Exercice 1 (5 points) Exercice 2 (14 points)

Lycée Dumont d'Urville Caen
Devoir commun 2nde
CORRIGE du devoir commun des secondes 2015
Exercice 1
1)
Le message codé est BIEN VU. : le codeur et le décodeur se sont mis d'accord sur le repère
(J, S, E) ; le message commence donc par la lettre B .
21
B
2)
(5 points)
12
I
01
E
23
N
-22
V
-1-1
U
Le message BRAVO dans le repère (J, S, E) est 2122 − 12 − 2211.
B
21
R
22
A
-12
V
-22
O
11
Exercice 2
(14 points)
Partie A
Compléter le tableau de variations de f
sur R.
1) a)
1
−∞
x
9
Cy
+∞
8
8
7
f (x)
6
Cf
5
4
3
b)
Compléter le tableau de signes de f sur R
x
-1
−∞
3
2
+∞
1
f (x)
−
0
+
0
x=1
−
:
−2
−1
0
1
−1
2)
Compléter :
a) f (0) = 6
L'image de 2 est : f (2) = 6
c) Les antécédents de 6 sont : 0 et 2
b)
3)
4)
L'ensemble des solutions de l'inéquation f (x) < 6.L'intervalle ] − ∞; 0[∪]2; +∞[
a)
Tracer la droite d'équation y = −2x + 6. voir tracé
1
2
3
4
Lycée Dumont d'Urville Caen
b)
Devoir commun 2nde
Lire graphiquement et donner l'ensemble des solutions de l'inéquation
f (x) > −2x + 6. L'intervalle ]0; 3[
Partie B
L'expression de la fonction f étudiée dans la partie A est :
f (x) = −2x2 + 4x + 6
1)
2)
Quel nom porte la courbe Cf ? Une parabole
b) Tracer l'axe de symétrie de Cf sur le graphique. En donner une équation : l'équation de
l'axe de symétrie de la parabole est x = 1.
a)
Résoudre par le calcul, l'équation f (x) = 6.
f (x) = 6 ⇐⇒ −2x2 + 4x + 6 = 6
⇐⇒ −2x2 + 4x = 0
⇐⇒ x(−2x + 4) = 0 ce produi est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
x = 0 ou −2x + 4 = 0 ⇐⇒ x = 2
Donc l'équation f (x) = 6 a pour solution 0 et 2. Soit S = {0; 2}
3)
a)
Étudier, dans un tableau, le signe de (2x + 2)(3 − x) sur R.
x
−∞
−1
2x + 2
−
3 − x
+
(2x + 2)(3 − x)
−
0
0
+∞
3
+
+
+
0
−
+
0
−
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation : (2x + 2)(3 − x) ≥ 0.
L'intervalle [−1; 3]
c) Montrer que : f (x) = (2x + 2)(3 − x).
b)
(2x + 2)(3 − x) = 6x − 2x2 + 6 − 2x
= −2x2 + 4x + 6
= f (x)
2
Lycée Dumont d'Urville Caen
Devoir commun 2nde
Exercice 3
1)
(7 points)
Figure
le segment [AB] est caractérisé par :
5
4
A

4

y = x + 4
3


x ∈ [−3; 0]
3
2
1
B
−4
−3
yAB
D
−2
−1
−1
0
1
2
3
4
−2
−3
−4
C
−5
2)
Le coecient directeur de la droite (AB) est m =
0−4
4
yB − yA
=
= .
xB − xA
−3 − 0
3
4
3
L'équation de la droite (AB) est de la forme y = mx + p ⇐⇒ y = x + p.
• D'après la gure, l'ordonnée à l'origine est p = 4.
4
• Par le calcul : Le point A(0; 4) ∈ (AB),donc yA = 0, 5xA + p ⇐⇒ 4 = × (0) + p.
3
On déduit que p = 4.
4
Conclusion : L' équation de la droite (AB) est y = x + 4
3
3)
les trois autres côtés du losange ABCD de centre O sont :
• côté [BC]
Par lecture, le coecient directeur de la
4
droite (BC) est − et
3
l'ordonnée à l'origine
est p = −4.
Donc
[BC]
est
caractérisé
par :

