Que savent les tresses sur les tableaux de Young

Transcription

Que savent les tresses
sur les tableaux de Young ?
Victoria LEBED
Trinity College Dublin
IRIF, 21 décembre 2016
3
2
6
6
1
4
5
←→
1
3
2 6 6
1 4 5
Tableaux de Young
1
3
2 6 6
1 4 5
Tableaux de Young
d Gadget combinatoire
(Young 1900, Frobenius 1903).
1
3
2 6 6
1 4 5
Tableaux de Young
An = {1; : : : ; n}
(Robinson ’38, Schensted ’61, Knuth ’70).
d Monoïde (TY n ; ˜),
1
Tableaux de Young
3
2 6 6
1 4 5
An = {1; : : : ; n}
Applications :
✓ Règle de Littlewood–Richardson : une preuve correcte !
(Schützenberger ’77)
d représentations de Sk et GLk (C) ;
d intersections de grassmanniennes ;
d produit de fonctions symétriques.
1
Tableaux de Young
3
2 6 6
1 4 5
An = {1; : : : ; n}
Applications :
✓ Polynômes de Kostka–Foulkes
(Lascoux–Schützenberger ’78)
d représentations de GLk (Fq ) ;
d modèles sur réseau.
1
Tableaux de Young
3
2 6 6
1 4 5
An = {1; : : : ; n}
Applications :
✓ Polynômes de Kostka–Foulkes
(Lascoux–Schützenberger ’78)
d représentations de GLk (Fq ) ;
d modèles sur réseau.
✓ Bases cristallines pour les groupes quantiques (90’).
2
Algorithme de Schensted
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
2
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
2
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
2
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
4
↓
3
2 6 6
1 3 5
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
2
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
4
↓
3
2 6 6
1 3 5
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
3
2 6 6
1 3 4
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
5
↓
2
3
3 ˜ 2 6 6
1 4 5
=
4
↓
3
2 6 6
1 3 5
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
3
2 6 6
1 3 4
3
↓
3
2 6 6
1 4 5
5
↓
3
2 6 6
1 3 4 5
3
Monoïde plaxique
Tableaux vs. mots :
C; L : TY n ⇄ Añ : T
3
T = 2 6 6
1 4 5
a1 ˜ ( a2 ˜ (´ ´ ´ ˜ ak ))
L
7−→
C
3 266 145
7−→
321 64 65
→−7
a1 a2 : : : ak
T
3
Monoïde plaxique
Tableaux vs. mots :
C; L : TY n ⇄ Añ : T
3
T = 2 6 6
1 4 5
a1 ˜ ( a2 ˜ (´ ´ ´ ˜ ak ))
L
7−→
3 266 145
C
7−→
321 64 65
→−7
a1 a2 : : : ak
T
iso
Thm (Knuth ’70) : C; L : (TY n ; ˜) ←→ ( Añ =∼; concat ) : T
xzy ∼ zxy;
x » y < z;
yxz ∼ yzx;
x < y » z:
3
Monoïde plaxique
Tableaux vs. mots :
C; L : TY n ⇄ Añ : T
3
T = 2 6 6
1 4 5
a1 ˜ ( a2 ˜ (´ ´ ´ ˜ ak ))
L
7−→
3 266 145
C
7−→
321 64 65
→−7
a1 a2 : : : ak
T
iso
Thm (Knuth ’70) : C; L : (TY n ; ˜) ←→ ( Añ =∼; concat ) : T
= Pln
monoïde
plaxique
xzy ∼ zxy;
x » y < z;
yxz ∼ yzx;
x < y » z:
4
Réécriture pour Pln
Pln = h An | xzy = zxy; x » y < z; yxz = yzx; x < y » z i
4
Col›n := tableaux-colonnes = mots-colonnes (non-vides).
Lemme : c1 ˜ c2 a d soit 1 colonne c1 c2 (concaténation),
d soit 2 colonnes c10 ; c20 .
