Aspects g eom etriques et combinatoires de la convexit e

Transcription

Aspects geometriques et combinatoires
de la convexite
Journees X-UPS 1995
Juillet 1995
F{91128 Palaiseau Cedex
Tel. : ((33)) (1) 69 33 40 88
Fax : ((33)) (1) 69 33 30 19
Internet : [email protected]
Sommaire
Preface
iii
Bibliographie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : iv
Matrices hermitiennes et convexite
Michele Audin
1 Autour du theoreme de Toeplitz-Hausdor
2 Demonstration des theoremes de convexite
3 Polygones et polytopes convexes : : : : : :
Bibliographie : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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Michel Brion
Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1 Le polynôme d'Ehrhart d'un polytope convexe entier : : : : : : : :
2 Une generalisation de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin :
3 Polynôme d'Ehrhart et mesures invariantes des polytopes entiers : :
4 L'anneau des polytopes entiers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Bibliographie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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Polytopes convexes entiers
Construction de courbes reelles
Jean-Jacques Risler
1 Introduction : : : : : : : : : :
2 Compactications de (R )2 : :
3 Carte d'un polynôme : : : : :
4 Collage de cartes : : : : : : :
5 Applications et complements :
Bibliographie : : : : : : : : : : :
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Volumes mixtes des corps convexes
Bernard Teissier
Introduction : : : : : : : : : : : : : : :
1 Le probleme isoperimetrique : : : :
2 Corps convexes : : : : : : : : : : :
3 Volumes mixtes : : : : : : : : : : :
4 Volumes mixtes avec la boule unite
5 Nombres de faces des polytopes : :
Bibliographie : : : : : : : : : : : : : :
i
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1
1
6
14
17
19
19
19
26
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39
43
43
45
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49
53
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59
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Preface
La geometrie des corps convexes, initiee par Brunn et Minkowski a la n du
siecle dernier, forme un beau chapitre de la geometrie euclidienne. Le volume mixte
de plusieurs convexes est un concept central de la theorie, donnant lieu a une serie
d'inegalites de convexite.
Parmi les convexes, les polytopes (polyedres de Rn) sont une source de problemes
de nature combinatoire, par exemple
(1) etant donnee une famille d'entiers f0 : : : fd, sous quelles conditions existe-t-il
un polytope convexe de dimension d dont le nombre de facettes de dimension k soit
fk pour tout k (voir le texte de B. Teissier) ? Une condition necessaire, remontant a
Euler et Poincare, est que la somme alternee des fk soit egale a 1 ; (;1)d (2) lorsque le polytope P est a sommets dans Zn , calculer le nombre de points de
Zn contenus dans P au debut des annees 60, E. Ehrhart, professeur dans un lycee
a Strasbourg, a decouvert des proprietes remarquables du nombre de points entiers
dans les homothetiques kP , considere comme fonction (polynomiale) de k (voir le
texte de M. Brion).
Un des outils essentiels dans ce type de problemes est un dictionnaire remarquable entre proprietes des polytopes convexes et proprietes de certaines varietes
algebriques (ensembles denis par des equations polynomiales a plusieurs variables
complexes), dites varietes toriques, permettant d'utiliser des methodes et des resultats (d'analyse par exemple) a priori tres eloignes des problemes initiaux (voir le
texte de B. Teissier).
En retour, des proprietes d'algebre se sont trouvees reliees a la convexite, par
exemple
(1) le nombre de zeros communs (a coordonnees complexes non nulles) de k
polynômes a k variables peut s'exprimer en terme du volume mixte des polytopes
de Newton associes aux polynômes, au moins lorsque les coecients des polynômes
sont \assez generaux" (ceci generalise le fait bien connu qu'un polynôme de degre
exactement d et dont le terme constant n'est pas nul, a exactement d racines non
nulles) (2) la methode des varietes toriques permet de construire des congurations
d'ovales (courbes planes denies par une equation polynomiale reelle f (x y) = 0,
iii
sans singularite), diciles a deviner directement (16eme probleme de Hilbert) (voir
le texte de J-J. Risler) (3) on generalise des inegalites classiques (dues a Schur dans les annees 20)
qui contraignent les termes diagonaux des matrices hermitiennes de valeurs propres
donnees a rester dans une partie convexe de l'espace (voir le texte de M. Audin).
Nicole Berline et Claude Sabbah
Bibliographie
1] M. Berger, Geometrie, Masson, Paris, 1978.
2] Grunbaum, Convex polytopes, Interscience, London, 1967.
3] Schneider, Convex Bodies : the Brunn-Minkowski theory, Encyclopedia of
Mathematics and its applications vol. 44, Cambridge University Press, 1994.
Figure dessinee a l'aide de Mathematica par J. Bethery
professeur au lycee Albert Schweizer, Le Raincy
iv
Michele Audin
et la photo du grand-pere dans son cadre ovale, et la
cheminee avec, entre les deux pots a pieds coniques, la lampe
dont le socle est un cube d'opaline et le poisson rouge dans
son bocal spherique, et la table ronde avec le dessous de
plat metallique en forme de losange, le cendrier octogonal
de faence blanche et la petite bo^te a cigarettes en bois
sculpte aectant la forme d'un tonneau
G. P.
Dans ces notes, je vais expliquer comment on peut utiliser des techniques de
topologie dierentielle, la theorie de Morse, qui traite des points critiques de fonctions numeriques, pour demontrer des theoremes de convexite. Je focaliserai l'etude
sur des theoremes mettant en jeu des matrices hermitiennes, et notamment sur des
generalisations du theoreme de Toeplitz-Hausdor en dimension nie.
1. Autour du theoreme de Toeplitz-Hausdor
1.1. Le theoreme de Toeplitz-Hausdor
Un probleme classique, dit de Toeplitz-Hausdor, est celui de la determination
de l'image numerique d'un operateur A sur un espace de Hilbert H. Il s'agit tout
simplement de l'ensemble W (A) des valeurs prises par le produit hAv vi quand v
parcourt la sphere unite de H. Je me limiterai ici au cas des matrices, c'est a dire
au cas d'un espace de dimension nie : je supposerai que H = Cn avec la forme
hermitienne standard. Ainsi l'operateur A est-il une matrice n n complexe.
Exemples. | L'image numerique peut prendre des formes relativement variees.
Je m'inspire ici des exemples donnes dans 7], considerant les matrices
!
!
!
1
0
0
0
0
0
A= 0 0 B= 1 0 C= 1 1 00 0 11
00 0 01
01 0 01
D=B
@ 1 0 0 CA E = B@ 1 0 0 CA F = B@ 0 i 0 CA
0 1 0
0 0 1
0 0 0
pour lesquelles on verie (plus ou moins facilement) que les images numeriques sont
celles representees sur la gure 1.
1
2
Michele Audin
0
1
W (A)
0
1=2
0
W (B )
W (C )
i
j
j2
1
1
W (D)
0
1
0
W (E )
1
W (F )
Figure 1 : Images numeriques d'operateurs
Le point commun le plus evident entre ces dierentes parties de C est, bien
entendu, leur convexite. C'est ce qu'arme le theoreme de Toeplitz-Hausdor :
Theoreme 1. | L'image numerique W (A) est convexe.
Remarque. | Ce theoreme reste vrai dans un espace de Hilbert quelconque.
Comme en dimension innie la sphere unite n'est plus compacte, on peut trouver
des convexes non fermes (voir 7] et les references citees dans cet ouvrage).
1.2. Des vecteurs unitaires aux matrices hermitiennes
Des vecteurs unitaires a l'espace projectif. | L'application v 7! hAv vi dont
nous contemplons l'image depuis le debut de cet article est denie sur la sphere unite
S = fv 2 Cn j kvk = 1g
mais a vrai dire, la valeur de hAv vi ne depend que de la droite complexe ` que le
vecteur v engendre : si w = v,
hAw wi = jj2 hAv vi = hAv vi
quand v et w sont unitaires. En d'autres termes, notre application est en fait bien
denie sur l'espace projectif
Pn;1 (C) = fdroites vectorielles ` de Cng le quotient de la sphere S par la relation d'equivalence
v w , 9 2 C jj = 1 tel que w = v:
3
On a ainsi une application :
fA : Pn;1 (C) ;;;! C
` 7;;;! hAv vi
(ou v est un vecteur unitaire de `).
Remarque. | Considerons par exemple le cas ou n = 3, de sorte que Pn;1 (C)
est le plan projectif, qu'on peut considerer comme l'espace des coordonnees homogenes x y z] ou comme le plan ane fx y 1] j (x y) 2 C2g compete par sa droite de
l'inni fx y 0]g comme sur la gure 2 ou la droite oblique est celle de l'inni et le
@@ 0 1 0]
@@
@@
@@
@@ 1 0 0]
@@
0 0 1]
Figure 2 : Le plan projectif
point x y z] est celui dont les coordonnees barycentriques dans le triangle sont x,
y et z. Il y a beaucoup plus qu'une analogie entre cette gure et l'image numerique
W (F ) representee sur la gure 1 : on pourra verier que les sommets du triangle
sont envoyes sur les sommets et les droites projectives complexes schematisees par
les trois droites de la gure 2 sur les côtes du triangle W (F ).
De l'espace projectif aux matrices hermitiennes. | Etant donnes une droite
vectorielle ` de Cn et deux nombres reels et , on construit un operateur hermitien
V : Cn ! Cn de la facon suivante : on decompose Cn en ` `? et on denit
V j` = Id`, V j`? = Id`? . Le spectre de V est ( | :{z: : }) par construction.
n;1
Prenons par exemple = 1 et = 0. On verie alors simplement que, pour tout
vecteur unitaire v de ` et pour toute matrice complexe A,
hAv vi = tr(AV )
de sorte qu'on peut être tente de remplacer la sphere unite par l'ensemble des matrices hermitiennes de spectre ( : : : ) xe et, pourquoi pas, par l'ensemble
isospectral plus general
H(1:::n) = H = fmatrices hermitiennes V de valeurs propres 1 : : : n g
4
Michele Audin
pour tout (1 : : : n ) = 2 Rn .
Le probleme auquel on arrive ainsi est celui de la description de l'image de
l'application
fA : H ;;;! C
V 7;;;! tr(AV )
qui est celui de Toeplitz-Hausdor quand = (1 0 : : : 0). Il est remarquable que
le theoreme enonce ci-dessus reste vrai dans cette generalite, comme l'a demontre
Viktor Ginzburg dans 4] :
Theoreme 1 bis. | L'image de H par fA est une partie convexe de C.
1.3. Des polygones et des polytopes convexes
On aura remarque, parmi les exemples ci-dessus, les cas de W (A), W (D) et
W (F ) qui sont un peu mieux que des convexes : ce sont des polygones convexes1.
Les matrices qui les denissent ont une propriete specique : elles sont normales au
sens ou elles commutent avec leur adjointe. La demonstration du theoreme suivant
est en fait un exercice facile, que je laisse au lecteur :
Theoreme 2. | L'image numerique d'une matrice normale est l'enveloppe
convexe de ses valeurs propres.
Remarque. | En dimension innie, c'est l'adherence de l'image numerique qui
a cette propriete.
La demonstration de Ginzburg du theoreme 1 bis donne aussi, sans beaucoup
de fatigue supplementaire, la generalisation suivante du theoreme 2, un peu moins
triviale :
Theoreme 2 bis. | Si A est une matrice normale dont les valeurs propres
sont a1 : : : an, l'image de H par fA est l'enveloppe convexe des n! nombres complexes
n
X
j =1
aj (j)
ou parcourt le groupe Sn des permutations de f1 : : : ng.
Le mot poly-gone (resp. -edre, -tope) convexe designe l'enveloppe convexe d'un nombre ni de
points dans un espace de dimension 2 (resp. 3 ou quelconque).
1
5
Exemples. | On a deja remarque que les W (A), W (D) et W (F ) de la gure
1 entrent dans ce cadre. Même en restant dans les matrices 3 3, on a maintenant
une panoplie d'exemples plus varies. Gardons la matrice
01 0 01
F =B
@ 0 i 0 CA 0 0 0
mais changeons de spectre en considerant un arbitraire. D'apres le theoreme 2 bis,
l'image de fF est formee de l'enveloppe convexe des points k + il (pour k 6= l).
C'est un hexagone quand le spectre est simple (gure 3), un triangle, voire un
point, sinon.
i3
i2
1
2
3
i1
Figure 3
Toujours dans cet exemple, regardons maintenant ce qu'est eectivement l'application V 7! tr(FV ) : a une matrice hermitienne V = (vkl) de spectre elle
associe v11 + iv22 2 C ou (v11 v22) 2 R2, ce qui
est equivalent
a donner les terP
P
mes diagonaux de la matrice puisque la trace vii = i est xee sur H . Le
theoreme 2 bis applique a cet exemple est donc une caracterisation de ceux des
nombres (v1 v2 v3) 2 R3 qui sont les termes diagonaux d'une matrice hermitienne
3 3 de spectre (1 2 3) xe. Precisement ici, si on range les i comme les vi par
ordre croissant,
8
>
< 1 v1 3
+ v +v +
>
: v11 + v22 + v31= 12 + 22+ 33:
Le theoreme de Schur et Horn. | Il existe des inegalites analogues a celles que
nous venons d'obtenir pour les diagonales des matrices hermitiennes de toute taille.
Il s'agit d'un theoreme de Schur 9] et Horn 8]. Il est bien plus simple d'ecrire un
6
Michele Audin
theoreme de convexite tel que le theoreme 2 bis qu'une liste d'inegalites plus ou
moins comprehensibles :
Theoreme 3. | L'application qui, a une matrice hermitienne, associe sa diagonale envoie H(1:::n) sur l'enveloppe convexe dans Rn de l'ensemble des points
((1) : : : (n) ) (pour 2 Sn ).
Figure 4 : Diagonales des matrices n n hermitiennes, cas n = 3 et n = 4
La gure 4 represente cette image dans l'hyperplan P vi = P i de Rn pour
n = 3 (hexagone) et n = 4 (permutaedre)2 dans le cas ou les i sont distincts.
2. Demonstration des theoremes de convexite
Les theoremes que j'ai decrits ci-dssus appartiennent a une famille assez generale de \theoremes de convexite en geometrie symplectique" | quel que soit le sens
que ca puisse avoir. Le prototype en est un theoreme publie simultanement en 1982
par Atiyah 2] et Guillemin et Sternberg 6]. Si le theoreme de Schur-Horn (notre
theoreme 3) en est une application directe, celui de Ginzburg (nos theoremes 1 bis
et 2 bis) est plutôt une consequence des idees de la demonstration d'Atiyah. Je vais
expliquer maintenant ces idees et demontrer le theoreme 1 bis (et donc en particulier
le theoreme 1).
2.1. Strategie de demonstration : comment demontrer un theoreme
de convexite ?
De la connexite a la convexite. | Imaginons qu'on veuille montrer que l'image
d'une certaine application continue f d'un espace topologique W dans Rm est convexe. Par denition un convexe est une partie de Rm dont l'intersection avec toutes
je remercie J. Bethery, professeur au lycee Albert Schweizer au Raincy, de m'avoir fourni cette
gure.
2
7
les droites est vide ou connexe. En consequence, pour montrer que f (W ) est convexe, il sut de montrer que pour toute application lineaire ' : Rm ! Rm;1 et
pour tout u 2 Rm;1 , (' f );1 (u) est vide ou connexe : en eet
f (W ) \ ';1(u) = f (' f );1 (u)
sera alors vide ou connexe.
Dans le cas des theoremes de type 1 ou 1 bis ci-dessus, l'espace Rm est C,
autrement dit m = 2 et m ; 1 = 1 et les ' f sont des fonctions numeriques. On
veut donc montrer que les niveaux3 de certaines applications sont vides ou connexes.
Comment demontrer que tous les niveaux d'une fonction sont connexes. |
Commencons par considerer les deux exemples representes sur la gure 5.
Figure 5
Dans les deux cas, la fonction consideree est l'altitude, la hauteur. Il y a un
minimum a partir duquel les niveaux sont non vides et connexes. Dans le cas de
la sphere (a gauche) tous les niveaux non vides sont eectivement connexes. Dans
le cas du tore (a droite) ce n'est vrai que jusqu'au niveau t0 au dessus duquel les
niveaux ont deux composantes connexes.
En traversant la valeur minimale, le type topologique du niveau change (il etait
vide, il devient un cercle). Il se passe quelque chose d'analogue en chaque valeur
critique. La valeur t0 correspond a un col (gure 6).
L'etude de ce type de phenomenes est l'objet de la theorie de Morse, outil precieux utilise dans des contextes varies : on considere une fonction de Morse, une
application dont tous les points critiques sont non degeneres (voir la denition juste
en dessous) et on a des modeles locaux tres similaires au cas simple du col represente
sur la gure 6 qui permettent de decrire comment le type topologique des niveaux
change quand on traverse une valeur critique.
En un point critique, par denition, la dierentielle de la fonction est nulle.
3
Les niveaux de g sont les g;1 (u).
8
Michele Audin
Figure 6 : le col z = t0 + x2 ; y2
Definition. | On dit que le point critique c est non-degenere si la derivee
seconde est une forme quadratique non-degeneree. Une fonction de Morse est une
fonction dont tous les points critiques sont non-degeneres.
Il est equivalent4 de dire que le point critique c est non-degenere ou qu'il existe
des coordonnees locales (x1 : : : xm) sur W dans lesquelles la fonction f s'ecrit
(2)
f (x1 : : : xm) = f (c) + Q(x1 : : : xm)
ou Q est une forme quadratique non-degeneree.
Du coup on a des modeles locaux pour les changements de topologie. Par exemple, le cas d'un minimum local est celui d'une forme Q de signature (m 0) (le bas
des dessins de la gure 5 represente la cas (2 0) et le haut le cas (0 2)). La gure 6
represente le cas d'une forme de signature (1 1) et la gure 7 celui d'une forme de
signature (2 1).
c
Figure 7
C'est ce qu'arme le theoreme qui fonde la theorie de Morse, le celebre lemme de Morse (voir
5] par exemple).
4
9
Plus generalement, le changement local de type topologique est decrit tres explicitement par la transformation de la quadrique Q(x1 : : : xm) = t pour t 2 ;" "].
De cette description explicite, on deduit que, pour être certain que tous les niveaux
d'une fonction de Morse sont connexes5, il sut de s'assurer que celle-ci n'a aucun
point critique en lequel la derivee seconde a pour signature (m ; 1 1) ou (1 m ; 1).
Proposition. | Soit f : W ! R une fonction de Morse n'ayant aucun point
critique en lequel la signature est (m ; 1 1) ou (1 m ; 1). Si W est connexe, alors
tous les niveaux de f sont vides ou connexes.
Remarque. | Au debut de ce x, je parlais d'un espace topologique W . Il va
sans dire que les techniques de theorie de Morse s'appliquent a une fonction W ! R
qui doit être au moins de classe C 2: : : et donc que l'espace W doit être assez \lisse"
pour que ca ait un sens. La bonne \categorie" d'espaces est celle des varietes dierentielles. Ceux que nous etudions ici sont les H, qui sont des sous-varietes de
l'espace vectoriel des matrices n n : ce n'est pas plus complique que la sphere ou
le tore de l'espace de dimension 3 qu'on a pu contempler sur la gure 5.
