TD Corrigés - Semestre 1 (M1102)

1er SEMESTRE
MODULE M1102 :
SOLLICITATIONS SIMPLES
Effort Normal & Effort Tranchant
PROBLEMES CORRIGES
A.BENNANI - Y.LAFON-JALBY - M.MASSENZIO - S.RONEL
TD-1A-S1-M1102
SOMMAIRE
STATIQUE APPLIQUÉE AU DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES ............................. 5
TORSEUR DE SECTION ..................................................................................9
TRACTION-COMPRESSION ........................................................................... 35
CISAILLEMENT ......................................................................................... 54
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 4
TD-1A-S1-M1102
STATIQUE APPLIQUÉE AU
DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES
PROBLÈME N°1
Calculez le moment de la force de 100Npar rapport au
point B.
0.5m
100 N
B
A
REPONSES N°1


M F / B  BA  FA  50 k
PROBLÈME N°2
z

Soit un cube de 1m de côté et une force F de norme 100N. Calculer:
F

B
A
y
O
x
1°) Les composantes du moment de F par rapport au point A.
2°) La norme du moment.
3°) Les angles entre le moment et les axes du repère.
REPONSES N°2
M F / A
0.5
 50 2

  
 AB  F   1  50 2  25 2 i  j  k d’où M F / A  25 2 3mN
0.5
0


cos  x  cos  y  cos  z 
PROBLÈME N°3
3
3
100 N
0.5m
B
A
Réduisez la force de 100N au point B, puis au point
C.
0.25m
C
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 5
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°4
Calculez la valeur et la position de la résultante des deux forces parallèles.
100 N
100 N
200 N
1m
B
A
200 N
1m
B
A
REPONSES N°4
300 N
1m
1m
0
A
B
1/3m
0
B
A
PROBLÈME N°5
1000 N
Calculez la valeur et la position de la résultante des
deux forces concourantes.
A
1 m
1m
45°
B
1000 N
REPONSES N°5
1000 N
1414N
A
=
O
1 m
IUT-LYON1-GMP-DDS
45°
=
B
1000 N
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°6
e) Décomposez le moment M suivant deux forces // passant par A et B, d'abord verticales,
puis inclinées à 45°.
0.5m
M=100 Nm
O
A
B
0.5m
M=100 Nm
45°
A
O
B
REPONSES N°6
0.5m
0.5m
M=100 Nm
282.8 N
200 N
A
B
A
200 N
45°
B
282.8
0.5cos45
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°7
L'équerre ABC peut être supportée de différente manières. Identifiez chaque cas.
A
100 N
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
REPONSES N°7
Cas N°
Isostatique
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
X
X
IUT-LYON1-GMP-DDS
Hyperstatique de
d°
Liaisons
Incomplètes
Liaisons
Incorrectes
2
X
X
1
1
X
X
X
1
X
X
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TD-1A-S1-M1102
TORSEUR DE SECTION
PROBLÈME N°1
Déterminer les expressions, en fonction de x (dans x,y,z), des composantes non nulles du
torseur de section le long de la poutre et tracer leurs variations dans les quatre cas suivants :
0.5m
a)
b)
y
x
x
200N
A
x
G
G
A
B
x
10Nm
c)
x
G
0.4m
0.25m
0.25m
y
A
0.5m
y
d)
200N
C
x B
x
A
y
100N/m
G x
B
REPONSES N°1 Voir Annexe N°2
Equilibre
20 N
20 N
y
x
A
G
X
B
10 Nm
Effort Tranchant
20N
L=0,5 m
Ty  20
+
A
Effort Tranchant : Ty
Moment de Flexion
10 Nm
B
M z  200,5  X 
+
A
Moment Fléchissant : Mz
IUT-LYON1-GMP-DDS
B
Page 9
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°2
Le système suivant est constitué de trois poutres dans le plan. La poutre AB est de longueur L,
la poutre BC est de longueur L/2 et la poutre CD est de longueur 2L. Une force F est appliquée
en A. Le système est encastré en D.
Déterminer les expressions des composantes non nulles du torseur de section dans chacunes
des poutres et tracer leurs variations.
Données :
L = 500 mm
Module de la force : 300 N
Remarque : Il n’est pas nécessaire de conduire une étude statique afin de déterminer les
réactions en D.
y
F
x
A
B
y
L/2
x
x
D
C
y
L
L
REPONSES N°2
L=500 mm
y
300 N
G
A
150 Nm
IUT-LYON1-GMP-DDS
B
X
300 N
D
x
Y
G
x
G
y
L=500 mm
X
C
L/2
y
x
L=500 mm
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TD-1A-S1-M1102
N x  300

 
 RG  Ty  0

Zone BC :0  X  250mm 
 
M 
 G
M z  150 Nm


Nx  0

 RG  Ty  300

Zone AB : 0  X  500mm 

M G 

M z  300 X


Nx  0


RG  Ty  300


Zone CD :0  X  1000mm 
 
M 
 G
M z  300  X  500 

B300N
A
-
Nx
D
C
300N
+
A
B
Ty
-
300N D
C
Mz
150Nm
-
+
D
IUT-LYON1-GMP-DDS
A
150Nm
B
-
C 150Nm
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°3
Déterminer les expressions, en fonction de x (dans x,y,z), des composantes non nulles du
torseur de section le long de la poutre et tracer leurs variations.
y5
L/4
y1
x5
A
B
L/4
x1
H
y2
F
x2
L
L
x4
P
L/2
y4
x3
D
C
y3
E
REPONSES N°3


