Physique - TS - Chapitre n°4 - La décroissance radioactive

Terminale S
Physique – Partie B – Chapitre 4 : Décroissance radioactive
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Partie B : Transformations nucléaires
Chapitre 4 : Décroissance radioactive
1. Stabilité et instabilité des noyaux
1.1. Composition d’un noyau et notation
Le noyau d’un atome est noté sous la forme : AZX.
X représente le symbole de l’élément considéré.
A représente le nombre de nucléons qui constituent le noyau (protons + neutrons).
Z représente le nombre de charges (pour un atome : nombre de protons du noyau).
Le nombre N de neutrons se détermine donc par l’expression : N = A – Z
Notation des particules :
0
électron : –1e : 0 nucléon ; charge –1
0
positon : 1e : 0 nucléon ; charge +1
1
proton : 1p : 1 nucléon ; charge +1
1
neutron : 0n : 1 nucléon ; charge 0
Rem. 1 : A est appelé nombre de masse (la masse (en g) d’une mole de noyau est proche de la valeur de A).
Rem. 2 : Z est appelé nombre de charge ou numéro atomique pour un atome.
Exemple : 206
82Pb : le noyau contient 82 protons et 206 – 82 = 124 neutrons
1.2. L’isotopie
Des noyaux isotopes sont des noyaux possédant même nombre de protons Z (ils appartiennent donc au même
élément chimique) mais des nombres de nucléons A différents (ils ne différent que par leur nombre de neutrons).
Rem. :
il existe 90 éléments chimiques naturels et 350 nucléides naturels (on parle de nucléide pour des noyaux
strictement identiques : même nombre de protons et de neutrons). On connait environ 1500 nucléides.
208
Exemple : 206
82Pb et 82Pb : ces nucléides sont deux isotopes du plomb Pb.
206
206
82Pb et 83Bi : ces nucléides ne sont pas isotopes l’un de l’autre.
1.3. Les noyaux radioactifs
Les deux nucléides 126C et 146C, bien qu’isotopes, ne possèdent pas les mêmes propriétés. En effet le carbone 12 est un
nucléide stable alors que le carbone 14 est un nucléide instable (on parle alors de radionucléide) : il peut se
désintégrer spontanément pour se transformer en un autre noyau.
Lors de sa désintégration, il émet une particule.
Un noyau radioactif peut se transformer spontanément en
un noyau différent, avec émission d’un « rayonnement ».
1.4. Le diagramme (N, Z) de Segré
Sur le document ci-contre, sont reportés les noyaux avec en
abscisse le numéro atomique Z et en ordonné le nombre de
neutrons N1. Les nucléides stables sont en rouge et occupent la
partie centrale appelée vallée de stabilité.
Jusqu’à Z = 20, les nucléides stables se situent au voisinage de la
droite N = Z : ils possèdent autant de protons que de neutrons.
2. La radioactivité
Frederick Soddy
Prix Nobel en 1921
2.1. Lois de conservation (lois de Soddy)
Le noyau radioactif2 est appelé le noyau père. Il se
transforme en un noyau fils en émettant une particule.
Cette réaction nucléaire obéit à des lois de conservation
(dite loi de Soddy) :
 Conservation de la charge électrique (mais pas du nbre de protons).
 Conservation du nombre de nucléons.

1
2
Retrouver ce diagramme sur l’animation d’Adrien Willm sur le site Ostralo : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_1.swf
Autre animation sur le site d’Adrien Willm concernant le diagramme (N,Z) : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_2.swf
Voir l’animation sur la radioactivité sur le site du CEA : http://www.cea.fr/UserFiles/File/Animations/animations/atome.html
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2.2. La radioactivité 
Les noyaux très lourds (Z et N très grands) ont un excédent de nucléons. Pour se rapprocher de la vallée de stabilité,
ils éjectent une particule , constituée de deux protons et deux neutrons (noyau d’hélium : 42He).
Ces noyaux sont radioactifs .
N 207Hg 208Tl 209Pb 210Bi 211Po
205
4
80
81
82
83
84
Ex : le bismuth 209 est radioactif  : 209
83Bi  81Tl + 2He

Conservation du nombre de nucléons : 209 = 205 +4

206
207
Conservation de la charge : 83 = 81 + 2
Hg
Tl 208Pb 209Bi 210Po
126
80
4
Écriture générale : AZX  A–4
Z–2Y + 2He
2.3. La radioactivité 