Points critiques d'une application et points xes de l'action d'un groupe. |
Regardons d'un peu plus pres l'exemple de la sphere sur la gure 5 : les points
critiques de la fonction consideree ne sont autres que les points xes du groupe des
rotations autour de l'axe vertical, dont nos niveaux sont d'ailleurs les orbites.
Il se trouve que toutes les fonctions dont nous souhaitons montrer que les niveaux
sont connexes sont aussi reliees a des actions de groupes. Je vais expliquer maintenant
pourquoi ceci est vrai, et aussi pourquoi cette propriete donne la connexite des
niveaux.
2.2. Fonctions de Morse et operations de groupes
Le cadre general des theoremes de convexite en geometrie symplectique dont je
parle ici6 est celui d'une variete symplectique W | ce sera notre H | munie de
l'operation d'un tore | un sous-groupe compact, connexe et abelien d'un groupe de
matrices7 | et d'une fonction liee a cette operation. Je prefere expliciter tous ces
objets dans la famille dexemples a laquelle je m'interesse ici plutôt que de donner
une liste abstraite de denitions.
Le sous-groupe TX de U (n). | Soit X une matrice hermitienne xee. La matrice iX est anti-hermitienne, de sorte que exp(itX ) est, pour tout t 2 R, une matrice unitaire. Quand t decrit R, l'ensemble de ces matrices decrit un sous-groupe
commutatif du groupe unitaire U (n). L'adherence de ce sous-groupe (gure 8) est
un sous-groupe compact, connexe et abelien de U (n), appelons le TX .
est bien entendu supposee connexe ici.
On peut faire plus general (voir le x 3).
Un tel sous-groupe est eectivement un tore, c'est a dire isomorphe a R =Z ou a
f(t1 : : : t ) 2 C j jt j = 1g.
5W
6
7
r
r
r
i
r
10
Michele Audin
Figure 8 : Le sous-groupe fexp(itX )g et son adherence
Une operation de TX sur H. | Revenons a H . Il est temps de remarquer
que c'est une classe de conjugaison sous le groupe unitaire (c'est dire que toute
matrice hermitienne est diagonalisable dans une base unitaire). Donc U (n) et tous
ses sous-groupes operent sur H par conjugaison. En particulier TX .
Remarque. | De ce que H est une orbite de U (n), on deduit en particulier
que c'est une sous-variete compacte et connexe de l'espace de toutes les matrices
n n. Elle s'identie au quotient de U (n) par le stabilisateur de la matrice diagonale
(1 : : : n ). Plus precisement, si les i sont ordonnes en
1 = = n1 < n1 +1 = = n1 +n2 < < n1 ++nk;1 +1 = = n1 ++nk
(avec n1 + + nk = n), H s'identie a U (n)=U (n1 ) U (nk ). Son type
topologique ne depend que des multiplicites (n1 : : : nk ) et pas des valeurs des i,
c'est ce qu'on appelle une variete de drapeaux, generalisation de l'espace projectif.
Une fonction sur H. | Comme X est hermitienne, tr(XV ) est reelle pour
toute matrice hermitienne V , de sorte qu'on a une fonction a valeurs reelles
fX : H ;;;! R
V 7;;;! tr(XV ):
Il se trouve que l'operation du groupe TX sur H et la fonction fX ont des liens
tres etroits. C'est la que la geometrie symplectique entre en jeu.
Geometrie symplectique sur H. | Sur H, il y a une forme symplectique.
C'est tout simplement, sur chaque espace tangent TV H , une forme bilineaire alternee non-degeneree !V . Ce type de machine permet d'identier vecteurs tangents
et formes lineaires sur l'espace tangent. Ici on a justement, pour tout V 2 H
une forme lineaire TV H ! R, la dierentielle de fX en V ,
un vecteur de TV H , le vecteur tangent X V en t = 0 de la courbe
t 7! eitX V e;itX :
11
Le lien etroit entre l'operation de TX et la fonction fX , c'est que, pour toute
matrice V dans H, ces deux objets se correspondent via la forme symplectique.
Pour expliquer ca, il faut decrire la forme symplectique !V | et tout d'abord l'espace
tangent TV H .
L'espace tangent a H en V . | Comme je l'ai deja dit, H est une orbite de
U (n). Autrement dit, U (n) opere sur H par conjugaison et l'operation est transitive.
Ainsi H s'identie a U (n)=G , ou G est le stabilisateur d'une matrice diagonale
de l'orbite, et on peut decrire TV H comme quotient de TIdU (n). Comme U (n)
est decrit par l'equation tAA = Id, son espace tangent en Id est l'espace u(n) des
matrices antihermitiennes8.
La derivee en Id de l'application d'orbite
U (n) ;;;! H
g 7;;;! gV g;1
est une application u(n) ! TV H qui peut s'ecrire
u(n) ;;;! TV H fmatrices n ng
Y 7;;;! V Y ]:
Ainsi TV H est-il le quotient de u(n) par le sous-espace des matrices Y telles que
V Y ] = 0.
La forme symplectique. | Pour Y , Z 2 u(n), posons !V (Y Z ) = tr (iV Y Z ]).
On verie que ca denit bien une forme bilineaire alternee non-degeneree sur TV H .
Maintenant, le vecteur tangent X V a la courbe eitX V e;itX est precisement l'image
de iX 2 u(n) dans TV H. La forme lineaire !V (iX ) sur TV H qui lui est associee
par la forme symplectique est
Y 7! tr (iV iX Y ]) = ; tr (V X Y ]) :
Quant a la dierentielle de fX en V , comme fX est lineaire, ce n'est pas tres
dicile, on ecrit un vecteur tangent V Y ] et on obtient
dV fX (Y ) = tr (X V Y ]) = ; tr (V X Y ]) ce qu'on voulait :
Proposition. | On a
dV fX (Y ) = !V (iX Y )
en d'autres termes la dierentielle de fX et le vecteur tangent X deni par X se
correspondent via la dualite denie par la forme symplectique.
8
C'est l'algebre de Lie du groupe U (n).
12
Michele Audin
Exemple. | Choisissons n = 2 et = (1 ;1), ainsi H est l'ensemble des
matrices hermitiennes dont la trace est nulle et le determinant vaut ;1, c'est a dire
!
)
(
a
2
2
H = V = ;a telles que a 2 R 2 C et a + j j = 1 :
Il s'agit de la sphere unite9 de R3 = C R. Prenons pour X la matrice A du x 1.1
de sorte que tr(XV ) = a : la fonction fX est la hauteur sur la sphere comme sur la
gure 5. De plus,
it 0 !
e
exp(itX ) = 0 1 le groupe TX est un cercle et
eitX
!
!
a e;itX =
a eit ;a
e;it ;a
ainsi, il opere sur la sphere unite par rotations autour de l'axe des a. C'est exactement
la situation a laquelle j'ai fait allusion a la n du x 2.1.
Points critiques et points xes. | Comme la forme symplectique est nondegeneree, la dierentielle dV fX est nulle si et seulement si le vecteur tangent correspondant est nul, c'est a dire exactement quand V est un point xe de l'operation
du groupe TX .
Or, il est facile d'etudier l'operation d'un tore au voisinage d'un point xe c : on
peut lineariser l'operation. Precisement, au voisinage de c, il existe des coordonnees
locales (x1 : : : xp y1 : : : yp) dans lesquelles l'action du tore est
g (z1 : : : zp) = (ga1 z1 : : : gap zp) ecriture dans laquelle
g designe un element du tore, je le considere comme un r-uplet (g1 : : : gr ) de
nombres complexes de module 1
j'ai regroupe les coordonnees xj + iyj = zj , il ne faut pas s'etonner qu'elles
soient en nombre pair ici : les formes bilineaires alternees sont de rang pair et
donc la dimension d'une variete symplectique est paire
les ai sont des multi-exposants, ai 2 Zr .
Mais ce n'est pas tout : dans les coordonnees en question, la forme symplectique
s'ecrit de facon assez standard. Je ne veux pas m'etendre sur cette ecriture mais
9 Et bien s^
ur aussi de la droite projective P1 (C).
13
seulement sur la consequence qui m'importe ici : la fonction fX s'ecrit, dans ces
coordonnees
p
X
(4)
fX (z1 : : : zp) = fX (c) + i jzij2
i=1
pour certains reels 1 : : : p fonctions des ai et de la position de exp(itX ) dans TX .
C'est une expression du même type que celle que nous a donnee le lemme de
Morse (2): : : a cela pres que jzij2 = x2i + yi2 et donc que la signature de notre
forme quadratique est ici de la forme (2 2): : : en particulier jamais (1 m ; 1) ou
(m ; 1 1), d'ou l'on deduit :
Proposition. | Tous les niveaux de fX sont vides ou connexes.
Remarque. | J'avoue que j'ai un peu triche : les fonctions fX ne sont pas
tout a fait des fonctions de Morse, autrement dit certains des i qui gurent dans
le deuxieme membre de (4) peuvent tres bien être nuls. Les points critiques de
fX ne sont peut-être pas isoles, mais on a une propriete de non-degenerescence
transversalement a ces points critiques qui est susante pour demontrer ce que
nous voulons.
2.3. Recapitulons
Reprenons et demontrons le theoreme 1 bis. On decompose la matrice A en
A = X + iY ou X et Y sont hermitiennes. Alors tr(AV ) = tr(XV ) + i tr(Y V ) de
sorte que fA = fX + ifY . On peut appliquer le traitement ci-dessus a chacune des
coordonnees fX et fY , mais aussi a fX +Y pour , 2 R.
fY
fA (H)
fX +Y
fX
Figure 9 : Convexite de fA(H )
On en deduit que tous les niveaux de toutes les fX +Y sont vides ou connexes.
Remarquons qu'on est exactement dans le cadre decrit au debt du x 2.1 :
fX +Y = ' fA
14
Michele Audin
ou ' : R2 ! R est l'application lineaire (x y) 7! X + Y (voir la gure 9). Ainsi,
pour toute application lineaire ' : R2 ! R, et pour tout u 2 R, (' fA);1 (u) est
vide ou connexe. Donc fA(H ) est convexe.
3. Polygones et polytopes convexes
En guise de conclusion, je vais donner une idee de demonstration des theoremes 2
bis (et donc 2) et 3. La grosse dierence est que l'image est maintenant un polytope
convexe.
3.1. Le cas des matrices normales
Rappelons que A est normale si elle commute avec son adjointe. Il est equivalent
de dire, en decomposant A en X + iY avec X et Y hermitiennes, que X et Y
commutent. C'est justement ce qu'il faut pour que exp(itX ) et exp(itY ) ensemble
engendrent un sous-groupe abelien de U (n). Appelons T l'adherence de ce sousgroupe. Son operation sur H se linearise pres des points xes comme on l'a vu et
chacune des fonctions fX , fY se met sous la forme (4) dans ces mêmes coordonnees.
De cette facon, les deux composantes de la fonction fA sont donnees au voisinage
d'un point xe C par
!
p
p
X
X
2
2
(z1 : : : zp) 7! fX (C ) + i jzij fY (C ) + i jzij
i=1
i=1
pour certains reels i, i.
fA (c)
Figure 10
Un voisinage de C a donc pour image un cône convexe. C'est une propriete de
convexite locale. Ajoutee a la convexite (globale) que nous avons deja demontree,
elle donne que l'image de fA est l'enveloppe convexe des images fA (C ) des points
xes de l'operation du tore T .
Pour nir la demonstration du theoreme 2 bis, il reste a identier ces points xes.
Il s'agit des matrices C telles que exp(itA) commute avec C pour tout t, c'est a dire
telles que A commute avec C . Remarquons que, comme A est normale, ses parties
15
hermitienne (X ) et antihermitienne (iY ) commutent et donc qu'on peut les diagonaliser dans la même base unitaire. En d'autres termes, il existe une base unitaire
dans lquelle A est diagonale. Quitte a remplacer A par gAg;1 (et C par gV g;1 ), on
est reduit a chercher les C de H qui commutent avec la matrice diagonale
0
1
a
1
B
CC
.
.
A=B
.
@
A:
an
Il existe un changement de base P tel que PCP ;1 et PAP ;1 sont diagonales10 , en
particulier
1
0
(1)
CC
B
...
PCP ;1 = B
A avec 2 Sn :
@
(n)
Comme fA (C ) = tr(AC ) = tr((PAP ;1)(PCP ;1)) = P ai(i), on en deduit le
theoreme 2 bis.
Exemple. | Considerons a nouveau la matrice F du x 1.1 et l'application fF
sur H pour = (1 0 0).
Ainsi H est le plan projectif P2(C) : donner une matrice V de H est equivalent
a donner une droite ` C3, le sous-espace propre de V pour la valeur propre 1,
l'autre espace propre, ou V opere trivialement, est `? .
Bien sûr, F est normale, le sous-groupe T est engendre par
0 eit
1
01
1
eitX = B
1 C
@
A et eitY = B@ eit CA
1
1
de sorte que
80 it
9
1
>
>
:@ e
:
A telles que t u 2 R>
1
Il opere sur H par conjugaison. Traduite en termes de P2(C) et de ses coordonnees
homogenes, cette operation est
i
it iu
h
e e x y z] = eitx eiuy z
dont les points xes sont 1 0 0], 0 1 0] et 0 0 1]. Ce sont bien ceux qui correspondent aux matrices diagonales
01
1 00
1 00
1
B@ 0 C
A B@ 1 CA B@ 0 CA
0
0
1
de H. L'image de fF est donc l'enveloppe convexe des points 1, i et 0 comme on
l'a vu sur la gure 1 (et d'ailleurs aussi sur la gure 3).
10
Si les a sont distincts, on n'a pas besoin de P .
i
16
Michele Audin
3.2. D'autres theoremes de convexite
La demonstration des theoremes 1 et 1 bis que j'ai expliquee ici est un produit
des idees utilisees par Atiyah dans 2] pour demonter un theoreme de convexite assez
general, que je vais enoncer maintenant, même si je n'ai pas deni toutes les notions.
Theoreme 4. | Soit W une variete compacte et connexe munie d'une forme
symplectique. Soit T un tore de dimension r operant sur W avec application moment
: W ;;;! Rr:
Alors l'image de est un polytope convexe dans Rr , l'enveloppe convexe des images
des points xes de l'operation du tore.
Le theoreme 3 en est une application directe : la variete symplectique compacte
et connexe est notre H . Le tore T est
80
9
1
>
>
z
1
B@
>
:
zn
et il opere sur H par conjugaison.
Le sous-groupe de T deni par la j -eme coordonnee, ou par les equations z1 =
= zj;1 = zj+1 = = 1 est exactement, avec les notations precedentes,
TXj = fexp(itXj )g
pour
00
BB . .
.
Xj = B
BB
1
@
...
1
CC
CC
CA
de sorte qu'on a n fonctions fX1 : : : fXn liees a l'operation de ces sous-groupes
comme ci-dessus. L'application moment dont il est question dans l'enonce du
theoreme 4 n'est rien d'autre que
= (fX1 : : : fXn )
et, plus concretement
(V ) = (tr(X1V ) : : : tr(Xn V )) = (v11 : : : vnn )
la diagonale de la matrice V .
La demonstration des theoremes 3 ou 4 est fondee sur une recurrence (\connexite
, convexite" | comme au debut du x 2.1) et sur les arguments de theorie de Morse
expliques ci-dessus.
17
3.3. Quelques complements sur Toeplitz-Hausdor
Revenons aux exemples du x 1.1. Les matrices A, D et F sont normales, on en
deduit aisement les images numeriques correspondantes sur la gure 1. Les images
W (A), W (C ) et W (E ) sont sans doute plus interessantes. Halmos signale dans 7]
que, pour une matrice 2 2, l'image numerique est une ellipse dont les foyers sont
les valeurs propres de cette matrice (d'ou les images W (A), W (B ) et W (C )).
Plus directement accessibles par nos methodes est le cas de la matrice E . Remarquons que c'est la somme directe
00 0 01
!
0
0
B
C
E = @ 1 0 0 A = 1 0 (1) :
0 0 1
La matrice 2 2 est B , dont l'image numerique est le disque (gure 1). L'image
numerique de la matrice (1) est evidemment le point 1 2 C, et W (E ) est: : : l'enveloppe convexe de la reunion des deux.
Indications bibliographiques
Le petit livre 5] est une introduction accessible (dans tous les sens du terme) a
la theorie de Morse. On trouvera des rudiments de geometrie symplectique (entre
autres choses) dans 1]. Le livre 3] est completement consacre aux techniques et
theoremes evoques dans ces notes.
Bien que n'aie utilise ici qu'une toute petite partie de 7], je prote de l'occasion
pour conseiller sa lecture : l'idee directrice de ce livre est \c'est en faisant des mathematiques qu'on les apprend", idee certes elementaire mais peu developpee dans la
litterature.
Les autres references citees en bibliographie sont les sources originales des theoremes enonces et/ou demontres ici.
Bibliographie
1] V. I. Arnold, Methodes mathematiques de la mecanique classique, MIR,
Moscou, 1974.
2] M. F. Atiyah, Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. London Math.
Soc. 23 (1982), 1{15.
3] M. Audin, The topology of torus actions on symplectic manifolds, Progress in
Mathematics 93, Birkh%auser, 1991.
4] V. A. Ginzburg, Equivariant cohomology and K
ahler geometry, Funkts. Anal.
Prilozh. 21 (1987), 271{283.
5] A. Gramain, Topologie des surfaces, PUF, 1971.
18
Michele Audin
6] V. Guillemin, S. Sternberg, Convexity properties of the moment mapping
I et II, Invent. Math. 67 (1982), 491{513 et 77 (1984), 533{546.
7] P. Halmos, A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics,
Springer, 1982.
8] A. Horn, Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix,
American J. Math. 76 (1954), 620{630.
eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf der De9] I. Schur, Uber
terminantentheorie, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft
22 (1923), 9{20.
Institut de Recherche Mathematique Avancee
Universite Louis Pasteur et URA 001 du CNRS
7 rue Rene-Descartes
F{67084 Strasbourg Cedex
Adresse electronique : [email protected]
Michel Brion
Introduction
On presente quelques resultats sur les polytopes convexes entiers, c'est-a-dire
les sous-ensembles d'un espace vectoriel Rd qui sont l'enveloppe convexe d'un nombre ni de points de Zd . C'est un sujet elementaire, mais qui ne s'est developpe
que depuis les annees soixante en particulier, les travaux pionniers d'E. Ehrhart,
professeur de lycee a Strasbourg, y ont joue un rôle important. Ehrhart a etudie
le nombre de points entiers dans un polytope convexe entier, et dans ses multiples rationnels. On redemontre une partie de ses resultats dans la premiere partie
de ce texte (1.1 et 1.2) quelques complements sont donnes sans demonstration en
1.3 et 1.4. La deuxieme partie est consacree a une generalisation recente (1991)
de la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin on y calcule la somme des valeurs
d'une fonction polynomiale aux points entiers d'un polytope convexe entier. Dans
la troisieme partie, on expose un theoreme de Betke et Kneser (1985) qui decrit
toutes les \mesures niment additives" sur les polytopes convexes entiers, qui sont
invariantes par automorphismes anes entiers. Enn, dans la quatrieme partie, on
fait le point sur des travaux plus recents, concernant les mesures niment additives
et invariantes par translations.
