, par suite
T F est un opérateur nilpotent.
Comme T est injectif, alors F est aussi un opérateur nilpotent .
Théorème 2.3.8 : Soit T ∈ L(X) un opérateur quasi-nilpotent et F ∈ L(X) un opérateur
de rang fini qui commute avec T.
Si T vérifie le théorème généralisé de Weyl, alors T + F vérifie le théorème généralisé de
Weyl.
Preuve: Si T est injectif alors d’après la remarque 2.3.7, F est un opérateur nilpotent et
donc le résultat est une conséquence de la proposition 2.3.6.
Si T n’est pas injectif, alors puisque T satisfait le théorème généralisé de Weyl , il vient
d’après [12, Theorem 3.9 ], que T satisfait le théorème de Weyl. Donc
σW (T ) = σ(T ) \ E0 (T ).
32
Comme T est un opérateur quasi-nilpotent, alors σW (T ) = {0}.
Par suite E0 (T ) = ∅ et puisque T n’est pas injectif on a dim N (T ) = ∞.
Ceci implique d’après le lemme 2.3.3 que dim N (T + F ) = ∞.
On peut voir facilement que
σ(T + F ) = σ(F ) = {0, λ1 , . . . , λk },
où les λi , {i = 1, . . . , k}, sont les éléments non nuls du spectre de F s’ils existent.
On a aussi :
E(T + F ) = {0, λ1 , . . . , λk }.
Puisque
σBW (T ) = σBW (T + F ) et σBW (T ) = σ(T ) \ E(T ) = ∅
on a :
σBW (T + F ) = σ(T + F ) \ E(T + F ).
2
Lemme 2.3.9 : Soient T ∈ L(X), et M, N deux sous-espaces fermés de X tels que
X = M ⊕ N.
Soient U = T|M et V = T|N .
Si T est un opérateur B-Fredholm, alors U et V sont aussi des opérateurs B-Fredholm.
Preuve: Montrons que V est un opérateur B-Fredholm .
Soit P la projection de X sur N parallèlement à M. Il est clair que P est un opérateur
B-Fredholm , et qui commute avec T. Alors d’après [9, Corollary 3.5], T P est un opérateur
B-Fredholm. En conséquence il existe un entier naturel n tel que R((T P )n ) soit fermé et
(T P )n : R((T P )n ) → R((T P )n )
33
soit un opérateur de Fredholm .
Puisque
R((T P )n ) = R(V n ) et (T P )n = Vn ,
2
alors V est un opérateur B-Fredholm .
Exemple 3: Soit S un opérateur quasi-nilpotent injectif qui n’est pas nilpotent sur
l’espace de Hilbert `2 . on définit T sur `2 ⊕ `2 par :
T = I ⊕ S,
où I est l’identité sur `2 . On peut voir facilement que:
σ(T ) = {0, 1} et E(T ) = {1}.
Montrons que σBW (T ) = {0}.
On a
T − (I ⊕ I) = 0 ⊕ (S − I)
et puisque S − I est un opérateur inversible, T − (I ⊕ I) est un opérateur B-Fredholm
d’indice 0, et 1 ∈
/ σBW (T ).
Supposons que T est un opérateur B-Fredholm . Alors d’après le lemme 2.3.9, S est
un opérateur B-Fredholm . D’après [6, Theorem 2.7], il existe deux sous espaces fermés
S-invariants de `2 , M et N tels que
`2 = M ⊕ N
et S = U ⊕ V,
où U = S|M est nilpotent et V = S|N est inversible.
Si m est un entier naturel assez grand on a U m = 0 et
S m = U m ⊕ V m = 0 ⊕ V m.
34
Donc
σ(V m ) ⊂ σ(S m ) = {0}.
Mais puisque V est inversible, on a N = 0 et par suite S = U est nilpotent, ce qui
contredit l’hypothèse faite sur S. Par conséquent:
σBW (T ) = {0} et σBW (T ) = σ(T )\E(T ).
Donc T satisfait le théorème généralisé de Weyl.
On définit l’opérateur K sur `2 par :
K(x1 , x2 , . . .) = (−x1 , 0, 0, . . .)
et
F = K ⊕ 0 sur `2 ⊕ `2 .
Alors F est un opérateur de rang fini et on a:
σ(T + F ) = {0, 1} et E(T + F ) = {0, 1}.
Comme on a :
σBW (T + F ) = σBW (T ) = {0},
alors T + F ne satisfait pas le théorème généralisé de Weyl.