125
Les noyaux situés au dessus de la vallée de stabilité ont un excédent
de neutrons N. Ils éjectent un électron (–10e ou particule –).
124
Ces noyaux sont radioactif –. Exemple : le thallium 208 est
208
0
radioactif – : 208
81Tl  82Pb + –1e (Pb est le plomb).
123
Écriture générale : AZX  Z+1AY + –10e
81
82

83
84
205
80Hg
206
81Tl
207
82Pb
208
83Bi
209
84Po
204
80Hg
205
81Tl
206
82Pb
207
83Bi
208
84Po
203
80Hg
204
81Tl
205
82Pb
206
83Bi
207
84Po

Rem. : Lors d’une désintégration –, X et Y possèdent autant de
Z
80
81
82
83
nucléons (208 dans ce cas), mais le nombre de protons du
noyau fils augmente d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un neutron du noyau qui s’est
spontanément transformé en un proton avec éjection d’un électron : 10n  11p + –10e (radioactivité –)
2.4. La radioactivité 
Les noyaux situés en dessous de la vallée de stabilité ont un excédent de protons (Z trop grand). Ils éjectent un
positon – ou positron – (01e ou particule +). Ces noyaux sont radioactif +.
206
0
Ex : le bismuth 206 est radioactif + : 206
83Bi  82Pb + 1e.
Écriture générale : AZX  Z–1AY + 01e
Rem. : Lors d’une désintégration +, X et Y possèdent autant de nucléons (206 dans ce cas), mais le nombre de
protons du noyau fils diminue d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un proton du noyau qui
s’est spontanément transformé en un neutron avec éjection d’un positon : 11p  01n + 01e (radioactivité +)
2.5. Le rayonnement 
Lors de désintégrations  ou , le noyau fils Y est généralement produit dans un état « excité » : il possède un
excédent d’énergie par rapport à son état fondamental et est noté AZY*. Ce noyau libère un photon  de très faible
longueur d’onde ( < 10–12 m), emportant l’excédent d’énergie : AZY*  AZY + 
3. Loi de décroissance
3.1. Un phénomène aléatoire
Un noyau radioactif ne vieillit pas : la probabilité qu’un noyau radioactif se désintègre est indépendante de son
« âge ». Elle ne dépend que du type de noyau considéré. Par exemple un noyau de carbone 14, apparu il y a 1000 ans
a la même probabilité de se désintégrer, dans un même laps de temps, qu’un noyau apparu il y a 5 minutes.
Source radioactive Activité (Bq)
3.2. Activité d’une source radioactive
homme (70 kg)
8000
Notons N(t) le nombre de noyau radioactif d’un échantillon à l’instant t et
1L de lait
80
N(t + t) le nombre de noyau radioactif du même échantillon, à t + t.
1 kg de granite
8000
Pendant la durée t, La variation du nombre de noyaux radioactifs de la
1 L d’eau de mer
10
source est : N = N(t+t) – N(t) < 0 : il a disparu –N noyaux radioactifs.
1 kg de plutonium
2.1012
L’activité d’un échantillon radioactif, mesure le nombre moyen
de désintégrations survenus par seconde.
3

N
A=–

t
 : activité en becquerel4 (Bq)
 : variation du nbre de noyau
t : durée en seconde (s)
–1
Rem. : 1 Bq est équivalent à 1 désintégration/s. 1 Bq  1 s . C’est une grandeur moyenne !
3
4
Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/anim_radioactivite_popup.htm
Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/becquerel.html
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3.3. Loi d’évolution temporelle
Expérimentalement, on constate que l’activité (nombre moyen de désintégrations par seconde) est proportionnelle au
nombre de noyaux N(t) présents à l’instant t et à la nature des noyaux radioactifs. Ainsi : A(t) = N(t).
 est une constante, appelé constante radioactive (en s–1), qui ne dépend que de la nature des noyaux radioactifs : 
reste constant dans le temps (les noyaux « meurent » sans vieillir).
N
dNt
Ainsi :
= – N(t). À la limite, lorsque t tend vers 0, on peut écrire :
= – N(t).
dt
t
On montre en mathématiques qu’une solution de cette équation (appelée équation différentielle) est de la forme :
N(t) = K.e–t. Or si l’on note N0, le nombre de noyaux radioactifs présents à t = 0 alors N(0) = N0 = K.e0 = K.
La loi de décroissance radioactive donne le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t : N(t) = N0.e–.t
Rem. : L’activité (A(t) = N(t)) de l’échantillon radioactif peut alors s’écrire : A(t) = A0.e–.t avec A0 = N0
N
dN
Par ailleurs, à la limite, lorsque t tend vers zéro on écrit : A = lim –
 = – dt
t   t 
3.4. Représentation graphique
N0
N(t)
tangente à la courbe à l’instant t = 0
N0
2
N0 = 0,37.N
0
e
N0
4
N0/8
N0/16
demi-vie
Formulaire mathématique :
ea+b = ea×eb
e0 = 1
a b
a×b
(e ) = e
ln 1 = 0
ln a + ln b = ln (a×b)
ln a – ln b = ln a
b

