Simulation du cours d`une action

Applications des maths
Simulation
Cours d'une action 1
Exercice 1
On souhaite simuler l'évolution de la valeur d'une action au cours du temps.
On suppose qu'une action vaut initialement 100 francs et que, chaque jour, son prix
augmente ou diminue (avec la même probabilité) de 1 franc (la fluctuation de l'action est
ici de 1 franc).
a) Écrire un programme qui simule le cours de cette action durant une année (256 jours ouvrables) et trace la courbe qui
illustre de cette simulation.
Indication :
Dessiner la courbe dans une zone d'image ayant au moins 256 pixels de large et 201 pixels de haut pour pouvoir représenter, pour chaque jour, la valeur de l'action par un pixel.
b) Compléter le programme de sorte que l'utilisateur puisse préciser le nombre de simulations à effectuer, le programme
tracera alors le nombre correspondant de courbes.
c) Compléter encore le programme de sorte qu'il représente graphiquement la fréquence des valeurs finales de l'action.
Indications :
Utiliser une variable indicée A(v) où v peut prendre les valeurs entières de 0 à 200 et, pour chaque simulation, incrémenter la variable A(v) où v est la valeur de l'action à la fin de la simulation.
d) Pour résumer la distribution des valeurs finales de l'action, calculer et afficher quelques unes de ses caractéristiques
statistiques.
L'étendue : valeur minimale et maximale.
La moyenne : la moyenne des valeurs atteinte doit être proche de 100 …
La variance : différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.
L'écart type racine carrée de la variance. (mesure de la dispersion autour de la moyenne)
Exercice 2 (volatilité d'une action)
Dans l'exercice 1, on supposait que la fluctuation valait 1 franc. Cette fluctuation n'est généralement pas donnée par une somme fixe mais en
pour-cent de la valeur de l'action. D'une période à l'autre on suppose alors que l'action peut, soit augmenter de a % soit diminuer de d %.
Ces pourcentages d'augmentation (fluctuation positive) et de diminution (fluctuation négative) utilisés pour la simulation du cours d'une action
dans le futur sont déterminés par le cours de cette action dans le passé.
Le tableau ci-dessous présente le cours hebdomadaire d'une action durant l'année écoulée.
112
39
110
110
38
53
110
37
108
111
36
110
110
35
52
109
34
109
108
33
51
109
32
50
108
31
110
108
30
111
111
29
49
110
28
111
105
27
48
105
26
47
106
25
105
105
24
104
106
23
46
115
22
104
113
21
45
112
20
44
106
19
103
105
18
104
106
17
43
115
16
113
113
15
42
113
14
41
113
13
112
112
12
40
107
11
95
8
97
98
7
102
99
6
9
101
5
10
98
102
4
101
2
3
100
1
Ces données sont disponibles dans la table nommée adm_actions1.xls
Pour déterminer la fluctuation hebdomadaire de cette action et ainsi pouvoir simuler son cours dans le futur, il faut :
Former la liste de toutes les variations relative de la valeur de l'action d'une semaine à l'autre. La première semaine, cette action a varié de
+1% (passage de 100 francs à 101 francs), la deuxième semaine elle a varié de –2,97% (passage de 101 francs à 98 francs) et la troisième de
+4,08% ( (102 – 98) / 98 = 0.0408 , donc un taux de variation de 4,08 %).
Ces taux de variation sont les taux de rendement de l'action, ils peuvent être journaliers, hebdomadaires, mensuels, semestriels, annuels ou
autre.
Calculer la moyenne m et l'écart type de ces taux de variations. La moyenne est appelée le taux de rendement hebdomadaire moyen et
l'écart type la volatilité hebdomadaire de l'action).
On choisit alors le taux m + comme taux de fluctuation montant et m - comme taux de fluctuation descendant.
Le cours d'une action sera simulé à l'aide des facteurs d'actualisations hebdomadaires u = 1 + m +
down).
et d = 1 + m -
v21 = v11 u
v11 = v0 u
v22 = v11 d = v12 u
v0
v12 = v0 d
v23 = v12 d
a) Déterminer, avec le tableur, le taux de rendement moyen et la volatilité de l'action décrite dans le tableau ci-dessus.
b) Modifier le programme de l'exercice 1 pour l'adapter aux données ci-dessus
Remarque : les taux de rendement sont ici hebdomadaires alors que dans l'exercice 1, la fluctuation était journalière.
( u pour up, d pour
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Prix d'une option 2
Une option (option d'achat ou call) est un le droit d'acheter dans le futur une action, à une date (date d'exercice) et à un prix (prix d'exercice ou
strike) fixés à l'avance. L'acquisition de ce droit a un prix, le prix de l'option.
Exemple.
On acquière pour 10 francs le droit d'acheter, dans un mois et pour la somme de 95 francs, une action qui vaut actuellement 100 francs. Le prix
de cette option est donc de 10 francs et le strike de cette option est de 95 francs. La valeur réelle de l'action dans un mois est évidemment inconnue …
Si, après un mois, cette action vaut par exemple 110 francs, on achète cette action au prix fixé de 95 francs, la revend au prix courrant de
110 francs et effectue ainsi un gain brut de 15 francs. En décomptant la de mise de base de 10 francs on réalise ainsi un bénéfice net de 5 francs.
Si, après un mois, cette action vaut par exemple 105 francs, on réalise un gain brut de 10 francs, moins les 10 francs de mise de base soit aucun
bénéfice.
Si, après un mois, cette action vaut par exemple 95 francs ou moins, on jette l'option en perdant 10 francs (le prix de l'option).