35
Chapitre 3
Propriétés B-Fredholm et Spectrales
des Multiplicateurs dans les
Algèbres de Banach
On étudie principalement dans ce chapitre les propriétés B-Fredholm et spectrales d’un
opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach taubérienne commutative
semi-simple régulière A. On montre que T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si
T est un opérateur semi B-Fredholm, et dans ce cas on obtient l’indice de T, ind (T ) = 0.
Dans la suite on donne quelques propriétés spectrales des multiplicateurs.
Une application des premiers résultats obtenus nous permettra de montrer que l’opérateur
de multiplication Ta par un élement a d’une C ∗ -algèbre A régulière commutative est un
opérateur B-Fredholm si et seulement si a est Drazin-inversible dans A. Les théorèmes de
l’application spectrale pour le spectre de Weyl ou B-Weyl d’un multiplicateur sont aussi
considérés dans ce chapitre. On montre aussi que le théorème de Weyl et le théorème
généralisé de Weyl sont valables pour un multiplicateur. Enfin on donne des conditions
suffisantes pour qu’un multiplicateur soit le produit d’un opérateur inversible et d’un
idempotent.
36
3.1
Introduction
soit A une algèbre de Banach semi-simple commutative et soit ∆(A) l’espace des formes
linéaires multiplicatives sur A muni de la topologie faible* du dual de A. Alors A est dite
régulière si deux sous ensembles compacts disjoints quelconques de ∆(A) peuvent être
séparés par des éléments de A.
A est dite taubérienne si l’idéal de A formé de tous les éléments dont la transformée de
Gelfand a un support compact est dense dans A pour la topologie de la norme.
Définition 3.1.1 : Un multiplicateur T sur A est une application T : A → A telle que :
aT (b) = T (a)b
∀a, b ∈ A.
Nous donnons dans ce chapitre quelques propriétés B-Fredholm spécifiques pour un
opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach semi-simple commutative
regulière taubérienne dans un contexte général des propriétés des opérateurs B-Fredholm
introduits par M. Berkani dans [6].
3.2
Propriétés B-Fredholm des multiplicateurs
Il est démontré dans [3, Theorem 4.4] que si T est un opérateur multiplicateur sur
une algèbre de Banach semi-simple commutative régulière taubérienne, alors T est un
opérateur semi-Fredholm si et seulement si T est un opérateur de Fredholm . De plus,
dans ce cas T est d’indice 0.
Le corollaire du théorème qui suit donne un résultat similaire pour les opérateurs BFredholm multiplicateurs.
37
Théorème 3.2.1 : soient A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative
taubérienne et T un multiplicateur sur A.
Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
i) A = N (T )
L
R(T ).
ii)Il existe un entier n > 1 tel que R(T n ) soit fermé .
iii) R(T 2 ) est fermé.
iv) Pour tout n > 1, R(T n ) est fermé.
Preuve : D’après [3, Theorem 4.2], on a i) ⇔ iii) ; Les implications iv) ⇒ iii) ⇒ ii)
sont évidentes .
Montrons que ii) ⇒ iv) :
Si R(T n ) est fermé pour un entier n > 1, alors R(T n−1 ) + N (T ) est fermé . Puisque un
multiplicateur T admet une ascente a(T ) ≤ 1, alors d’après un résultat de Grabiner [21,
Theorem 3.2] on conclut que R(T n ) + N (T m ) est fermé ∀n > 1, ∀m ≥ 0. Donc R(T n ) est
2
fermé ∀n > 1.
Comme corollaire on obtient le résultat suivant :
Corollaire 3.2.2 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative
taubérienne et soit T un multiplicateur sur A. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
i) T est un opérateur semi B-Fredholm supérieur sur A.
ii) T est un opérateur semi B-Fredholm inférieur sur A.
iii) T est un opérateur B-Fredholm d’indice 0.
iv) T est Drazin-inversible.
v) Il existe un entier naturel n tel que R(T 2n ) soit fermé.
Preuve :
38
Il est clair que iii) implique i) et ii). Montrons que i) implique iii).
Supposons que T ∈ SBF+ (A), alors il existe un entier naturel n ∈ N∗ tel que R(T n ) soit
fermé et
Tn : R(T n ) −→ R(T n )
soit un opérateur semi-Fredholm supérieur . Donc R(T 2n ) est fermé et puisque T n est
aussi un multiplicateur, alors d’après le théorème 3.2.1 on a :
R(T n ) ⊕ N (T n ) = A.
Par suite on a R(T n ) = R(T 2n ), R(T n ) est fermé et T est Drazin-inversible. D’après [10,
lemma 4.1] T est aussi un opérateur B-Fredholm d’indice 0.
D’une manière similaire on peut montrer aisément que ii) implique iii).
