equations differentielles

EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Lorsque l’on modélise des phénomènes physiques, on obtient souvent des équations qui contiennent une
fonction y que l’on cherche à déterminer, ainsi que certaines de ses dérivées. Une telle équation s’appelle
une équation différentielle. Si l’équation contient la dérivée y (n) et pas de dérivée d’ordre supérieur,
on dit que l’équation différentielle est d’ordre n.
Par exemple, soit g définie sur R par g(x) = ex , l’équation différentielle
y ′ + gy = g 2 ,
est une équation différentielle du premier ordre.
Remarque. Pour alléger les notations, on écrira plutôt l’équation différentielle précédente sous la forme
y ′ + ex y = e2x ,
mais c’est un abus de notation, car y est une fonction qui dépend aussi de la variable x.
Résoudre cette équation différentielle sur un intervalle I ouvert non vide, c’est trouver toutes les fonctions
y définies (et dérivables) sur I telles que, pour tout x dans I
y ′ (x) + ex y(x) = e2x .
En général on ne donne pas a priori l’intervalle I et en cours de résolution peuvent apparaı̂tre des valeurs
de x qu’il faudra éliminer. Si par exemple on ne peut avoir x = 0, il faudra étudier les solutions sur les
deux intervalles ] 0, +∞ [ et ] −∞, 0 [ .
Sans autre condition, l’ensemble des solutions sur un intervalle I donné dépend d’un certain nombre de
constantes : si l’équation différentielle est d’ordre n il y a en général n constantes.
Mais dans la modélisation des phénomènes physiques, la fonction y est soumise à des conditions supplémentaires (par exemple pour un phénomène dépendant du temps, la situation au début de l’expérience)
ces conditions sont appelées conditions initiales. Résoudre une équation différentielle avec conditions
initiales c’est trouver les solutions de l’équation différentielle vérifiant de plus les conditions initiales. Pour
une équation d’ordre n, il faut en général n conditions initiales pour avoir une solution unique.
I. Equations différentielles linéaires : généralités
Nous nous intéresserons dans ce cours à une classe particulière d’équations différentielles que l’on appelle
équations différentielles linéaires. Ce sont des équations de la forme
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = g ,
où a0 , a1 , . . . , an , g sont des fonctions définies sur un même intervalle.
(Dans la pratique ces fonctions a0 , a1 , . . . , an , g sont construites à partir des fonctions usuelles et seront
dérivables et nous n’introduirons pas de discussion plus générale sur la nature de ces fonctions).
De telles équations possèdent un certain nombre de propriétés générales (qui s’interpréterons plus tard
dans le cadre des espaces vectoriels).
Dans ce paragraphe I nous supposons a0 , a1 , . . . , an fixés et nous noterons E(g) l’équation
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = g ,
1
de second membre g.
A une telle équation on associe l’équation dite homogène ou sans second membre E(0)
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0 .
On a alors le principe suivant :
Principe de superposition des solutions
Si y1 et y2 sont solutions respectives des équations E(g1 ) et E(g2 ) alors y1 + y2 est solution de
E(g1 + g2 ), et si λ est un nombre réel, E(λy1 ) est solution de E(λg1 ).
Démonstration.
Si l’on a
et
(n−1)
+ · · · + a1 y1′ + a0 y1 = g1 ,
(n−1)
+ · · · + a1 y2′ + a0 y2 = g2 ,
(n)
+ an−1 y1
(n)
+ an−1 y2
a n y1
a n y2
(k)
alors en sommant, on obtient, puisque (y1 + y2 )(k) = y1
(k)
+ y2 , la relation
an (y1 + y2 )(n) + an−1 (y1 + y2 )(n−1) + · · · + a1 (y1 + y2 )′ + a0 (y1 + y2 ) = g1 + g2 .
De même en multipliant par λ
an (λy1 )(n) + an−1 (λy1 )(n−1) + · · · + a1 (λy1 )′ + a0 (λy1 ) = λg1 ,
Remarque. Dans les conditions ci-dessus, il en résulte aussi que si µ est un autre nombre réel, la fonction
λy1 + µy2 est alors solution de l’équation E(λg1 + µg2 ).
