DESINTEGRATION D`UN CORPS RADIOACTIF

DESINTEGRATION D'UN CORPS RADIOACTIF
Présentation de la désintégration
Il s'agit d'étudier la loi de probabilité de la durée de vie d'un atome radioactif.
Un atome radioactif est un atome instable qui, au bout d'un certain temps, se
désintègre, c'est-à-dire se transforme en un atome d'un autre type. En 1902,
Rutherford et Soddy découvrent la loi de désintégration radioactive qui peut
s'énoncer de la façon suivante :
la probabilité qu'un atome ne soit pas désintégré à l'instant t + s, sachant qu'il est
"vivant" à l'instant t, ne dépend pas de t.
Soit T la variable aléatoire représentant la durée de vie d'un atome radioactif.
La variable T est à valeurs dans [0;+¥[ . Si t est un réel positif, l'événement (T ³ t)
signifie que l'atome est vivant à l'instant t.
La loi de Rutherford et Soddy s'énonce alors :
PT ³ t(T ³ t +s) avec s ³ 0 ne dépend pas de t.
Autrement dit, on a :
PT ³ t (T³ t +s) = PT ³0(T³s) = P(T³s).
Nous reconnaissons une durée de vie sans vieillissement, qui suit donc une la loi
exponentielle de paramètre l >0 caractéristique de la particule étudiée.
Nous savons alors que P(T³t) = e–lt est la probabilité que la particule se soit pas
désintégrée à l'instant t.
Son espérance E(T) = 1 , correspond à la durée de vie moyenne d'un noyau.
l
(voir loi exponentielle)
A propos du nombre de noyaux désintégrés
Supposons que la désintégration d'un noyau soit indépendante de la
désintégration des autres noyaux. Soit N0 le nombre initial de noyaux. Considérons
N0 épreuves identiques, indépendantes à deux issues contraires :
"le noyau n'est pas désintégré à l'instant t " avec la probabilité G(t) = e–lt
ou bien
"le noyau est désintégré à l'instant t " avec la probabilité 1 – e–lt .
La variable aléatoire Xt égale au nombre de noyaux non désintégrés à l'instant t suit
alors la loi binomiale de paramètres N0 et e–lt. Son espérance mathématique (nombre
moyen de noyaux non désintégrés à l'instant t) est :
E(Xt) = N0 e–lt que nous noterons Nt.
Demi-vie ou période
On appelle demi-vie ou période d'un élément radioactif, le réel t défini par :
pour tout t ³ 0, Nt+t = 1 Nt.
2
t doit ainsi vérifier : N 0 e–l(t+t) = 1 N0e–lt c'est-à-dire e–lt = 1 .
2
2
Finalement : t = 1 ln2.
l
Proportion de noyaux désintégrés
Sachant que Nt = N0e–lt, on obtient en dérivant : dNt = N0(–l)e–lt = –lNt, soit
dt
finalement : dN t = -l dt qui s'écrit dN t = -l N t dt .
Nt
Ainsi, la proportion de noyaux désintégrés pendant un intervalle de temps donné est
constant (ne dépend pas de t) d'où l'appellation "sans usure" ou "sans vieillissement".
Remarque
L'étude du phénomène de la radioactivité en mathématiques constitue un bon
exemple de loi de probabilité continue. Le travail sur la radioactivité se prête tout à
fait à la pluridisciplinarité, à savoir le traitement en cours de Sciences Physiques en
parallèle avec ce traitement mathématique.