Pour montrer que iii) et iv) sont équivalentes, tenant compte de [10, Theorem 4.2 ] où
il est démontré qu’un opérateur Drazin-inversible est toujours un opérateur B-Fredholm
d’indice 0, il suffit de montrer que iv) implique iii).
Supposons qu’un multiplicateur T est un opérateur B-Fredholm d’indice 0, alors il
existe un entier naturel n ∈ N∗ tel que R(T n ) soit fermé et Tn : R(T n ) −→ R(T n ) soit un
opérateur de Fredholm. Donc R(T 2n ) est fermé, et puisque T n est aussi un multiplicateur,
alors d’après le théorème 3.2.1 on a :
R(T n ) ⊕ N (T n ) = A.
Il en résulte que R(T n ) = R(T 2n ), R(T n ) est fermé et T est Drazin-inversible.
Le fait que iv) et v) soient équivalentes est une conséquence directe de [3, Theorem 4.2].
2
39
Corollaire 3.2.3 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative
taubérienne. On suppose que l’espace des caractères ∆(A) est connexe.
Soit T un opérateur multiplicateur non nul sur A.
Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
i) T est un opérateur semi-B-Fredholm
ii) Il existe un entier naturel n tel que R(T 2n ) soit fermé
iii) T est Drazin-inversible
iv) T est inversible
Preuve : Il suffit de montrer que si T est Drazin-inversible, alors T est inversible.
Si T est Drazin-inversible, alors il existe un entier naturel n tel que :
A = R(T n ) ⊕ N (T n ).
Si N (T n ) 6= {0}, alors 0 est isolé dans le spectre de T, ce qui est une contradiction avec
l’hypothèse : ∆(A) est connexe. Par suite T n est inversible et donc T est aussi inversible.
2
Exemple 3.2.4 : Soit A une C ∗ -algèbre commutative régulière. Si a ∈ A, considérons
l’opérateur de multiplication par a, Ta .
Si a est Drazin-inversible, et si b est son inverse de Drazin, alors Ta est Drazin-inversible
et Tb est son inverse de Drazin. Par suite Ta est un opérateur B-Fredholm.
Réciproquement supposons que Ta soit un opérateur B-Fredholm. D’après le corollaire
3.2.2, on sait que Ta est Drazin-inversible. En particulier il existe un entier naturel n tel
que R((Ta )n ) = an A soit fermé. De [23, Théorème 8], il résulte que an possède un inverse
généralisé, dans le sens suivant:
40
∃c ∈ A tel que
an can = an ,
can c = c.
Puisque A est commutative on en déduit que an est Drazin-inversible. D’après [9, Theorem
2.3] il résulte que a est aussi Drazin-inversible.
En conclusion on voit que l’opérateur Ta est un opérateur B-Fredholm si et seulement si
a est Drazin-inversible.
Soit M (A) la sous-algèbre fermée de L(A) formée de tous les opérateurs multiplicateurs
sur A.
Il est démontré dans [3, Théorème 4.4 ] que
ΦM (A) = Φ(A) ∩ M (A),
où Φ(A) est l’ensemble des opérateurs de Fredholm dans L(A), et ΦM (A) est l’ensemble de
tous les opérateurs multiplicateurs sur A qui sont inversibles modulo les multiplicateurs
compacts sur A. Dans la proposition suivante on donne un résultat similaire pour les
opérateurs B-Fredholm.
Proposition 3.2.5 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne, soit BF (A) l’ensemble des opérateurs B-Fredholm dans L(A), et soit
[BF ]M (A) l’ensemble de tous les opérateurs multiplicateurs sur A qui sont Drazin-inversibles
modulo les opérateurs multiplicateurs de rang fini sur A. Alors on a :
[BF ]M (A) = BF (A) ∩ M (A).
Preuve : Soit T ∈ [BF ]M (A), alors T est un opérateur B-Fredholm.
Puisque T est aussi un multiplicateur, alors
T ∈ BF (A) ∩ M (A).
41
Réciproquement, supposons que T ∈ BF (A) ∩ M (A). Comme conséquence du corollaire 3.2.2, il résulte que T est Drazin-inversible. Soit S son inverse de Drazin. D’après
[28, Théorème 5], on sait que S est un multiplicateur. Par suite on a T ∈ [BF ]M (A) et
donc:
[BF ]M (A) = BF (A) ∩ M (A).
2
3.3
Propriétés spectrales des multiplicateurs
Rappelons que T ∈ L(A) est d’indice de signe stable si: Pour tous λ, µ ∈ C, tels que
(T − λI) et (T − µI) soient des opérateurs B-Fredholm alors ind (T − λI) et ind (T − µI)
sont de même signe.
