etude sur la survenance des sinistres en assurance automobile
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etude sur la survenance des sinistres en assurance automobile
i ~ T U D E S U R LA S U R V E N A N C E D E S S I N I S T R E S E N ASSURANCE AUTOMOBILE M. B R I C H L E R I. D I S T R I B U T I O N DES ASSURI~S SELON LE NOMBRE DES S i N I S T R E S DANS UNE PI~RIOD].~ DE TEMPS I)I~TERMINI~E On sait que la loi de Poisson simple reprdsente mal la distribution des sinistres d'un groupe observfi d ' a u t o m o b i l i s t e s du fait que tout gq'oupe que l'on p e u t ,6tudier en pratique, m6me s'il est composd d'assur6.s prfisentant des caract4ristiques c o m m u n e s (mfime zone de circulation, m 6 m e t y p e de v4hicule, m6me utilisation de ce v4hicule, . . . ) est h4t4rog~ne q u a n t a u x autres caractfiristiques et s u r t o u t q u a n t au c o m p o r t e m e n t persmmel des assurds, dldment d o n t l'influence sur les rdsultats du risque est pr@o]ld4rante. M. D e l a p o r t e a obtenu une reprfisentatio~l int~ressante du ph~nom~ne en s u p p o s a n t que les sin.istres d ' u n vfihicule se r @ a r t i s sent s u i v a n t une loi de Poisson de m o y e m m donn4e, et que les m o y e n n e s de chaque v4hicule du groupe 4tudi~ se d i s t r i b u e n t selon une loi de P e a r s o n t y p e I I I d ' d q u a t i o n : ao dF(s) -- r(b) e - , ( s - s.) (s - - s . ) I~ - ~ d s off l'(b) est la fonetion euldrienne de 2'"'"" esp6ce" I'(b) = ~e z.vb l d x o b, et so dtant des p a r a m ~ t r e s dont la valeur est calculde en dgalant les expressions des 3 premiers m o m e n t s thdoriques a u x m o m e n t s c o r r e s p o n d a n t s ol)servds. Cette formule conduit k des calculs assez longs. M. Depoid a propos4 Ulm formulc plus simple Si nz est, sur Io.ooo vdhicules, le h o m b r e de ceux a y a n t eu darts l'ann~e a~t m o i n s x sinistres, on a sensiblement : a, log n x = 4 - - tz SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE 87 I d t a n t d o n n d p a r la r e l a t i o n I -= L a+bF off F - - f r d q u e n c e d u g r o u p e . M. D e p o i d u t i l i s a i t " on p r o v i n c e : I - = ! 0,68 + 3 F 5. P a r i s : I - = 0,84 + 3 , 5 F t M. B r i c h l e r a o b t e n u suivante: des r & u l t a t s a n % l i o r d s a v e c la f o r m u l e qui p e r m e t en o u t r e des c a l c u l s tr~s simplifi6s. O n en t i r e en effet, en a p p e l a n t N le h o m b r e des v d h i c u l e s d u g r o u p e et N.. le h o m b r e d e c e u x a y a n t eu e:cactemen! x s i n i s t r e s : N N o -- 1; Ni No : ~+F F N2: N1 F N x : N z - I I Jv F x On vdrifie f a c i l e l n e n t q u e E Nx = N z o 88 SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE x et que: W xN z = NF x 0 En s o m m a n t de x /t l'infini, on a l e hombre de vdhicules a y a n t (x et + ) sinistres: N x et + = N x_ t F I / e x p r e s s i o n ci-dessus est tr~s c o m m o d e en pratique, puisqu'elle permet de classer la totalit6 de la population, par exemple" Assurds Assurds Assur& Assurds ayant ayant ayant ayant o I 2 3 sinistre sinistre sinistres sinistres et plus. On ddmontre encore que le n o m b r e m o y e n de sinistres des assur6s a y a n t (x et + ) sinistres est: x+F Par exemple, si la frdquence du groupe est F = o,4, la frdquence m o y e n n e des assurds a y a n t (3 sinistres et + ) est 3, 4. Ces formules simplifient considdrablement les calculs lids aux sirdstres (calculs de bonus-malus par exemple). Applications numdriques (exemples tirds de l'ouvrage de M. Depoid) i. Sur un groupe de 1.744 voitures de tourisme, usage p r o m e n a d e en 