Le present texte n'est ni detaille (en completer les demonstrations peut être
une bonne source d'exercices), ni exhaustif. En particulier, on fait l'impasse sur les
relations entre polytopes convexes entiers et geometrie algebrique ou symplectique,
bien que ces relations jouent un rôle essentiel dans beaucoup de travaux recents.
Pour ces liens, on renvoie entre autres a T], B2] et A].
1. Le polynôme d'Ehrhart d'un polytope convexe entier
1.1. | On considere l'espace vectoriel reel Rd de dimension d, et le reseau Zd
dans Rd. Un polytope convexe P dans Rd est l'enveloppe convexe d'un nombre ni
de points de Rd. On appelle dimension de P , et on note dim(P ), la dimension de
l'espace ane engendre par P . On appelle interieur relatif de P , et on designe par
P 0, l'interieur de P dans l'espace ane qu'il engendre. L'enveloppe convexe dans
Rd d'un nombre ni de points de Zd est appelee polytope convexe entier.
19
20
Michel Brion
P
Figure 1
On cherche a compter les points entiers dans P et P 0, c'est-a-dire a denombrer
les ensembles (nis) P \ Zd et P 0 \ Zd . Des proprietes remarquables des nombres de
points entiers dans les multiples nP et nP 0, consideres comme fonctions de l'entier
positif n, ont ete decouvertes par E. Ehrhart voir E1], E3], E4]. Voici une partie
de ses resultats.
Theoreme. | Il existe un unique polynôme iP (t), de degre dim(P ), a coecients rationnels, tel que
iP (n) = card(nP \ Zd )
pour tout entier n 1. De plus, on a : iP (0) = 1 et
iP (;n) = (;1)dim(P ) card(nP 0 \ Zd)
pour tout entier n 1 (\loi de reciprocite").
1.2. Demonstration. | Considerons d'abord le cas ou P est un simplexe de
sommets s0 : : : sd, c'est-a-dire : P est l'enveloppe convexe des points anement
independants s0 : : : sd. Denissons un sous-ensemble C de Rd R par
C = f(v t)j v 2 tP t 0g :
Alors C est le cône convexe ferme dont les arêtes sont engendrees par les vecteurs
(lineairement independants) (s0 1) : : : (sd 1). De plus, pour tout v 2 Rd, on a :
v 2 nP \ Zd , (v n) 2 (Zd Z) \ C .
' le sous-ensemble de Zd Z forme des points qui peuvent s'ecrire
Pd Notons
d
i=0 ti(si 1) avec des ti 2 0 1. Alors les couples (m n) tels que m 2 nP \ Z sont
ceux qui peuvent s'ecrire
d
X
(m n) = (m0 n0) + xi(si 1)
i=0
ou (m0 n0) 2 ' et ou les xi sont des entiers non negatifs une telle decomposition
est unique. Par consequent, le nombre de points de nP \ Zd est le coecient de zn
21
dans la serie formelle
X
FP (z) =
(m0 n0 )2
zn0
X
x0 :::xd 0
zx0++xd :
Observons que 0 n0 d pour tout (m0 n0) 2 ' et que n0 = 0 implique m0 = 0.
Par suite, il existe des entiers 0 : : : d tels que
FP (z) = (0 + 1z + + dzd ) (1 ; z);d;1 :
De plus, 0 = 1. En developpant la serie, on en deduit que
!
!
!
n
+
d
n
+
d
;
1
n
d
card(nP \ Z ) = 0 d + 1
+ + d d
d
!
t
ou d designe le polynôme t(t ; 1) d(! t ; d + 1) . Ainsi, card(nP \Zd) est fonction
polynomiale de n, et la valeur en 0 de cette fonction est 1.
'0 le sous-ensemble de Zd Z forme des points qui peuvent s'ecrire
Pd Notons
i=0 ti(si 1) avec des ti 2]0 1]. On montre comme ci-dessus que
1
X
X n0
card(nP 0 \ Zd) zn =
z (1 ; z);d;1 :
(m0 n0 )20
n=1
R6
(s0 1)
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
' (s1 1)
Rd
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(s0 1)
(s1 1)
'0
R6
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Rd
Figure 2
Observons que ' et '0 sont echanges par la symetrie centrale qui envoie (m n)
sur (s0 + + sd ; m d + 1 ; n), d'ou
1
d
X
X d+1;n
X
card(nP 0 \ Zd ) =
z
(1 ; z);d;1 = izd+1;i (1 ; z);d;1
n=1
(mn)2
i=0
et nalement
!
!
!
n
;
1
n
n
+
d
;
1
0
d
card(nP \ Z ) = 0 d + 1 d + + d
:
d
!
!
;
t
t
+
d
;
1
d
D'autre part, on a
et ceci entra^(ne la loi de reciprocite
d = (;1)
d
pour les simplexes entiers.
22
Michel Brion
Considerons maintenant le cas d'un polytope entier P quelconque. Alors P peut
être subdivise par des simplexes entiers, c'est-a-dire qu'il existe une famillle nie de
simplexes entiers (Sj )j2J , telle que :
(i) si F est une face de Sj , alors F = Sk pour un k 2 J (ii) si j k 2 J , alors Sj \ Sk est une face (eventuellement vide) de Sj et de Sk (iii) P est reunion disjointe des interieurs relatifs des Sj .
On en deduit que
card(nP \ Zd ) =
X
j 2J
card(nSj \ Zd) :
La premiere partie de la preuve entra^(ne que card(nP \ Zd ) est fonction polynomiale
de n le polynôme correspondant est
X
iP (t) = (;1)dim(Sj ) iSj (;t)
j 2J
d'apres laPloi de reciprocite pour les simplexes entiers. La valeur en 0 de ce polynôme
est donc j2J (;1)dim(Sj ) = 1 (caracteristique d'Euler-Poincare de P ). De plus, on
a:
X
(;1)dim(P ) iP (;t) = (;1)codim(Sj ) iSj (t)
j 2J
ou on pose codim(Sj ) = dim(P ) ; dim(Sj ). Mais pour tout entier n 0, on a :
X
X
(;1)codim(Sj ) iSj (n) = (;1)codim(Sj ) card(nSj \ Zd ) = card(nP \ Zd)
j 2J
j 2J
d'apres l'identite d'Euler. Ceci demontre la loi de reciprocite pour P .
1.3. Les coe
cients du polynôme d'Ehrhart. | Avec les notations de 1.1,
ecrivons
iP (t) = a0(P ) + a1(P ) t + + ad(P ) td
(on suppose pour simplier que P engendre Rd, c'est-a-dire que dim(P ) = d). Notons
vold (P ) le volume de P , normalise de facon que les mailles du reseau Zd soient de
volume 1. De même, toute k-face de P a un volume bien deni volk (F ) en eet,
puisque l'espace ane engendre par F est rationnel, son intersection avec Zd y induit
un reseau, et celui-ci permet de normaliser le volume.
Proposition. | Avec les notations precedentes, on a : ad (P ) = vold (P ) et
X
vold;1(F )
ad;1(P ) = 21
F P
ou la somme porte sur les (d ; 1)-faces de P .
23
Demonstration. | Pour n entier positif, on a :
X
1:
iP (n) = card(nP \ Zd) = card(P \ n1 Zd) =
1
d
m2P \ n Z
R
Par suite, n;d iP (n) est une somme de Riemann pour l'integrale P dx = vold(P ),
d'ou ad(P ) = limn!1 n;d iP (n) = vold(P ).
La seconde equation se deduit de la loi de reciprocite en eet, celle-ci implique
iP (n) = ad(P )nd ; ad;1(P )nd;1 + et ainsi
n;d+1 (iP (n) ; iP (n)) = 2ad;1(P ) :
D'autre part, P n P est reunion des (d ; 1)-faces de P , et leurs interieurs relatifs
sont deux a deux disjoints. D'ou
X
;d+1
(n)) =
lim
n
(
i
(
n
)
;
i
vold;1(F )
P
P
n!1
nlim
!1
F P
par l'argument precedent.
En particulier, lorsque d = 2, on retrouve la formule de Pick (voir Pi]) : le
nombre de points entiers dans un polygone convexe entier P est egal a l'aire de P ,
plus la moitie du nombre de points entiers sur le bord de P , plus 1. Cette formule est
d'ailleurs valable pour les polygones entiers simplement connexes pour la demontrer
directement, on subdivise le polygone en triangles entiers, qui ne contiennent pas
d'autres points entiers que leurs sommets. On montre ensuite que pour un tel triangle
~ et AC
~ forment une base du reseau en particulier, l'aire du
ABC , les vecteurs AB
triangle est 1=2.
En dimension 3, tout se complique. En eet, dans R3 muni du reseau Z3, considerons le tetraedre T (p q) de sommets (0 0 0), (1 0 0), (0 1 0), (1 p q) ou p et q sont
des entiers premiers entre eux tels que 0 p < q. Alors T (p q) ne contient pas
d'autres points entiers que ses sommets mais T (p q) n'est pas engendre par une
base de Z3, car il est de volume q=6. Tout tetraedre entier, ne contenant pas d'autres
points entiers que ses sommets, est l'image d'un T (p q) par un automorphisme ane
entier ce resultat non trivial est dû a White, voir W].
Pour un polytope convexe entier P de dimension 3, on a :
X
iP (t) = 1 + a1(P ) t + 12 vol2(F ) t2 + vol3(P ) t3
F P
24
Michel Brion
z6
(1 1 3)
C
CC
p
p
p
p
p
CC
;C
;
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
;
;
;x
;
-y
Figure 3 : T (1 3)
et le seul terme inconnu est a1(P ). Contrairement au cas de la dimension 2, on ne
peut exprimer ce terme en fonction des volumes des arêtes de P . En eet les faces
de T (p q) sont de volume 1/2, et ses arêtes sont de volume 1. D'ou
a1(T (p q)) = card(T (p q) \ Z3) ; 1 ; a2(T (p q)) ; a3(T (p q)) = 2 ; q6
et notre assertion.
Plus generalement, en dimension d, on ne
Xpeut exprimer aucun des coecients
a1(P ) : : : ad;2(P ) en fonction des termes volk (F ) (somme sur les faces de diF P
mension k) voir K]. Par contre, ak (P ) est combinaison lineaire des volumes des
k-faces de P , avec des coecients qui ne dependent que de la geometrie locale de P
en ces faces. Plus precisement, pour toute face F , considerons le cône PF engendre
par les points ;f + p ou p 2 P et f 2 F (voir gure 4). Alors PF est un cône
convexe polyedral rationnel (c'est-a-dire : PF est engendre par un nombre ni de
demi-droites entieres). De plus, le plus grand sous-espace lineaire contenu dans PF
est la direction de la face F .
Theoreme. | On peut associer a tout cône convexe polyedral rationnel , un
nombre rationnel () tel que
ak (P ) =
X
F P
(PF )volk (F )
ou la somme porte sur les k-faces de P .
Ceci resulte de M4] voir aussi B2]. Par exemple, pour les faces de dimension
d ; 1, on peut prendre (PF ) = 1=2 d'apres le calcul de ad;1(P ), et c'est le seul
choix possible. Pour les faces de dimension plus petite, il n'y a pas de choix unique
de .
25
s
F
P
0
Ps
0
PF
Figure 4
1.4. Le nombre de points entiers dans un tetraedre. | On va donner la valeur
du coecient a1(P ) lorsque P est un tetraedre entier dans R3 le resultat nal est
dû a J. Pommersheim (voir Po]) et il fait intervenir des expressions arithmetiques
appelees \sommes de Dedekind" (voir RG]).
Soit A une arête de P soient F1 et F2 les faces de P qui contiennent A. Notons
R3 le quotient de R3 par la droite ane engendree par A, et Z3 l'image de Z3
dans R3. On peut trouver une base (e1 e2) du groupe abelien libre R3 telle que e1
et F1 engendrent la même demi-droite. Alors la demi-droite engendree par F2 est
engendree par pe1 + qe2 ou p, q sont des entiers premiers entre eux. De plus, on peut
supposer que 1 p < q. Denissons la somme de Dedekind associee a (p q) par
qX
;1
s(p q) = (( qi ))(( piq ))
i=1
ou ((x)) = x ; x] ; 12 si x n'est pas entier, et ((x)) = 0 sinon. Enn, posons mA = q
et dA = ;s(p q) + 41 .
Theoreme. | Avec les notations precedentes, on a :
!
X 1 vol2(FA1) vol2(FA2) !
a1(P ) =
+
+ dA vol1(A) :
A 36mA vol2 (FA2 ) vol2 (FA1)
En particulier, lorsque P R3 a pour sommets (0 0 0), (a 0 0), (0 b 0), (0 0 c)
ou a, b, c sont des entiers positifs, on trouve :
2 ! a+b+c+A+B +C
1
ab
bc
ac
d
a1(P ) = 12 c + a + b + abc +
4 !
!
!
ac bB ; Cs ab cC
;As bcd aA
;
Bs
d
d d
d d
ou A = pgcd(b c), B = pgcd(a c), C = pgcd(a b) et d = ABC .
26
Michel Brion
Dans le cas ou a, b, c sont premiers entre eux deux a deux, on retrouve une
formule due a Mordell, et redecouverte par Ehrhart voir Ml], E2]. D'autre part,
Kantor et Khovanskii ont redemontre les resultats de Pommersheim, dans le cadre
de leur generalisation de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin (voir KK2] et
2.3 ci-dessous). Enn, Cappell et Shaneson ont annonce une formule qui denombre
les points entiers dans un simplexe entier de dimension quelconque, voir CS].
2. Une generalisation de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin
On expose un resultat de Pukhlikov, Kantor et Khovanskii (voir KK1] et PK2])
qui generalise aux polytopes convexes entiers la classique formule sommatoire d'Euler
et MacLaurin :
Zb
1
b
X
X
f
(
a
)
+
f
(
b
)
n;1 Bn (f (2n;1)(b) ; f (2n;1) (a))
+
(
;
1)
f (m) = f (x)dx +
2
(2n)!
a
m=a
n=1
pour tout intervalle entier a b], et pour toute fonction f : a b] ! C susamment
reguliere. Ici les Bn sont les nombres de Bernoulli, denis par la serie generatrice
1
z
1z + X
n;1 Bn z 2n :
=
1
+
(
;
1)
1 ; exp(;z)
2 n=1
(2n)!
On peut reformuler ce resultat en introduisant l'operateur dierentiel de Todd :
1
2n
1 @ +X
@=@h
n;1 Bn @
=
1
+
(
;
1)
Td(@=@h) = 1 ; exp(
;@=@h)
2 @h n=1
(2n)! @h2n :
C'est une serie formelle en l'operateur de derivation partielle @=@h. Observons que
Z b+h
Zb
1
X
Td(@=@h)
f (x) dxh=0 = f (x)dx + 12 f (b) + (;1)n;1 (2Bnn)! f (2n;1)(b) :
a
a
n=1
On a donc :
Z b+h2
b
X
f (m) = Td(@=@h1) Td(@=@h2)
f (x) dx
:
m =a
a;h1
h1 =h2 =0
C'est cette version de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin qu'on va generaliser aux polytopes convexes entiers, en etablissant au passage d'autres formules
sommatoires.
2.1. | On conserve les notations de 1.1, et on note
A = Zx1 x;1 1 : : : xd x;d 1]
l'anneau des polynômes de Laurent en d variables, a coecients entiers. Cet anneau
est integre on note K son corps des fractions. Le monôme de Laurent xm1 1 xmd d
sera souvent note xm, avec m 2 Zd.
27
On note M l'ensemble des \series formelles" Pm2Zd am xm ou les am sont des
entiers relatifs. L'ensemble M est un groupe abelien, et même un A-module : on
peut multiplier une serie formelle par un polynôme, mais le produit de deux series
formelles n'est pas deni en general.
Une serie formelle f 2 M est dite sommable s'il existe Q 2 A non nul, tel que la
serie formelle Qf := P est dans A. La somme de f est alors P=Q 2 K . On verie que
la somme de fPest uniquement denie, si elle existe. Par exemple, pour m 2 Zd nf0g
nm
m ;1
xe, la
serie 1
n=0 x est sommable, et sa somme est (1 ; x ) tandis que la
P
1
nm
serie n=;1 x est sommable, de somme nulle.
Revenons aux polytopes convexes entiers. Soit P un tel polytope. Pour s sommet
de P , rappelons que Ps designe le cône engendre par les ;s + p avec p 2 P . C'est
un cône convexe polyedral rationnel.
Theoreme.
(i) Pour tout cône convexe polyedral rationnel , la serie formelle
'() :=
X
x2\Zd
xm
est sommable notons )( ) sa somme. De plus, )() = 0 si contient une droite.
(ii) Pour tout polytope convexe entier P , on a dans K :
X
m2P \Zd
xm =
X
s
xs)(Ps )
(somme sur l'ensemble des sommets de P ).
Demonstration.
(i) On se ramene par subdivision au cas ou le cône est engendre par d arêtes
dont les directions sont lineairement independantes. Soient m1 : : : md les points a
coordonnees entieres, premieres entre elles,Psur ces arêtes. Soit ' le sous-ensemble
de Zd forme des points qui peuvent s'ecrire di=1 timi avec des ti 2 0 1. On verie,
comme dans la preuve du theoreme 1.1, que
'( )
Yd
i=1
(1 ; xmi ) =
X
m2\Zd
xm :
Ainsi, '() est sommable. Si de plus contient une droite, alors est invariant par
une translation de vecteur entier m 6= 0, d'ou (1 ; xm)'() = 0.
28
Michel Brion
(ii) Pour toute face F de P , on dispose du cône convexe PF engendre par les
;f + p avec f 2 F et p 2 P . Notons PeF le cône f + PF ou f est un point arbitraire
de F 0. Alors PeF ne depend pas du choix de f , et on a '(PeF ) = xf '(PF ). Montrons
qu'on a dans M :
1
0
X m X
X mC
x A:
()
x = (;1)dim(F ) B
@
F
d
m2P \Zd
m2PeF \Z
e en resulte, en sommant les series et en observant que la somme de
P L'enonc
m
x2PeF \Zd x est nulle si PF contient une droite, c'est-a-dire si F n'est pas un sommet.
Soit m 2 Zd. Verions que xm appara^(t avec le même coecient dans les
deux
de (). Si m 2 P alors m 2 PeF pour toute face F . De plus 1 =
P (;membres
dim(F ) (identite d'Euler). D'autre part, si m 2
= P , notons Q l'enveloppe conF 1)
vexe de P et de m notons R l'adherence de Q n P . Alors les faces F de P telles que
m 2= PeF sont exactement les facesPde R qui ne contiennent pas m. Mais puisque R
est etoile par rapport
a m, on a : G (;1)dim(G) = 1 (somme sur toutes les faces G
P
de R),Pet aussi H (;1)dim(H ) =P0 (somme sur les faces H de R qui contiennent m).
D'ou m=2PeF (;1)dim(F ) = 1 et m2PeF (;1)dim(F ) = 0, ce qui termine la verication
de ().