4
Thm (Cain et al., Bokut et al., ’15) :
Pln = h Col›n | c1 ´ c2 = c1 c2 ou c10 ´ c20 i
4
Pln = h Col›n | c1 ´ c2 → c1 c2 ou c10 ´ c20 i
d système de réécriture convergent
NForme(c1 ´ : : : ´ ck ) = C(c1 ˜ ´ ´ ´ ˜ ck ) ;
4
NForme(c1 ´ : : : ´ ck ) = C(c1 ˜ ´ ´ ´ ˜ ck ) ;
d base de Gröbner–Shirshov pour kPln .
4
NForme(c1 ´ : : : ´ ck ) = C(c1 ˜ ´ ´ ´ ˜ ck ) ;
d base de Gröbner–Shirshov pour kPln .
Exemple :
Col›2 =
2 ´ 1 →
2
,
1
1 ; 2 ;
2 ,
1
i ´
2
2
→
´ i .
1
1
5
Les tresses dans tout cela ?
Coln := Col›n t eC (colonne vide)
5
ffn;C : Coln ˆ Coln → Coln ˆ Coln ;
(c1 ; c2 ) 7→ (c1 c2 ; eC ) ou (c10 ; c20 ) = c1 ˜ c2 :
5
Thm (L. ’16) :
(c1 ; c2 ) 7→ (c1 c2 ; eC ) ou (c10 ; c20 ) = c1 ˜ c2 :
d ffn;C est un tressage idempotent sur Coln ;
d eC est un neutre pour ffn;C ;
d Pln ’ Mon(Coln ; ffn;C ; eC ) ;
5
Thm (L. ’16) :
(c1 ; c2 ) 7→ (c1 c2 ; eC ) ou (c10 ; c20 ) = c1 ˜ c2 :
+ idem pour les tableaux-lignes.
5
Thm (L. ’16) :
(c1 ; c2 ) 7→ (c1 c2 ; eC ) ou (c10 ; c20 ) = c1 ˜ c2 :
Motivation : Coln est plus petit et plus simple que Pln .
5
Thm (L. ’16) :
(c1 ; c2 ) 7→ (c1 c2 ; eC ) ou (c10 ; c20 ) = c1 ˜ c2 :
Motivation : Coln est plus petit et plus simple que Pln .
Applications : d réécriture ;
d calculs cohomologiques (cf. Lopatkin ’16).
6
L’équation de Yang–Baxter
Données :
d catégorie monoïdale C (= Vectk ) ;
d objet S ;
d morphisme ff : S ˙ S → S ˙ S.
YBE :
ff1 ff2 ff1 = ff2 ff1 ff2 : S ˙3 → S ˙3
ff1 = ff˙ IdS , ff2 = IdS ˙ff
6
L’équation de Yang–Baxter
Données :
d catégorie monoïdale C (= Vectk ) ;
d objet S ;
d morphisme ff : S ˙ S → S ˙ S.
YBE :
tressage
ff1 ff2 ff1 = ff2 ff1 ff2 : S ˙3 → S ˙3
ff1 = ff˙ IdS , ff2 = IdS ˙ff
Avatar topologique :
ff ←→
YBE ←→
=
mouvement de
Reidemeister III
7
Tressages exotiques
1 Ensemblistes : C = Set (Drinfel 0 d ’90)
7
Tressages exotiques
linéariser
déformer
solutions linéaires
Tressages exotiques
7
linéariser
déformer
Exemple : ff(x; y) = (y; x)
R-matrices ;
Tressages exotiques
7
linéariser
déformer
R-matrices ;
ffLie (x ˙ y) = y ˙ x + h̄1 ˙ [x; y] :
YBE pour ffLie
⇐⇒
1 central
Jacobi pour [ ]
Tressages exotiques
7
linéariser
déformer
R-matrices ;
ffLie (x ˙ y) = y ˙ x + h̄1 ˙ [x; y] :
YBE pour ffLie
⇐⇒
1 central
Jacobi pour [ ]
2 Non-inversibles.
Exemple : structures auto-distributives &
un ordre sur les groupes de tresses (Dehornoy ’91).