1958. Frdquence m o y e n n e : o,324 . N o m b r e de vO.hmules .Nolnbre de Sinistres (} I 2 3 4 5 6 et -t Aj u s t e m e n t ~ Observations 3~6 323 81 t8 4 2 Poisson sl m p l e 1 26I 400 66 7,2 O,6 £ Pearson I I I {l ) e l a p o r t e ) 3t6 325 79 ~o 4,6 1,3 o,3 I.es trois a j u s t e m e n t s sont trhs bons. Formule l)el)oul I:ornlule 13rmhler I 310 322 70 I9 4,5 1,3 o,2 r 3t7 322 79 19 4,7 1,2 0,4 89 SINISTRES EN ASSUR.ANCE AUTOMOBILE 2. E x e m p l e s avec des fr&luences extr4mes. 3) Renault 4 CV - - P r o v i n c e en 1955 - vdhicules de frdquence m o y e n n e o,o93 Ndfr d e s i m s t r e s I o . . . . . . O1)servations N o m b r e tic vdluculcs P o i s s o n rumple Formule Brmhler 9 799 o 839 836 7I 7 q 835 t 2 3 843 70 6 ,t eL q - , groupe de Io.784 Q[ 1 43 I --- I I b) Citroen I D 19 - - Paris en I958 frdquence m o y e n n e 0,679 - - groupe de 2.224 vdhicules de N o m b r e do V d h i c u l c s Ndfr dc s i m s t r e s Observations P o i s s o n Sllllple J l?ornltllC Brlch_lef_ ~.345 i 13o 765 260 58 [o i 325 536 2t7 ~3 36 t4 IO I O ,508 228 1 2 3 4 5 6et 78 36 I T7 + I2 -- I La formule 13richler est un cas particulier de lx formule D e l a p o r t e en faisan t" t 1" 2. LIAISONS ENTRE LES FRI~QUENCES D'ANNI~ES SUCCESSIVES M. Depoid a donnd dans son o u v r a g e l ' e x e m p l e s u i v a n t qui fait a p p a r a i t r e darts unc p o p u l a t i o n d'assur6s, les liaisons entre los rdsultats des ann6es succcssives: 1.25o c o n t r a t s observds p e n d a n t 4 ans en ne c o n s e r v a n t quc les assur6s restSs dans la Socidtd I8 mois art nloins 9° SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE Fr6quence m o y e n n e Sinistrcs la 6re a n n 6 c de 26me alln6e de 3dine a n n d e de 46me ann6e de la 2e g la 4e o,47 o,72 i ,o6 0,39 0,60 o,9o 0,33 0,45 0,58 0,4I o,63 0,94 0,631 0, 51 7 °,3S6 0,55 ° 0 i i 2ct+ ( n l o y e n n e 2,5 ) E n s e m b l e frdqtlence lllOyClllie o,67t (On observe une baisse de la fr6quence gdn6rale du fait qu'on op~re sur une population fermde). M.Delaporte a l)roposd le module suivant: Frdquence lide par le rdsultat x d ' u n e annde: f P(x/f) dF(f) .fix =/2 ; e(xli) dE(f) l0 et si on a x sinistres en .12 anndes: f P(x~/:)... P(x,,l: ) d F ( f ) f lt/Z "~ Io I P(xv:)...P(x,,/f) dE(f) Io x = h o m b r e annuel de sinistres e-f fxi P(x,/f) = - xz! Sur l'exemple ci-dessus de M.Depoid, cette formulation p e r m e t de calculer les esp6rances m a t h 6 m a t i q u e s de 2&me, 3&lne, 46me alm6es, lifes par les frdquences de I6re annde; en corrigeant de la tendance b. la baisse signal~e, on trouve: _ I _ g r d q u e n c e s hdes S~11istres dc la O I 2 ct -t de 26me a n n 6 e de 3~me mm6e de 46me a n n 6 e %469 o,7Io 1,066 o,384 0,582 o,874 0,287 0,434 0,652 SINISTRE~ EN A S S U R A N C E AUTOMOBILE 91 La c o n c o r d a n c e avec les r d s u l t a t s o b s e r v d s est s a t i s f a i s a n t e , m a i s les calculs s o n t assez longs. T r a v a u x rdcenls du Groupeme,nt Technique Accidents l.es o b s e r v a t i o n s r 6 c e n t e s o n t c o n f i r m 6 l ' e x i s t e n c e de l i a i s o n s ent r e les r 4 s u l t a t s d ' a n n d e s successives. P a r e x e m p l e , s u r 17o.ooo vdhicules d o n t les r d s u l t a t s o n t 6t6 o b s e r v d s en 196o, 1961, 1962 (en zone n o r m a l e , tous usages), o n a t r o u v 6 : Simstres la t 6re 3,11116c. Vr6qucnce de 2e annde: i 0 t o,t 7 0,37 4et "2 3 o,59 0,85 + i,I5 b) '.2 oil frdquence annuelle: o 3 4 0,5 I I, 5 2 r6quence de 3e annde : o, t35 0,26 o,41 mistres e.n 2 a,~/.s : o I 0,62 o,0t t,31 6 3 7et + 3,5 et + 1,85 vcrs 3 Le G . T . A . s ' e