2.2. | On considere maintenant un polytope convexe entier P de dimension d,
tel que tous les cônes Ps (ou s decrit l'ensemble des sommets de P ) ont exactement
d arêtes. Un tel polytope P est appele simple. Pour chaque sommet s, on note
m1(s) : : : md(s) les points P
a coordonnees entieres, premieres entre elles, sur les
arêtes de P . On pose ' := d 0 1m (s).
s
s
i
i=1
Theoreme. | Soit L une forme lineaire sur
Rd, a valeurs complexes, telle
que L(mi(s)) 6= 0 pour tout i et tout sommet s de P . Alors :
X Pm2s\Zd exp L(s + m)
exp L(m) = Qd
s
i=1 (1 ; exp L(mi(s)))
m2P \Zd
X
(i)
et de plus :
(ii)
Z
P
exp L(x)dx = (;1)d
X
s
exp L(s) j det(Qmd1(s) : : : md(s))j
i=1 L(mi (s))
Demonstration. | D'apres la preuve du theoreme 2.1, on a :
X m X Pm2s\Zd xs+m
x = Qd
m (s)
s
i=1 (1 ; x i )
m2P \Zd
Pour en deduire (i), on voudrait substituer exp L(m) a xm. A cet eet, denissons
un homomorphisme de groupes " : A ! C par "(xm) = exp L(m). Alors " est
29
un homomorphisme d'anneaux. De plus, " s'etend au sous-anneau de K forme des
fractions ayant pour denominateur un produit de termes 1 ; xmi(s) en eet, on a
"(1 ; xmi(s)) = 1 ; exp L(mi(s)) et ce nombre n'est pas nul. L'identite (i) en resulte.
Pour (ii), observons que le polytope P est entier par rapport au reseau n1 Zd ou n est
un entier positif arbitraire. Appliquant (i) a ce reseau et divisant par nd , on obtient
1 X exp L(m) = X exp L(s) Pm2s\Zd exp L( mn )
Qd n(1 ; exp L( mi(s) ))
nd m2P \ 1 Zd
s
i=1
n
n
On en deduit (ii) par passage a la limite, en observant que
card('s \ Zd ) = j det(m1(s) : : : md(s))j :
Remarquons que l'equation (ii) est valable pour tout polytope convexe simple
P , a sommets non necessairement entiers un bon exercice consiste a demontrer
directement cette identite. On renvoie a B1] pour une generalisation du theoreme
2.2 aux polytopes convexes entiers non necessairement simples.
2.3. | On conserve les notations de 2.2, et on note F1 : : : FN les faces de
codimension 1 de P . Chaque Fi a pour equation fi = 0 ou fi est une forme ane
sur Rd, denie a un multiple pres. On normalise fi en imposant que ses coecients
soient entiers, premiers entre eux, et que fi(x) 0 pour tout x 2 P . Pour h =
(h1 : : : hN ) 2 RN , on note P (h) le polytope convexe deni par les inequations
fi(x) + hi 0. Ainsi P (h) est obtenu par deplacement des faces de P .
On denit l'operateur dierentiel de Todd en N variables, par
N
Y
@=@hi
Td(@=@h1 : : : @=@hN ) =
:
i=1 1 ; exp(;@=@hi)
C'est une serie formelle en les operateurs de derivation partielle @=@hi. En particulier,
pour toute fonction polynomiale f (h1 : : : hN ), l'expression
Td(@=@h1 : : : @=@hn)f (h1 : : : hN ) = Td(@=@h)f (h)
a un sens.
Theoreme. | Soit P un polytope convexe entier de dimension d. On suppose
que chaque cône Ps (s sommet de P ) est engendre par une base du reseau Zd en
particulier, P est simple. Alors pour toute fonction polynomiale f de degre au plus
n sur Rd, la fonction
Z
f (x) dx
h!
P (h)
est polynomiale de degre au plus n + d au voisinage de l'origine, et on a :
()
Td(@=@h)
Z
P (h)
X
f (m) :
f (x) dxh=0 =
m2P \Zd
30
Michel Brion
En particulier, on a : Td(@=@h)vol(P (h))jh=0 = card(P \ Zd). Le membre de
gauche de () depend doublement du reseau Zd : par la normalisation de l'element
de volume, et par les normalisations des inequations des faces, qui servent a denir
P (h).
Demonstration. | On utilise les notations de 2.2. On verie d'abord que toute
fonction polynomiale homogene de degre n est combinaison lineaire a coecients
constants de fonctions de la forme x ! L(x)n ou L est une forme lineaire sur Rd,
telle que
L(mi(s)) 6= 0 pour tous s et i. On peut donc supposer que f (x) = L(x)n R
alors RP (h) f (x) dx est le terme homogene de degre n dans le developpement en serie
de n! P (h) exp L(x) dx comme fonction de L. Appliquons l'identite (ii) du theoreme
2.2 au polytope convexe P (h) pour h assez petit. Les sommets de P (h) sont alors
d
X
s(h) = s ; hj(si)mi(s)
i=1
ou j (s i) est l'indice de la face Fj de P qui contient s, mais qui ne contient pas l'arête
de P issue de s et de direction mi(s). De plus, chaque cône P (h)s(h) s'identie a Ps .
F2
m1(s
)1 s
p
p
m2(s)
F1 p
p
p
p
p
p
p
p
p
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P
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p
p
p
F2
m1(s
)1 s(h) s
m2(s)
P (h)
F1 p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
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p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Figure 5
On a donc
Z
dX
exp
L
(
x
)
dx
=
(
;
1)
P (h)
s
exp(L(s) ; Pdi=1 hj(si)L(mi(s))) :
Qd L(m (s))
i=1
i
En developpant en serie par rapport a L, on en deduit la premiere assertion du
theoreme. De plus, pour verier (), il sut de montrer que
Pd h L(m (s))) X
X
exp(
L
(
s
)
;
d
(;1) Td(@=@h)
exp L(m)
Qd iL=1(mj((iss))) i h=0 =
i
s
i=1
m2P \Zd
Mais d'apres le theoreme 2.2 (i), le second membre est egal a
X
exp L(s)
Qd (1 ; exp L(m (s)))
i
s
i=1
31
Enn, observons qu'on a pour tout t 2 C :
t
Td(@=@h) exp(th)jh=0 = 1 ; exp(
;t) :
En eet, la derivation par rapport a h multiplie exp(th) par t. On en deduit que
!
d
X
Yd
L(mi(s)) :
Td(@=@h) exp L(s) ; hj(si)L(mi(s)) h=0 = exp L(s) 1 ;;exp
L(mi(s))
i=1
i=1
Ceci permet de terminer la verication de ().
On trouvera dans KK1] et PK2], des enonces analogues, pour les fonctions
produit d'un polynôme par l'exponentielle d'une forme lineaire. Lorsqu'on essaie de
generaliser le theoreme dans une autre direction, en aaiblissant les hypotheses sur
les cônes Ps , la situation est beaucoup moins claire on renvoie a KK2] pour des resultats partiels, qui permettent cependant de retrouver la formule de Pommersheim
enoncee en 1.4.
3. Polynôme d'Ehrhart et mesures invariantes des polytopes entiers
On expose un resultat de Betke et Kneser qui caracterise le polynôme d'Ehrhart,
voir BK].
3.1. | On conserve les notations de 1.1, et on note P (Zd) l'ensemble des polytopes convexes entiers. Une mesure (niment additive) sur P (Zd ), a valeurs dans un
groupe abelien ;, est une application
: P (Zd) ! ;
qui verie le \principe d'inclusion et d'exclusion" : chaque fois que P 2 P (Zd) est
reunion de P1 : : : Pn 2 P (Zd ), on a
X
(P ) =
(;1)k (Pi1 \ \ Pik )
1i1 <<ik n
Par exemple, le volume est une mesure a valeurs dans (1=d!)Z. L'application qui
a P associe son polynôme d'Ehrhart iP est aussi une mesure : en eet le principe
d'inclusion et d'exclusion est verie pour tous les iP (n) = card(nP \ Zd ) ou n 2 N,
et donc pour iP (t).
Notons Aut(Zd ) le groupe des transformations anes bijectives de Rd qui preservent Zd ce groupe opere dans l'ensemble P (Zd). Observons que P et g(P ) ont le
même nombre de points entiers, pour tout g 2 Aut(Zd) d'ou ig(P )(t) = iP (t). Ainsi,
le polynôme d'Ehrhart est une mesure invariante par Aut(Zd ). Reciproquement, on
a le
32
Michel Brion
Theoreme. | Soit : P (Zd ) ! ; une mesure invariante par Aut(Zd ). Alors
est fonction lineaire des valeurs du polynôme d'Ehrahrt en 0 1 : : : d, c'est-a-dire :
il existe 0 : : : d 2 ; tels que
(P ) =
d
X
k=0
k iP (k) :
Dans cet enonce, on peut remplacer les valeurs en 0 1 : : : d par les valeurs en
n n + 1 : : : n + d ou n est un entier arbitraire. En eet, le polynôme d'Ehrhart
appartient a l'ensemble des fonctions polynomiales de degre au plus d, qui prennent
des valeurs entieres en tous les entiers notons Ed cet ensemble. Pour 0 k d, la
fonction
!
t = t(t ; 1) (t ; k + 1)
k
k!
est dans Ed, et ces fonctions forment une
! base du groupe abelien Ed (exercice).
t
+
n
Il en est de même des fonctions
k pour 0 k d : ainsi, les valeurs en
n n + 1 : : : n + d de tout f 2 Ed sont combinaisons lineaires entieres des valeurs
en 0 1 : : : d.
3.2. Demonstration. | On commence par construire un groupe abelien BK(Zd)
et une application
P (Zd) ! BK(Zd )
P 7! P ]
qui verient la propriete universelle suivante : pour toute mesure , a valeurs dans
; et invariante par Aut(Zd ), il existe un unique homomorphisme de groupes ~ :
BK(Zd) ! ; tel que ~(P ]) = P ] pour tout P 2 P (Zd). Autrement dit, l'application
de P (Zd) vers BK(Zd) est la mesure invariante par Aut(Zd) et universelle.
A cet eet, on denit BK(Zd) comme le groupe abelien qui a pour generateurs
les elements de P (Zd), et pour relations :
P;
n
X
k=1
(;1)k;1
X
1i1 <<ik n
Pi1 \ \ Pik
pour tout P qui est reunion de P1 : : : Pn , et
P ; g(P )
pour tous P 2 P (Zd ) et g 2 Aut(Zd). On note P ] l'image du generateur P dans
BK(Zd) il est clair que l'application ainsi denie est la mesure universelle.
33
Pour 0 k d, appelons k-simplexe standard tout simplexe entier de dimension
k et de volume k-dimensionnel (1=k!). Les k-simplexes standard sont les images par
Aut(Zd) du simplexe Sk dont les sommets sont l'origine et les k premiers vecteurs
d'une base de Zd . Le polynôme d'Ehrhart d'un tel k-simplexe est :
!
t + k = (t + 1)(t + 2) (t + k) :
k
k!
En dimension au moins trois, il existe des polytopes convexes entiers qui n'admettent
aucune subdivision par des simplexes standard (par exemple, les tetraedres T (p q)
denis en 1.3). Cependant, on peut trouver de telles subdivisions si on s'autorise
a faire des dierences de polytopes. Plus precisement, on va montrer le resultat
suivant.
Proposition. | Le groupe BK(Zd ) est engendre par les k -simplexes standard.
Le theoreme en resulte en eet, soit P un polytope convexe entier. La proposition implique l'existence d'entiers x0(P ) : : : xd(P ) tels qu'on ait dans BK(Zd) :
d
X
P ] = xk (P ),k] :
k=0
Il en resulte d'une part que
(P ) =
et d'autre part que
d
X
k=0
xk (P )(,k )
!
t
+
k
iP (t) = xk (P ) k :
k=0
Cette derniere equation permet d'exprimer les xk (P ) comme combinaisons lineaires
entieres de iP (0) : : : iP (d).
d
X
Pour demontrer la proposition, observons que le groupe BK(Zd) est engendre
par les images des simplexes entiers en eet, tout polytope convexe entier P admet
une subdivision par des simplexes entiers (Sj )j2J comme en 1.2 alors on a dans
BK(Zd) :
X
P ] = (;1)codim(Sj ) Sj ] :
j 2J
De plus, par recurrence sur la dimension, on peut supposer que l'image dans BK(Zd )
de tout simplexe entier de dimension d ; 1 est dans le sous-groupe engendre par les
,k], 0 k d ; 1. Soit S un simplexe entier de dimension d de sommets x0 : : : xd alors d!vol(S ) := V (S ) est un entier positif. Si V (S ) = 1, alors S est standard, et
c'est termine. On va montrer par recurrence sur V (S ) que S ] ; V (S ),d] appartient
au sous-groupe engendre par les ,k], 0 k d ; 1.
34
Michel Brion
Notons F0 : : : Fd les (d ; 1)-faces de S . Soit p 2 Zd soient Fi1 : : : Fil les
faces dont l'hyperplan separe strictement p et S soient Fj1 : : : Fjm les autres faces.
Alors le polyedre convexe conv(p S ) engendre par p et S admet deux subdivisions
en simplexes entiers : l'une par S et les conv(p Fi ), et l'autre par les conv(p Fj ).
Fi S Fj
F@i @
@
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
2
p
p
p
p
Fj Fi
@
Fj @@
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
2
p
p
p
p
p
p
Figure 6
Pour terminer la demonstration, il sut donc de trouver p 2 Zd tel que
V (conv(p Fi)) < V (S )
pour 0 i d autrement dit, que p est plus proche de chaque Fi que le sommet
de S qui n'est pas dans Fi.
On va expliciter un tel point p. On peut supposer que les seuls points entiers de
S sont ses sommets alors les vecteurs x1 ; x0 : : : xd ; x0 sont indivisibles dans
Zd. Soit s le plus grand entier tel que (x1 ; x0 : : : xs ; x0) peut être complete
en une base de Zd . Quitte a remplacer S par g(S ) pour un g 2 Aut(Zd ), on peut
supposer que x0 = 0, x1 = e1 : : : xs = es. Alors xs+1 = a1e1 + + aded avec
pgcd(as+1 : : : ad) > 1 par maximalite de s. On peut supposer que as+2 = =
ad = 0, puis que
0 a1 a2 as;1 < as
et as > 1. Soit r le plus grand entier tel que
r < 1 + a;s 1(a1 + + as;1 ; 1)
alors r < s. Soit p le point de coordonnees 0 (s ; r ; 1 fois), 1 (r + 1 fois), 0 (d ; s
fois). Verions que p convient.
Pour 0 i d, notons Fi la (d ; 1)-face de S qui ne contient pas le sommet xi.
Notons fi l'unique forme ane sur Rd qui vaut 0 sur Fi et 1 en xi. Les valeurs des
35
fi sont :
f0 = x1 + + xs;1 + a;s 1(1 ; a1 ; ; as;1)xs + g0(xs+1 : : : xd) ; 1
fi = xi ; aia;s 1xs + gi (xs+1 : : : xd) (1 i s ; 1)
fs = a;s 1xs + gs (xs+1 : : : xd)
fj = gj (xs+1 : : : xd) (s + 1 j d) :
Il faut verier que jfi(p)j < 1 pour 0 i d. Observons d'abord que p est dans
l'hyperplan engendre par Fi, pour tout i s + 1. D'autre part, on a :
f0(p) = r + a;s 1(1 ; a1 ; ; as;1 )
d'ou 0 f0(p) < 1. On a aussi : fs(p) = a;s 1 2 0 1 et pour 1 i s ; r ; 1, on
a : fi(p) = ;a;s 1ai 2] ; 1 0]. Enn, pour s ; r i s ; 1, on a : fi(p) = 1 ; a;s 1ai,
d'ou fi(p) 2 0 1]. Si de plus fi (p) = 1, alors ai = 0, d'ou a1 = = ai;1 = 0 et
r < 1 + a;s 1(ai+1 + + as;1 ; 1) < 1 + (s ; 1 ; i)
et i < s ; r, contradiction.
Remarque. | La demonstration ci-dessus redonne l'existence du polynôme
d'Ehrhart, en n'utilisant que son calcul (facile) pour les simplexes standard.
4. L'anneau des polytopes entiers
On expose une partie des resultats de McMullen, Morelli, Kantor, Pukhlikov et
Khovanskii sur l'anneau des polytopes et son analogue entier, ainsi que leurs applications aux mesures (ou valuations) invariantes par translations. Des constructions
universelles analogues a celle du groupe BK(Zd) de 3.2, joueront un grand rôle dans
cette derniere partie.
4.1. Mesures et valuations sur les polytopes. | On note P (Rd) l'ensemble
des polytopes convexes de Rd. Comme en 3.1, on a la notion de mesure (niment
additive) sur P (Rd), a valeurs dans un groupe abelien ;. Une notion apparemment
plus faible est celle de valuation : il s'agit d'une application : P (Rd) ! ; telle que
(P Q) = (P ) + (Q) ; (P \ Q)
pour tous P et Q dans P (Rd) tels que P Q est aussi dans P (Rd). En fait, ces deux
notions co%(ncident, comme le montre le resultat suivant.
Proposition. | Soit : P (Rd ) ! ; une application qui verie
(P ) = (P \ H +) + (P \ H ; ) ; (P \ H )
pour tout P 2 P (Rd) et pour tout hyperplan H de Rd , delimitant deux demi-espaces
fermes H + et H ; . Alors est une mesure.
36
Michel Brion
Demonstration. | Notons E (Rd ) le groupe abelien ayant pour generateurs les
elements de P (Rd) et pour relations
P ] ; P \ H +] ; P \ H ; ] + P \ H ]
ou P et H sont comme ci-dessus, et ou P ] designe l'image de P dans E (Zd ). D'autre
part, associons a tout polytope convexe P sa fonction caracteristique 1P : Rd !
f0 1g notons L(Rd) le sous-groupe du groupe additif des applications de Rd dans
Z, engendre par les fonctions caracteristiques des polytopes convexes. La relation
evidente
1P = 1P \H + + 1P \H ; ; 1P \H
permet de denir l'homomorphisme de groupes
' : E (Rd ) ! L(Rd) P ] ! 1P :
L'enonce dePla proposition
equivaut a l'injectivite de '. Pour la verier, consideP
rons x = Pi] ; Qj ] 2 E (Rd ) tel que '(x) = 0. Ecrivons les Pi et les Qj
comme intersections nies de demi-espaces d'ou une famille (nie) d'hyperplans
(H). Le complementaire de la reunion de ces hyperplans n'a qu'un nombre ni de
composantes connexes, et chacune de ces composantes n'a qu'un nombre ni de faces
bornees soit (R ) la famille nie des adherences de ces faces.
Les relations
P ] = P \ H+] + P \ H; ] ; P \ H ]
permettentPd'ecrire les Pi et Qj comme combinaisons entieres des R . Par suite,
on a x = a R ] avec des a entiers. Choisissons un R dont la dimension est
maximale parmi les dimensions des R gurant dans x. En evaluant '(x) en un
point de l'interieur relatif de R , on obtient a = 0. On conclut par une recurrence
immediate.