Tressages exotiques
7
linéariser
déformer
R-matrices ;
ffLie (x ˙ y) = y ˙ x + h̄1 ˙ [x; y] :
YBE pour ffLie
⇐⇒
1 central
Jacobi pour [ ]
2 Non-inversibles.
Exemple : structures auto-distributives &
un ordre sur les groupes de tresses (Dehornoy ’91).
3 Idempotents : ffff = ff.
8
Tressages idempotents : exemples
✓ Monoïde (S; ´; 1),
ffAss (x; y) = (1; x ´ y).
YBE pour ffAss
⇐⇒
1 neutre
associativité pour ´
8
ffAss (x; y) = (1; x ´ y).
YBE pour ffAss
⇐⇒
1 neutre
✓ Monoïde factorisé G = HK,
S = H [ K, ffF act (x; y) = ((xy)H ; (xy)K ).
8
ffAss (x; y) = (1; x ´ y).
YBE pour ffAss
⇐⇒
1 neutre
✓ Treillis (S;
;
V
),
W
ffT r (x; y) = (x
V
y; x
W
y).
8
ffAss (x; y) = (1; x ´ y).
YBE pour ffAss
⇐⇒
1 neutre
✓ Treillis (S;
;
V
),
W
ffT r (x; y) = (x
V
✓ Monoïde plaxique : ffn;C sur Coln .
y; x
W
y).
9
Monoïde enveloppant
Mon(S; ff) := h S | x ´ y = y 0 ´ x 0 ; (y 0 ; x 0 ) = ff(x; y) i
9
méthodes
uu
monde tressé
monde associatif
55
(contre-)exemples
9
méthodes
uu
monde tressé
monde associatif
55
(contre-)exemples
Mon(S; ff; e) := Mon(S; ff)=e = 1
9
méthodes
uu
monde tressé
monde associatif
55
(contre-)exemples
Exemples :
✓ Monoïde factorisé G = HK, ffF act (x; y) = ((xy)H ; (xy)K ) :
Mon(H [ K; ffF act ; 1G ) ’ G.
9
méthodes
uu
monde tressé
monde associatif
55
(contre-)exemples
Exemples :
✓ Alg. Lie V 0 , V = V 0 ˘ k1, ffLie (x ˙ y) = y ˙ x + 1 ˙ [x; y] :
Alg(V; ffLie ; 1) ’ UEA(V 0 ; [ ]).
9
méthodes
uu
monde tressé
monde associatif
55
(contre-)exemples
Exemples :
✓ Alg. Lie V 0 , V = V 0 ˘ k1, ffLie (x ˙ y) = y ˙ x + 1 ˙ [x; y] :
Alg(V; ffLie ; 1) ’ UEA(V 0 ; [ ]).
✓ Monoïde plaxique :
Mon(Coln ; ffn;C ; eC ) ’ Pln .
10
Tressages idempotents : réécriture
Mots normaux : Norm(S; ff) = { x1 : : : xk 2 S ˜ |
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ) }.
10
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ) }.
Thm (Dehornoy–Guiraud, L. ’16) :
Pour un tressage idempotent ff sur S,
1:1
Norm(S; ff) ←→ Mon(S; ff);
Taut : w 7−→ [w];
´|w| w →−7 [w] : NForme :
´4 =
10
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ) }.
1:1
Taut : w 7−→ [w];
´|w| w →−7 [w] : NForme :
Système de réécriture convergent :
xy → y 0 x 0 ; (y 0 ; x 0 ) = ff(x; y).
´4 =
10
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ) }.
1:1
Taut : w 7−→ [w];
´4 =
´|w| w →−7 [w] : NForme :
xy → y 0 x 0 ; (y 0 ; x 0 ) = ff(x; y).
w˜w 0
Produit associatif ˜ sur Norm(S; ff) :
w
w0
10
Un neutre pour ff : e 2 S t.q.
d ff préserve { (e; x); (x; e) } ;
d le mot wew 0 est normal ⇒ ww 0 l’est.
10
Mots normaux : Norm(S; ff; e) = { x1 : : : xk 2 S ˜ |
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ); xj 6= e }.