Si l’on applique ce principe avec g1 = g2 = 0 alors les solutions restent dans E(0), et l’on obtient alors :
Théorème. Si y1 et y2 sont deux solutions de l’équation E(0) définies sur le même intervalle I, et λ
un nombre réel, alors y1 + y2 et λy1 sont des solutions de l’équation E(0).
On en déduit également le théorème suivant qui relie les solutions des équations E(g) et E(0) :
Théorème. On obtient toutes les solutions de l’équation E(g) sur un intervalle I, en ajoutant à une
solution particulière de l’équation avec second membre E(g) une solution quelconque de l’équation
sans second membre E(0).
Démonstration.
En effet, si y1 , et y2 sont solutions de E(g) la différence y1 − y2 est solution
de E(g − g) = E(0), et inversement si y0 est une solution de E(g), et si u est une solution de E(0),
alors y0 + u est solution de E(g + 0) = E(g).
Nous allons nous occuper dans la suite de deux cas particuliers d’équations différentielles linéaires, pour
lesquels on a des méthodes simples permettant de résoudre les équations.
II. Equations différentielles linéaires du premier ordre
2
1) Equations de la forme y ′ = g
Ce sont les équations différentielles les plus simples. On sait tout d’abord que, sur un intervalle I,
l’équation sans second membre y ′ = 0 admet comme solutions les fonctions constantes y = k.
La fonction g étant donnée, (dérivable sur un intervalle I par exemple) une solution particulière de y ′ = g
est une primitive y0 de g. Et donc toutes les solutions de l’équations c’est-à-dire toutes les primitives de
g sur l’intervalle I, s’obtiennent en ajoutant une constante à une primitive y0 particulière.
Remarque. Il est important de remarquer ici que si l’on se place sur une réunion d’intervalles, plusieurs
constantes interviennent alors. Prenons par exemple l’équation y ′ = 1/x.
Sur l’intervalle ] −∞, 0 [ , les solutions sont les fonctions
y : x 7→ ln(−x) + k1 ,
où k1 est une constante quelconque.
Sur l’intervalle ] 0, +∞ [ , les solutions sont les fonctions
y : x 7→ ln x + k2 ,
où k2 est une constante quelconque.
Donc sur R∗ , une solution y est définie par
ln(−x) + k1
y(x) =
ln x + k2
si x < 0
si x > 0
et k1 et k2 sont deux constantes quelconques.
On voit qu’à partir de la solution particulière y0 : x 7→ ln |x| on obtient sur R∗ une famille de solutions
dépendant de deux constantes. Cette remarque est encore valable pour une équation différentielle quelconque, et il ne faut pas oublier ce phénomène lorsque l’on écrit que les primitives de x 7→ 1/x sont les
fonctions x 7→ ln |x| + k.
La résolution d’une équation différentielle quelconque va consister essentiellement à se ramener au cas
particulier de recherche de primitives. Il faut donc bien connaı̂tre les primitives des fonctions usuelles. En
particulier il est utile de savoir dans la suite que la fonction y ′ /y est la dérivée de ln |y|.
2) Equations de la forme y ′ + by = 0
La fonction b est définie sur un intervalle I. Nous cherchons les solutions de l’équation dans I. Nous
donnons deux méthodes ici : la première est la méthode pratique couramment utilisée, mais qui introduit
des divisions par des quantités qui pourraient s’annuler. Nous ferons le calcul sans être rigoureux. La
seconde méthode justifiera correctement le résultat obtenu dans la première.
Remarque. Dans les calculs suivants on a préféré mettre la variable x partout pour bien différencier les
fonctions des constantes.
Méthode 1 On écrit l’équation
y ′ (x)
= −b(x). En intégrant chaque membre on obtient
y(x)
ln |y(x)| = −B(x) + k ,
où B est une primitive de b, et k une constante.
On en déduit
|y(x)| = e−B(x)+k = ek e−B(x) .
3
La constante ek est positive. En supprimant la valeur absolue du premier membre, on autorise le second
membre à être négatif. On en déduit que
y(x) = Ke−B(x) ,
où K est une constante quelconque.
Exemple 1. y ′ + x2 y = 0
On obtient successivement
y ′ (x)
= −x2
y(x)
puis
ln |y(x)| = −
x3
+k
3
d’où
|y(x)| = ek e−x
et finalement
y(x) = Ke−x
3
3
/3
/3
.