Si T est un multiplicateur sur une algèbre semi-simple, alors on peut voir aisément
que N (T ) = N (T 2 ) et donc T a une ascente finie. Par suite si un multiplicateur T est
un opérateur B-Fredholm, alors d’après la définition de l’indice [6, Definition 2.3] on a
ind (T ) ≤ 0. Soit λ ∈ C quelconque, supposons que (T −λI) soit un opérateur B-Fredholm.
Puisque (T − λI) est aussi un multiplicateur, alors ind (T − λI) ≤ 0.
Donc tout opérateur multiplicateur est d’indice de signe stable.
Proposition 3.3.1 Soit A une algèbre de Banach semi-simple et soit T un multiplicateur
sur A. Alors on a:
i) σW (T ) = σB (T ),
ii) σBW (T ) = σD (T ).
Preuve :
42
La première égalité est démontrée dans [1, Theorem 2.2].
Pour la deuxième égalité, observons que d’après [2, Theorem 4.32] l’ ascente a(T − λI)
est finie pour tout λ ∈ C. Donc T satisfait la propriété de l’extension unique ( S.V.E.P).
Par suite d’après [15, Theorem 3.3], on a σBW (T ) = σD (T ).
En fait d’après [2] l’hypothèse A semi-simple peut être affaiblie en supposant simplement
A semi-primaire.
2
Théorème 3.3.2 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple. Si T est un multiplicateur
sur A et f est une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ), non constante
sur les composantes connexes de σ(T ), alors on a:
i) σB (f (T )) = f (σB (T )) = f (σW (T )) = σW (f (T )),
où σB (T ) = {λ ∈ C | (T − λI) n’est pas un opérateur de Fredholm avec ascente et descente
finies } est le spectre de Browder de T.
ii) σD (f (T )) = f (σD (T )) = f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
Preuve :
i) D’après la proposition 3.3.1 on sait que σB (T ) = σW (T ).
Si f est une fonction analytique sur un voisinage de σ(T ), alors d’après le théorème de
l’application spectrale pour le spectre de Browder [22, Theorem 4] on a :
σB (f (T )) = f (σB (T )).
D’où :
σB (f (T )) = f (σB (T )) = f (σW (T )).
Mais comme un multiplicateur est un opérateur d’indice de signe stable, on obtient de
[44, Theorem 2]
f (σW (T )) = σW (f (T )).
43
Donc :
σB (f (T )) = f (σB (T )) = f (σW (T )) = σW (f (T ))
ii) De manière similaire, il résulte de la proposition 3.3.1 que:
σD (T ) = σBW (T ).
d’après le théorème de l’application spectrale pour le spectre de Drazin [9, Corollary 2.4]
on a:
σD (f (T )) = f (σD (T )).
Puisque un multiplicateur est un opérateur d’indice de signe stable, d’après le théorème 2.2.4
du chapitre 2, on a:
f (σBW (T )) = σBW (f (T )).
Par suite
σBW (f (T )) = f (σBW (T )) = f (σD (T )) = σD (f (T )).
2
Proposition 3.3.3 : Soient A une algèbre de Banach semi-simple regulière commutative
taubérienne et T un opérateur multiplicateur sur A. Alors on a :
i) σ(T ) = σa (T ),
ii) σSF+ (T ) = σSF+− (T ),
iii) σSBF+ (T ) = σSBF+− (T ).
Preuve : Soit T un multiplicateur sur A, nous avons dejà vu que si T est un opérateur
semi-B-Fredholm alors ind (T ) ≤ 0.
Supposons que λ ∈
/ σa (T ), alors (T − λI)A est fermé et N (T − λI) = {0}.
D’après [3, Theorem 4.2], on a : (T − λI)A = A. Donc λ ∈
/ σ(T ), et σ(T ) ⊂ σa (T ).
Comme on a toujours σa (T ) ⊂ σ(T ), alors σ(T ) = σa (T ).
44
Supposons que λ ∈
/ σSF+ (T ), alors T − λI est un opérateur semi-Fredholm supérieur.
Puisque T − λI est un multiplicateur, alors ind (T − λI) ≤ 0, et λ ∈
/ σSF+− (T ). Donc
σSF+ (T ) = σSF+− (T ).
De manière similaire on peut montrer que:
σSBF+ (T ) = σSBF+− (T ).
2
Comme conséquence de cette proposition nous pouvons donner le corollaire suivant.
Corollaire 3.3.4 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative
taubérienne et T un opérateur multiplicateur sur A. Alors :
i) E(T ) = E a (T ),
ii) E0 (T ) = E0a (T ),
ii) Π(T ) = Πa (T ),
iv) Π0 (T ) = Πa0 (T ).