4.2. L'anneau des polytopes (voir Mc1], Mc2]). | Il existe une mesure (ou
valuation) universelle sur P (Rd), donnee par la construction suivante. Notons '~ (Rd)
le groupe abelien ayant pour generateurs les elements de P (Rd), et pour relations
P Q] ; P ] ; Q] + P \ Q]
chaque fois que P , Q et P Q sont dans P (Rd). Alors l'application canonique
P (Rd) ! '~ (Rd) P ! P ]
est la valuation universelle. On s'interesse plus particulierement aux valuations invariantes par un groupe de transformations anes, le plus simple etant le groupe
des translations. En designant par '(Rd) le quotient de '~ (Rd) par les relations
v + P ] ; P ]
(v 2 Rd P 2 P (Rd))
l'application canonique de P (Rd) dans '(Rd) est la valuation invariante par translations, universelle.
37
Rappelons que la somme de Minkowski de deux polytopes convexes P et Q est
denie par
P + Q = fp + q j p 2 P q 2 Qg
c'est un polytope convexe. Du lemme ci-dessous resulte que la formule
P ]Q] = P + Q]
~ Rd) et '(Rd). Ce dernier est appele l'anneau
denit une structure d'anneau sur '(
des polytopes.
Lemme. | Soient P , Q, R 2 P (Rd ). Alors
(P Q) + R = (P + R) (Q + R) :
Si de plus P Q 2 P (Rd ), alors
(P \ Q) + R = (P + R) \ (Q + R) :
Demonstration. | La premiere assertion est evidente, ainsi que l'inclusion de
(P \ Q) + R dans (P + R) \ (Q + R). Pour l'inclusion opposee, soient p 2 P ,
q 2 Q et r1, r2 2 R tels que p + r1 = q + r2 := x. Puisque P Q est convexe, le
segment p q] rencontre P \ Q. Soit t 2 0 1] tel que tp + (1 ; t)q 2 P \ Q. Alors
x = tp + (1 ; t)q + tr1 + (1 ; t)r2 est dans (P \ Q) + R.
Pour tout entier k 0, notons Fk ZP (Rd) le sous-groupe de ZP (Rd) engendre
par les polytopes de dimension au plus k. On denit ainsi des ltrations croissantes des anneaux '~ (Rd) et '(Rd). La proposition 4.1 entra^(ne que le groupe
'(Rd)=Fd;1'(Rd) a pour generateurs les polytopes de dimension d, et pour relations : P Q] ; P ] ; Q] avec P , Q polytopes de dimension d, tels que P Q
est convexe et que P \ Q est contenu dans un hyperplan. Ce groupe joue un rôle
essentiel dans les problemes de decomposition des polyedres, voir C].
L'application deg : ZP ! Z denie par deg(P nP P ) = P nP est nulle sur les
relations de '~ (Rd) et '(Rd). On peut donc denir des degres sur '~ (Rd) et '(Rd) ce sont des homomorphismes d'anneaux.
Pour tout P 2 P (Rd), on pose
P ] =
X
F P
(;1)dim(F )F ]
c'est-a-dire : P ] = (;1)dim(P )P 0] grâce a l'identite (equivalente a la relation
d'Euler) :
X
1P 0 = (;1)codim(F )1F :
F P
38
Michel Brion
On verie que * est un automorphisme involutif de '~ (Rd) et de '(Rd). Pour 2 R
non nul, on denit l'homothetie de rapport , notee , par :
(
]
si > 0
P ] = P
;P ] si < 0.
On obtient ainsi un automorphisme de '~ (Rd) et de '(Rd) on pose : 0 P = deg(P ).
On doit a MacMullen des resultats tres profonds sur la structure de l'anneau
'(Rd). On va enoncer une version abstraite d'une partie de ces resultats des corollaires plus concrets seront donnes ensuite.
Theoreme. | Il existe une unique decomposition
d
M
'(Rd) = 'k
k=0
du groupe abelien '(Rd) telle que :
(i) '0 = Z et '1 = '1 'd est le noyau de deg.
(ii) Pour 1 k d, le sous-groupe 'k a une structure d'espace vectoriel reel,
telle que pour tout 2 R et pour tout x 2 'k , on a : x = k x.
(iii) L'espace vectoriel reel 'd est de dimension 1.
En fait, un isomorphisme de 'd sur R est donne par le volume. Ceci equivaut a
un resultat classique de Hadwiger : toute mesure sur P (Rd), invariante par translations, et homogene de degre d, est un multiple constant du volume (voir H]).
Observons d'autre part que l'enonce (ii), joint au fait que l'homothetie de rapport est un automorphisme de '(Rd), entra^(ne que 'k 'l 'k+l pour tous k l 2 1 d].
Autrement dit, '1 est une R-algebre graduee. Les demonstrations de McMullen
sont elementaires mais astucieuses on renvoie a B3] pour une approche plus algebrique, et une generalisation du theoreme de Hadwiger.
4.3. L'anneau des polytopes entiers (voir M1], M2], PK1]). | Comme en
4.1, on denit '~ (Zd) et son quotient '(Zd) par le sous-groupe engendre par les
m + P ] ; P ] ou m 2 Zd et P 2 P (Zd). Les groupes abeliens '~ (Zd) et '(Zd) ont
une structure d'anneau, muni d'une involution .
On note L(Zd) le sous-groupe de L(Rd) engendre par les fonctions caracteristiques des elements de P (Zd). L'application naturelle de '~ (Zd) vers L(Zd ) est un
isomorphisme. Autrement dit, les notions de mesure et de valuation concident pour
les polytopes convexes entiers. Ce resultat, bien plus dicile que son analogue non
entier (proposition 4.1) est demontre par Morelli, voir M1].
Comme ci-dessus, l'homothetie de rapport n denit un endomorphisme n de
'~ (Zd) et de '(Zd), pour tout entier n 6= 0. Les resultats de MacMullen s'etendent
alors, pourvu que l'on remplace '(Zd) par son produit tensoriel avec Q de plus,
l'application naturelle de '(Zd) dans '(Rd) est injective, voir M1].
39
Voici un corollaire plus concret de ces resultats. Soit une valuation sur les
polytopes convexes entiers, et invariante par translations par Zd soit P 2 P (Zd).
Alors l'application P : Z ! ; denie par
(
)
si n 0
P (n) = (;(nP
1)dim(P )(;nP 0) si n < 0
est polynomiale de degre au plus d (voir McS]). En eet, une valuation invariante
par translations, et a valeurs dans ;, n'est autre qu'un homomorphisme du groupe
'(Zd) vers ;, et de plus P (n) = (n P ]). Un exemple de telle valuation est donne
par : (P ) = card(P \ Zd ) on retrouve ainsi les resultats d'Ehrhart.
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Laboratoire de Mathematiques
UMR 128 du CNRS
Ecole Normale Superieure de Lyon
46 allee d'Italie
69364 Lyon cedex 07
Jean-Jacques Risler
1. Introduction
L'etude de la topologie des courbes algebriques reelles projectives planes et lisses
(et plus generalement des hypersurfaces projectives) a une longue histoire. Il s'agit
du probleme suivant : quelle peut être la topologie du plongement d'une courbe
plane (ou d'une hypersurface) lisse de degre d dans l'espace projectif ?
Cette question a fait l'objet d'un des problemes de Hilbert (le 16-ieme) qui posait
la question pour les courbes de degre 6, et les surfaces de degre 4. Le cas des courbes
de degre 6 a ete resolu par Gudkov en 1973 (cf. Gud74]), et celui des surfaces de
degre 4 par Kharlamov en 1977 (Kha78]). Le cas des courbes de degre 7 a ete resolu
par Viro, et celui des courbes de degre 8 n'est pas encore completement elucide. Pour
des Surveys sur la question, on peut consulter Gu74], A-O79], Wi78] ou Vi86].
Nous allons dans cet expose nous restreindre au cas des courbes planes, bien que
les techniques indiquees plus bas soient en principe valables en toutes dimensions.
On peut justier ce parti pris par un souci d'alleger l'expose, et par le fait que les
seules applications interessantes n'ont ete jusqu'ici developpees que dans le cas des
courbes.
Le probleme que l'on se pose est le suivant : etant donne un degre d xe, quels
sont les types possibles des plongements C RP2, ou C est une courbe lisse de
degre d (on prefere RP2 a R2, car cela diminue le nombre de cas a considerer par exemple les trois types de coniques anes non vides ne se distinguent pas dans
RP2).
Commencons par quelques considerations generales sur la topologie des courbes
planes lisses.
Soit C RP2 une courbe lisse. Alors C est une variete (analytique) compacte de
dimension 1, donc union (nie, cf. plus bas le theoreme de Harnack) de composantes
connexes dieomorphes au cercle S 1.
Topologiquement, il y a deux manieres de plonger S 1 dans RP2 (cf. par exemple
B-R]) :
() L'image de S 1 est un ovale, homotope a un point, dont le complementaire
a deux composantes connexes, l'interieur et l'exterieur. Une droite coupe (transversalement) un ovale en un nombre pair de points par exemple, une conique lisse est
un ovale.
43
44
Jean-Jacques Risler
( ) L'image de S 1 est une pseudo-droite, son complementaire est connexe, et
deux pseudo-droites se coupent en un nombre impair de points par exemple, une
droite est une pseudo-droite.
Il resulte de cela qu'une courbe (lisse) de degre pair est reunion de p 0 ovales,
et qu'une courbe de degre impair est reunion d'une pseudo-droite et de p 0 ovales.
On s'interesse non seulement a la topologie de la courbe C (i.e., a son nombre
p d'ovales), mais aussi au type topologique de son plongement (i.e., aux inclusions
eventuelles des ovales entre eux).
L'etude de la topologie des varietes algegriques reelles comprend deux parties
bien distinctes :
(a) Decrire des \prohibitions", i.e., donner une liste (la plus complete possible)
des contraintes sur les types topologiques des plongements.
(b) Construire des courbes lisses de degre d donne si l'on peut construire tous
les types topologiques non interdits par les prohibitions de (a), le probleme pose est
considere comme resolu.
A titre d'exemple (trivial), traitons completement le cas des courbes de degre 4.
Il est a noter que le cas du degre 6 n'est deja plus trivial du tout (c'etait l'objet
du 16-eme probleme de Hilbert), et que le cas du degre 8 n'est pas completement
elucide a ce jour.
Theoreme 1.1. | Une courbe lisse de degre 4 dans RP2 a un nombre p
d'ovales tel que 0 p 4, et les types topologiques des plongements realises par des
courbes de degre 4 sont les suivants (on dit qu'un ovale est libre s'il n'est contenu
dans aucun autre ovale, et s'il n'en contient aucun autre) :
La courbe vide.
Un ovale.
Deux ovales embo^tes.
Deux ovales libres.
Trois ovales libres.
Quatre ovales libres.
Demonstration. | Commencons par montrer que les possibilites indiquees cidessus sont les seules (raisonnement de type (a)).
(i) Il ne peut y avoir 5 ovales ou plus, car en xant un point sur chaque ovale,
on peut faire passer une conique par cinq de ces points et trouver ainsi une conique
coupant la courbe en au moins 10 points, ce qui est exclu par le theoreme de Bezout.
(ii) Si p 3, les ovales sont necessairement libres, car dans le cas contraire une
droite bien choisie couperait la courbe en au moins 6 points.
Passons maintenant aux raisonnements de type (b), i.e., a la construction des
courbes non exclues par les considerations precedentes.
Une quartique avec p = 4 ovales par exemple se construit en deformant legerement la reunion de deux coniques se coupant en quatre points. Les autres cas sont
laisses au lecteur.
45
Citons maintenant les deux fameux theoremes de Harnack (qui datent de 1876 !)
Theoreme 1.2. | Une courbe de degre d dans
composantes connexes.
RP2 a au plus
(d;1)(d;2)
2
+1
Theoreme 1.3. | Pour tout entier d 1, et m tel que 1 m (d;1)(2 d;2) +1,
il existe dans RP2 une courbe lisse de degre d avec m composantes connexes.
On appellera M-courbe une courbe admettant le nombre maximum de composantes connexes pour son degre.
Le theoreme 1.2 est un resultat de type (a), et le theoreme 1.3 est de type (b).
Il resoud completement le probleme du type topologique des courbes lisses de degre
d mais ne dit rien sur le type topologique du plongement. Il utilise la methode des
\petits parametres" : on construit une courbe de degre d en perturbant legerement
l'union d'une courbe de degre d ; 1 et d'une droite se coupant transversalement.
Les resultats de type (a) sont nombreux et interessants cependant, le sujet de
cet expose etant un resultat de type (b), je ne pretends pas en faire un resume,
même succinct. Le lecteur interesse pourra consulter Wi78], ou Vi90] pour le cas
des courbes.
Je vais dans cet expose decrire la methode de Viro de construction de courbes reelles, qui procede d'un esprit tres dierent des methodes \a la Harnack" employees
jusque la (elle est de nature essentiellement combinatoire), et expliquer quelques
applications.
2. Compactications de (R )2
Traditionnellement, on compactie (R )2 en le plongeant dans RP2. Il y a bien
d'autres facons de faire. Nous allons en decrire deux, adaptees a un polynôme, ou
plus exactement a un ensemble ni de monômes, ou aussi de points (ai bi) 2 N2.
Notons Qi le point de coordonnees (ai bi). On associe a l'ensemble des monômes
(ai bi) l'application : (R )2 ;! R2 denie par
P jxai ybi jQ
(x y) = P jxai ybi j i :
L'image d'un point (x y) est donc le barycentre des points Qi aectes de la masse
jxai ybi j. Le resultat qui fait tout marcher est le suivant :
Lemme 2.1. | Supposons l'interieur , de , non vide. Alors j(R+ )2 est un
dieomorphisme du premier quadrant (ouvert) sur ,.
Ce resultat est une consequence de resultats profonds de Guillemin-Stenberg sur
\l'application des moments" G-S82]. Je vais en donner ici une esquisse de preuve
elementaire, aimablement communiquee par A. Douady. Dans la suite, nous noterons
46
Jean-Jacques Risler
par la même lettre , l'application denie plus haut, et l'application j(R+)2 qui
sera seule utilisee.
Considerons le P
polynôme PNi=1 X ai Y bi (le raisonnement ci-dessous s'applique
aussi au polynôme Ni=1 iXPai Y bi ou les i sont > 0).
Soit G = f(x y z) j z = Ni=1 xai ybi g le graphe de ce polynôme, vu dans (R+ )2 R+ , avec coordonnees (x y z). Faisons le changement de variables g : x = e
y =
e z = e; (qui est un dieomorphisme deP(R+ )2 R+ sur R3). Le grpahe
G
en l'ensemble H d'equation eai
+bi + = 1. Posons h( ) =
PNse etransforme
ai +bi + . Alors H est le bord de l'ensemble . = fh( ) 1g qui est
i=1
convexe (et même strictement convexe). Soit rh le gradient de h :
0a 1
i
X
rh( ) = eai
+bi + B@ bi CA :
1
En revenant aux coordonnees (x y z), et en restreignant a G, le gradient rh s'ecrit :
0 1
X ai bi B ai C
x y @ bi A
P xai ybi 1
car z = e; = PNi=1 xai ybi . On retrouve donc, dans le plan z = 1, l'application qui
s'ecrit ainsi = g rh.
De la convexite de H , on deduit que est un dieomorphisme local injectif. Il
reste a voir la surjectivite. Pour cela, on va montrer que l'image de est convexe,
et que le bord de , est dans l'adherence de l'image de .
Si P = (p) et Q = (q) sont dans l'image de , on considere l'image reciproque
;1
(tP + (1 ; t)Q) (t 2 0 1]) du segment joignant P a Q. On voit facilement que si
une suite de points pn 2 (R+ )2 tend vers l'inni ou vers un des axes de coordonnees,
(pn ) se rapproche du bord de , (cf. plus bas). Ceci montre que tous les points du
segment sont dans l'image de , puisqe l'image reciproque de ce segment est alors
un chemin compact joignant p a q.
Montrons maintenant que les sommets de , sont dans l'adherence de l'image
de : si (a b) est un sommet de ,, il existe une forme lineaire l sur R2 telle que
l(a b) > l(ai bi) 8(ai bi) 2 ,, tels que (ai bi) 6= (a b) (il sut de considerer une
droite d'appui passant par (a b), voir gure 1). Alors, si l(x y) = x + y, on
pose x = t y = t . En supposant par exemple et > 0, on voit que lorsque
t ! 1, le point (x y) tend vers le point (a b), car le terme dominant (en t) dans
le numerateur de (x y) est alors le terme en ta+b dont le coecient est ab .
On voit donc par ce lemme que le polygone , lui-même constitue une compactication
(non algebrique) de (R+ )2, evidemment bien adaptee au polynôme
PN Xnaturelle
ai Y bi .
i=1
47
(a,b)
l = cste
Figure 1
Si on veut maintenant une compactication de (R )2, on note i (1 i 4)
les elements du groupe / ' Z=2Z Z=2Z des symetries engendrees par les deux
symetries orthogonales par rapport aux axes de coordonnees. On a alors
(R )2 = i(R+ )2
et on envoie i(R+ )2 sur i(,) par i i (1 i 4).
Nous noterons C = 4i=1i(,), et (ou simplement si le contexte n'est pas
ambigu) ce plongement de (R )2 dans C.
2.2. Exemple. | Prenons pour , l'ensemble des monômes en (x y) de degre
d. On trouve alors la compactication habituelle de (R )2 par un carre (homeomorphe au disque), voir gure 2.
d
∆
-d
O
d
-d
Figure 2
Viro considere une seconde compactication C0 de (R )2 (mais utilise en fait
surtout la premiere) en considerant la partie reelle de la variete torique associee au
polytope , (cf. Dan78], ou Oda88]).
48
Jean-Jacques Risler
Lemme 2.3. | C0 est homeomorphe au quotient de C lorsque l'on identie
les faces de C avec la regle suivante : si ; est une face de C, pour tout vecteur
(1 2) a coordonnees entieres orthogonal a ;, ; est identiee avec la face (;), etant la symetrie ((;1)1 (;1)2 ) 2 / ' (Z=2Z)2 .
2.4. Exemple. | Dans le cas ou , est le polygone de l'exemple 2.2, on trouve
que C0 est le plan projectif RP2.
3. Carte d'un polynôme
Definition 3.1. | Soit P
2 RX Y ] un polynôme, Z (P ) R2 l'ensemble de
ses zeros, , un polygone a sommets a coordonnees entieres, que nous supposerons
d'interieur non vide. On appelle carte de P associee a , l'adherence de (Z (P ) \
(R )2) dans C. Cette carte est notee C(P ).
3.2. Remarques.
(1) Si P 2 RX Y ] est un polynôme, P = P iX ai Y bi , on appelle polygone de
Newton de P l'enveloppe convexe dans R2 des points (ai bi) tels que i 6= 0. On
note , (ou ,(P )) ce polygone, qui ne depend que de l'ensemble (ai bi) des monômes
intervenant dans l'ecriture de P . Le polygone naturel pour construire la carte de P
est alors son polygone de Newton ,(P ), et sauf mention expresse du contraire, la
carte de P sera toujours consideree dans i(,(P )). Cependant, on peut considerer
des cartes C(P ) pour d'autres polygones , c'est ce qu'on fera plus bas dans la
demonstration du theoreme 4.2, avec le polynôme T ; t.
(2) Si dim ,(P ) = 1, il sera commode de parler encore de la carte de P dans
C(P ), bien que l'application ne soit plus alors un plongement.