– ln a = ln
ln ab = b×ln a
a
ln ea = a
et
eln a = a
constante de temps  : abscisse de la tangente
lorsqu’elle coupe l’axe des abscisses
t (s)
t1/2 
2t1/2
3.5. La constante de temps 
3t1/2
4t1/2
Nous avons remarqué que la constante radioactive  est homogène à l’inverse d’un temps. On définit la constante de
temps 5 par l’expression :    ( en s) : Cette constante de temps est caractéristique de la désintégration.

Rem. 1 :  représente une durée : la durée nécessaire à la désintégration de tous les noyaux radioactifs si l’activité restait constamment égale à A0.
Rem. 2 : N(t) = N0.e–.t donc N() = N0.e–. = N0.e–1 (car  =  donc .=1) ainsi N() = N = 0,37.N0
e

–.5.
–5
–3
Rem. 3 : Si t = 5., N(5.) = N0.e
N0.e = 6,7.10 .N0 : 99,3 % des noyaux radioactifs se sont désintégrés.
3.6. La demi-vie
La demi-vie t1/2 d’un échantillon radioactif est la durée nécessaire pour que son activité soit divisée par deux.
A(t1/2) = A ou N(t1/2) = N = N0.e–.t1/2 donc e–.t1/2 = 1.
2


ln 2
1
Par suite : –.t1/2 = ln = – ln 2. Ainsi : t1/2 =
= .ln 2
2

4. Effet biologique
Effets ionisants nocifs et utilisation médicale (radiodiagnostic et radiothérapie)
http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/rayon.htm
5. La datation
t = .ln A ou t = .ln N
 At
 Nt
5
6
élément
radioactif
bore 13
radon 220
iode 123
iode 131
carbone 14
uranium 238
6
demi-vie
17 ms
58 s
13,2 h
8,1 jours
5730 ans
4,5.109 ans
Voir exercices n°21, 22, 23 et 24 p104 – 105 et Sujets bac page 107
Voir une animation montrant l’influence de  (donc de t1/2 ou de ) : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/ordre1.swf
Voir une animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/DecroissanceRadioFr.swf
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Annexe 1
La démonstration suivante n’est pas à connaître pour l’épreuve de physique au bac.
dNt
dNt
= – N(t) 
= – dt (1) si N(t)  0
dt
N(t)
Intégrons cette expression (1) entre l’origine des dates t = 0 et l’instant t :
 tdNt =  t– dt
 N(t) 

tdNt
t
Or  est une constante indépendante du temps t, donc 
dt (2)
 N(t) = – 


L’expression
dNt
dNt
est la forme différentielle de la fonction logarithme népérien. En effet : d(ln N(t)) =
.
Nt
Nt
Par conséquent (2) devient : [ln N(t)]t = – [t]t . C’est-à-dire :
ln N(t) – ln N(0) = – (t – 0)  ln
Nt
= – t (3)
N
Appliquons la fonction exponentielle aux deux membres de l’équation (3) :
N (t)
ln
Nt
e N 0 = e−λ.t . Ainsi :
= e−λ.t et donc N(t) = N0.e–.t
N
Annexe 2
La démonstration suivante n’est pas exigible au baccalauréat. Mais elle peut éclairer les esprits.
La tangente à la courbe de décroissance radioactive à l’instant initial t = 0 est une droite dont la pente est égale
à la dérivée de la courbe de décroissance à l’instant t = 0.
dN
En notant y = a.x + b l’équation de cette droite, la pente (ou coefficient directeur) de cette droite est a =  
 dt t = 0
–.t
dN.e 
0
avec N = N0.e–.t. Ainsi : a = 
 t = 0 = –.N0.e = –.N0
dt


d(N0e–.t)
d(e–.t)
dea.x
En effet
= N0.
= N0.–.e–.t = –N0.e–.t
Propriété mathématique :
= a.ea.x
dt
dt
dx
b est l’ordonnée à l’origine de la tangente. De toute évidence, b est en l’occurrence égale à N0 : b = N0.
Ainsi l’équation de la tangente à la courbe à t = 0 est : y = –.N0.x + N0.
La tangente coupe l’axe des abscisses pour y = 0, c’est-à-dire –.N0.x + N0 = 0. Donc x =  = 