Calcul du prix de l'option
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le prix d'une option, la méthode de Black-Scholes, par exemple, a valu à ses auteurs le prix Nobel
d'économie en 1997. La méthode abordée ci-dessous (modèle binomiale) est due à Cox, Ross et Rubinstein et date de 1979.
Reprenons un exemple simplifié (comme à l'exercice 1) d'une action ayant un prix initial de 100 francs et pour laquelle on effectue une simulation de l'évolution de son cours en supposant que chaque mois sa valeur augmente ou diminue de 10 francs.
Pour déterminer le prix de cette option, pour, par exemple, un Strike de 95 francs et une échéance de 1 mois, on simule les cours de cette action
durant en faisant l'hypothèse qu'ils ne peut qu'augmenter de 10 francs ou diminuer de 10 francs.
Dans ce modèle, pour un placement initial p1 (prix, à déterminer, de l'option), si, à l'échéance, l'action vaut 110 francs alors le gain sera de
15 francs et si elle vaut 90 francs le gain sera nul.
Pour trouver le prix p1 de l'option, on compare le rendement de cette option à celui d'un "placement équivalent". Ce placement équivalent (portefeuille équivalent) est formé de x1 actions à 100 francs. Pour que la dépense initiale soit la même que dans la situation de l'option (dépense de p1
francs) , on emprunte une somme y1 pour compléter le coût de ces actions. On a donc p1 = x1·100 – y1. Simulons alors le comportement de ce portefeuille équivalent) en supposant que l'emprunt soit soumis à un taux mensuel T = 0,125 %, correspondant à un taux annuel de 1,5 %, taux pratiqué pour des prêts interbancaires à courts termes (taux Libor).
Les schémas ci-dessous présentent ces simulations avec notre modèle de l'évolution du cours de l'action sur un mois.
Évolution supposée de l'action (un mois)
Simulation des rendements de l'option (stike de 95 fr.)
110
100
110·x1 – 1,00125·y1
gain de 15 fr.
100 x1 – y1
p1
90
Simulation des placements équivalents
aucun gain
90·x1 – 1,00125·y1
Pour que ces deux simulations fournissent des gains égaux, il faut que 110 x1 –1,00125 y1 = 15 et 90 x1 –1,00125 y1 = 0.
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fourni les valeurs x1 = 0.75 et y1 = 67fr.24 et en posant donc p1 = x1 100 – y1,
on trouve que p1 = 7fr.58
On utilise le même principe pour effectuer des simulations sur plusieurs étapes. Pour déterminer le prix d'une l'option pour un Strike de
95 francs et une échéance de deux mois avec une action dont la valeur initiale est de 100 francs et pour laquelle on suppose que, chaque mois,
elle augmente ou diminue de 10 francs on détermine un prix de l'option pour chaque étape.
A l'échéance, si l'action vaut 120 francs la valeur de l'option est de 25 francs, si l'action vaut 100 francs l'option en vaut 5 et si l'action vaut
80 francs alors l'option ne vaut rien.
On détermine alors les prix p21 et p21 de l'option après un mois selon la même métho120
de que celle utilisé dans l'exemple précédent.
120–95=25
110
On obtient le prix p21 de l'action après 1 mois au cas où l'action vaut 110 en posant
p21
p21 = 110 x – y et en résolvant le système :
100
100
120·x – 1.00125 y = 25 et 100 x – 1.00125 y = 5.
p1
100–95=5
90
On trouve x = 1 et y = 94.88 et ainsi p21 = 110·1 - 94.88 = 15.12 francs
p22
On obtient le prix p22 de l'action après 1 mois au cas où l'action vaut 90 en posant
80
p22 == 90 x – y et en résolvant le système 100 x – 1.00125 y = 5 et
0
80 x – 1.00125 y = 0.
On trouve x = 0.25 et y = 19.98 et ainsi p22 = 100·0.25 - 19.98 = 5fr.02
On pose finalement p1 = 100 x – y et obtient le système : 110 x – 1.00125 y = 15.12 et 90 x – 1.00125 y = 5.02. Ce système a comme solution x = 0.51 et y =40.38. Le prix de l'option p1 vaut donc p1 = 100·1.98 – 40.38 = 10fr.62
a) En utilisant le modèle ci-dessus, trouver le prix d'une l'option pour un Strike de 105 francs et une échéance de trois mois.
b) Trouver le prix pour un Strike de 95 francs et une échéance de trois mois d'une l'option dont la valeur initiale est de 100 francs, la volatilité
mensuelle de 8 % et le rendement mensuel moyen de 2 %.
c) Écrire un programme qui détermine le prix d'une option pour un Strike et une échéance donnée pour une option
dont on connaît la valeur initiale, le rendement hebdomadaire moyen et la volatilité hebdomadaire.
Indication
Remplir un premier tableau (pa(s,i)) qui contient les prix simulés de l'action pour chaque semaine.
Avec les données du point b) de l'exercice, on a :
pa(1,1) = 100, pa(2,1) = 100·1.1, pa(2,2) = 100·0.94, pa(3,1) = pa(2,1)·1.1, pa(3,2) = pa(2,2)·1.1, pa(3,3) = pa(2,3)·0.94, …
Construire un deuxième tableau (po(s,i) qui contient les prix des options en commençant par la droite
Avec les données du point b) de l'exercice et une durée de placement de 2 semaines, on a :
po(3,1) = pa(3,1) – 95, po(3,2) = pa(3,2) – 95, po(3,2) = 0, po(2,1) = pa(2,1)·x – y où x et y sont obtenus pas résolution du système
d'équations po(3,1) = pa(3,1) x – y·(1 + t) et d'équations po(3,2) = pa(3,2) x – y·(1 + t) où t = taux interbancaire hebdomadaire.