Pour un tressage idempotent ff sur S avec un neutre e,
1:1
Norm(S; ff; e) ←→ Mon(S; ff; e);
Taut : w 7−→ [w];
´|w| w →−7 [w] : RNForme :
e→1
&
xy → y 0 x 0 ; (y 0 ; x 0 ) = ff(x; y).
Produit associatif ˜ sur Norm(S; ff; e).
10
Mots normaux : Norm(S; ff; e) = { x1 : : : xk 2 S ˜ |
ff(xj ; xj+1 ) = (xj ; xj+1 ); xj 6= e }.
Pour un tressage idempotent ff sur S avec un neutre e,
1:1
Norm(S; ff; e) ←→ Mon(S; ff; e);
Taut : w 7−→ [w];
´|w| w →−7 [w] : RNForme :
e→1
&
xy → y 0 x 0 ; (y 0 ; x 0 ) = ff(x; y).
Produit associatif ˜ sur Norm(S; ff; e).
Exemple : (Norm(Coln ; ffn;C ; eC ); ˜tr ) ’ (TY n ; ˜Sch ).
11
Cohomologie d’un tressage
Données :
d tressage ff sur S ;
d anneau k ;
d " : S → k caractère tressé, e.g. "1 : x 7→ 1.
11
Données :
d anneau k ;
Construction :
d C n := Maps(S ˆn ; k) ;
d dn : C n → C n+1 ,
dn+1 dn = 0 ;
d cohomologie tressée de (S; ff) avec coefficients (k; ") :
H n (S; ff; k; ") := Ker dn = Im dn−1 ;
11
Données :
d anneau k ;
Construction :
d dn : C n → C n+1 ,
dn+1 dn = 0 ;
d cup produit ⌣ : H n ˙ H m → H n+m , commutatif si " = "1 .
11
Données :
d anneau k ;
Construction :
d dn : C n → C n+1 ,
dn+1 dn = 0 ;
d cup produit ⌣ : H n ˙ H m → H n+m , commutatif si " = "1 .
Versions :
d graphique ;
d algébrique : battages quantiques (Rosso ’95).
12
Une bonne théorie
1) Déformations diagonales
ffq (x; y) = q !(x;y) ff(x; y) :
! est un 2-cocycle
=⇒
ffq est un tressage
(Freyd–Yetter ’89, Eisermann ’05).
12
Une bonne théorie
ffq (x; y) = q !(x;y) ff(x; y) :
! est un 2-cocycle
=⇒
ffq est un tressage
2) Invariants
de nœuds
˛
X
X
˛
!(x; y) ˛˛ (S; ff)-coloriages de D :
BS;ff;! (D) =
!(x; y)−
y0
x
x0
y
x
y0
y
x0
! est un 2-cocycle
=⇒
BS;ff;! (D) est un invariant ;
! est un 2-cobord
=⇒
BS;ff;! (D) = {0; 0; : : :}.
(Fenn et al. ’95, Carter et al. ’01, . . . ).
12
Une bonne théorie
ffq (x; y) = q !(x;y) ff(x; y) :
! est un 2-cocycle
=⇒
ffq est un tressage
2) Invariants
de nœuds
˛
X
X
˛
!(x; y) ˛˛ (S; ff)-coloriages de D :
BS;ff;! (D) =
!(x; y)−
y0
x
x0
y
x
y0
y
x0
! est un 2-cocycle
=⇒
BS;ff;! (D) est un invariant ;
! est un 2-cobord
=⇒
BS;ff;! (D) = {0; 0; : : :}.
(Fenn et al. ’95, Carter et al. ’01, . . . ).
3) Unification de théories cohomologiques ;
+ transport de techniques ;
+ théories pour de nouvelles structures
(L. ’13, . . . ).
