Corrigé brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des

Corrigé brevet de technicien supérieur
Comptabilité et gestion des organisations session 2006
Exercice 1
11 points
A. Ajustement affine
1. tableau à 10−3 .
Rang de l’année : ti
y i = ln p i
0
1,609
5
1,723
10
15
20
1,808
1,917
2,028
✄
¡
¢
2. à la calculatrice, coefficient de corrélation linéaire de la série ti , y i à 10−3 : r ≃ 0, 999
✂
25
2,128
✁
3. à la calculatrice,
de la droite de régression de y en t sous la forme y = at + b, où a et b sont à arrondis
✞ une équation ☎
à 10−3 est : y = 0, 021t + 1, 61
✝
✆
4. expression de p en fonction de t de la forme p = αek t où la constante α est arrondie à 10−1 et la constante k est
arrondie à 10−2 .
½
✞
☎
y = 0, 021t + 1, 61
5 × e 0,02t ✆
=⇒ lnp = 0, 021t + 1, 61 =⇒ p = e 0,021t +1,61 = e 0,02t × e 1,61 = ✝
y = lnp
✄
✂
5. estimation de l’effectif de la population l’année de rang 35 arrondi à 10−1 : p = 5 × e 0,02×35 ≃ 10, 1
B. Étude d’une fonction
✁
1. étude des variations de f définie pour tout t de [−25 ; 35] par f (t ) = 5e0,02t
✞
✝
a. f ′ (t ) = 5 × 0, 02e 0,02t = 0, 1e 0,02t
b.
½
✆
✞
0, 1 > 0
e 0,02t > 0 en tant qu’exponentiel
t
c.
☎
−25
f (t )
5e −0,5 ≃ 3, 03
ր
☎ ✞
✝
✆ ✝
=⇒ f ′ (t ) > 0 sur [−25 ; 35] =⇒ f est strictement croissante sur [−25 ; 35]
35
5e 0,7 ≃ 10, 1
2. courbe C
t
f (t )
-25
3
-20
3,3
-10
4,1
0
5
10
6,1
20
7,5
30
9,1
35
10,1
y
10
9
8
7
C
6
5
4
3
2
1
x
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
☎
✆
¡
¢
3. a. valeur moyenne de f sur [0 ; 25] est Vm = 10 e0,5 − 1

f (t ) = 5e0,02t


Z25

1
f (t )d t où
Vm =
1 0,02t

25 − 0 0

 F (t ) = 5 ×
e
= 250e 0,02t
0, 02
1
Vm =
[F (25) − F (0)]
25
1
[250 × e 0,02×25 − 250 × e 0,02×0 ]
Vm =
25
1
Vm =
[250 × e 0,5 − 250]
25
Vm = 10e 0,5 − 10
✞
✝
Vm = 10(e 0,5 − 1)
☎
✆
b. valeur approchée arrondie à 10−1 :
4. f (t ) = 5e0,02t .
☎
✞
✝Vm ≃ 6, 5 ✆
✞
✝
a. effectif, en millions d’habitants, de la population l’année de rang 28 arrondi à 10−1 : f (28) ≃ 8, 8
b. Interprétation, à l’aide d’une phrase, du résultat obtenu au 3. b.
✞
✝
☎
✆
La valeur moyenne de la population de la ville A sur la période considérée de 25 ans est de ≃ 6, 5 millions
c. rang de l’année au cours de laquelle l’effectif de la population dépassera 9 millions d’habitants.
Il suffit de résoudre l’inéquation suivante :
f (t ) > 9
⇐⇒ 5e0,02t > 9
⇐⇒ e0,02t >
9
5
9
⇐⇒ 0, 02t > ln( )
5
9
ln( )
5
⇐⇒ t >
0, 02
⇐⇒ t > 29, 38
Soit
✞
✝
au cours de l’année de rang 29
☎
✆
ce qui est cohérent avec le résultat graphique.
☎
✆
Exercice 2
9 points
Une entreprise fabrique en grande quantité un certain type de pièces pour de l’équipement informatique.
A. Probabilités conditionnelles
☎✞
☎
☎ ✞
☎
✞
P (B) = 0, 6 P A (D) = 0, 05 et P B (D) = 0, 02
✆✝
✆
✝
✆ ✝
✆
✄
2. a. P (A ∩ D) = P (A) × P A (D) = 0, 4 × 0, 05 = 0, 02
✂
✁
✄
P (B ∩ D) = P (B) × P B (D) = 0, 6 × 0, 02 = 0, 012
✂
✁
✞
✝
1. P (A) = 0, 4
✄
✂
b. P (D) = P (A ∩ D) + P (B ∩ D) = 0, 02 + 0, 012 = 0, 032
c. P D (A) =
✄
0, 02
P (A ∩ D)
=
≃ 0, 625
✁
p(D)
0, 032 ✂
B. Loi binomiale
✁
✛

✘
✚
✙
il y a 10 tirages



les tirages sont indépendants
½
1. X suit une loi binomiale B(10; 0, 03) car

succès : 0,03

 pour chaque tirage, il n’y a que deux issues possibles
échec : 0,97
✄
✂
0
2. P (X = 0) = C 10
× 0, 030 × 0, 9710 ≃ 0, 737
−3
✁ à 10 .
3. probabilité qu’au plus deux pièces soient défectueuses arrondi à 10−3 :
✄
✂
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) ≃ 0, 737 + 0, 228 + 0, 032 ≃ 0, 997
✁
C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
✞
☎
✄
✞
1. E (Y ) = np = 0, 032 × 500 = ✂16 ✁ et σ(Y ) =
✝
✆
✝
☎p
✄
p
np(1 − p) = 500 × 0, 032 × 0, 968 ≃ 3, 9
✆
2. P (12, 5 6 Z 6 19, 5) arrondi à 10−2 :
P (12, 5 6 Z 6 19, 5) = P (
12, 5 − 16
Z − 16 19, 5 − 16
6
6
)
3, 9
3, 9
3, 9
P (12, 5 6 Z 6 19, 5) = P (−0, 9 6 Z 1 6 0, 9)
où Z 1 suit une loi N (0; 1)
P (12, 5 6 Z 6 19, 5) = Π(0, 9) − Π(−0, 9)
P (12, 5 6 Z 6 19, 5) = Π(0, 9) − (1 − Π(0, 9))
✄
✂
P (12, 5 6 Z 6 19, 5) ≃ 2 × 0, 8159 − 1 ≃ 0, 63
✁
✂
✁