s t p r o p o s 6 d ' 6 t a b l i r u n e f o r m u l e s i m p l e r e n d a n t COlnpte de ces liaisons. t) F o r m u l e approchde : E n p o r t a n t darts la f o r m u l e des frdqueflces lides de M. D e l a p o r t e les v a l e u r s des p a r a m ~ t r e s c o r r e s p o n d a n t ~. la f o r m u l e de d i s t r i b u t i o n p r o p o s 6 e p a r M. Brichler, elle se r d d u i t ~.: I + x F = frdquence d'ensemble I + nF x = s i n i s t r e s de n a n n d e s f./x = F - - Appliquons cette formule aux rdsultats d'observations indiquds ci-dessus, p o u r lesquels F = o,2t2 Smistres la tcXre a n n i e l"rdquence de 26ii1c a.lllldC o t 2 3 ,,let -I- o, t 7 0,33 0,50 o,67 0,87 l.a c o r t c o r d a n c e n ' e s t p a s e n t i ~ r m n e n t s a t i s f a i s a n t e . 02 SINiSTRES EN A S S U R A N C E A U T O M O B I L E .2) F o r m u l e ddveloppde: l.a f o r m u l e indiqu6e plus h a u t a dt4 amdliorde r 6 c e m m e m p a r MM. A c h e r et T h i r y , au prix, bien ellterldu, d ' m m c e r t a i n e complication. S u p p o s o n s une population1 fermde, d o n t la f r d q u e n c e d ' e n s e m b l e 17 reste c o n s t a n t e darts le t e m p s (en fait, on salt qu'elle s'am6liore - on rtdglige ce facteur). P o u r ull assur6 de fr6quence k l'origine supposde dgale k f0 ~) on v a d 6 t e r m i n e r fl, f._,. . . . . frdquences des anndes i, .2. . . . . en f o n c t i o n des n anndes d ' a s s u r a n c e 6coul6es et des sinistres observds p e n d a n t ces n ann6es. L ' a j u s t e m e n t a 6t6 d d t e r m i n 6 sur 3 ann6es du fair q u ' e n S t a t i s t i q u e C o m m u n e , on a des o b s e r v a t i o n s p o u r 3 anndes cons6cutives • 6o-61-62 61-62-63 63-64-63 et de f a g o n clue, p o u r l ' e n s e m b l e des assurds, la fr6quence soit F c h a q u e am~de. O n pose, aprSs n mmdes a+bs f , -4- I = fo le --F n off s = fon.ctiort de x ( h o m b r e de sin.istres p e n d a n t les n ann4es) et a, b, k des p a r a m 6 t r e s d 6 p e n d a n t de f0. Oll s u p p o s e q u e Ajuslemenl s=o si x= o. de a el de k: I) P o u r n : o qui e n t r a h l e x - ~ o, on a la frdquence de I6re anride f l q u ' o l l s u p p o s e = f . d'oh a = k 2) P o u r n ~- I, si ort a eu o sinistre ell I a r e armde, on afe/o - : a f 0 a. _4_ I (/~/o = fr4quence 26me ann6e si o sinistre la I6re ann6e). I d'oh a : fo --I f2/o ~) F r 6 q u e n c c d ' o r i g i n c f r d q u e n c c s u p p o s d e g la s o u s c r l p t l o n du c o n t r a t . SINISTRES EN ASSURANCE 93 AUFOMOBII~I~ P o u r d i f f 6 r e n t e s f0 et en u t i l i s a n t les .3 sdries d ' o b s c r v a t i o n , on t r o u v e un a j u s t e m e n t g l o b a l assez b o n ell p r e n a n t : o,I25 log a -- fo A just.ement de b: S u p p o s o a s a u d 4 p a r t q u e s - - x, h o m b r e dc s i a i s t r c s . Vu la s t a b i l i t 6 d e F , si on a u n e p o p u l a t i o n de n a s s u r f s d e f r d q u e n c e d e d d p a r t f0, N o n t o Sin. la I k r e 1 + fo E n 26me amldC la f r 6 q u c n c c sera" annde A / o = f,, a + fo o n t I " la N l = N o -___ I + fo I h r e a n n d e No et + = " I f. A, N t f oont 2 Sin. et + I a+b a + b (2 + x) f2/.o+ la I 6 r e a n n d e (Formules Brichler) --fo a+i )~ --= jq) I oh Err d c r i v a n t q u e 1: se c o n s e r v e " F = Nfo = NoxA/,, + N~ xf~/~ + N: ot + xA/: + d'ofi l ' o n t i r e : b - I /o E n fait, l ' e x p d r i e n c e m o n t r e q u e les r d s u l t a t s se r a p p r o c h c a t davantage des observations en prcnant pourn ~ .