Cours sur - IECL - Université de Lorraine

Cours sur les Fractions rationnelles
Le cours se résume à une définition et à un théorème !
Définition.
– Une fraction rationnelle sur K est déterminée par la donnée d’un couple (P, Q) de
deux polynômes de K[X], où Q 6= 0.
P
P0
P
. Deux couples Q
et Q
– On écrit les couples sous forme de fraction : Q
0 sont dits égaux
0
0
lorsque P Q − P Q = 0.
P
est dite irréductible lorsque lorsque P et Q n’ont pas de
– Une fraction rationnelle Q
diviseur commmun autre que 1. Toute fraction rationnelle est égale à une fraction
irréductible (et une seule à un scalaire multiplicatif près).
Les fractions rationnelles peuvent être ajoutées multipliées et divisées, suivant les règles de
calcul habituelles : associativité, distributivité, commutativité, interdiction de la division
par 0, etc.
Théorème.
P
une fraction irréductible. Soit E le quotient de P par Q dans la division euclidienne.
Soit Q
Soit
Q = Aα1 1 × · · · × Aαk k
la décomposition de Q en facteurs irréductibles. Alors il existe une famille et une seule de
polynômes (Aij )i=1,...,k telle que :
j=1,...,αi
1. on ait l’égalité de fractions rationnelles suivante :
X Aij
P
=E+
,
Q
Aji
i=1,...,k
(1)
j=1,...,αi
2. le degré de Aij est strictement inférieur au degré de Ai .
La décomposition (1) s’appelle la décomposition en éléments simples de
Exemple.
Décomposons en éléments simples
X+2
.
X 2 −1
On trouve :
X +2
a
b
=
+
.
2
X −1
X −1 X +1
On réduit au même dénominateur et on obtient par identifiction a et b :
3
−1
X +2
2
2
=
+
.
X2 − 1
X −1 X +1
P
.
Q
Université de Lorraine
Calculs et mathématiques - L1
UFR MIM
2013/2014
Feuille d’exercices no 3
Fractions rationnelles
Exercice 1 Décomposer en éléments simples dans C[X] les fractions rationnelles suivantes :
X 4 + 2X 2 − 1
1
A=
,
B= 2
2
2
2
X (X + 1)
X +X +1
Exercice 2 Décomposer en éléments simples dans R[X] les fractions rationnelles suivantes :
2X 3 − X 2 + 5
(X 2 − 1)(X 2 + X + 1)
X 5 + 4X 4 − 6X 2 − 14X − 19
C=
(X 2 + X − 6)(X 2 + 1)
A=
2X 3 + X 2 − 8X − 16
(X 2 − 3X + 2)(X 2 + 2X + 4)
X +3
D= 2
X (X + 1)2
B=