Preuve : Les relations i) et ii) sont une conséquence directe de la proposition précédente.
Montrons que:
Π(T ) = Πa (T ).
Il est clair d’après la définition d’un pôle à gauche ( voir chapitre 1) que :
Π(T ) ⊂ Πa (T ).
Supposons maintenant que λ ∈ Πa (T ).
Sans perdre de généralité on peut admettre que λ = 0, ce qui implique que T ∈ LD(A) =
{T ∈ L(A) : a(T ) < ∞ et R(T a(T )+1 ) est fermé }.
45
D’où a(T ) < ∞ et R(T a(T )+1 ) est fermé.
D’après [35, Lemma 12] R(T m ) est fermé pour tout m > a(T ) + 1.
Comme on a naturellement :
N (T a(T )+2 )
≈ N (T ) ∩ R(T a(T )+1 ) ,
a(T
)+1
N (T
)
alors Ta(T )+1 est un opérateur injectif, dont l’espace image est fermé.
En particulier Ta(T )+1 est un opérateur semi-Fredholm supérieur.
Par conséquent T est un opérateur semi-B-Fredholm. D’après le corollaire 3.2.2 il résulte
que T est Drazin-inversible et donc 0 est un pôle de la résolvante de T.
2
Donc Π(T ) = Πa (T ), et par suite Π0 (T ) = Πa0 (T ).
Rappelons quelques définitions des différents théorèmes de Weyl:
Définition 3.3.5 Si X est un espace de Banach.
soit T ∈ L(X), on dira que :
1. T satisfait le théorème de Weyl si :
σW (T ) = σ(T ) \ E0 (T ).
2. T satisfait le théorème généralisé de Weyl si :
σBW (T ) = σ(T ) \ E(T ).
σSF+− (T ) = σa (T ) \ E0a (T ).
3. T satisfait le théorème a-Weyl si :
4. T satisfait le théorème généralisé a-Weyl si :
46
σSBF+− (T ) = σa (T ) \ E a (T ).
Il résulte de la proposition 3.3.3 et du corollaire 3.3.4 que pour un opérateur multiplicateur agissant sur une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne il
y a équivalence entre le théorème de Weyl et le théorème a-Weyl et la même chose entre le
théorème généralisé de Weyl et le théorème généralisé a-Weyl. En général ces équivalences
ne sont pas vraies pour un opérateur quelconque. Dans ce qui suit nous donnons quelques
lemmes qui vont nous permettre de montrer qu’un multiplicateur T (agissant sur une
algèbre de Banach semi-simple A) ainsi que f (T ) vérifient le théorème généralisé de Weyl
et donc d’après [12, Theorem 3.9 et Theorem 3.11] ils vérifient aussi tous les théorèmes
de Weyl et a-Weyl cités dans la définition 3.3.5, si A est de plus régulière commutative
taubérienne; (f étant une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ) ).
Rappelons qu’un opérateur T ∈ L(X) est dit isoloide si iso σ(T ) ⊆ E(T ) où iso σ(T )
est l’ensemble des points isolés dans σ(T ).
On sait d’après le lemme 2.2.9 du chapitre 2 que si T ∈ L(X) est isoloide alors
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].
Lemme 3.3.6 : [2, Theorem 4.36] Soit A une algèbre de Banach semi-simple et T un
opérateur multiplicateur sur A. Si λ est un point isolé dans le spectre σ(T ) de T alors λ
est un pôle de la résolvante de T.
Preuve : Soit T un multiplicateur, si λ un point isolé dans le spectre σ(T ) de T alors il
existe deux sous espaces A1 et A2 de A tels que:
A = A1 ⊕ A2 et T − λI = S1 ⊕ S2
où S1 = (T − λI)/A1 est inversible et S2 = (T − λI)/A2 est quasi-nilpotent.
Montrons que S2 = 0.
47
Puisque T est un multiplicateur alors on a :
T (x)y = T (xy) ∀x, y ∈ A.
Donc pour tout x ∈ A on a (S2 (x))n = (S2n (x))xn−1 .
Il s’en suit que :
1
1
k(S2 (x))n k n = k(S2n (x))xn−1 k n
1
1
≤ kS2n (x)k n kxn−1 k n
1
1
≤ kS2n k n kxk n kxk
n−1
n
1
= kS2n k n kxk,
1
et puisque S2 = (T − λI)/A2 est quasi-nilpotent alors kS2n k n → 0 quand n → ∞.
Puisque A est semi-simple, on a S2 (x) = 0 et comme x est arbitraire dans A, alors S2 = 0.