4

y = − x − 4
3


x ∈ [−3; 0]
• côté [CD]
Par lecture, le coecient
directeur de la droite
4
(CD) est et l'ordonnée
3
à l'origine est p = −4.
Donc [CD]
 est carac-
4

y = x − 4
3
térisé par :


x ∈ [0; 3]
3
• côté [AD] est
Par lecture, le coecient directeur de la
4
droite (AD) est − et
3
l'ordonnée à l'origine
est p = 4. Donc [AD]
est
 caractérisé par :
4

y = − x + 4
3


x ∈ [0; 3]
Lycée Dumont d'Urville Caen
Devoir commun 2nde
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2nde : . . . . .
Exercice 4
1)
(14 points)
Placer dans le repère orthonormé ci-contre les points A(−3; −3), B(3; −1), C(2; 2) et D(−4; 0).
ABCD /1 pt + F /0,5 pt + k /0,25 + E /0,25 = soit /2 pts
4
F
3
C
2
1
D
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
3
4
B
−1
−2
2
K
−3
A
E −4
−5
−−→ xD − xA
−−→ −1
−−→ −4 − (−3)
.
2) AD
= AD
= AD
3
y − yA
0 − (−3)
D
−−→
−−→ −1
−−→ xC − xB
2−3
= BC
.
= BC
BC
yC − yB
2 − (−1)
3
Le quadrilatère ADCB est un parallélogramme.
3)
Calculer
ples distances BD et AC .
−−→
−−→
Donc AD = BC
/2 pts
p
√
√
(xD − xB )2 + (yD − yB )2 = (−4 − 3)2 + (0 − (−1))2 = 50 = 5 2
p
p
√
√
AC = (xC − xA )2 + (yC − yA )2 = (2 − (−3))2 + (2 − (−3))2 = 50 = 5 2
BD =
/1.5 pts
/1 pt
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ADCB ?
Comme le quadrilatère ADCB est un parallélogramme et ses diagonales BD et AC de même
longueur, on peut déduire que ADCB est un rectangle.
/0,5 pt
4)
−−→
Déterminer les coordonnées du vecteur 2AD et en déduire les coordonnées du point F tel que
−→
−−→
AF = 2AD.
−−→
−−→ xD − xA
−−→ −1
−−→
2AD = 2AD
= 2AD
, donc les coordonnées du vecteur 2AD sont −2 et
yD − yA
3
6. /0,5 pt
4
Lycée Dumont d'Urville Caen
Devoir commun 2nde
−→
−−→
−→ xF − xA
−→ xF + 3
−2
−2
−5
AF = 2AD ⇐⇒ AF
=
⇐⇒ AF
=
=⇒ F
. /1 pt
yF − yA
6
yF + 3
6
3
Les coordonnées du point F sont -5 et 3.
5)
Les coordonnées du milieu K de [AB].
xA + xB
−3 + 3
=
=0
2
2
−3 + (−1)
yA + xyB
=
= −2 Les coordonnées du milieu K de [AB] sont 0 et −2. Soit
yK =
2
2
0
K
/1 pt
−2
xK =
6)
Placer le point E(−1; −4).
Démontrer que les points C , K et E sont alignés.
−−→ −−→ xK − xC
−−→ −2
CK = CK
= CK
yK − yC
−4
−−→ −−→ xE − xC
−−→ −3
CE = CE
= CE
−6
yE − yC
−−→
−−→
−−→
3 −−→
On remarque que CE = CK , donc les vecteurs CK et CE sont colinéaires. Par conséquent
2
les points C , K et E sont alignés. /1.5 pts
7)
Pour trois points C , K et E donnés par leurs coordonnées, on souhaite écrire un algorithme
qui détermine si ces trois points sont alignés ou non. Compléter pour cela l'algorithme sur la
page suivante :
Algorithme :
Variables :
Début
xC , yC , xK , yK , xE , yE , x, y , z , t sont des nombres réels
Saisir xC , yC , xK , yK , xE , yE
x prend la valeur xK − xC
y prend la valeur yK − yC
z prend la valeur xE − xC
t prend la valeur yE − yC
Si
y × z = x × t ou
/0,5 pt
/0,25 pt
t
y
=
x
z
alors
/1,5 pts
Acher Les points C , K et E sont alignés /0,5 pt
Sinon
Acher Les points C , K et E ne sont pas alignés FinSi
Fin
5
/0,25 pt