3.3. Exemple : carte d'un trinôme. | Supposons que P soit un trinôme :
P = 1X a1 Y b1 + 2X a2 Y b2 + 3X a3 Y b3
et que ,(P ) soit d'interieur non vide. Posons (ai bi) = Qi (1 i 3) et i = xai ybi .
On a
(x y) = 1Q1++2Q2++3Q3
1
2
3
i.e. les i sont les coordonnees barycentriques de (x y) par rapport au triangle ,.
On a (x y) 2 Z (P ) si et seulement si 11 + 22 + 33 = 0. La carte de P dans le
premier quadrant est donc un segment de droite (ou l'ensemble vide) qui s'obtient
de la maniere suivante : on marque le signe du coecient i au sommet Qi, et si les
trois sommets de ,(P ) ne sont pas de même signe, on trace un segment de droite
joignant les deux côtes dont les sommets sont de signe opposes. Si les trois sommets
sont de même signe, la carte de P dans , est vide. Ceci se justie immediatement
en regardant l'equation de la droite (Z (P ) \ (R+ )2).
49
Si 2 /, on fait de même pour (,(P )), avec la regle suivante : si Q = (a b)
est un sommet de ,(P ), et si = (1 2), le signe de (Q) est celui de Q multiplie
par 1 1 2 2 .
3.4. Exemple. | Pour P = X 3 ; Y 2X 2 + Y 3, la carte C (P ) est representee
sur la gure 3.
+
∆ (P)
_
_
C ∆(P) (P)
_
+
O
_
_
_
Figure 3
4. Collage de cartes
Soit P = P i X ai Y bi un polynôme et ,(P ) son polygone de Newton (voir remarque 3.2-(1)). Si ; est une face de ,(P ), on pose
X
P; =
iX ai Y bi :
fij(aibi )2;g
Definition 4.0. | Un polynôme P
2 RX Y ] est non degenere (par rapport
a son polygone de Newton ,) si pour tout côte ; de ,, P ; n'est pas une puissance
(on dit que P est reduit), et si Z (P ; ) est lisse (au sens algebrique) dans (R )2. Ici,
l'interieur de , est considere comme une face de ,.
Remarquons que dans le cas ou P est un trinôme, P est toujours non degenere
par rapport a ,(P ), si du moins ,(P ) est d'interieur non vide.
Definition 4.1. | Soit , Rn un polytope convexe a sommets entiers > 0,
, = i2I ,i une decomposition de , par des polytopes convexes a sommets entiers.
On dit que cette decomposition est reguliere si :
(1) ,i \ ,j = ? pour i 6= j .
(2) ,i \ ,j est une face commune a ,i et ,j .
(3) Il existe une fonction ane par morceaux concave : , ;! R+ telle que
50
Jean-Jacques Risler
(a) ji soit ane 8i 2 I .
(b) jij ne soit pas ane pour i 6= j .
(c) (, \ Zn ) Zn .
Toutes les decompositions ne sont pas regulieres. Un exemple classique est donne
par la gure 4 (cf. Co-He80]).
Figure 4
Considerons une decomposition reguliere , = ,i, et des polynômes Pi tels
que :
(a) ,(Pi) = ,i pour tout i.
(b) Si ; = ,i \ ,j , Pi; = Pj;.
(c) Les Pi sont non degeneres.
Alors les cartesPC (Pi) se recollent en un ensemble contenu dans C , et les Pi en
un polynôme P = !2Zn a! X ! tel que P i = Pi 8 i.
Soit : , ;! R une fonction concave ane par morceaux associee a la decomposition, et posons PT = P!2Zn a! X ! T (!). On appelera PT le \polynôme de
Viro" associe a la fonction .
Le theoreme principal de cet expose est alors :
Theoreme 4.2. | Avec les hypotheses ci-dessus, il existe T0 > 0 tel que pour
t > T0 le polynôme Pt soit non degenere, et la carte C (Pt) equivalente au collage
des cartes C (Pi).
Remarque. | Si on remplace par une fonction convexe, on a le même resultat
que ci-dessus, pour 0 < t < T0, avec T0 assez petit.
Ce theoreme s'utilise par exemple de la maniere suivante. On construit une triangulation a sommets entiers du triangle , : x + y d x 0 y 0. On choisit
des signes aux sommets de ,. On en deduit des signes aux sommets symetriques
par rapport aux axes par la regle enoncee plus haut (i.e., si la symetrie s'ecrit
(x y) = (1x 2y), avec i = 1, le signe de (a b) est celui de (a b) multiplie par
a1b2).
51
On construit alors de maniere completement automatique une carte lineaire par
morceaux, qui est la carte d'un polynôme Pt de degre d (Pt est le \polynôme de
Viro" du theoreme). Notons que ce procede ne donne aucune indication sur les zeros
d'un polynôme P donne a priori. Le polynôme Pt a les mêmes monômes que P , mais
ses coecients sont modies.
4.3. Exemple. | A titre d'exercice le lecteur pourra s'amuser a justier
l'exemple suivant, qui decrit une construction des \courbes de Harnack".
Considerons une triangulation reguliere du triangle , : x + y d x 0 y 0
telle que tous les points entiers du bord et de l'interieur de , soient le sommet
d'au moins un triangle (ceci revient a dire que tous les triangles sont d'aire 1/2). A
part cette condition, la triangulation est arbitraire, pourvu qu'elle soit reguliere. Par
exemple, la triangulation la plus simple a laquelle on peut penser, avec des triangles
rectangles, est reguliere. Un sommet (i j ) est dit pair si i et j sont pairs, impair
dans le cas contraire. On attribue le signe ; aux sommets pairs, et le signe + aux
sommets impairs. Supposons d pair, d = 2k.
Alors le procede decrit plus haut construit une carte lineaire par morceaux
correspondant, apres identication des segments du bord deux a deux pour se
retrouver dans l'espace projectif, a une courbe ayant le nombre maximum, i.e.
(d ; 1)(d ; 2) + 1 ovales. De plus, appelons pairs les ovales qui sont contenus dans
2
un nombre pair d'ovales (les ovales libres sont pairs), et impairs les autres. Alors il y
2
a 3k 2; 3k ovales pairs, et (k ; 1)(2 k ; 2) + 1 ovales impairs, tous contenus dans un
seul ovale pair, l'ovale \a l'inni". Les autres ovales pairs sont libres, et entourent
chacun un sommet marque du signe + (dans un des quatre quadrants).
Demonstration du theoreme. | Au lieu de faire la demonstration generale,
nous allons traiter un exemple tres simple d'un polynôme a une variable, qui fait
comprendre le principe de la demonstration, celle-ci etant un peu technique si on
veut tout justier dans le detail. L'exemple traite un polynôme a une variable, car
la demonstration consiste a rajouter une variable T , et on se retrouve ainsi dans les
polynômes a deux variables, cadre de cet expose.
Soit X la variable et prenons , = 0 3] R, , = ,1 ,2, avec ,1 = 0 2], et
,2 = 2 3]. Cette decomposition de , est reguliere, et on peut poser par exemple
(0) = 3 (2) = 2 (3) = 0.
Posons P1 = 1 ; X 2, P2 = ;X 2 + X 3 le collage des cartes de P1 et P2 est
represente sur la gure 5.
Soit G R R le graphe de la fonction , et , son enveloppe convexe. Si
P (X ) = 1 ; X 2 + X 3 est le polynôme resultant du \collage" de P1 et P2, notons
PT = X 3 T (3) ; X 2T (2) + T (0) = X 3 ; T 2X 2 + T 3. PT est le polynôme de Viro
associe a P , a la triangulation de ,, et a la fonction . , est le polygone de Newton
du polynôme PT (gure 6).
On s'interesse aux zeros du polynôme Pt pour t assez grand : ils correspondent
52
Jean-Jacques Risler
_
_
+
_
+
-3
-2
0
2
3
Figure 5
T
Gν
C ∆ ( P T)
ν
C∆(T-T0)
ν
0
3
π
X
∆
Figure 6
(par l'application ) a l'intersection de la carte C (PT ) avec la carte C (T ; t)
du polynôme T ; t. Il faut noter qu'ici la carte C (PT ) est lineaire par morceaux
puisque PT est un trinôme, mais qu'il n'en n'est pas de même pour la carte C (T ;
t), car , n'est pas le polygone de Newton de T ; t.
On montre alors sans diculte que lorsque t tend vers l'inni, la carte C (T ; t)
se rapproche du bord superieur de , . Pour t assez grand, cette carte va donc couper
la carte C (PT ) en deux points dans le premier quadrant, et en un point dans le
quadrant x < 0 y > 0, comme on le voit sur la gure. C'est la le point delicat a
justier dans le cas general : il faut montrer que l'intersection de C (T ; t) avec
C (PT ) est homeomorphe (en fait homotope) a l'intersection de C (PT ) et du
bord superieur G de , , en utilisant le fait que C (T ; t) \tend" vers G lorsque
t tend vers l'inni.
Comme on voit sans diculte que G \ C (T ; t) se projette sur le collage des
cartes de P1 et P2, on voit que pour t assez grand, le polynôme Pt a 3 racines reelles,
deux positives et une negative, ce qu'il fallait demontrer.
4.4. Remarque. | On peut aussi interpreter le theoreme 4.2 comme un
theoreme sur la \lissication" des singularites, de la maniere suivante.
Soit P (X1 : : : Xn ) = 0 l'equation d'une hypersurface algebrique ayant une singularite a l'origine non degeneree par rapport a son diagramme de Newton N (P ).
On suppose que N (P ) est compact (i.e., rencontre tous les axes de coordonnees), et
l'hypothese dit que P ; est reduit et lisse pour toute face de N (P ) (toutes les faces
sont ici de codimension 1, contrairement au cas global ou l'on avait une face de
codimension 0). Soit , la portion de Rn delimitee par N (P ) et les hyperplans de
53
coordonnees supposons comme dans le theoreme 4.2 que l'on ait une decomposition , = ,i, des cartes C (Pi) de polynômes Pi (de polygones de Newton Pi ) non
degeneres, et une fonction convexe ane par morceaux denie sur ,. On suppose
que verie les conditions de 4.2, et qu'en plus est nulle sur N (P ). On construit
alors comme plus haut un polynôme PT (X1 : : : Xn ) tel que P0 = P , et que pour
T0 assez petit et 0 < t < T0, l'hypersurface Pt (X1 : : : Xn ) = 0 soit lisse en 0, et
que sa carte soit le collage des cartes C (Pi), et de la carte de P en dehors de ,.
(Autrement dit, on a remplace la singularite par le collage des cartes C (Pi) dans
un voisinage de 0, sans rien changer a l'exterieur). Nous allons en voir des exemples
plus bas.
5. Applications et complements
(a) Lissication de la singularite J10; . | Dans Vi90], Viro classie systematiquement les lissications de toute un serie de singularites (non degenerees), en
suivant la classication d'Arnol'd (cf. A-V-G85]). Je prendrai ici comme exemple
la singularite J10; , dont les lissications donnent de nouveaux types topologiques de
courbes algebriques, lorsque l'on utilise le theoreme 4.2.
La singularite notee J10; est equivalente a la singularite formee de trois arcs de
paraboles tangents (par exemple, (Y ; X 2)(Y ; 2X 2 )(Y ; 3X 2 ) au voisinage de
l'origine) elle est non degeneree, et même quasi-homogene. Viro (Vi84] ou Vi90])
dresse une liste complete de ses lissications (i.e., des types topologiques des \bres
de Milnor reelles") : il y en a 31. Je vais en indiquer trois seulement, obtenues par
la methode decrite ci-dessus (Viro utilise une methode \a la Harnack").
;
Lemme 5.1. | Il existe des lissications de J10
avec les cartes de la gure 7.
a)
b)
c)
Figure 7
Indiquons par exemple comment obtenir le type (c), en triangulant la partie du
plan delimitee par le diagramme de Newton et les deux axes de coordonnees, en
indiquant les signes des monômes, et en recollant des cartes de trinômes, comme
explique plus haut. La triangulation est en pointilles, et la carte obtenue en traits
pleins (voir gure 8).
54
Jean-Jacques Risler
+
_
_
+
_
_
+
_
_
_
_
_
_
_
_
+
_
+
+
_
_
_
_
+
+
+
+
_
_
_
+
+
_
+
_
+
_
_
_
+
_
Figure 8
(b) Courbes de degre 6. | On considere maintenant les trois paraboles ci-dessus
dans le plan comme une courbe de degre 6 d'equation ayant deux singularites de
type J10; : l'une en 0, et l'autre a l'inni. Soit , le triangle de sommets (0,0),
(0,6) et (6,0). Le polygone de Newton de l'equation separe , en deux triangles :
, = ,1 ,2 (gure 9).
6
∆2
∆(φ)
3
∆1
0
0
6
Figure 9
D'apres le theoreme 4.2, on peut utiliser le lemme 5.1, et recoller independamment des cartes de type (a) ou (b) dans ,1 et ,2, pour obtenir la carte d'une courbe
lisse de degre 6, que l'on pourra considerer dans le disque ou dans RP2.
On obtient ainsi les trois types de M-courbes de degre 6 dont les schemas sont
indiques gure 10 (il n'y a que trois types de M-courbes de degre 6).
La courbe du milieu par exemple s'obtient en recollant une carte de type (a)
dans ,1 et une carte de type (b) dans ,2 (voir gure 11).
55
Figure 10
Carte dans ∆ 2
Carte dans ∆ 1
Figure 11
(c) Courbes de degre 7. | Une courbe plane lisse de degre impair a toujours
une composante connexe (et une seule) homotope a une droite projective, appelee
pseudo-droite. Les autres composantes sont des ovales. Une courbe de degre 7 est
reunion d'une pseudo-droite et d'au plus 15 ovales, d'apres l'inegalite de Harnack.
Viro a classe toutes les courbes de degre 7 en 1980. Dans la proposition suivante,
qui decrit le resultat de Viro, on appelle ovale libre un ovale qui n'est contenu dans
aucun autre ovale.
Proposition 5.2 (Viro Vi84]). | Le type topologique du plongement d'une
courbe de degre 7 est constitue d'une pseudo-droite, et d'ovales avec l'une des 121
possibilites suivantes :
(i) Un ovale contenant a ovales, et b ovales libres, avec a + b 14 et 1 a 13.
(ii) ovales libres, avec 0 15
(iii) 3 ovales embo^tes.
56
Jean-Jacques Risler
Montrons par exemple comment construire une courbe de degre 7 de type (i),
avec a = 10, b = 4 (cette courbe etait inconnue jusqu'a Viro, et ne peut pas être
construite par une methode \a la Harnack").
Viro commence par construire une courbe de degre 7 avec deux singularites
de type J10; , dont la carte est representee (en traits pleins) gure 12. Viro utilise
une methode \classique" pour construire la courbe (en partant d'une ellipse et
d'une droite transverse), mais on peut aussi la construire en utilisant la methode du
collage des cartes, comme pour la courbe de la gure 8.
En \collant" dans ,1 et ,2 (et leurs symetriques) des cartes de type (b) (gure 7),
et en recollant avec la carte de a l'aide du theoreme 4.2, on obtient une courbe de
degre 7 avec a = 10, b = 4 (gure 12).
5.3. Remarque. | Toutes les courbes construites jusqu'ici par la methode
de Viro sont des \T-courbes" (T pour \Triangle"), i.e., des courbes obtenues en
collant des cartes de trinômes ayant pour polygones de Newton des triangles d'aire
1/2, comme sur la gure 8. On sait mainenant que tous les types topologiques des
M-courbes ne peuvent pas être obtenus avec des T-courbes.
7
∆(γ)
4
3
0
6
7
Figure 12
Bibliographie
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Moscow Univ. Bull. 34, 5{17.
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B-R]
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Springer-Verlag.
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topology, Leningrad Math. J. 1, 1059{1134.
Wi78] G. Wilson, Hilbert's sixteenth problem, Topology 17, 53{74.
URA 762 du CNRS
DMI, Ecole Normale Superieure
45, Rue d'Ulm
75005 Paris
Bernard Teissier
Introduction
Le but de ces exposes est de presenter un chapitre de l'etude des corps convexes
qui permet de prouver un ranement de l'inegalite isoperimetrique et qui fournit
un critere numerique d'egalite a translation pres de deux corps convexes permettant
de caracteriser le cas d'egalite.
Pour commencer je reproduis un apercu historique publie il y a quelques annees.
1. Le probleme isoperimetrique
Cependant, les theories ont leurs commencements : des allusions vagues, des
essais inacheves, des problemes particuliers et même lorsque ces commencements
importent peu dans l'etat actuel de la Science, on aurait tort de les passer sous
silence.
Frederic Riesz, 1913
Le probleme isoperimetrique n'est peut-être pas un \grand probleme", mais il est
certainement un vieux probleme. Son origine mythique est la necessite pour la reine
Didon d'enfermer la plus grande surface possible avec une peau de boeuf elle eut
l'idee de la decouper en lanieres et dut ensuite se demander quelle forme donner a
un l pour qu'il enferme la plus grande surface possible. J'appellerai probleme isoperimetrique le probleme consistant a montrer que parmi tous les domaines du plan
ayant un perimetre donne, le disque est celui qui a la plus grande aire. Je l'ai choisi
pour illustrer comment un probleme d'enonce fort simple peut en Mathematiques
donner naissance a des concepts assez profonds pour qu'ils aillent ensuite enrichir
des branches de Mathematiques a priori fort eloignees. Ce probleme de geometrie
euclidienne a feconde l'analyse, puis plus recemment la geometrie riemannienne et
la geometrie algebrique. Sa version multidimensionnelle a permis en 1982 de donner
une demonstration fulgurante d'un probleme de combinatoire pose en 1926 et qui
avait resiste a de nombreux eorts. Je veux aussi insister sur le fait qu'il n'a pu être
pose clairement que vers le debut du 18eme siecle et n'a ete resolu qu'a la n du
19eme alors que les Grecs de l'epoque classique etaient deja tout-a-fait conscients de
la propriete extremale du cercle. On insiste souvent a juste titre sur le fait que les
Mathematiques inventent des concepts dont l'utilite \pratique" n'appara^( t parfois
que plusieurs decennies ou siecles plus tard, et que la recherche mathematique est
59
60
Bernard Teissier
donc un investissement a tres long terme. En sens inverse, il est aussi vrai que
des problemes \concrets" peuvent contribuer a creer des concepts mathematiques
pendant plusieurs siecles l'histoire que je vais esquisser est en fait celle d'une longue
meditation mathematique, commencee il y a au moins 2400 ans et qui n'est pas
encore terminee, sur les concepts d'aire et de volume, et sur le concept d'extremum.
Je dois aussi souligner que la motivation de ces recherches n'etait pas dans les
applications. Les architectes navals n'ont pas attendu la demonstration rigoureuse
de l'inegalite isoperimetrique pour faire des hublots ronds. Comme le dit joliment
T. Bonnesen dans l'introduction de son livre \sur le probleme des isoperimetres et
des isepiphanes"(1929) : \Et ces proprietes du cercle et de la sphere sont tellement
intuitives que, pour l'homme de bon sens, il para^( t super0u d'en donner des demonstrations. Pour les geometres au contraire la demonstration exacte des theoremes en question a presente des dicultes assez grandes". Cependant les retombees
pratiques des mathematiques au developpement desquelles le probleme isoperimetrique a contribue sont incalculables et depassent de tres loin ce qu'aurait pu donner
une re0exion \pilotee par les applications" (pour n'en citer qu'une classe : les calculs
sur les vibrations des structures, par exemple les ponts).