Méthode 2 Multiplions l’équation par la fonction eB où B est une primitive de b. On obtient
y ′ (x)eB(x) + b(x)eB(x) y(x) = 0 .
On constate que le membre de droite est la dérivée de la fonction yeB , en effet
(yeB )′ (x) = y ′ (x)eB(x) + y(x)B ′ (x)eB(x) = y ′ (x)eB(x) + y(x)b(x)eB(x) .
Cela signifie donc que
y(x)eB(x) = K ,
soit
y(x) = Ke−B(x) .
On peut bien sûr retenir la formule générale de la solution, mais il vaut mieux savoir la retrouver et la
première méthode est plus naturelle pour cela.
Remarque. Lorsque la fonction b est une constante, alors les solutions de l’équation sont définies par
y(x) = Ke−bx .
3) Equations de la forme ay ′ + by = g
On se place sur un intervalle I où les fonctions a, b et g sont définies et où a ne s’annule pas. L’équation
sans second membre se ramène au cas précédent
y ′ (x) +
b(x)
y(x) = 0 .
a(x)
et l’on sait donc résoudre cette équation. Les solutions sont définies par y(x) = Ku(x), où u est une
fonction que l’on sait calculer, (la fonction u vaut e−B où B est une primitive de b/a), et K une constante.
Deux cas peuvent se produire :
4
1 On connaı̂t une solution particulière y0 de l’équation avec second membre, soit parce qu’il existe une
solution “évidente”, soit parce qu’elle a été déterminée par un autre moyen. Alors les autres solutions
sont données par y = y0 + Ku, où K est une constante quelconque.
Exemple 2. l’équation y ′ + x2 y = x2 possède une solution évidente définie par y0 (x) = 1. On a
déterminé dans l’exemple 1 les solutions de l’équation homogène associée. Les solutions sur I = R sont
alors données par
3
y(x) = 1 + Ke−x /3 ,
où K est une constante quelconque.
2 On ne connaı̂t pas de solution particulière. On utilise alors le principe de variation de la constante.
Si u est une solution non nulle de l’équation homogène, c’est-à-dire si
a(x)u′ (x) + b(x)u(x) = 0 ,
on cherche une solution de l’équation avec second membre définie par
y(x) = K(x)u(x) .
(On voit que dans les solutions y = Ku de l’équation homogène, on suppose maintenant que la constante
K est une fonctions K ce qui donne le nom de la méthode).
En dérivant
y ′ (x) = K ′ (x)u(x) + K(x)u′ (x) ,
puis en remplaçant dans l’équation a(x)y ′ (x) + b(x)y(x) = g(x) on obtient
a(x)(K ′ (x)u(x) + K(x)u′ (x)) + b(x)K(x)u(x) = g(x)
soit
a(x)u(x)K ′ (x) + K(x)[a(x)u′ (x) + b(x)u(x)] = g(x) .
Mais le coefficient de K(x) est nul, donc
a(x)u(x)K ′ (x) = g(x) .
On constate que dans ce calcul les termes contenant K(x) disparaissent nécessairement. On obtient
alors
g(x)
,
K ′ (x) =
a(x)u(x)
et il reste à calculer une primitive du membre de droite pour obtenir le résultat.
Exemple 3. y ′ + x2 y = 3e−x
3
/3
.
Une solution non nulle de son équation homogène associée est la fonction u défine par u(x) = e−x
Donc on cherche une solution de la forme
y(x) = K(x)e−x
On dérive
y ′ (x) = K ′ (x)e−x
Alors
y ′ (x) + x2 y(x) = K ′ (x)e−x
3
/3
3
/3
3
/3
.
− K(x)x2 e−x
− K(x)x2 e−x
3
/3
3
/3
5
/3
,
+ x2 K(x)e−x
et l’équation devient
K ′ (x)e−x
3
= 3e−x
3
/3
,
3
/3
= K ′ (x)e−x
3
/3
,
3
/3
.
soit K ′ (x) = 3 et donc K(x) = 3x + C, où C est une constante. Finalement les solutions de l’équation
sur I = R sont données par
3
y(x) = (3x + C)e−x /3 .
III. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Ce sont des équations de la forme
ay ′′ + by ′ + cy = g ,
où a, est un nombre réel non nul, b et c sont des nombres réels, et g est une fonction. Par rapport à
la situation générale, les coefficients a, b, c de l’équation sont des constantes, d’où le qualificatif de ces
équations.
1) Equation homogène
On admettra le résultat suivant :
Théorème : Si U1 et U2 sont, sur un intervalle I, deux solutions non proportionnelles de l’équation
homogène ay ′′ + by ′ + cy = 0, alors les solutions de cette équation sur I sont données par
y = K 1 U1 + K 2 U2 ,
où K1 et K2 sont deux constantes quelconques.
(Dire que les solutions ne sont pas proportionnelles signifie qu’elles ne sont pas nulles et que le quotient
U1 /U2 n’est pas constant).
Un choix de fonctions U1 et U2 va être précisé ci-dessous.
A une telle équation homogène on associe un polynôme, appelé polynôme caractéristique de l’équation,
défini par
P (X) = aX 2 + bX + c ,
c’est un trinôme du second degré qui a pour discriminant le nombre ∆ = b2 − 4ac. Le tableau suivant
donne un choix de fonctions U1 et U2 à connaı̂tre. Les fonctions dépendent des racines du trinôme :
racines
∆
∆>0
α1 , α2
∆=0
α
∆ < 0 α1 = ρ + iσ , α2 = ρ − iσ
U1 (x)
eα1 x
eαx
cos(σx)eρx
U2 (x)
eα2 x
xeαx
sin(σx)eρx
(Il est facile de voir que ces fonctions sont bien des solutions).
Remarque. Dans le cas où ∆ est négatif, on remarquera que
U1 (x) = ℜeα1 x
et
U2 (x) = ℑeα1 x ,
puisque
eα1 x = e(ρ+iσ)x = eρx eσx = eρx (cos(σx) + i sin(σx)) .
Donc, si l’on pose C1 = (K1 − iK2 )/2, les solutions s’écrivent
y(x) = K1 ℜeα1 x + K2 ℑeα1 x = 2ℜ(C1 eα1 x ) ,
6
ce que l’on peut encore écrire
y(x) = C1 eα1 x + C1 eα2 x ,
où C1 est une constante complexe quelconque. Cette expression a l’avantage d’avoir la même forme que
dans le cas ∆ > 0 (avec des fonctions et des constantes complexes cependant).
On peut aussi dans ce cas adopter pour les solutions une notation utile en physique. En partant de
l’expression
y(x) = K1 cos(σx)eρx + K2 sin(σx)eρx .
p
et en notant A = K12 + K22 , on peut mettre Aeρx en facteur, cela donne
!
K1
K2
ρx
p
cos(σx) + p 2
sin(σx) .
y(x) = Ae
K12 + K22
K1 + K22
Si l’on appelle ϕ un angle qui vérifie
K1
sin ϕ = p 2
K1 + K22
on obtient alors
et
K2
cos ϕ = p 2
,
K1 + K22
y(x) = Aeρx (cos(σx) sin ϕ + sin(σx) cos ϕ) ,
et finalement
y(x) = Aeρx sin(σx + ϕ) ,
où A et ϕ sont deux constantes quelconques.
Cas particulier. L’équation y ′′ + ω 2 y = 0 est un cas particulier du cas ∆ < 0, puisque ∆ = −ω 2 , et le
polynôme caractéristique a pour racines ±ωi. Les solutions sont donc
y(x) = K1 cos(ωx) + K2 sin(ωx) ,
où
y(x) = A sin(ωx + ϕ) .
′′
′
Exemple 4. y + 2y − 3y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 ex + K2 e−3x ,
car le polynôme caractéristique X 2 + 2X − 3 a pour racines 1 et −3.
Exemple 5. y ′′ − 4y ′ + 4y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 e2x + K2 xe2x ,
car le polynôme caractéristique X 2 − 4X + 4 a pour racine double 2
Exemple 6. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 ex cos x + K2 ex sin x ,
car le polynôme caractéristique X 2 − 2X + 2 a pour racines complexes conjuguées 1 + i et 1 − i.
2) Equation complète avec second membre particulier.