R A  RH  P  0
Equilibre : 


 M A ( R A )  M A ( P )  M A ( RH )  0
L/4
0


M A ( P )  M D ( P )  AD  P  L   P 
0
0
L/2
IUT-LYON1-GMP-DDS

YA  P / 2
YH  P / 2
0
0
 PL / 4
0
M A ( RH )  M H ( RH )  AH  RH  0  YH 
0

XA 0


Y A  YH  P  0

0

0


0

 PL / 4  Y L / 2  0
H

0
0
0
YH L / 2
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TD-1A-S1-M1102
YH
y1
H
x1
F
G1
x1
x1  0; L / 2
G1  HF 
Zone de HF :
T 
HF
int G1

  Text  amont

G1
0 
 0


  P / 2
0 
 0  x P / 2
1

G 1

Nx  0
Mx  0 


 RG1  Ty   P / 2 M G1  M y  0 

Tz  0
M z  x1P / 2 G1

y2
F
x2
L/4
YH
Zone de FE :
E
G2
x2
H
G2  FE 
T 
FE
int G2

x2  0; L
  Text amont

G2
 P / 2 0 


  0
0 
 0  PL / 8


G2

Nx  P / 2
Mx  0 


M G2  M y  0 
 RG 2  T y  0

Tz  0
M z  PL / 8G 2

IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
y3
E
G3
x3
L
x3
D
P
H
F
YH
G3  ED 
Zone de ED :
T 
ED
int G3
x3  0; L / 2
0
 0



  Text amont G3    P / 2
0

 0  ( L / 4  x ) P / 2
3

 G3




Nx  0
Mx  0


My 0
 RG 3  T y  P / 2 M G3 


Tz  0
M z  ( L / 4  x3 ) P / 2 G 3

E
D
H
F
DC
int G3
B
YA
G3  DC 
T 
x3
A
YH
Zone de DC :
C
P G3
x3
L
y3

x3  L / 2; L
  Text aval

G3
0
 0



   P / 2
0

 0  ( 3L / 4  x ) P / 2 
3


G3


Nx  0
Mx  0


My 0
 RG 3  Ty   P / 2 M G3 


Tz  0
M z  (3L / 4  x3 ) P / 2 G 3

IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
YA
B
A
x4
L
y4
G4
x4
C
D
G4  CB 
Zone de CB :
T 
CB
int G4
x4  0; L

  Text aval

G4
P / 2 0 


  0
0 
 0 PL / 8


G4

Nx  P / 2
Mx  0 


M G4  M y  0 
 RG 4  T y  0

Tz  0
M z  PL / 8G 4

B
Zone de BA :
y5
x5
x5 G
5
G5  BA
T 
BA
int G5

YA
A
x5  0; L / 4
  Text aval

G5
0
 0



  P / 2
0

 0 ( L / 4  x ) P / 2
5


G5


Nx  0
Mx  0


My 0
 RG 5  T y  P / 2 M G5 


Tz  0
M z  ( L / 4  x5 ) P / 2 G 5

IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 15
TD-1A-S1-M1102
P/2
P/2
Nx
+
+
y
x
P/2
+
P/2
-
Ty
-
P/2
PL/8
+
+
Mz
+
PL/8
+
P/2
+
PL/8
PL/8
+
IUT-LYON1-GMP-DDS
-
+
PL/8
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°4
Un support ajustable plan est composé de deux
poutres AB notée (1) et CD notée (2). La liaison
en A est un encastrement, les liaisons en C et
x
y
x
B des liaisons ponctuelles sans frottement.
y
Une force verticale de 200N est appliquée en
D. Notez l’orientation particulière du repère !
1°) Isolez le solide (2). Calculez dans le repère
x,y,z les composantes des actions en B et C s’exerçant sur celui-ci.
2°) Isolez le solide (1). Calculez dans le repère x,y,z la réaction et le moment en A (en Nm)
3°) Calculer (dans le repère x,y,y) l’effort tranchant Ty (en N) et le moment fléchissant Mz (en
Nm) au point J de la poutre AB et au point K de la poutre CD.
REPONSES N°4
300 N
C K
100 N