13
Comparaison cohomologique
4) Symétrisateur quantique QS :
cohomologie tressée
H ˜ (S; ff; k; ")
QS
←−
cohomologie de Hochschild
HH ˜ (kMon(S; ff); k; ")
13
H ˜ (S; ff; k; ")
cup produit ⌣
QS
←−
cup produit ⌣
13
H ˜ (S; ff; k; ")
cup produit ⌣
petits complexes
QS
←−
cup produit ⌣
outils
13
H ˜ (S; ff; k; ")
cup produit ⌣
petits complexes
QS
←−
cup produit ⌣
outils
Thm : QS est un isomorphisme quand
✓ ffff = Id et Char k = 0 (Farinati & García-Galofre ’16) ;
13
H ˜ (S; ff; e; k; ")
cup produit ⌣
petits complexes
QS
←−
HH ˜ (kMon(S; ff; e); k; ")
cup produit ⌣
outils
✓ ffff = ff (L. ’16).
13
H ˜ (S; ff; e; k; ")
cup produit ⌣
petits complexes
QS
←−
cup produit ⌣
outils
✓ ffff = ff (L. ’16).
Preuve, cas ffff = ff : théorie de Morse discrète algébrique.
13
H ˜ (S; ff; e; k; ")
cup produit ⌣
QS
←−
cup produit ⌣
petits complexes
outils
✓ ffff = ff (L. ’16).
Question ouverte : Dans le cas général ?
13
H ˜ (S; ff; e; k; ")
cup produit ⌣
QS
←−
cup produit ⌣
petits complexes
outils
✓ ffff = ff (L. ’16).
Question ouverte : Dans le cas général ?
Application : généralisation de la formule de Künneth pour
des monoïdes factorisés G = HK.
14
Cohomologie de Pln
HH ˜ (kPln ; k; ") ’ H ˜ (Coln ; ffn;C ; eC ; k; ")
Crl : Pln est de type (F P )∞ pour n < ∞.
14
Cohomologie de Pln
Thm : HH ˜ (kPln ; k; "1 ) ←֓ ˜˜ (kAn ) pour n < ∞.
14
Cohomologie de Pln
Conjecture : ’.
(Vraie pour ˜ » 2.)
14
Cohomologie de Pln
Conjecture : ’.
Pour le caractère tressé "0 : c 7→ 0; eC 7→ 1,
Thm : 1) HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
n
(:= Maps(An ; k)).
14
Cohomologie de Pln
Conjecture : ’.
Thm : 1) HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
n
2) HH 2 ’ (
)∨ .
(:= Maps(An ; k)).
14
Cohomologie de Pln
Conjecture : ’.
Thm : 1) HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
n
2) HH 2 ’ (
)∨ .
3) HH 1 ⌣ HH 1 = 0.
(:= Maps(An ; k)).
14
Cohomologie de Pln
Conjecture : ’.
Thm : 1) HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
n
2) HH 2 ’ (
(:= Maps(An ; k)).
)∨ .
3) HH 1 ⌣ HH 1 = 0.
4) HH j 6= 0 pour tout j quand n > 2.
14
Cohomologie de Pln
Thm : 1)
2)
3)
4)
5)
HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
(:= Maps(An ; k)).
n
HH 2 ’ ( )∨ .
HH 1 ⌣ HH 1 = 0.
HH j 6= 0 pour tout j quand n > 2.
Pour n = 2,
HH 1 = kf 1 ˘ kf 2 ;
HH 2 = kf
1;2
1
f2 ⌣ f
˘ kf
1;2
1
HH 3 = kf
;
2;2
1
= −f
2;2
1
;
2;1;2
1
HH k = 0; k > 3:
⌣ f1 = f
:
2;1;2
1
14
Cohomologie de Pln
Thm : 1)
2)
3)
4)
5)
HH 1 (kPln ; k; "0 ) ’ A∨
(:= Maps(An ; k)).
n
HH 2 ’ ( )∨ .
HH 1 ⌣ HH 1 = 0.
HH j 6= 0 pour tout j quand n > 2.
Pour n = 2,
HH 1 = kf 1 ˘ kf 2 ;
HH 2 = kf
1;2
1
f2 ⌣ f
˘ kf
1;2
1
HH 3 = kf
HH k = 0; k > 3:
;
2;2
1
= −f
2;2
1
;
2;1;2
1
⌣ f1 = f
Crl : dimension cohomologique :
cd(Pln ) = ∞;
3;
1
pour n > 2; = 2; = 1.
:
2;1;2
1

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