Par suite λ est un pôle de la résolvante de T
2
Lemme 3.3.7 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple et soit T un opérateur multiplicateur sur A alors :
a) E(T ) = Π(T )
b) E(f (T )) = Π(f (T ))
Preuve : a) Π(T ) ⊂ E(T ) est toujours vraie.
E(T ) ⊂ Π(T ) est démontré dans le lemme précédent.
b) Il vient aussi du lemme précédent qu’un multiplicateur est un opérateur isoloide, par
suite il satisfait l’égalité du lemme 2.2.9 du chapitre 2 :
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].
Et puisque E(T ) = Π(T ) on a :
σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )] = f [σ(T )\Π(T )] = f [σD (T )].
48
D’après le théorème de l’application spectrale pour le spectre de Drazin,
(voir théorème 3.3.2) on a:
f (σD (T )) = σD (f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )).
Il en résulte que:
σ(f (T ))\E(f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )).
Donc
E(f (T )) = Π(f (T )).
2
Théorème 3.3.8 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple. Si T est un opérateur
multiplicateur sur A et f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ),
alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.
Preuve : D’après le lemme précédent on a :
σ(f (T ))\E(f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )) = σD (f (T )).
Par le théorème 3.3.2 on a :
σD (f (T )) = σBW (f (T )).
Donc f (T ) satisfait le le théorème généralisé de Weyl.
2
On peut voir aussi [4] où différents résultats sur le théorème de Weyl pour un multiplicateur sont établis.
49
Nous introduisons maintenant la condition (I) appelée condition de Glicksberg (Voir
[3]) et nous allons donner des résultats pour les multiplicateurs sur une algèbre régulière
taubérienne commutative semi-simple A qui satisfait cette condition.
(I) : Il existe une constante k ∈ R telle que pour tout φ ∈ ∆(A) et tout voisinage V
de φ il existe un élément a ∈ A dont la transformée de Gelfand ab est à support dans V
et pour laquelle on a :
ab(φ) = 1 et k a k≤ k.
Théorème 3.3.9 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple réguliere taubérienne commutative qui satisfait la condition de Glicksberg (I). Soit T un multiplicateur non nul dont
l’image est fermée et ayant un spectre naturel. Alors il existe un opérateur idempotent P
et un opérateur inversible B tels que:
T = P B = BP
Preuve : D’après [3, Proposition 4.8] il résulte que Tb est borné inférieurement sur
∆(A)\hull(T (A)) ={φ ∈ ∆(A) | Tb (φ) 6= 0}. Comme T a un spectre naturel, ce qui veut
dire:
σ(T ) = [Tb (∆(A))]− ,
on en déduit que 0 est isolé dans σ(T ).
D’après le lemme 3.3.6, il existe deux sous-espaces fermés A1 et A2 de A tels que:
A = A1 ⊕ A2 , et T = T1 ⊕ T2 ,
où T1 est inversible et T2 = 0.
Soit B = T1 ⊕ I et P la projection de A sur A1 parallèle à A2 . Alors B est inversible, P
est idempotent et :
BP = P B = T.
50
2
Un opérateur T sur A est dit décomposable, si pour tout recouvrement ouvert {U1 , U2 }
du plan complexe C, il existe deux sous-espaces linéaires fermés T −invariants B1 et B2
de A tels que
B1 + B2 = A, σ(T | B1 ) ⊂ U1 et σ(T | B2 ) ⊂ U2 .
Puisque un opérateur décomposable a un spectre naturel [29], on a le corollaire suivant:
Corollaire 3.3.10 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple réguliere taubérienne
commutative qui satisfait la condition de Glicksberg (I). Si T est un multiplicateur décomposable
non nul à image fermée alors il existe un opérateur idempotent P et un opérateur inversible
B tels que:
T = P B = BP.
51
Chapitre 4
Eléments B-Fredholm généralisés
dans une Algèbre de Banach
Semi-Simple
4.1
Préliminaires
Les éléments de Fredholm et les éléments de Fredholm généralisés dans une algèbre
de Banach A ont été étudiés récemment par Ch. Schmoeger dans [41] et dans [34]
avec D. Männle. De manière naturelle nous avons voulu définir les éléments B-Fredholm
généralisés dans une algèbre de Banach A. Le but de ce chapitre est de répondre à cet
objectif.
Dans tout ce chapitre A désigne une algèbre complexe avec identité e 6= 0.
Définition 4.1.1 : Un élément x ∈ A est dit relativement régulier s’il existe y ∈ A tel
que xyx = x. Dans ce cas y est dit un pseudo-inverse de x.
e0 ∈ A est un idempotent minimal si e0 Ae0 est une algèbre de division ( tout élément non
nul de A admet un inverse ) et si e20 = e0 .