FC1 / 2  100 j
TYJ  300 N
IUT-LYON1-GMP-DDS
B
200 N
200 N
100 N
D

FB1 / 2  300 j
M ZJ  135Nm
A
240 Nm
B
C J

FA  200 j
TYK  100 N
300 N

M A  240 k
M ZK  15 Nm
Page 17
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°5
D
C
y
x
y x
E
y x
y
F
x
Une poutre de longueur L et de poids P repose sur deux appuis. La liaison en A est une
articulation plane, la liaison en B une liaison ponctuelle sans frottement. Le poids P est modélisé
soit comme une charge uniformément répartie à raison de
P
L
N/m (voir Figure 2a), soit avec
quatre forces concentrées équidistantes P (voir Figure2 b).
4
Notez que le repère de calcul a son axe « y » dirigé vers le bas.
1°) Après avoir déterminé les réactions en A et B, calculez les expressions du moment
fléchissant Mz (dans le repère x,y,z) dans chacun des deux cas en fonction de P, L et x sous
forme de polynôme réduit en x (présenter les résultats sous forme de tableau).
a) Entre A et B pour le cas (a).
b) Entre A et C, puis entre C et D et enfin entre D et E pour le cas (b).
2°) Tracer les variations de Mz dans chacun des deux cas en indiquant la valeur de
l'extremum du moment fléchissant en fonction de P et de L.
REPONSES N°5
Cas (a) :
M ZAB  
P
P 2
x
x
2
2L
A
B
-PL/8
Cas (b) : M ZAC  
P
PL
3PL
P
M ZDE  
x M ZCD   x 
2
4
20
20
A
C
-PL/10
IUT-LYON1-GMP-DDS
D
-
E
F
-3PL/20
Page 18
B
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°6
y
x
y x
Une poutre de longueur L est en équilibre sous l’action
d’un torseur extérieur plan composé de quatre forces
verticales inconnues, Ay en A, By en B, Cy en C, Dy en
D et d’un moment inconnu Mz en C. On connaît le
X diagramme représentant les variations du moment
fléchissant Mz dans le repère x,y,z en fonction de P
(homogène à une force) et L.
Notez que le repère de calcul a son axe « y » dirigé
vers le bas.
y x
1°) A partir du diagramme, écrire les équations, sous
forme de polynôme réduit en x, (en fonction de P, L et
x) représentant les variations de Mz pour chacune des
trois zones AB, BC et CD. En déduire les expressions
de l’effort tranchant Ty en fonction de P dans les trois
zones.
2°) Calculez à partir des efforts tranchants dans les trois zones AB, BC et CD les trois
forces extérieures verticales en A, B et C en fonction de P.
3°) En écrivant dans le repère X,Y,Z que la poutre est en équilibre en déduire la
quatrième force extérieure verticale en D en fonction de P et le moment extérieur en C en
fonction de P et de L.
REPONSES N°6
M ZAB  Px
PL
M ZBC 
3
M ZCD  Px  PL
P
A
P
IUT-LYON1-GMP-DDS
B
C
TY   M Z
TYAB   P
TYBC  0
TYCD   P
A
P
D
P
C
B
2PL/3
D
Page 19
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°7
La figure a représente un pont à couple à denture spirale de camion. La figure b représente de
façon schématique l’arbre porte-pignon ABCD. Cet arbre est en équilibre sous l’action, en B et
C des réactions exercées par les roulements, en E des efforts exercés par la roue sur le pignon,
en D du couple moteur. Les cotes sont en mm, les forces en kN.
En considérant la liaison roulement C / arbre comme une liaison sphère/cylindre (liaison linéaire
annulaire) et la liaison roulement B / arbre comme une liaison sphère /sphère (liaison rotule ou
sphérique).
1°) Calculez, dans le repère X,Y,Z, et en réduisant le torseur en B, les composantes
des réactions en B et C exercées par les roulements sur l’arbre (en kN) et le couple moteur en
D (en Nm).
2°) Déterminer les expressions, en fonction de x (dans x,y,z), des composantes du
torseur de section le long de la poutre et tracer leurs variations
X
D
D
100
100
C
C
150
B
50
E
A
Figure b
150
 53
B
10
50
E
Figure a
5
A
Z
 53
15
Y
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 20
TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°7
 10  BX  0

15  BY  CY  0
5 B C  0
Z
Z
 
 397,5  CmX  0

  15  150CZ  0
 750  150C  0
Y




R  FE  FB  FC  0


M B  BE  FE  BC  FC  Cm  0
X
397,5



FB  10i  20 j  4,9k


FC  5 j  0,1k

Cm  397,5i
Zone AB :
D
100
0 < x < 50mm

N x  10

 RG  Ty  15

Tz  5

M x  397,5

M G  M y  265  5 x

M z  15 x

Zone BC :
0,1
5
x
150
50mm < x < 200mm

Nx  0

RG  Ty  5


Tz  0,1

M x  397,5

M G  M y  0,1x  20

M z  5 x  1000

Zone CD :
IUT-LYON1-GMP-DDS
G
z
y
20
4,9
B
10
E
X
10
50
200mm < x < 300mm

Nx  0

 RG  Ty  0

Tz  0

M x  397,5

M G 
My  0

Mz  0

C
5
A
Z
 53
15
Y
Page 21
TD-1A-S1-M1102
X
X
X
D
D
D
C
0,1kN
C
5kN
C
+
B
-
Nx
10kN
B
-
Ty
A
A
X
D
-
397,5kNmm
C
15kN
-
B
Tz
A
X
X
D
D
C
C
+
B
Mx
A
IUT-LYON1-GMP-DDS
15kNmm
+
My 265kNmm
B
A
750kNmm
Mz
B
A
Page 22
5kN
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°8
Le système suivant est constitué de trois poutres de longueur égale (L) dans l’espace. Les trois
poutres sont liées rigidement entre elles avec des angles de 90°.
Une force F est appliquée en D. Le système est encastré en A.
Données :
L = 200 mm
Module de la force : 500 N
1. Etude statique
Déterminer les actions exercées en A sur le système.
2. Torseur de section
Déterminer les expressions du torseur de section dans les trois poutres et tracer les
diagrammes des actions internes. En déduire l’endroit où le système risque de casser
(les trois poutres étant identiques).
F
D
z
C
y
A
IUT-LYON1-GMP-DDS
B
x
Page 23
TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°8
 AX  0

