Corrigé Devoir maison seconde 4 Devoir maison seconde 4

M COIPEAU
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Corrigé Devoir maison seconde 4 « Fonction et géométrie »
Petit problème
ABCD est un rectangle ( AB=5 et BC=4 ).
Un point M partant de A, parcourt le rectangle dans le sens ABCDA.
On pose x = AM.
On appellera f(x) l’aire de la surface balayée par [AM].
1) On suppose que M se situe sur le segment [AB ] .
D
A
C
M
B
a) M є [AB] , avec AB = 5 donc x ≤5 et comme x représente une distance alors x > 0
soit 0 < x ≤ 5.
b) donner l’expression de f(x) en fonction de x .
L’aire ici est un rectangle donc f(x) = AM × AD soit f(x) = 4x
2) On suppose maintenant que M se situe sur le segment [BC ] .
D
C
M
A
B
a) donner un encadrement de x.
M є [BC] , donc AB < AM ≤ AC
Il faut calculer AC, or d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B donc:
AC² = AB² + BC²
= 5² + 4²
AC² = 41 donc AC = 41
Ainsi
5 < x ≤ 41
b) la nature de la surface balayée ( et hachurée ) est un triangle rectangle
et on sait que
« l’aire est égale à la moitié du produit des côtés de l’angle droit »
1) exprimer la distance BM en fonction de x.
AM = x et AB = 5
d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABM est rectangle en B donc:
AM² = AB² + BM²
x² = 5² + BM² soit BM² = x² - 25 donc BM = x ² − 25
M COIPEAU
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2) donner l’expression de f(x) en fonction de x.
Aire =
AB × BM
5 × x ² − 25
=
2
2
soit f(x ) =
5 × x ² − 25
2
3) On suppose que M se situe sur le segment [CD ] .
D
M
A
C
B
a) donner un encadrement de x.
M є [DC] , donc AD < AM ≤ AC
Ainsi
4 < x ≤ 41
b) donner l’expression de f(x) en fonction de x.
comme au 2) b) 1) on calcule DM et on trouve DM = x ² − 16
comme au 2 )
Aire de ADM=
AD × DM
4 × x ² − 16
=
2
2
f(x) = 2 x ² − 16
c) Pour quelle( s) valeur ( s) de x, l’aire balayée vaut-elle 8 ?
posons donc :
f(x) = 8
soit 2 x ² − 16 = 8
x ² − 16 = 4
ou aussi
x ² − 16 = 16
ainsi x² - 16 = 16
x² = 32 donc x = 32 ou x = - 32
mais x est positif donc x = 32
( on a bien aussi x < 41 ici )
4)a) Quelle est la nature de la figure blanche au 3 ) ?
ABCM est un trapèze rectangle, car c’est un quadrilatère ayant seulement deux côtés opposés parallèles
de longueurs différentes et un angle droit en B.
hauteur × ( petitebase + grandebase )
2
AD × ( AB + CM )
aire de ABCM =
2
4 × (5 + 5 − x ² − 16 )
=
= 20 − 2 x ² − 16 )
2
ou bien aire ABCM = aire ABCD – aire de ADM = 4 ×5 - 2 x ² − 16 !
b) aire d’un trapèze : =
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