Comme dans le cas des équations différentielle linéaire du premier ordre, on pourra obtenir toutes
les solutions de l’équation avec second membre si l’on en connaı̂t une solution particulière. Or il est
possible de déterminer une telle solution par identification lorsque le second membre est de la forme
g(x) = eβx Q(x), où Q est un polynôme de degré q. Il existe en effet une solution y0 de la même forme
7
c’est-à-dire y0 (x) = eβx R(x) où R est un polynôme. On peut préciser d’avantage :
si β est racine de multiplicité k du polynôme caractéristique P , alors R(x) = xk S(x), où S est de degré
q, c’est-à-dire , en détaillant les différents cas
1 si β n’est pas racine du polynôme caractéristique P , alors R = S est de degré q,
2 si β est racine simple de P , alors R(x) = xS(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + 1)
3 si β est racine double de P , alors R(x) = x2 S(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + 2)
Cela veut dire que dans chaque cas il y a à déterminer q + 1 coefficients, pour obtenir Q.
Exemple 7. y ′′ + 2y ′ − 3y = 5xe2x .
β = 2 n’est pas racine du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière y définie par
y(x) = e2x (λx + µ)e2x . On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l’équation et on
identifie :
y ′ (x) = e2x (2λx + 2µ + λ) et y ′′ (x) = e2x (4λx + 4µ + 4λ) .
On en déduit :
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = e2x (5λx + 5µ + 6λ) = 5xe2x .
L’identification donne le système
5λ = 5
5µ + 6λ = 0
ce qui donne λ = 1 et µ = −6/5, d’où la solution particulière définie par
6
2x
x−
y(x) = e
,
5
et les solutions définies sur R par
6
.
y(x) = K1 ex + K2 e−3x + e2x x −
5
Exemple 8. y ′′ + 2y ′ − 3y = 8xex .
β = 1 est racine simple du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière de la forme
y(x) = (λx2 +µx)ex . On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l’équation et on identifie :
y ′ (x) = ex (λx2 + (2λ + µ)x + µ) et
y ′′ (x) = ex (λx2 + (4λ + µ)x + 2λ + 2µ) .
On en déduit :
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = ex (8λx + 4µ + 2λ) = 8xex .
L’identification donne le système
8λ = 8
4µ + 2λ = 0
ce qui donne λ = 1 et µ = −1/2, d’où la solution particulière définie par
x
y(x) = ex x2 −
,
2
et les solutions définies sur R par
x
.
y(x) = K1 ex + K2 e−3x + ex x2 −
2
Remarque. Ce qui précède est encore vrai si β est une racine complexe. Cela permet par exemple de
traiter les seconds membres de la forme g(x) = Q(x)eξx cos(ζx) , ou g(x) = Q(x)eξx sin(ζx) qui sont
respectivement les parties réelle et imaginaire de Q(x)eβx avec β = ξ + iζ.
On peut procéder de deux manières :
8
1 soit chercher tout d’abord une solution avec second membre complexe Q(x)eβx , puis prendre la partie
réelle ou imaginaire de cette solution.
2 soit remarquer que cette partie réelle ou imaginaire est de la forme eξx (R1 (x) cos(ζx) + R2 (x) sin(ζx))
où R1 et R2 sont des polynômes dont les degrés sont q, q + 1 ou q + 2 selon que β n’est pas racine de
P ou est racine simple ou double.
Exemple 9. y ′′ + 2y ′ − 3y = cos x.
cos x est la partie réelle de eix et β = i n’est pas racine du polynôme caractéristique. On résoud tout
d’abord avec le second membre eix . On cherche une solution de la forme y(x) = λeix . On a donc
y ′ (x) = λieix
et y ′′ (x) = −λeix ,
d’où
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = eix (−4 + 2i)λ = eix .
On en déduit
−4 − 2i
1
=
.
−4 + 2i
20
Une solution particulière de l’équation avec second membre cos x est alors obtenue en prenant la partie
réelle de celle avec second membre eix , donc
1
1
−4 − 2i ix
= − cos x +
e
sin x .
y(x) = ℜ
20
5
10
λ=
Si l’on ne veut pas utiliser les nombres complexes on peut chercher directement une solution de la forme
y(x) = λ cos x + µ sin x. On a alors
y ′ (x) = −λ sin x + µ cos x
et y ′′ (x) = −λ cos x − µ sin x ,
d’où
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = (−4λ + 2µ) cos x + (−4µ − 2λ) sin x .