 AY  0
 A  500  0
 Z


 500 L  M AX  0

 500 L  M AY  0

M AZ  0




R  FA  FD  0
Equilibre 

M / A  AD  FD   M A  0


FA  500k


M A  100i  100 j
500 N
z
y
G
x
200 mm
C
x
z
500 N
z
100 Nm A
100 Nm
X
G
D
Y
y
G
200 mm
Z
y
x
B
200 mm

Nx  0

N x  500


RG  T y  0

 RG  Ty  0

Tz  500

Tz  0
Zone AB : 0  X  200mm 
Zone BC : 0  Z  200mm 
M x  100
Mx  0


 M G  M y  500( 200  X )
MG  M y  0


Mz  0
M z  100



Nx  0

RG  Ty  0


Tz  500
Zone CD : 0  Y  200mm 
Mx  0

M G  M y  500200  Y 

Mz  0

IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 24
TD-1A-S1-M1102
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 25
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°9
Une structure spatiale ABCD est soumise en A à un torseur en A :


F  48 i (en N)


M  9 i (en Nm)
Les liaisons en B, C et D sont des « liaisons linéaires annulaires » (sphère/cylindre) parfaites
et sans frottement (considérer que les réactions sont dans un plan perpendiculaire à l’axe de la
structure).
1°) Calculer, en N, dans le repère xyz, les composantes des réactions en B, C et D.
2°) Déterminer les expressions, en fonction de x (dans x,y,z), des composantes du
torseur de section le long de la poutre et tracer leurs variations
Z
z
3m
1m
D
C
O
2m
x
Y
B
0.5m
M=9Nm
y
1.5m
A
F=48N
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 26
TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°9
 B X  C X  D X  48

BY  0

 C D 0
Z
Z
 
2
3

B
C

Y
Z 9

 2 B X  120
4 B  3C  192
X
 X


FA  FB  FC  FD  0


0







DA
F
DB
F
DC
F
M

A
B
C
A

FB  60 i
 
FC  16i  3k


FD  4i  3k
z
y
x
4N
G
D
3m
3N
1m
x
16N
z
3N
E
C
x
O
y
z
x
x
2m
B
60N
z
x
M=9Nm
x
0.5m
F
y
1.5m
A
F=48N
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 27
y
TD-1A-S1-M1102
Zone DC :
0<x<3m

Nx  0

 RG  Ty  3

Tz  4

Mx  0

M G  M y  4 x

M z  3 x

Zone CE :
3m<x<4m

Nx  0

RG  Ty  0


Tz  12

Mx  0

M G  M y  12 x  48

M z  9

Zone EB :
0<x<2m

Nx  0

 RG  Ty  0

Tz  12

Mx  0

M G  M y  12 x

M z  9

Zone BF :
2m<x<2,5m

Nx  0

RG  Ty  0


Tz  48

Mx  0

M G  M y  48 x  120

M z  9

Zone FA :
0<x<1,5m

N x  48

 RG  Ty  0

Tz  0

M x  9

M G  M y  0

Mz  0

IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
D
D
E
C
E
C
Nx
Mx
B
48
3
-
-
9
A
+
D
B
A
12
-
D
E
C
E
C
Ty
My
+
B
24
A
4
A
-
D
-
D
E
C
12
+
B
-
9
E
C
48
+
Tz
B
-
Mz
B
12
A
IUT-LYON1-GMP-DDS
A
Page 29
9
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°10
La figure représente une pince de levage pour rails. La figure 2 représente le schéma de la
pince. Les cotes sont en cm. Remarquez que la pince de levage admet un axe de symétrie
vertical. La pince se compose de deux barres ABCD (1) et EFCG (2), de deux biellettes HD (3)
et HG (4) et d’un anneau de levage (5). Les poids propres de toutes les barres et de l’anneau
sont négligeables. Toutes les liaisons en A, C, D, E, G et H sont des liaisons verrous. Elles sont
supposées parfaites et sans frottement. Les calculs se font dans le repère xy.
1°) Isolez l’ensemble et déterminez la valeur des composantes verticales des réactions
en A et E.
2°) Isolez les biellettes (3) et (4) et donnez la direction des actions s’exerçant à leurs
extrémités.
3°) Isolez l’anneau (5) et les deux biellettes (3) et (4). Représentez les forces
extérieures connues et inconnues s’exerçant sur ce sous-ensemble. Calculez (ou déterminer
graphiquement) les actions s’exerçant en G et D sur ce sous-ensemble.
4°) Isolez la barre (1). Représentez les forces connues et inconnues s’exerçant sur
cette barre. Calculez, la composante horizontale de la réaction en A et les composantes de
l'action en C.
5°) Le coefficient de frottement entre les barres (1) et (2) et le rail vaut 0.18. Ce
coefficient est-il suffisant pour soulever le rail ? (en supposant qu’on remplace les verrous A
et E par des contacts ponctuels).
6°) Tracez le diagramme des moments fléchissants sur la barre 1.
5000 N
50
50
5
6
H
4
3
60°
60°
D
G
1
2
80
y
c
40
A
B
25
24
IUT-LYON1-GMP-DDS
E
F
x
25
24
Page 30
TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°10
5000 N
50
50
5
6
H
4
3
60°
60°
D
G
1
2
80
y
c
40
A
B
24
25
IUT-LYON1-GMP-DDS
E
F
x
24
25
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TD-1A-S1-M1102
Ay  E y
,
HG et HD
5000 N

