COMMANDE DE SYSTEMES CHAOTIQUES

COMMANDE DE SYSTEMES CHAOTIQUES
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INTRODUCTION
La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques rigoureusement déterministes, mais qui présentent un
phénomène appelé sensibilité aux conditions initiales qui, modulant une propriété supplémentaire de récurrence,
les rend non prédictibles en pratique sur le long terme.
La théorie du chaos est utilisée dans différents domaines, par exemple, en économie, en astrophysique, dans
les systèmes de communication, etc. Pour cette raison, la commande des systèmes chaotiques est un problème
largement abordé par la communauté scientifique.
Dans ce sujet de synthèse, nous allons utiliser des techniques linéaires pour analyser le comportement de trois
systèmes chaotiques, au niveau stabilité, commandabilité et observabilité. Cet analyse peut être utilisé pour la
synthétisation des commandes linéaires de ces systèmes.
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PRESENTATION DE MODÈLES CHAOTIQUES
Les équations de Lorenz, Rössler et Duffing représentent des systèmes chaotiques très connus dans la science
nonlinéaire. Ils sont exprimés par les équations résumées dans le Tableau ??.
Tab. 1. Systèmes chaotiques
Lorenz
ẋ1 = σ(x2 − x1 )
ẋ2 = ρx1 − x2 − x1 x3
ẋ3 = x1 x2 − βx3
Rössler
ẋ1 = −x2 − x3
ẋ2 = x1 + ax2
ẋ3 = b + x3 (x1 − c)
Duffing
M ẍ + δ ẋ + βx + αx3 = u
où u = γ cos(ωt)
Ci-après considérer les valeurs donnés dans le Tableau ?? pour chaque système.
Tab. 2. Ensemble de paramètres des systèmes chaotiques
Lorenz
Rössler
Duffing
2.1
σ = 10, ρ = 28, β = 83
a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7
M = 1, α = 1, β = −1, δ = 0.2, γ = 0.3, ω = 1
Système de Lorenz
Le système de Lorenz à été originalement conçu par Edward Lorenz à partir des équations de Navier-Stoke
afin de prédire le temps. Lorenz a découvert que le comportement de son système dépendait fortement des
conditions initiales. Donc, des petits changements dans les conditions initiales provoquent de grand changements
dans le comportement du système avec le temps. Voici l’une des caractéristiques des systèmes chaotiques.
Par ailleurs, dans la literature scientifique il à été rapporté que ces équations représentent aussi des autres
types de systèmes. Par example : des dispositifs laser, des générateurs homopolaires et plusieurs problèmes liées
à la convection.
Afin d’avoir une perception physique, nous pouvons considerer que les équations de Lorenz représentent un
boucle de convection thermique. Grosso modo, le système est composé par une roue d’eau placée verticalement
où sa moitié supérieure est refroidie et sa moitié inférieure est chauffée (voir Fig. ??).
Les états, x1 , x2 et x3 représentent la vitesse du fluide dans le boucle, la différence de temperature verticalement et la difference de temperature horizontalement, respectivement. Le paramètre σ > 0 est le nombre de
Prandtl, β > 0 est un paramètre géométrique et ρ > 0 est la chaleur appliquée dans la section inférieure de la
rue.
Heat sink
Horizontal temperature
difference proportional to
x3
Fluid velocity
proportional to x1
Vertical temperature
difference proportional
to x2
g
Heat source convection loop
Fig. 1. Boucle de convection thermique. Système de Lorenz
2.2
Système de Rössler
Otto Rössler a conçu son attracteur en 1976 dans un but purement théorique, mais ces équations se sont
avérées utiles dans la modélisation de l’équilibre dans les réactions chimiques.
Physiquement, les états x1 , x2 et x3 représentent les concentrations des substances d’une reaction chimique.
Les paramètres intervenants a, b et c sont positifs.
2.3
Système de Duffing
L’équation de Duffing est une équation différentielle de deuxième ordre nonlinéaire. Elle est l’exemple d’un
système dynamique qui exhibe un comportement chaotique. L’équation décrit le mouvement d’un oscillateur
harmonique avec un potentiel plus compliqué qu’un oscillateur simple. En termes physiques, il modélise par
exemple, un electron relativiste dans un champ magnétique, des sytèmes micro-electromécaniques, des systèmes
nano-electroméchaniques, etc.
Ici, on va considerer que ce système modélise un resonateur piézoélectrique (ou oscillateur piézoléctrique)
composé par une masse M et un ressort dont la raideur est non linéaire et donnée par le terme : βx + αx3 . γ
represent l’amortissement et u le courant injecté au système pour produire la vibration piézoélectrique.
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ANALYSE NON LINÉAIRE DES SYSTÈMES CHAOTIQUES SANS COMMANDE
1. Choisir un vecteur d’états pour le système de Duffing.
2. Analyser la réponse fréquentielle du système de Duffing. Pour cela, simuler le système à différents valeurs
de ω et relever à chaque fois les amplitude maximales des réponses des états x1 et x2 . Pour la programmation
de la réponse fréquentielle, il faut utiliser une boucle dans MATLAB qui lance le programme SIMULINK pour
différents valeurs de ω à travers la commande sim.
3. Simuler tous les trois systèmes non linéaires.
4. Afin d’observer le comportement chaotique de chaque système, tracer leurs portraits de phase (l’évolution
des états dans l’espace, voir Fig. ??). Remarque 1 : pour les systèmes de Lorenz et Rössler utiliser la commande
plot3 de MATLAB. Remarque 2 : Pour bien apprécier l’évolution des états, utiliser un temps de simulation
t > 100 sec.
Fig. 2. Resonateur piézoélectrique
50
40
x3
30
20
10
0
−20
30
20
−10
10
x
0
0
1
−10
10
x2
−20
20
−30
Fig. 3. Portrait de phase du système de Lorenz
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MODELÉS LINÉAIRE
1. Calculer les points d’équilibre de chaque système. Remarque : dans le cas du système de Duffing, considerer
γ = 0.
2. Linéariser chaque système autour d’un point d’équilibre et établir une représentation d’état (voir Eq.??)
pour chacun. Pour cela considerer :
♠
♠
♠
♠
ρ comme l’entrée du système de Lorenz qui exerce des changements du taux de chaleur.
b comme l’entrée du système de Rössler.
u comme la commande du système de Duffing.
Tous les états sont mesurés pour tous les trois systèmes.
ẋ =
Ax + Bu
y
Cx
=
4. Discuter sur la stabilité des systèmes à partir des valeurs propres.
5. Comparer en simulation les réponses des systèmes linéaires avec celles des systèmes non linéaires.
(1)
5
COMMANDABILITÉ et OBSERVABILITÉ
1. Calculer la matrice de commandabilité pour les systèmes linéarisés.
2. Transformer les systèmes linéarisés sous la forme canonique de commandabilité.
3. En supposant que y = x1 pour tous les trois systèmes linéarises, analyser l’observabilité de chacun.
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DISCRETISATION
1. Proposer une période T e convenable pour la discrétisation de chaque système. Justifier le choix.
2. Discrétiser les systèmes linéaires.
3. Comparer en simulation les réponses des systèmes continues avec celles des systèmes discrets.