~ . . . . . . . . . . pour n = 2 .......... pourn = 3 .......... s ~ s = --c- = s = + x h o m b r e de sin, I h r e h o m b r e d e sin, 2 m e (sci-dessuspourn r t o m b r e d e sin. 3 m e annde annde = 2) × aande × 0,8 x 1,2 o,8 x 1,2 ce qui ne c h a n g e p a s le c a l c u l c i - d e s s u s ( p u i s q u ' o n a l e m f m e h o m b r e t o t a l d e s i n i s t r e s c h a q u e arm6e). C e t t e p o n d d r a t i o n c o r r e s p o n d au fair o b s e r v 6 q u e les s i n i s t r e s p l u s r d c e n t s p h s e n t p l u s l o u r d . On p e u t etlcore a m d l i o r e r en p r e n a n t : s = x ~ x Oil ~ = I + ~ ~6taatdei'ordrcdco,~ SINISTRES EN ASSURANCE AU'I'OMOI3ILI'2 94 i1 v i e n t a l o r s : I b --~-fo (I + ~) E n p r a t i q u e , o a a r e t e n u a u G . T . A . p o u r le~ c a l c u l s c o u r a n t s : a+bs J~,,1 = fo - - s" 0,125 a v e c log a - - - .l:(I,I) :c - I b fo f.{t,,) Exemple d'application p o u r fo = 0,212 I1 v i e n t : f.+t =f. 3,__89 + 4/__29 x ( I , 1 ) z 3,89 + n O n d m m e ici lc r a p p o r t ' fll ~ - - /0 l X IOO D a r t s c h a q u e c a s e la I h r e l i g n e est la v a l e u r o b s e r v 6 e e n S t a t i s t i q u e C o m m u n e , la 2 6 m e lig~m est le r d s u l t a t d u c a l c u l . lnd~ces de Frdquences de 2eme annde Sinistres la thrc ann6e I 0 t 2 3 4 et + 70 80 173 t 76 278 4 oc 43 ° 722 786 I Fr6quences de 26me annde 2Q2 I mhces de Jrdquences de 3eme annee 'bt mstres la Sistrcs la _ I 2 0 anll~O o J25 132 2 I9I 3 204 242 290 4et 276 532 J 2 16i 231 226 300 306 402 394 465 634 277 350 343 442 4J6 494 51o 1080 743 3 41 I 57° [ 48t 595 554 897 649 915 882 4 et ~- 773 795 83T 966 911 1212 1006 2200 i232 l.a c o n c o r d a n c e est b o n n e s a u l p o u r la d c r r d h r e case d u s e c o n d t a b l e a u q u i cozlcerrte u n trhs p e t i t h o m b r e d ' a s s u r 6 s . S I N I S T R E S EN ASSURANCE AUTOMOBILE 95 ANNEXE Les formules des pages 6 et 9 sont k r a p p r o c h e r de celle de la ,,prime po~ld~r~e" propos~e p a r M. Brichler dans uric communication ~ l ' I n s t i t u t des Actuaires Frangais (Bulletin J u i n 196 7 p. 2Ol). II s'agit d'mle prime variant chaque anude cn follction du uombre de sinistres (comnae la ,,prime model6e" de M. Delaporte). Le principe e n e s t le suivant: La premi6re ann6e, l'assur6 p a y e la prime P o correspondant au vdhicule, ~ la zo21e, kt l'usage, etc . . . . Apr~s n ann&s, s'il a eu x sinistres, le cofit moyml des sinistres dtaat C, la p r i m e pourrait ~tre xC qg E a fait, nous estimons que la prime ~. percevoir rdellemeat doit fitre un compromis mltre-la prime de sa catfgorie (Po), prime m o y e n n e dtablie au vn de statistiques p r o v e n a n t de nombreuses observations-et rcn, rdsultant de l'observation des sinistres individuels sur un nombre d'annfies en gfindral petit et done en pattie alfiatoire. Le compromis peut ~tre une m o y m m e ponddrde: l)/, -- ~P,, + f~=,, La prdcision de rc~ s'amdliorant chaque annde, ~ doit 6tl'e une fonction croissante de n. Prenons [3 = n, d'ofi: P?i, ~Po + xC D ' a u t r e part, p o u r assurer un bon dquilibre entre Po et r% il cortvient de preudre ~ d ' a u t a u t plus grand que P o est petit. E n posaitt P o = ~jxC, I1 vient P~ -- k+x k/f o + ~ k preaons X = -- f,, C-- k+x k + ufo Po La formule de la page 6 correspond k k = i. 96 SiNISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE Nous avolts o b t e n u des rdsultats numdriques tr~s voisins de ceux de la p r i m e modelde de M. D e l a p o r t e en pre,lant p o u r k tree valeur un peu plus grande que I(le - - I, 7), cc qui revient h domler un peu plus de poids h Po qu% r:,~. 0, 125 L a formule de la pagc 9 con'espond h k = IO /o XJo.