AX  C X  4330,13  0

 FA  FC  FD  0

2500  CY  2500  0


CA  FA  CD  FD  0 
2500  40 AX  4330,13  80  2500  50  0
4
5
H
FD=5000 N
3
5000 N 60°
FG=5000 N


 y
FC  16177,89i ; FA  11847 ,76 i  2500 j
5000 N
60°
60°
FD1/3=5000N
50
Non : tanφ1=0,21 > tanφ=0,18
FD3/1=5000 N
30°
D
1
80
16177,89 N
C
40
A
B
11847,76 N
x
φ1
24
25
IUT-LYON1-GMP-DDS
2500 N
Page 32
TD-1A-S1-M1102
Zone DC :
0< x <94,34mm

N x  174,97

 RG  Ty  4996,97

0

0

M G 
0

M z  4996,97 x

Zone CB :
94,34mm < x <141,51mm

N x  8399,25

RG  Ty  8721,85


0

0

M G 
0

M z  8721,85 x  1294233,48

Zone BA :
0 < x< 24mm

N x  11847,76

Ty  2500
 RG 

0

0

M G 
0

M z  2500 x  60000

IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
11847,76 N
-
A
D
174,97 N
C
-
B
Nx
+
8399,25 N
4996,97 N
A
-
D
C
Ty
B
+
8721,85 N
A
C
D
Mz
+
B
+ 60000 mmN
60000 mmN
471414,15 mmN
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
TRACTION-COMPRESSION
PROBLÈME N°1
P
A
 20 mm
600 mm
B
800 mm
 50 mm
Q
La barre ABC est soumise à une force Q = 150 kN et à une force
P inconnue. Sachant que E = 200 GPa, calculez la valeur de P pour
laquelle le déplacement de A est nul. Calculez alors le déplacement
de B.
N.B. On néglige l'effet de la variation brutale de la section sur
les allongements.
C
REPONSES N°1
P
N xCB  150  P
N xBA   P
A
 20 mm
LCB 
CB
x
N LCB
EACB
BA
x
N LBA
EABA
LBA 
600 mm
A  0  LCB  LBA  0
B
 50 mm
3P 8P 150  8


 0  P  26,4kN
2 25
25
800 mm
B  LCB 
 150  26,410
 800  4
 B  0,25mm
2.10    502
Q=150k
N
x
3
y
5
G
C
IUT-LYON1-GMP-DDS
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x
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°2
Un câble vertical en acier, de longueur 50m, de section droite circulaire, de module de YOUNG
E = 210 GPa, de limite élastique e = 240 MPa, de poids volumique µ est soumis à son extrémité
libre à un effort de traction P = 2000 N. Le coefficient de sécurité vaut 6. Calculez le diamètre
minimum du câble et son allongement quand:
a) µ = 0
b) µ = 7.8 104 N/m3
REPONSES N°2
a) µ = 0
N xBA   P
 xx 
Nx e

A 
L 
N x L 2000  50 103  4

 L  9,5mm
EA
210 103    82
 d
4 P
 e
b) µ = 7.8 104 N/m3
L=50m
N xBA  P  p x   P  Ax  N xmax  P  AL
 xx 
e

 d
4P
e

 L 


A
 d  8mm
 d  8,4mm

x
y
G
x
B
 xx 
 xx
dx  
2
E
dx   L  L  P  x dx  PL  L  9,05mm
0  AE E  AE 2 E
P  Ax 


A

 xx
P=2000N

IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N° 3
10
r=12
P
90
10
P
60
Calculez la contrainte maximum pour P = 36 kN
400 mm
300
REPONSES N°3
K trou 
K epaul t
r
5

 0,0625 K trou  2,65
d 80
 D 90
 1,5
 
  d 60
r 12
 
 0,2
 d 60
K epaul t  1,75
 max i  K nom
trou
 max
i  2,65
epaul
 max
i
t
36000
 119MPa
10  80
36000
 1,75
 105MPa
10  60
10
σnom
P
r=12
σnom
90
10
σmaxi
60
σmaxi
 max i  119MPa
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°4
1.5 m
90 kN
A
B
2
1

0.8 m
C
Toutes les liaisons sont des liaisons verrous. Les
aires des sections droites de AB et BC valent
respectivement 500 mm² et 750 mm². Le module
de YOUNG vaut 200 GPa.
1°) Déterminez la grandeur et la direction du
déplacement du point B quand  = 30°
2°) Déterminez la valeur de  pour que la direction du déplacement du point B soit de 45°. Quelle
est alors la valeur du déplacement du point B ?
REPONSES N°4
LBA 
N xBA LBA
EABA
LCB 
N xCB LCB
EACB
1.5 m
90 kN
A
B
2
1
77,94.10  1500
LBA 
 1,17mm
200.103  500
3

0.8 m
C
A
LBC
B
45.10  800

 0,24mm
200.103  750
3
77,94 kN
1
45 kN
B
BB  1,19mm
B’
0,24mm
11,6°
B 1,17mm
2
C
LBA 
P cosLBA
P sin LCB
 LCB 
EABA
EACB
tan  
LBA ACB
   7043
LCB ABA
BB  2LBA  2
IUT-LYON1-GMP-DDS
90.103 cos 7043 1500
 0,64mm
200.103  500
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°5
600 mm
800 mm
j
150 kN
C
Calculez la valeur des
réactions en A et C
sachant que E = 200 GPa et
que :
a) j=0
b) j=0.4 mm.
x
B
A
 20 mm
 50 mm
REPONSES N°5
a) j=0
XA
150 kN
150 kN
XC
C
B
A
B
A
P
C
Système Isostatique équivalant
pour un déplacement nul de la section C
(cf. Problème 1)
Système Hyperstatique de degré 1
PFS :  150kN  X C  X A  0  Problème hyperstatique (1 équation et 2 inconnues, X A et X C )
On cherche une équation supplémentaire en déformation, que l'on transformera en équation en réaction.
Equation supplémentaire en déformation : LAC  0 (1)
Or
L  N / S
N .L 