C'est la une autre idee que j'aimerais illustrer dans cet expose : la recherche
de la rigueur est un puissant moteur pour l'invention, et fournit ainsi des champs
d'application bien plus vastes que la \verite utile" que l'on cherchait a etablir.
Il est possible que le premier enonce mathematique du probleme isoperimetrique
soit dû a Archimede (287-212 av. J.C.) mais la premiere solution d'un probleme
analogue qui soit parvenue jusqu'a nous est celle de Zenodorus qui vivait entre 200
av. J.C. et 90 apres J.C. Celui-ci prouve par exemple que parmi tous les polygones
ayant un nombre donne de côtes et inscrits dans un cercle donne, c'est le polygone
regulier qui enferme la plus grande aire.
Polybius (201-120 av. J.C.) insiste sur le fait que les gens mesurent l'aire des
villes et des camps par leur circonference il ajoute : \l'ennui est que nous avons
oublie nos lecons de geometrie" Proclus, qui vivait au cinquieme siecle, mentionne
des proces opposant (au premier siecle ?) des membre de communautes d'agriculteurs grecs ou la terre devait être egalement repartie entre tous, mais l'etait selon le
perimetre: : : avec les resultats que l'on pense au moment de la recolte. Le rapport
entre le perimetre et l'aire n'etait donc pas tout-a-fait clair bien que la propriete
d'extremalite du cercle ait ete clairement vue, au moins parmi les courbes que connaissaient bien les Grecs : coniques et polygones. Il para^( t d'ailleurs que certains
commentateurs tardifs mettaient en doute la proposition d'Euclide selon laquelle
tous les triangles qui ont une base donnee et dont le sommet oppose parcourt une
droite parallele a la base enferment la même aire, pour la raison que l'on peut faire
tendre le perimetre vers l'inni en eloignant le sommet sur la parallele. Le probleme
theorique semble ensuite reposer jusqu'au 18eme siecle, et va se reveiller des que
le calcul innitesimal donnera des techniques pour etudier le probleme que voici :
etant donnes un ensemble de courbes, et une grandeur associee a chaque courbe de
l'ensemble (par exemple un temps de parcours, une variation d'energie), determiner
61
la ou les courbes qui rendent maximale ou minimale cette grandeur c'est la naissance du calcul des variations comme branche de l'analyse. La solution des premiers
problemes de calcul des variations, comme celui de la \courbe brachystochrone" qui
est la courbe joignant deux points donnes d'un plan vertical le long de laquelle le
temps de chute d'une bille sans frottement est minimal, cette solution, dis-je, est
obtenue en ecrivant qu'un extremum (maximum ou minimum) \annule la derivee
par rapport a la courbe" cela conduit pour chaque probleme a des equations appelees equations d'Euler. Les courbes qui satisfont ces equations sont candidates
a donner le maximum ou le minimum cherche, mais il se peut aussi qu'aucune de
ces courbes ne donne l'extremum, et qu'en fait cet extremum ne soit pas atteint.
Decider de l'existence de l'extremum est la diculte majeure du calcul des variations mais comme, dans les cas analogues a celui de la brachystochrone, les equations
d'Euler peuvent être assez facilement integrees pour donner explicitement la solution
cherchee, le probleme de l'existence de la solution ne se posait pas.
C'est je crois une des grandes contributions du probleme isoperimetrique que
d'avoir oblige les mathematiciens a poser le probleme de l'existence des solutions des
problemes variationnels, et voici comment : Les equations d'Euler n'ont de sens que
sous des hypotheses de derivabilite, donc de regularite des courbes considerees, qui
ne sont pas du tout naturelles dans le probleme isoperimetrique. Apres des travaux
analytiques pas vraiment concluants de Jacob et Johan Bernoulli et de Brook Taylor
les geometres du debut du 19eme avaient donc cherche des solutions geometriques
et Jacob Steiner avait invente une construction geometrique, la symetrisation de
Steiner, qui associe a chaque domaine qui n'est pas un cercle et a une direction de
droite un nouveau domaine ayant la même aire et un perimetre plus petit. Steiner
a cru pouvoir en deduire une propriete d'extremalite du cercle equivalente a la
propriete isoperimetrique : parmi les courbes qui enferment une aire donnee, il a
le plus petit perimetre. Mais il supposait explicitement l'existence d'un extremum.
O. Perron a fait observer que le même schema de demonstration prouverait que \le
nombre 1 est le plus grand nombre entier" a tout nombre entier a dierent de 1 on
peut en eet associer un nombre entier plus grand, son carre a2. Cet argument montre
en fait que le nombre 1 est le seul candidat possible pour realiser le maximum, et
l'erreur de cette \demonstration" est evidemment qu'ici le maximum n'existe pas. Il
a ainsi souligne que le probleme essentiel est celui de prouver l'existence d'une courbe
ayant la propriete extremale, par exemple en trouvant des condition necessaires et
susantes pour qu'une courbe soit extremale.
C'est a peu pres a la même epoque que Lejeune-Dirichlet armait la possibilite
de prolonger une fonction donnee sur le bord d'un domaine D du plan en une
fonction f denie a l'interieur de celui-ci et minimisant une \energie". Les sources
physiques de la theorie du potentiel (cherchant a mettre dans un même cadre mathematique le potentiel gravitationnel et le potentiel electrostatique) faisaient que nul
ne doutait de l'existence de telles fonctions, dites \harmoniques", mais l'usage fait
par Riemann de ce \principe de Dirichlet", et peut-être aussi l'accent mis sur les
problemes d'existence a propos du probleme isoperimetrique, ont amene plus tard
62
Bernard Teissier
les mathematiciens a s'interroger sur ses conditions precises de validite. Les methodes mises au point a propos du probleme isoperimetrique, ainsi que des methodes d'analyse, ont contribue a la creation d'une magnique theorie qui contient
en particulier le probleme de Dirichlet, le probleme isoperimetrique, et des inegalites
d'analyse reliant la forme d'un domaine du plan a la frequence fondamentale d'un
tambour dont la membrane aurait la forme de ce domaine. L'analogue dans ce dernier
cas du theoreme isoperimetrique est que parmi tous les domaines du plan ayant la
même aire, c'est le disque qui donne la note fondamentale la plus basse. Une partie
de cette theorie donne des conditions susantes pour l'existence de solutions d'un
probleme de calcul des variations et a permis a Weierstrass et Schmidt de resoudre
nalement de maniere satisfaisante le probleme isoperimetrique dans les annees 1880.
Tout cela ne constitue aujourd'hui qu'une toute petite partie du calcul des variations, qui continue d'être utilise partout en physique, l'idee restant depuis Maupertuis et Laplace que tout mouvement, une fois represente dans un espace de conguration convenable, doit se faire de facon a minimiser une depense d'energie convenablement denie. Par exemple les fameuses equations de Yang-Mills de la Physique contemporaine sont des equations variationnelles. La symetrisation de Steiner est devenue une technique classique de calcul des variations qui sert a prouver des resultats
d'analyse. Les generalisations de la partie \frequence fondamentale d'un tambour",
que les mathematiciens appellent \spectre du laplacien" forment en ce moment un
domaine de recherche tres actif ou cooperent la geometrie et l'analyse ne.
Tout recemment Colin de Verdiere a trouve des liens entre ce spectre du laplacien
pour une surface et le nombre minimum de couleurs necessaire pour colorier une
carte tracee sur cette surface (qui est egal a 4 pour la sphere d'apres le Theoreme
des quatre couleurs, mais ceci est une autre histoire, du moins pour le moment).
Le probleme isoperimetrique en dimension superieure, qui consiste en dimension
3 a montrer que parmi tous les solides ayant la même surface du bord (appeles isepiphanes) c'est la boule qui possede le plus grand volume, avait ete aborde geometriquement des le debut du 19eme, en particulier par Steiner. Il y a des dicultes
nouvelles car le comportement du volume est plus complique par exemple on ne
peut pas du tout se ramener, comme dans le plan, au cas ou les domaines consideres
sont convexes. Pour bien comprendre il faut ecrire quelques formules. Il y a un
resultat quantitatif, l'\inegalite isoperimetrique" :
(Vol(@D))d dd Vol(B) Vol(D)d;1 reliant le volume (d ; 1)- dimensionnel du bord @D d'un domaine D de l'espace
euclidien de dimension d et le volume de D (ainsi que celui de la boule B de rayon
1, qui intervient comme une constante ne dependant que de la dimension), sous la
seule contrainte que ces deux quantites aient un sens, c'est-a-dire pour les domaines
qui ne sont pas des \Fractals". En dimension d = 2, cela donne
L2 4S ou L est le perimetre du domaine et S sa surface, et le probleme isoperimetrique
revient a montrer que l'on a l'egalite seulement si le domaine est un disque. La de-
63
monstration generale de l'inegalite isoperimetrique remonte aux annees 1930. Des
que la dimension de l'espace est au moins 3, on peut avoir egalite pour des domaines
autres que la boule de dimension d, mais on peut montrer cependant que si D donne
l'egalite dans l'inegalite isoperimetrique, alors D est une boule a laquelle on a ajoute
un \voile" de volume nul. Si l'on veut que l'egalite n'ait lieu que pour la boule, on
peut se restreindre a l'etude des corps convexes, et l'on a alors bien mieux. Etant
donnes deux domaines convexes K et K 0 de l'espace ane de dimension d, il est
clair qu'ils peuvent avoir le même volume sans être egaux a une translation pres. Il
se trouve que l'on peut generaliser le concept de volume comme ceci : etant donnes
deux convexes K et K 0 on peut intercaler naturellement entre le volume de K et
celui de K 0 des volumes mixtes bien denis ne dependant que de K et K 0 pour
obtenir une suite de d + 1 nombres positifs ou nuls v0 v1 : : : vd, avec v0 = Vol(K )
et vd = Vol(K 0). Le miracle est que deux convexes K et K 0 sont egaux a une
translation pres si et seulement si tous leurs volumes mixtes sont egaux. Si K 0 est la
boule de rayon 1, le volume mixte v1 est le volume (d ; 1)-dimensionnel du bord @K
divise par d (en dimension 3, c'est donc le tiers de la surface du bord). L'inegalite
isoperimetrique est dans ce cas une consequence des inegalites bien plus precises que
voici :
vi2 vi;1vi+1 pour i = 1 2 : : : d ; 1:
Cela sut pour prouver que parmi les convexes, on n'a egalite dans l'inegalite isoperimetrique que si K est une boule. Ces inegalites ont vers 1980 servi a prouver
une conjecture combinatoire (la conjecture des permanents de van der Waerden)
qui avait resiste a beaucoup d'eorts depuis 1926 et ont d'autres applications en
combinatoire. Elles ont d'autre part ete reliees, au moyen d'un dictionnaire etabli
recemment entre la theorie des convexes et une partie de la geometrie algebrique,
a des inegalites de la \Theorie de Hodge". Comme cette derniere, toute geometrique qu'elle soit, descend en ligne directe du principe de Dirichlet, cette relation
est en fait une resurgence moderne et geometrique de l'analogie feconde entre le
probleme isoperimetrique et le probleme de Dirichlet. Cela a inspire des enonces
dont la verication permettrait entre autres choses de preciser et generaliser des
inegalites de geometrie algebrique utilisees pour demontrer la celebre conjecture de
Weil correspondant pour les courbes algebriques sur les corps nis a l'hypothese de
Riemann sur les zeros de la fonction , qui est en ce moment le \grand probleme"
par excellence. Les volumes mixtes ont aussi ete introduits vers 1983 dans la theorie
des espaces de Banach, qui sont des espace de dimension innie ou la geometrie de
la \boule de rayon un" joue le rôle central, et des variantes de l'inegalite isoperimetrique jouent en ce moment un rôle crucial dans certaines parties de l'etude de la
geometrie des objets les plus generaux pour lesquels les vocables de distance, boule,
volume, etc. ont un sens, appeles varietes riemanniennes. Ceci nous ramene donc a
la Geometrie, d'ou nous etions partis.
Comme un ruisseau qui recoit des a1uents, le courant de pensee issu du probleme
isoperimetrique s'est mêle a bien d'autres, inspires des applications ou bien des
problemes les plus \purs", et ce que nous observons aujourd'hui est le resultat de
64
Bernard Teissier
ces melanges. Distinguer la part des eaux qui provient de chaque a1uent est impossible et d'ailleurs sans grand interêt, mais je pense que la geometrie du \reseau
hydrographique", dont je n'ai presente ici qu'une partie, peut donner une idee de la
richesse de la construction mathematique.
Je remercie Regine Douady pour ses commentaires utiles et Sylvain Gallot pour
les nombreuses ameliorations qu'il a suggerees.
2. Corps convexes
L'enveloppe ane d'une partie E de Rd, c'est-a-dire le plus petit sous-espace
ane contenant E , est notee E a la \dimension ane" de E , que nous appellerons
ici simplement dimension, est par denition la dimension de son enveloppe ane.
Cette dimension vaut
maxfi 0 j il existe i + 1 points x0 : : : xi de E anement libresg:
L'interieur d'une partie E de Rd est note E2, tandis que son interieur dans E a (ou
interieur relatif) est note E2a l'egalite E2 = E2a equivaut a dim E = d. L'adherence
de E est notee E (pas d'ambigu%(te ici).
Definition 2.1. | Une partie E de Rd est dite \convexe" si pour tous x et
y dans E le segment x y] est inclus dans E , c'est-a-dire pour tout 2 0 1] on a
x + (1 ; )y 2 E .
Un raisonnement par recurrence immediat montre que cette denition equivaut
a la suivante (stabilite de E par passage au barycentre d'une famille nie quelconque
d'elements de E ) :
Pour tout entier p 2 et tout p-uple (1 : : : p ) de nombres reels positifs veriant 1 + + p = 1 et pour tout p-uple (x1 : : : xp ) d'elements de E , on a
1x1 + + pxp 2 E .
Definition 2.2. | Un corps convexe est un sous-ensemble convexe compact
de Rd . La dimension d'un corps convexe est la dimension de son enveloppe ane un corps convexe est de dimension d si et seulement si il est d'interieur non vide.
Nous noterons Kd l'ensemble des corps convexes de Rd.
Si l'on a choisi une origine dans l'espace ane Rd, on peut denir les operations
elementaires suivantes sur les corps convexes :
{ La translation par un vecteur a 2 Rd (K a) 7! K + a = fx + a x 2 K g.
{ La dilatation ou homothetie d'un facteur 2 R+ (K ) 7! K = fx x 2 K g:
{ La somme de Minkowski de deux corps convexes :
K + K 0 = fx + y x 2 K y 2 K 0g:
Cette derniere operation joue un rôle fondamental dans la suite de cet expose.
65
Il faut noter aussi l'existence d'operations qui ne sont pas partout denies dans
mais qui ont aussi leur importance :
{ La reunion K K 0 (quand elle est convexe !)
{ La dierence K ; K 0 = fx 2 Rd x + K 0 K g (quand elle est convexe !).
Kd ,
Exemples de corps convexes.
{ Les polytopes sont les enveloppes convexes d'un ensemble ni de points de Rd si tous les points sont a coordonnees entieres (c'est-a-dire dans Zd), on dit que le
polytope est entier.
{ Parmi tous les polytopes d'interieur non vide de Rd, ceux qui sont l'enveloppe
convexe de d + 1 points sont les plus simples on les appelle simplexes.
Les caracteres numeriques naturels et evidents d'un polytope sont le nombre
de ses faces de chaque dimension, et le nombre des points a coordonnees entieres
qu'il contient. Un invariant de nature plus profonde est le polynôme d'Ehrhart d'un
polytope entier, qui forme le sujet des exposes de Brion.
{ Pour un corps convexe quelconque, son volume et le volume (en dimension un
de moins) de son bord se presentent naturellement.
Un outil fondamental dans l'etude des corps convexes est la fonction d'appui
associee a un corps convexe. Cette notion permet de penser a un corps convexe
comme a une fonction. On notera Rd l'espace vectoriel dual de Rd .
Definition 2.3. | Soit K un corps convexe dans Rd . La fonction d'appui de
K est l'application HK : Rd ! R denie par
HK (u) = sup u(x):
x 2K
Pour K xe, la fonction HK (u) est ce que l'on appelle une jauge, c'est-a-dire une
fonction qui satisfait les deux conditions suivantes :
(a) HK est convexe :
HK (1u1 + 2u2) 1HK (u1) + 2HK (u2) pour 1 2 2 R+ 1 + 2 = 1
(b) HK est positivement homogene :
HK (u) = HK (u) pour 2 R+ :
Remarquons que ces deux conditions ont encore un sens pour une fonction denie
sur un cône convexe de Rd .
66
Bernard Teissier
En fait, a tout couple forme d'une fonction convexe f : C ! R denie sur un
cône convexe C et d'un point x0 2 C , on peut associer une jauge
f (x0 + y) ; f (x0)
y 7! @f (x0 y) = lim
+
!0
Cette construction nous servira plus bas. En attendant, retenons la
7! HK est une bijection de l'ensemble
sur l'ensemble des jauges denies sur Rd . L'application
Proposition 2.4. | L'application K
Rd
des corps convexes de
reciproque est donnee par
H 7! KH = fx 2 Rd j u(x) H (u) pour tous u 2 Rd g
et la fonction d'appui de KH est H .
La demonstration est tres facile.
Exercice. | Montrer que les jauges correspondant a des polytopes sont celles
qui sont "lineaires par morceaux" en ce sens qu'il existe une partition nie de Rd
en cones convexes i telle que HK soit lineaire dans chaque i il existe qi tel que
pour tout u 2 i HK (u) = u(qi):
Les polytopes entiers donnent des cones convexes i qui sont rationnels (denis par
des inegalites `s (u) 0 portant sur des formes lineaires `s a coecients entiers).
Deux polytopes tels que les decompositions en cônes qui leurs correspondent soient
les mêmes sont dits analogues. Cela signie que leurs faces sont paralleles.
3. Volumes mixtes
Le but de ce paragraphe est d'etablir l'existence des volumes mixtes dans le cas
des polytopes et de donner leurs premieres proprietes.
L'histoire commence avec une formule demontree par Steiner sur le volume de
l'epaississement d'un corps convexe.
Soit K Rd un corps convexe pour tout nombre reel positif , soit T(K )
l'ensemble des points de Rd situes a une distance de K . Le volume de T(K ) est
un polynôme en de degre d dont le terme constant est le volume (d-dimensionnel)
de K .