L’identification donne le système
−4λ + 2µ = 1
−2λ − 4µ = 0
,
ce qui donne λ = −1/5 et µ = 1/10.
Lorsque le second membre est une somme de termes de la forme eβx Q(x) on pourra utiliser le principe
de superposition des solutions.
Exemple 10. y ′′ + 2y ′ − 3y = 8xex + 5xe2x
On obtient une solution particulière de l’équation en additionnant les solutions particulières obtenues
dans les exemples 7 et 8. D’où les solutions sur R,
6
x
y(x) = K1 ex + K2 e−3x + e2x x −
+ ex x2 −
.
5
2
3) Méthode de variation des constantes.
Si U1 et U2 sont deux solutions non proportionnelles de l’équation homogène, on a donc
aU1′′ (x) + bU1′ (x) + cU1 (x) = 0 et
aU2′′ (x) + bU2′ (x) + cU2 (x) = 0 ,
Et les solutions de l’équation sans second membre sont données par
y(x) = K1 U1 (x) + K2 U2 (x) ,
9
où K1 et K2 sont des constantes. On cherche une solution de l’équation avec second membre de la forme
y(x) = K1 (x)U1 (x) + K2 (x)U2 (x) .
(On a donc remplacé les constantes K1 et K2 figurant dans les solutions de l’équation homogène par des
fonctions). En dérivant on obtient
y ′ (x) = K1 (x)U1′ (x) + K1′ (x)U1 (x) + K2 (x)U2′ (x) + K2′ (x)U2 (x) .
On impose ici une première relation qui fait disparaı̂tre dans y ′ (x) les dérivées K1′ (x) et K2′ (x) :
K1′ (x)U1 (x) + K2′ (x)U2 (x) = 0 ,
donc
y ′ (x) = K1 (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′ (x) ,
puis en dérivant de nouveau,
y ′′ (x) = K1 (x)U1′′ (x) + K1′ (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) .
On en déduit
ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x)
= a(K1 (x)U1′′ (x) + K1′ (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′′ (x) + K2′ (x)U2′ (x))
=
+b(K1 (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′ (x)) + c(K1 (x)U1 (x) + K2 (x)U2 (x))
′
K1 (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x)
+K1 (aU1′′ (x) + bU1′ (x) + cU1 (x)) + K2 (aU2′′ (x) + bU2′ (x) + cU2 (x))
.
Mais les coefficients de K1 et de K2 sont nuls. Il reste donc
ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = K1′ (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) = g(x) ,
On s’aperçoit que K1 (x) et K2 (x) sont alors solutions du système
′
K1 (x)U1 (x) + K2′ (x)U2 (x) = 0
K1′ (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) = g(x)
Il ne reste plus qu’à résoudre ce système pour obtenir K1′ et K2′ et à chercher des primitives pour obtenir
K1 et K2 .
Exemple 11. y ′′ − y =
e2x
.
ex + 1
Le polynôme caractéristique X 2 − 1 a pour racines 1 et −1. On cherche des solutions définies par
y(x) = K1 (x)ex + K2 (x)e−x .
Le calcul précédent conduit donc au système

 K1′ (x)ex + K2′ (x)e−x

K1′ (x)ex
−
K2′ (x)e−x
=0
=
e2x
+1
ex
En résolvant ce système, on trouve
K1′ (x) =
ex
+ 1)
2(ex
et K2′ (x) = −
e3x
.
2(ex + 1)
Comme ex est la dérivée de ex + 1, la fonction 2K1′ se présente sous la forme u′ /u avec u > 0, et on
obtient immédiatement une primitive en ln u
K1 (x) =
1
ln(ex + 1) + C1 .
2
10
Pour K2′ , on transforme l’expression en remarquant que
e2x − 1
1
1
e2x
= x
+ x
= ex − 1 + x
,
+1
e +1
e +1
e +1
ex
donc
K2′ (x)
d’où
K2 (x) = −
1
=−
2
1
2
e2x − ex +
ex
ex + 1
,
e2x
− ex + ln(ex + 1) + C2 .
2
Finalement, on obtient les solutions de l’équation dans R :
1
ex
y(x) =
(ex − e−x ) ln(ex + 1) −
+ 1 + C1 ex + C2 e−x .
2
2
11