 
 L 
 

L
E
E
S .E 

N .L
N .L
 LAB  LBC  AB AB  BC BC  0
S AB .E AB S BC .EBC
LAC  LAB  LBC 
D ' où (1)  LAC
On sait que : E AB  EBC
Torseurs de section : N AB
et
et
S AB 
 .502
4
 150kN  X C
, S BC 
et
 .202
4
N BC  X C
donc (1)  N AB .
L
LAB
 N BC . BC  0 (2)
25
4
Finalement : (2)  4.N AB .LAB  25.N BC .LBC  0  4.  150kN  X C  .800  25. X C .600  0
 18200. X C  4.150kN .800
4.800
 26, 4kN
18200
A partir du PFS :  150kN  X C  X A  0  X A  150kN  X C  123.6kN
Donc :
IUT-LYON1-GMP-DDS
X C  150kN .
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°6
Une barre indéformable EADBC (4) est suspendue par 3 fils identiques (même section et même
matériau). Les six liaisons en A, B, C, A’, B’ et C’ sont des articulations planes, la liaison en E une
liaison ponctuelle.
1°) Montrez que le système est
L
L
hyperstatique (préciser le nombre
d'inconnues et le nombre d'équations).
B’
Écrire les équations d'équilibre du
C’
A’
solide 4 en A.
1
E
2
A
4
P
x
2°) Les fils sont tendus. Écrivez une
C équation de déformation et déterminez
les tensions F1, F2 et F3 dans chaque fil
en fonction de P.
B
D
2L/3
y
3
REPONSES N°6
FA’
Y
L
L
FA1/4
FE
E
FB2/4
A
∆A
D
B
A’
4
1
FC3/4
C
X
l
∆B
2L/3
∆C
P
A
FA4/1
Détermination de l’hyperstaticité du mécanisme :


Inconnues : 4
- 3 efforts de traction dans les 3 fils F1, F2 et F3
- 1 inconnue de réaction en E notée FE (liaison ponctuelle de direction x)
Equations d’équilibre de la barre n°4: 3 équations dans le plan.
H = i-3n = 4 – 3 = 1 => Hyperstatique de degré 1
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 40
TD-1A-S1-M1102
Equations d’équilibre de la barre 4 :
1
2
 EX  0

 F1  F2  F3  P  0


 



 2 PL
 3  F2 L  2 F3 L  0

 FE  FA  FB  FC  FD  0
1/ 4
2/4
3/ 4

TExt / A 
 AD  FD  AB  FB2 / 4  AC  FC3 / 4  0
3
Equations de déformation des fils en traction :
Notons  la longueur initiale de chaque fil.
Loi de Hooke appliquée à chaque fil :  xx  E xx
 l 
Soit A, B et C les allongements respectifs des 3 fils.
Equation supplémentaire : barre EADBC indéformable
2B  A  C  0

N xl
EA
B  A C  A

L
2L
2 F2  F1  F3  0



Système de 3 équations (1) (3) (2) à 3 inconnues F1, F2 et F3 



3
F1  F2  F3  P
 F1  2 F2  F3  0
2P
 F2  2 F3 
3
P
2
P
Après résolution de ce système on trouve : F2 
3
P
F3 
6
F1 
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 41
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°7
Une tige homogène et isotrope de 500 mm de long, de diamètre 16 mm s'allonge de 568 µm
pendant que son diamètre diminue de 5.3 µm sous un effort de traction de 48 kN. Calculez
lemodule de YOUNG et le coefficient de POISSON du marériau. Quel est ce matériau ?
REPONSES N°7
N
48000  4
 xx  x 
A
  162
 xx 
x
L

y
568 106
0,5
L=500mm
z
d=16mm
δy=-5,3μm
 xx  E xx  E  210152MPa
 yy 
y
d

δx=568μm
 5,3  106
16  10 3
 yy   zz   xx
δy=-5,3μm
48kN
x
   0,29
Voir Annexe 4
PROBLÈME N°8
Deux tronçons de poutre de section droite
70x110 sont assemblés par collage. La
contrainte de cisaillement limite de la colle
vaut 0.5 MPa. Calculer la force maximum P que
l' on peut appliquer.
110
70
20°
P
REPONSES N°8
110
20°
70
P
Aire=70*110/cos70°
P
   lim  P  11979N
IUT-LYON1-GMP-DDS
20°
P
70°
Τ
P
Τ
Τ
Τ
Τ=Psin70°cos70°/70*110
Psin70°
P
Pcos70°
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°9
P=10kN
Les deux tronçons de poutre A et B sont assemblés par collage. Les
contraintes normale et de cisaillement limites de la colle valent
respectivement 17 et 9 MPa.
A
a) Calculer les limites supérieure et inférieure de  pour que
le coefficient de sécurité vale 3.
b) Calculer la valeur de  qui donne un coefficient de sécurité
maximum. Quel est alors la valeur de ce coefficient ?
θ°
B°
50
30
REPONSES N°9
 