On notera M in(A) l’ensemble de tous les idempotents minimaux.
52
Définition 4.1.2 : Soc(A) est défini comme étant la somme de tous les idéaux minimaux
à droite si M in(A) 6= Ø.
Si M in(A) = Ø, alors Soc(A) est par définition {0}.
Remarques 4.1.3 :
a) Soc(A) est un idéal de A.
b) M in(A) ⊂ Soc(A).
Définition 4.1.4 Si I est un idéal de A à droite (Resp. à gauche) , I est dit d’ordre
fini si on peut écrire I comme somme finie d’idéaux à droite (Resp. à gauche).
Proposition 4.1.5 [34]:
Soient I et J deux idéaux à droite (Resp. à gauche) de A et n ∈ N∗ alors :
(1) Ord(I) < +∞ ⇐⇒ I ⊂ Soc(A).
(2) Ord(I) = n ⇐⇒ Il existe e1 , e2 , ..., en des éléments de M in(A)
tels que: ei ej = 0 si i 6= j et
I = (e1 + ... + en )A = e1 A ⊕ .... ⊕ en A.
(Resp. I = A(e1 + ... + en ) = Ae1 ⊕ .... ⊕ Aen ).
(3) Si Ord(J ) < +∞, I ⊂ J et I 6= J alors:
Ord(I) < Ord(J ).
(4) Ord(xA) = Ord(Ax), ∀x ∈ A.
(5) Soc(A) = {x ∈ A, Ord(xA) < +∞}.
53
Notations :
Pour x ∈ A on définit la nullité de x par:
nul(x) = Ord(R(x))
où R(x) = {y ∈ A, xy = 0}
La déficience de x est définie par:
def (x) = Ord(L(x))
où L(x) = {z ∈ A, zx = 0}
On note A−1 le groupe de tous les éléments inversibles de A.
b
L’algèbre quotient A/Soc(A) est notée A.
Définition 4.1.6 : Un élément x ∈ A est dit de Fredholm si : xb ∈ Ab−1 .
L’ensemble des éléments de Fredholm dans A est noté Φ(A).
L’indice de x ∈ A est défini par :
ind (x) = nul(x) − def (x)
Les éléments de Fredholm généralisés dans l’algèbre A sont définis de la manière
suivante.
Définition 4.1.7 : Un élément x ∈ A est dit de Fredholm généralisé si x est relativement
régulier et possède un pseudo-inverse y ∈ A tel que :
e − xy − yx ∈ Φ(A).
On note Φg (A) l’ensemble des éléments de Fredholm généralisés de A.
D. Männle et C .Schmoeger [34] ont étudié les propriétés de Fredholm d’une algèbre
complexe semi-simple. Dans ce qui suit nous allons donner quelques résultats obtenus :
54
Théorème 4.1.8 [34] : Si x et y sont dans Φ(A) et s ∈ soc(A) alors :
(1) xy ∈ Φ(A) et ind (xy) = ind (x) + ind (y)
(2) x + s ∈ Φ(A) et ind (x + s) = ind (x)
(3) Si A est une algèbre de Banach alors: ∃δ > 0, ∃α, β ∈ N0 tels que :
i) x + u ∈ Φ(A), ind (x + u) = ind (x),
nul(x + u) ≤ nul(x)
et
def (x + u) = def (x)
ii) nul(λe − x) = α ≤ nul(x),
∀u, kuk < δ.
et
def (λe − x) = β ≤ def (x), ∀λ, 0 < λ < δ.
Théorème 4.1.9 [34] : Pour x ∈ A, les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) x ∈ Φg (A)
(2) Il existe y ∈ A tel que :
xbybxb = xb et e − xbyb − ybxb ∈ Ab−1 .
Soit B une algèbre complexe avec identité e 6= 0. Tenant compte du théorème précédent
et afin de simplifier la définition de Φg (A), considérons les éléments t de B qui vérifient
la propriété (P):
(P): ” t est relativement régulier et admet un pseudo-inverse s tel que :
e − st − ts ∈ B −1 .”
Définissons :
B g = {t ∈ B : t vérifie la propriété (P )}
Les éléments de B g sont dits éléments inversibles généralisés et on a B −1 ⊂ Bg .
55
Avec ces notations on a :
x ∈ Φ(A) ⇐⇒ xb ∈ Ab−1
(4.1)
et d’après le théorème 4.1.9 on a :
x ∈ Φg (A) ⇐⇒ xb ∈ Abg .
