Espérance et variance d`une variable aléatoire

Chapitre 11
Espérance et variance d’une
variable aléatoire continue
Renaud Bourlès - École Centrale Marseille
Mathématiques pour la finance
Espérance d’une variable continue
Rappel : Dans le cas d’une variable discrète, l’espérance est
définie par
n
X
E(X ) =
X (ωi )P(ωi )
i=1
Ce concept peut être étendu au cas de variables continues
Definition
Soit X une vabiable aléatoire continue de densité f .
L’espérance de X est alors définie par l’intégrale
Z +∞
µ = E(X ) =
xf (x)dx
−∞
Z
+∞
|x|f (x)dx < +∞
Remarque E(X ) existe si
−∞
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Variance d’une variable continue
En utilisant le fait que,
Théorème
Si X est une v.a. continue et φ : R → R, alors
Z +∞
E(φ(X )) =
φ(x)f (x)dx
−∞
si cette intégrale existe
on a ensuite comme dans le cas discrêt :
Definition
σ 2 = Var(X ) = E (X − µ)2 = E(X 2 ) − [E(X )]2
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Le cas de la distribution uniforme
Si X ∼ U(a, b) alors :
Z +∞
Z
E(X ) =
xf (x)dx =
−∞
2
=
E X2
=
Var(X ) =
=
=
b
a
2 b
1
1
x
x
dx =
b−a
b−a 2 a
2
b −a
a+b
=
le centre de [a,b]
2(b − a)
2
Z b
b 3 − a3
b 2 + ab + a2
1
x 2 dx =
=
b−a a
3(b − a)
3
2
2
2
a + ab + b
(a + b)
−
3
4
4(a2 + ab + b 2 ) − 3(a2 + 2ab + b 2 )
12
a2 − 2ab + b 2
(b − a)2
=
12
12
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Le cas de la distribution normale
Si X ∼ N (µ, σ)
1
E(X ) = √
2πσ 2
Z
+∞
xe −
(x−µ)2
2σ 2
dx
−∞
En notant y ≡ x − µ, on obtient
Z +∞
Z +∞
2
y2
1
µ
− y2
E(X ) = √
y e 2σ dy + √
e − 2σ2 dy
2πσ 2 −∞
2πσ 2 −∞
Z +∞
y2
1
√
Or, par définition de la densité
e − 2σ2 dy = 1
2πσ 2 −∞
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y2
Par
ailleurs, y e − 2σ2 étant une fonction impaire :
Z +∞
y2
y e − 2σ2 dy = 0
−∞
Ainsi,
Théorème
Si X ∼ N (µ, σ), alors E(X ) = µ
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Afin de calculer la variance d’une distribution normale, il est
utile d’utiliser la fonction génératrice des moments.
Definition
La fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire
X s’écrit MX (t) = E(e tX )
En posant t = 0, elle nous permet de générer tout les
moments de la variable X :
0
0
MX (t) = E Xe tX ⇒ MX (0) = E(X )
00
00
MX (t) = E X 2 e tX ⇒ MX (0) = E(X 2 )
...
⇒
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(n)
MX (0) = E(X n )
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Dans le cas de la distribution normale :
Z +∞
Z +∞
tx
MX (t) =
e fX (x)dx =
e tx fX (x)dx
−∞
−∞
Z +∞
Z +∞
(x−µ)2
(x−µ)2
1
1
√
e − 2σ2 dx =
e − 2σ2 +tx dx
=
e tx √
2πσ 2
2πσ 2
−∞
−∞
h
i
(x−µ)2
1
2
2
Or,− 2σ2 + tx = − 2σ2 (x − µ) − 2σ tx =
h
i
− 2σ1 2 x 2 − 2(µ + σ 2 t)x + µ2 =
h
i
− 2σ1 2 x 2 − 2(µ + σ 2 t)x + (µ + σ 2 t)2 − (µ + σ 2 t)2 + µ2 =
2
2
[x−(µ+σ2 t )]
[x−(µ+σ2 t )]
σ 4 t 2 +2µσ 2 t
σ2 t 2
−
+
=−
+ µt + 2
2σ 2
2σ 2
2σ 2
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Ainsi, MX (t) = e
2 2
µt+ σ 2t
Z
+∞
√
−∞
1
−
[x−(µ+σ2 t )]
1
2πσ 2
2
e
−
[x−(µ+σ2 t )]
2σ 2
2
Or, √
e
dx est la densité de N (µ + σ 2 t, σ).
2
2πσ
2
Z +∞
[x−(µ+σ2 t )]
1
−
2σ 2
√
Donc
e
=1
2πσ 2
−∞
2σ 2
Et MX (t) = e µt+
σ2 t 2
2
σ2 t 2
0
Alors MX (t) = e µt+ 2 (µ + σ 2 t).
0
On retrouve donc E(X ) = MX (0) = µ
00
σ2 t 2
Par ailleurs, MX (t) = e µt+ 2 [(µ + σ 2 t)2 + σ 2 ]
00
Donc E(X 2 ) = MX (0) = µ2 + σ 2
Ainsi Var(X ) = E(X 2 ) − [E(X )]2 = σ 2
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Donc la signification des paramètre de la loi N (µ, σ) est la
suivante :
µ est la moyenne de X
σ est l’écart-type de X
Definition
Une variable X ∼ N (0, 1) est appelée variable normale (ou
gaussienne) centrée-réduite (en anglais ”standard normal”)
x2
1
Dans ce cas, f (x) = √ e − 2 .
2π
Et la fonction de distribution s’écrit :
Z x
y2
1
√ e − 2 dy
Φ(x) =
2π
−∞
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On ne peut pas calculer cette intégrale explicitement mais on
peut le faire numériquement avec une précision arbitraire.
Cette fonction Φ(x) est implémentée dans les routines
standards des logiciels mathématiques (Mathlab, VBA,...). En
ce sens, elle n’est pas plus compliquée que sin(x)
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Cette distribution est primordiale car elle permet de retrouver
n’importe quelle distribution normale
Théorème
Si X ∼ N (µ, σ) alors Y ≡
X −µ
σ
∼ N (0, 1)
Démonstration :
FY (x) = P(Y ≤ x) = P( X σ−µ ≤ x) = P(X ≤ σx + µ) =
FX (σx + µ)
0
0
fY (x) = FY (x) = σFX (σx + µ) = σfx (σx + µ)
((σx+u)−µ)2
x2
1
1
= σ√
e − 2σ2
= √ e− 2
2π
2πσ 2
⇒ Y ∼ N (0, 1)
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Corollaire
La fonction de distribution de N (µ, σ) peut être exprimée de
la manière suivante
x −µ
F(µ,σ) (x) = Φ
σ
Par conséquent, il suffit de connaı̂tre (savoir calculer) la
fonction de distribution de N (0, 1) pour pouvoir calculer
Fµ,σ (x) ∀µ, σ.
La relation correspondante pour les densités est :
1
x −µ
f(µ,σ) = f(0,1)
σ
σ
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