P=10kN
P
P  1  cos 2 
cos 2   

A
A
2

17 1500
 1  cos 2 
104 

2


cos 2  0,7    22,8
   lim  3 
 
A
P
P
sin  cos  
sin 2
A
2A
   lim  3 
θ°
9  2  1500
104 sin 2
B°
sin 2  0,9    32
50
30
22,8    32

 lim
P
cos 2 
A

 lim
P
sin  cos
A
IUT-LYON1-GMP-DDS
 tan  
9
17
   279    3,26
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°10
σ
α
2
σ
1
Avant chargement on trace une droite de
pente 2 sur une éprouvette. Calculer la
pente de cette droite quand  = 130 MPa,
E = 70 GPa et  = 0.33.
REPONSES N°10
tan   2
x 
x
E
 1857
21   x 
tan   
 1,995
1  x
IUT-LYON1-GMP-DDS
σ
2
α
1
α’
2(1+εy)
σ
1+εx
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°11
P
Plaque rigide
Acier
Aluminium
200 mm
Une force P = 385 kN est appliquée sur un bloc
composite. Les modules de YOUNG de l'acier et
de l'aluminium valent respectivement 200 GPa et
70 GPa. Calculez les contraintes de compression
dans l'acier et l'aluminium.
50 mm
20 mm
30 mm
20 mm
REPONSES N°11
La plaque rigide implique que chaque bloc subit la même variation de longueur.
P
Plaque rigide
Acier
∆Lacier
Pacier
Palu
∆Lalu
Aluminium
200 mm
50 mm
20 mm
30 mm
20 mm
Lalu  Lacier

Palu  200
Pacier  200
7

 Palu  Pacier
3
3
70.10  2000 200.10 1500
15
 P  Palu  Pacier

P  7 P
 alu 15 acier

Palu  122,5kN
Pacier  262,5kN
 122,5.103
 alu 
 61,25MPa
2000
 262,5.103
 acier 
 175MPa
2000
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°12
La structure ci-dessus est composée de trois tronçons à section carrée. Les liaisons en A et D
sont des encastrements.
RA
1010 mm
2020 mm
4040 mm
FC
FB
A
B
400 mm
C
200 mm
RD
D
100 mm
On envisage deux cas de charge :
Cas 1 :
FB = 56 kN et FC = 28 kN
Cas 2 :
FB = FC = 0  = 50°C sur le tronçon BC.
Pour les deux cas :
1°) Montrez que le système est hyperstatique (précisez le nombre d'inconnues et le
nombre d'équations). Écrivez l’équation d'équilibre suivant x.
2°) Que valent les efforts normaux Nx dans les trois tronçons AB, BC et CD ? Écrivez
une équation de déformation et calculez la valeur numérique des réactions RA et RD (en kN).
3°) Calculez les déplacements des sections B et C (en mm).
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°12
Cas 1 :
FB = 56 kN et FC = 28 kN
2020 mm
4040 mm
1010 mm
RA
G
RD
x
28 kN
56 kN
A
B
400 mm
C
200 mm
D
x
100 mm
1°) Une seule équation d’équilibre pour calculer les deux inconnues RA et RD.
RA + RD = 28
2°)
NxAB  RA
NxBC  RA  56
NxCD  RA  28
LABCD  LAB  LBC  LCD  0
NxAB LAB NxBC LBC NxCD LCD


0
EAAB
EABC
EACD
 400RA 200( RA  56) 100( RA  28)


0
1600
400
100
 RA ( RA  56)

 ( RA  28)  0
4
2
7RA  224
RA  32kN
LAB
RD  4kN
NxAB LAB  32000  400


 0.038mm
EAAB
210000  1600
uB  0.038mm
NxCD LCD
 4000  100

 0.019mm
EACD
210000  100
uC  0.019mm
LCD 
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
Cas 2 :
FB = FC = 0  = 50°C sur le tronçon BC.
2020 mm
4040 mm
1010 mm
RA
G
RD
x
A
50°C
B
400 mm
200 mm
C
D
x
100 mm
1°) Une seule équation d’équilibre pour calculer les deux inconnues RA et RD.
RA + RD = 0
2°)
NxAB  NxBC  NxCD  RA
LABCD  LAB  LBC  LCD  0
NxCD LCD
N BC L
NxAB LAB
 ( x BC  Ltherm
)