4.2
(4.2)
Eléments B-Fredholm généralisés
Par analogie nous pouvons définir les éléments B-Fredholm généralisés dans une algèbre
complexe A avec identité e 6= 0 de la manière suivante :
Définition 4.2.1 :Un élément x ∈ A est dit B-Fredholm généralisé s’il existe n ∈ N tel
que xn soit de Fredholm généralisé .
On note ΦgBF (A) l’ensemble des éléments B-Fredholm généralisés.
Remarques 4.2.2 :
Soc(A) ⊂ Φg (A) ⊂ ΦgBF (A).
Nous pouvons énoncer le théorème suivant qui donne une équivalence similaire à la
relation ( 4.2).
Théorème 4.2.3 : x ∈ A est un élément B-Fredholm généralisé si et seulement si xb est
b
inversible au sens de Drazin dans A.
Preuve : On a x ∈ ΦgBF (A) si et seulement s’il existe n ∈ N tel que xn ∈ Φg (A).
D’après l’égalité (4.2), on a xcn ∈ Abg .
En utilisant [34, Prop 4.4 ], il existe s ∈ Ab tel que
xcn sxcn = xcn , sxcn s = s et xcn s = sxcn .
56
Or cela veut dire que xcn est Drazin-inversible et par suite xb aussi.
2
Rappelons qu’une partie R d’une algèbre A avec identité e est une régularité si elle
vérifie les propriétés suivantes:
(i) si a ∈ A et n ≥ 1 alors : a ∈ R ⇐⇒ an ∈ R
(ii) Si a, b, c, d ∈ A commutent mutuellement et si ac + bd = e alors :
ab ∈ R ⇐⇒ a ∈ R et b ∈ R.
Il a été prouvé [9] que l’ensemble DR(A) des éléments Drazin-inversibles dans une
algèbre A est une régularité.
On en déduit aisément la propriété suivante :
Proposition 4.2.4 : La classe des éléments B-Fredholm généralisés ΦgBF (A) forme une
régularité.
Preuve : D’après le théorème 4.2.3 on a :
b
x ∈ ΦgBF (A) ⇐⇒ xb ∈ DR(A).
b est une régularité [9], on obtient grâce à cette équivalence que Φg (A)
Puisque DR(A)
BF
2
est aussi une régularité.
Définissons le spectre associé à ΦgBF (A) par :
g
σBF
(a) = {λ ∈ C/a − λe ∈
/ ΦgBF (A)}.
Alors on a le théorème de l’application spectrale suivant:
Corollaire 4.2.5 : Si f est une fonction analytique dans un voisinage de σ(a), a ∈ A,
(non constante sur aucune composante connexe de σ(a)) alors :
g
g
f (σBF
(a)) = σBF
(f (a)).
57
Preuve : ΦgBF (A) étant une régularité, le corollaire est une conséquence de [26, Theorem
2
1.4].
Remarque : D’après [41, 1.7b] on peut trouver dans une algèbre A, un élément t
et un entier naturel n tel que tn ∈ Φg (A) mais t ∈
/ Φg (A). Par conséquent Φg (A) n’est
pas une régularité; d’où l’intérêt de cette classe plus large qu’est ΦgBF (A) et qui contient
strictement Φg (A).
58
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63
Résumé :
Dans ce travail on s’intéresse au théorème généralisé de Weyl. On
démontre que si T est un opérateur hyponormal agissant sur un espace de
Hilbert et f une fonction analytique sur un voisinage du spectre, alors f(T)
satisfait le théorème généralisé de Weyl. On étudie aussi les perturbations
de rang fini pour des opérateurs vérifiant le théorème de Weyl ou le
théorème généralisé de Weyl. On s’intéresse aussi aux multiplicateurs sur
une algèbre de Banach A. Si l’algèbre A est semi-simple régulière
commutative taubérienne, on démontre qu’un multiplicateur T sur A est BFredholm d’indice 0 si et seulement s’il est semi-B-Fredholm. Lorsque
l’algèbre A satisfait en plus la condition de Glicksberg et T admet un
spectre naturel, on démontre que T est le produit d’un opérateur
inversible et d’un idempotent. On démontre aussi que f(T) satisfait le
théorème généralisé de Weyl si T est un multiplicateur sur une algèbre A
semi simple. Enfin on introduit les éléments B-Fredholm généralisés dans
une algèbre de Banach semi-simple. On établit que la classe des éléments
B-Fredholm généralisés est une régularité, et le spectre associé satisfait le
théorème de l’application spectrale.
MOTS-CLEFS :
Opérateur , B-Fredhom , Théorème généralisé de Weyl , Spectre
___________________________________________________________________________