0
BC
EAAB
EABC
EACD
Ltherm
 LBC
BC
 400RA
200  RA
100  RA

 1.3  10 5  50  200 
0
210000  1600 210000  400
210000  100
RA RA

 RA  27300
4
2
4
RA   27300
7
RA  15.6kN RD  15.6kN
LAB
NxAB LAB
 15600  400


 0.018mm
EAAB
210000  1600
LCD 
NxCD LCD  15600  100

 0.074mm
EACD
210000  100
IUT-LYON1-GMP-DDS
uB  0.018mm
uC  0.074mm
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°13
D
1000 N
1000 N
C
1°) Calculez les réactions en A et B.
2°) Déterminez les efforts de traction
et de compression dans les barres du
treillis par la méthode de RITTER
1m
y
x
A
B
1m
REPONSES N°13
F4
C2
Ry=0  F2=0
Rx=0  F1=0
MA=0  F3=0
Ry=0  F4=-1000
A
y
x
1000
IUT-LYON1-GMP-DDS
Barres
AB et CD
AD et BC
AC
Nx (N)
0
-1000
0
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TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°14
1°) Quel est le degré d'hyperstaticité du treillis ?
2°) Déterminez les expressions des efforts de traction et de compression dans les barres du
treillis en fonction de A et A'.
3°) Calculez numériquement ces efforts quand :
a)A=A'.
b) A=2A'.
Conclusion?
1000 N
D
Aire A
1000 N
Aire A
Aire A'
y
x
A
Aire A
C
Aire A
1m
B
1m
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 50
TD-1A-S1-M1102
REPONSES N°14
1°) Le treillis est hyperstatique interne de degré 1 car b+3 > 2n (b=6 et n=4).
1000 N
1000 N
Aire A
Aire A'
Aire A
Aire A
1 m
y
A
Aire A
x
1000 N
1000 N
1 m
2°) Calcul des efforts dans les barres :
- Equations d'équilibre du nœud A
F3
F2
2 =0
Rx=0  F1 +F2
2
Ry=0  1000+F3+ F2
(1)
y
2 =0
2
(2)
y
x
A
F1
1000 N
IUT-LYON1-GMP-DDS
Page 51
TD-1A-S1-M1102
- Equations de déformation : Etant donné la symétrie du système, celui-ci se déforme de la façon
suivante :
L3+L3
L2+L2
A
L1+L1
(L1  L1 ) 2  (L3  L3 ) 2  (L2  L2 ) 2
En négligeant les  L2i et compte tenu que L1 = L3=L et que L2 = L
2L2  L1  L3 avec L 
2
F2 L 2 F1L F3L


EA EA
EA'
2 on trouve :
Nx L
EA
2F2
d’où
A
 F1  F3
A'
(3)
nous avons donc trois équations :
2
=0
2
(1)
1000+F3+ F2
2
=0 (2)
2
F1 +F2
2F2
La résolution donne :
A
 F1  F3
A'
(3)
1000
A
2  2
A'
1000
2
2
F1  
 F2
A
2
2
2  2
A'
F2  
F3  
IUT-LYON1-GMP-DDS
1000
2
 1000  F1  1000
A
2
2  2
A'
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TD-1A-S1-M1102
3°)
Barres
AB et CD (F1)
AD et BC (F3)
AC et BD (F2)
Nx en N pour
A=A'
207.1
-792.9
-292.9
130.6
-869.4
-184.7
Nx en N pour
A=2A'
Conclusion : dans un treillis hyperstatique interne les efforts de traction et de compression dans
les barres dépendent de la grandeur de la section des barres.
IUT-LYON1-GMP-DDS
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TD-1A-S1-M1102
CISAILLEMENT
PROBLÈME N°1
Un
est
bloc rectangulaire de module de COULOMB 600 MPa
collé entre deux plaques rigides. La plaque
supérieure se déplace de 0.8 mm sous l'action d'une
force P, pendant que la plaque inférieure reste
immobile.
Calculer :
a) La contrainte de cisaillement moyenne dans le bloc.
b) La valeur de la force P.
REPONSES N°1
50mm
160mm
y
D
0,8mm
γxy
40mm
F
A
P
 xy  tan  xy 
E
x
C
B
z
0,8
 0,02
40
 xy  G xy  600  0,02  12 MPa
IUT-LYON1-GMP-DDS
P   xy A  12  160  50  96000 N  96 kN
Page 54
P
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°2
moy
L'axe C est en acier de limite élastique au cisaillement  e =
350 MPa. Calculer le diamètre de l'axe C pour que le coefficient
de sécurité soit égal à 3.3.
REPONSES N°2
y
F2
B
P
Fc
dc
50kN
Fc
0,6m
F1
15kN
x
C
0,3m
E
0,3m
D
  P  CX  0

40kN
FB  FC  FE  FD  0

FC


65kN
CY  50  15  0

CB  F  CE  F  CD  F  0 50  0,3  15  0,6  P  0,6  0
P  40kN
B
E
D


 moy
3,3

350
 106,1MPa
3,3
dC2
76,32.103

4
2 106,1
IUT-LYON1-GMP-DDS
FC  402  652  76,32kN
F1  F2 
FC
2
4  76,32.103
 dC 
 21,4mm
  2 106,1
Page 55
TD-1A-S1-M1102
PROBLÈME N°3
La barre BCD est supposée infiniment rigide. Le diamètre
des axes B et D est égal à 8 mm, celui de l'axe C égal à 12
mm. Les axes sont en acier de limite élastique au
cisaillement 300 MPa. Le coefficient de sécurité global
doit être de 3.
Calculer la force verticale P maximum exercée par le vérin
hydraulique C.
P
REPONSES N°3
D=12mm
C
d=8mm
d=8mm
B
D
150mm
200mm
 M /t D  0  FC  200  FB  350  0  FC  1,75FB
 t
M / B  0  150  FC  350  FD  0  FC  2,33FD

 moy 300

 100MPa

3
En B :
FB
100  2    82
   A  FB 
 10053N
2
4
En C :
FC
100  2    122
   A  FC 
 22619 N
2
4

FC  1,75FB  17593N
FC  2,33FD  23424N
PMax  17593N
IUT-LYON1-GMP-DDS
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