La premiere etape de la preuve est la formule suivante, due a Cauchy :
Proposition 3.1. | Soient P un polytope de Rd d'interieur non vide et x0 2
P2. Notons Pi = Ai \ P 1 i k, ses faces de dimension d ; 1 (Ai est un hyperplan
de Rd ). Alors :
k
X
1
Vold(P ) = d d(x0 Ai)Vold;1 (Pi):
i=1
67
Demonstration. | Decoupons P en k pyramides Qi = conv(fx0g Pi), de
sommet commun x0 et de base Pi . Deux telles pyramides ont pour intersection un
polytope inclus dans un hyperplan de Rd, dont le volume d-dimensionnel est nul on en deduit la formule attendue puisque le volume de la i-eme pyramide vaut
1 d(x A ) Vol (P ).
d 0 i d;1 i
Corollaire 3.2. | On reprend les mêmes notations que ci-dessus quelle
que soit l'origine choisie dans Rd , si ui designe le vecteur unitaire sortant de la
face, c'est-a-dire le vecteur tel que Ai = fx 2 Rd =ui (x) = HP (ui )g et P =
Ti-efme
d
i x 2 R =ui (x) HP (ui )g on a :
k
X
Vold(P ) = 1d HP (ui)Vold;1(Pi ):
i=1
Demonstration. | Si l'origine est en x0, il sut de remarquer que HK (ui)
represente la distance du plan Ai a x0 et la formule decoule immediatement de
la proposition. Notons que cette expression reste valable quel que soit le choix de
l'origine dans P , toujours d'apres l'interpretation geometrique de la proposition autrement dit, l'expression est toujours valable si on remplace P par P ; a, quel
que soit a 2 P or
k
1X
d i=1 HP ;fag(ui) Vold;1(Pi ; fag) = Vold(P ) ; f (a)
ou f designe la forme lineaire
a 7!
k
X
i=1
ui(a) Vold;1 (Pi):
Cette egalite resulte de l'invariance du volume par translation. Mais on a prouve
que f est nulle sur P dont l'interieur est non vide par suite, f est identiquement
nulle et l'expression ci dessus est donc valable si on substitue P ; fag a P , quel que
soit a 2 Rd.
Interessons nous maintenant a la Proposition 3.1. Le cadre general de l'etude
sera le suivant : P1 : : : Pr sont des polytopes dont on note H1 : : : Hr les fonctions
d'appui et 1 : : : r sont des reels positifs on note P le polytope 1P1 + + r Pr
et on suppose que dim(P ) = d. Il est alors immediat que HP vaut 1 H1 + + r Hr .
On note F1 : : : Fq les faces de dimension d ; 1 de P , u1 : : : uq les vecteurs unitaires
sortants correspondants, Fi1 : : : Fik(i) les faces de dimension d ; 2 de Fi et de même
vi1 : : : vik(i). En utilisant les resultats du x 2, on obtient :
68
Bernard Teissier
Vold(P ) =
=
=
=
q
1X
d i=1 HP (ui)Vold;1(Fi)
!
q
r
X
1X
d j=1 j i=1 Hj (ui)Vold;1(Fi)
0q
11
0
kX
(i)
r
X
1X
1
@
AA
@
d j=1 j i=1 Hj (ui) d ; 1 `=1 @HP (ui vi`)Vold;2(Fi`)
r X
r
1 X
d(d ; 1) j=1 m=1 j m vjm
ou le facteur vjm vaut :
vjm =
k(i)
q X
X
i=1 `=1
Hj (ui)@Hm(ui vi`) Vold;2(Fi`)
On continue ainsi et bien que l'ecriture exacte du resultat nal de ce calcul en
fonction des derivees successives des fonctions Hi soit fastidieuse, il est clair qu'on
obtient une expression du type :
X d!
Vol(P11] : : : Prr ])1 1 : : :r r
Vold(1P1 + : : : + r Pr ) =
!
jj=d
ou designe un r-uplet d'entiers positifs ou nuls (1 : : : r ), jj est la somme
1 + + r et ! est egal au produit 1! r !.
Definition 3.3. | Le -ieme volume mixte des polytopes P1 : : : Pr est le
coecient
Vol(P11] : : : Prr ]):
D'apres le corollaire ci-dessus, ce coecient est independant de l'origine choisie (mais
depend bien sûr des positions relatives des polytopes) et aussi de l'ordre dans lequel
on ecrit les Pii]. Le volume de la combinaison lineaire de polytopes 1P1 + + r Pr
(supposee de dimension d) est donc bien un polynôme homogene de degre d en les
i dont les coecients sont les volumes mixtes, au facteur d!! pres. L'extension de
ce resultat aux elements de Kd fait l'objet du paragraphe suivant.
On commence par verier la
Proposition 3.4. | Les volumes mixtes croissent avec les polytopes plus
precisement, si P1 : : : Pr et Q1 : : : Qr sont deux suites de polytopes veriant Pi Qi pour tout i, on a, pour tout r-uplet de poids d :
Vol(P11] : : : Prr ]) Vol(Q11] : : : Qrr]):
En particulier tous les volumes mixtes sont 0.
69
Nous ne donnons pas ici la demonstration.
Theoreme et definition 3.5. | Soient K1 : : : Kr r elements de Kd . Alors
le volume de la somme de Minkowski 1K1 + + r Kr est un polynôme homogene
de degre d en les j on note :
X d!
1 ] : : : K r ] )1 r :
Vold(1K1 + + r Kr ) =
Vol(
K
1
r
1
r
jj!
jj=d
Les coecients mis en evidence ci-dessus s'appellent les volumes mixtes des corps
convexes K1 : : : Kr .
La demonstration consiste essentiellement a se ramener au cas de polytopes en
utilisant le fait que tout corps convexe est limite d'une suite de polytopes et les faits
que le volume est une fonction continue sur Kd muni de la metrique de Hausdor
(dont la denition est rappelee au x 4) et qu'une limite de polynômes de degre d est
un polynôme de degre d. Soulignons encore que les volumes mixtes sont invariants
par translation.
Dans le cas particulier ou r = 2, cela donne
d d!
X
i] d;i]
i d; i
v
u
v
Vold(1K1 + 2K2 ) =
i1 2 o
i = Vol(K1 K2 )
i=1 i
et l'on a les egalites
v0 = Vol(K2) vd = Vol(K1)
Si de plus K2 est la boule unite B de Rd, on peut observer que la somme de
Minkowski K + B est le tube de rayon autour de K et on retrouve la formule de
Steiner
Vol(K + B) = Vol(K ) + d Vol(K d;1] B1]) + + Vol(B)d
De plus, c'est un exercice de calcul integral de verier que l'on a
!
Vol(
K
+
B
)
;
Vol(
K
)
d
;1]
1]
= Vold;1 (@K ):
d Vol(K B ) = lim
!0+
C'est cette egalite qui fait le raccord entre la theorie des volumes mixtes et l'inegalite
isoperimetrique.
En eet le resultat principal de la theorie est le suivant, ou l'on a garde les
notations introduites ci-dessus :
Theoreme 3.6 (Inegalites d'Alexandrov-Fenchel). | On a entre les volumes
mixtes vi = Vol(K1i] K2d;i]) de deux corps convexes les inegalites suivantes :
vi2;1 vivi;2 pour 2 i d
70
Bernard Teissier
que l'on peut aussi ecrire
vd vd;1 v1
vd;1 vd;2
v0
Si toutes ces inegalites sont des egalites, soit la valeur commune des quotients
vi=vi;1 alors K1 = K2 a une translation pres.
Par telescopage (= simplication dans les produits) des inegalites on deduit en
elevant vd=vd;1 a la puissance d ; 1 que l'on a
vdd;iv0i vdd;1
ou encore en echangeant les rôles de K1 et K2
v1d v0d;1vd
avec egalite si et seulement si tous les rapports vi=vi;1 sont egaux entre eux. En
majorant ou minorant (vi=vi;1)i(d;i) par telescopage on obtient pour 0 i d les
inegalites
vid v0d;ivdi
On en deduit immediatement le
Corollaire 3.7 (Inegalite de Br%unn-Minkowski). | On a pour deux corps
convexes de Rd l'inegalite
Vol(K1 + K2) d1 Vol(K1) 1d + Vol(K2) d1
avec egalite si et seulement si les deux convexes sont homothetiques a translation
pres.
En fait comme l'a prouve Lyusternik dans les annees 1930, l'inegalite de Br%unnMinkowski deborde largement le cadre des convexes et est valable pour deux sousensembles compacts quelconques de Rd.
En tous cas on deduit de ce qui precede en prenant K2 = B et notant K pour
K1 l'inegalite isoperimetrique il sut de se souvenir que v1 = d;1 Vol(@K ) pour
obtenir
Vol(@K )d dd Vol(K )d;1 Vol(B)
c'est-a-dire l'inegalite isoperimetrique de plus il resulte de ce qui precede que pour
un corps convexe K , on a egalite si et seulement si K est a translation pres homothetique a une boule, c'est-a-dire est une boule.
71
Il faut souligner que l'on a des inegalites d'Aleksandrov-Fenchel pour les volumes
mixtes de d corps convexes quelconques de Rd notant Ki pour Ki1], elles prennent
la forme :
Vol(K1 : : : Kd)2 Vol(K1 K1 K3 : : : Kd) Vol(K2 K2 K3 : : : Kd):
Le cas d'egalite est encore plus delicat a determiner. On retrouve les inegalites
vues plus haut en remarquant que l'on peut interpreter la notation Vol(K1i] K2d;i] )
comme signiant que l'on a pris i fois K1 et d ; i fois K2 pour former (K1 : : : Kd).
Notons K~ d le quotient de Kd par la relation d'equivalence correspondant a la
translation, muni de la topologie quotient de celle de Hausdor. Les volumes mixtes
denissent une application continue
K~ d K~ d ! Rd+1
et il est remarquable que la diagonale de l'espace de dimension innie qui est a
gauche soit l'image inverse de la multidiagonale w0 = = wd de Rd+1.
Une question importante est de trouver une forme "stable" du cas d'egalite, c'esta-dire un enonce quantitatif disant que si les volumes mixtes sont presque egaux,
les deux corps convexes sont presque egaux a translation pres. Le prototype est le
resultat suivant :
Denissons le rayon inscrit r(K2 K1) (resp. le rayon exinscrit R(K2 K1 )) de K2
par rapport a K1 par :
r(K2 K1) = Supfr 2 R+ j rK1 K2 a translation presg
R(K2 K1) = Inffr 2 R+ j K2 RK1 a translation presg
Bonnesen et Flanders ont prouve en dimension 2 que si P (T ) designe le polynôme
determine par
P (T ) = Vol(K2 + TK1) pour T 0
alors les racines 1 2 de P (;T ) sont reelles (c'est l'inegalite d'Alexandrov-Fenchel)
et positives (car les coecients de P (T ) sont positifs), et de plus on a
1 r(K2 K1) R(K2 K1) 2:
Cela donne en particulier pour le rayon r du plus grand cercle inscrit (resp. R du plus
petit cercle exinscrit) d'un convexe du plan l'inegalite (avec les notation introduites
au x 1)
L2 ; 4S 2(R ; r)2:
En dimension superieure on a un resultat de Diskant (voir B-Z]) mais il n'est plus
vrai que les racines du polynôme de Minkowski-Steiner soient toujours reelles.
72
Bernard Teissier
Ceci est a contraster avec ce qui se passe pour les Determinants mixtes de matrices d d symetriques denies positives. On peut en eet developper une theorie
tout a fait analogue (en plus simple, cf. Sch]) a partir du polynôme homogene de
degre d
Det(1M1 + + k Mk )
et l'on trouve que si l'on ecrit les coecients comme on l'a fait pour les volumes
mixtes, on a entre les determinants mixtes que cette ecriture denit les inegalites
d'Aleksandrov-Fenchel et que de plus dans le cas de deux matrices denies positives,
les racines du polynôme Det(M2 + TM1) sont reelles. On n'a egalite dans les inegalites d'Aleksandrov-Fenchel que si les deux matrices sont proportionnelles.
Soulignons pour terminer que le caractere polynomial du volume d'une combinaison lineaire de convexes n'est pas accidentel et que la raison profonde en est,
comme pour le polynôme d'Ehrhart, le caractere additif (propriete valuative) du
volume on pourra consulter l'article de MacMullen dans CA].
4. Volumes mixtes avec la boule unite
Le but de ce paragraphe est de presenter les interpretations naturelles des volumes
mixtes d'un corps convexe avec la boule unite et surtout de montrer que ces volumes
mixtes forment une base de l'espace des applications : Kd ! R qui sont continues
pour la metrique de Hausdor, invariantes par translation, et verient la condition
de valuation.
Definition. | Une application : Kd ! ; de Kd dans un semigroupe commutatif ; est appelee valuation si elle satisfait :
(A B ) + (A \ B ) = (A) + (B ) si A B est convexe.
Rappelons la denition de la distance de Hausdor : Soient K1 et K2 dans Kd.
On pose
D(K1 K2) = Inff 0 K1 K2 + B et K2 K1 + Bg:
D est une distance sur Kd appelee distance de Hausdorf et l'inf est atteint.
Pour cette metrique les volumes mixtes de r corps convexes sont des fonctions
continues sur (Kd)r .
Remarquons par ailleurs que les volumes mixtes
wi(K ) = Vol(K i] Bd;i])
d'un corps convexe avec la boule unite sont invariants non seulement par l'action sur
K des translations mais aussi par celle des deplacements de l'espace Rd a cause de
l'invariance du volume par deplacement et de la symetrie de la sphere. Ils verient
aussi
wi(K ) = iwi(K ):
73
Le resultat suivant, souvent appele "Theoreme fondamental de la Geometrie integrale" n'en est pas moins surprenant :
Theoreme 4.1 (Hadwiger). | Soit : Kd ! R une valuation continue et invariante par deplacement. Alors il existe des nombres reels (0 : : : d ) uniquement
determines tels que pour tout K 2 Kd
d
X
(K ) = iwi(K ):
i=0
Autrement dit les applications K 7! wi(K ) forment une base de l'espace des valuations a valeurs reelles continues et invariantes par deplacement.
Nous allons voir des interpretations geometriques des volumes mixtes je dois
laisser de côte parce qu'elle nous entra^(nerait trop loin celle qui est probablement la
plus importante : les wi(K ) sont des integrales de fonctions symetriques de courbure
du bord @K .
Soit Gra(d k) l'espace des k-plans anes de Rd. C'est en fait une variete algebrique reelle et on peut montrer qu'elle admet une mesure invariante par les deplacements de Rd qui est unique a homothetie pres.
Un des beaux resultats de la Geometrie integrale, appele formule de Crofton
montre que le i-ieme volume mixte avec la boule d'un corps K de Rd est proportionnel a la mesure du sous-ensemble Gra(K d ; i) Gra(d d ; i) des espaces
anes de dimension d ; i qui le rencontrent :
Theoreme 4.2. | Il existe une mesure invariante mdd;i sur Gra(d d ; i)
telle que l'on ait
mdd;i (Gra(K d ; i)) = wi(K ):
Si l'on prefere, etant donnes deux corps convexes K1 K2 tels que K2 soit de
dimension d, la probabilite conditionnelle pour qu'un sous-espace ane de dimension
d ; i qui rencontre K2 rencontre aussi K1 est le quotient wi(K1)=wi (K2).
Il y a aussi une interpretation des wi(K ) comme volumes moyens de projections
orthogonales de K sur des espaces de dimension i. Plus precisement, notons Gr(d k)
l'espace des sous-espaces vectoriels de dimension k de Rd. C'est une variete algebrique, compacte et admettant aussi une mesure invariante par les deplacements de
Rd. Etant donne L 2 Gr(d d ; i), notons L la projection orthogonale sur un espace
de dimension i parallelement a L. Notons enn Or le volume de la boule unite de
Rr . On a alors :
Theoreme 4.3. | Pour tout corps convexe K 2 Kd on a l'egalite :
iOd;i;1 O0 Z
wi(K ) = dO
Vol(L(K ))dL:
d;2 Oi;1 L2Gr(dd;i)
74
Bernard Teissier
5. Nombres de faces des polytopes
Le caractere numerique naturel d'un polytope P Rd est la suite des nombres
de ses faces de toutes les dimensions on note fi(P ) le nombre des faces de dimension
i de P . La suite
f (P ) = (f0(P ) : : : fd;1 (P ))
s'appelle le f -vecteur de P .
Le probleme de caracteriser les suites d'entiers qui sont les f -vecteurs de polytopes remonte au moins a Euler, et c'est a Poincare que l'on doit la premiere contrainte generale (calcul de la carcteristique d'Euler-Poincare de la boule) :
f0 ; f1 + + (;1)d;1fd;1 = 1 + (;1)d;1
Pour aller plus loin il est commode d'introduire une suite d'entiers equivalente aux
fi en convenant de poser f;1 = 1 et en denissant
Xi d ; j ! i;j
hi =
(;1) fj;1:
j =0 d ; i
On appelle evidemment h0(P ) : : : hd(P ) le h-vecteur de P . On remarque que h0 =
1, hd = 1, et que l'on peut calculer les fi en fonction des hj par
!
d
X
d
;
j
fi =
hj :
j =0 d ; 1 ; 1
Dans le cas particulier ou toutes les faces de P sont des simplexes (on dit que P est
simplicial), on a une extension de la formule d'Euler-Poincare :
Proposition 5.1 (Dehn-Somerville). | Pour un polytope simplicial P on a
les egalites
hi(P ) = hd;i (P ):
On peut montrer que ces relations engendrent l'espace ane de toutes les relations lineaires entre les fi(P ) pour P simplicial. La question qui reste est de savoir s'il
y a d'autres contraintes sur les f -vecteurs ou les h-vecteurs de polytopes simpliciaux.
Introduisons encore une notation : etant donnes des entiers positifs g i il existe
une unique suite d'entiers positifs satisfaisant
ni > ni;1 > > nj j 1
et telle que
!
!
!
n
n
n
i
i; 1
j
g = i + i ; 1 + + j :
C'est un exercice sur les coecients du binôme.
Cela etant, on peut associer a g i l'entier suivant :
!
!
!
n
+
1
n
+
1
n
+
1
i
i
;
1
j
g = i + 1 +
+ + j + 1 i
posant 0 = 0.
75
On dira qu'un vecteur (g0 : : : gc ) 2 Zc+1 est un M-vecteur (M pour Macaulay)
si il satisfait
g0 = 1 et 0 gi+1 gi pour 1 i c ; 1:
On peut montrer qu'un vecteur est un M-vecteur si et seulement si il existe une
algebre graduee R = Ri sur un corps k, engendree par ses elements de degre un,
de dimension nie comme espace vectoriel et telle que dim Ri = gi , 0 i c.
En 1971 McMullen enonca la remarquable conjecture suivante :
Un vecteur (h0 : : : hd) 2 Zd+1 est le h-vecteur d'un polytope simplicial P si et
seulement si
(1) il satisfait hi = hd;i et
(2) (h0 h1 ; h0 : : : hd=2] ; hd=2];1) est un M-vecteur.
Cette conjecture a ete prouvee en 1979-80 par R. Stanley (St], necessite) et
Billera-Lee (B-L], susance). La preuve utilisait des outils puissants de Geometrie algebrique via le même dictionnaire entre polytopes et varietes algebriques qui
sous-tend les resultats exposes par Brion.
Recemment McMullen a reussi a donner une version combinatoire de la preuve.
Plonger la theorie des polytopes dans la Geometrie algebrique permet de faire des
operations qui ne sont pas permises pour les polytopes, comme prendre une section
hyperplane d'une varete algebrique projective une section hyperplane d'une variete
algebrique qui \provient" d'un polytope n'a plus cette propriete. McMullen etend
combinatoirement l'univers des polytopes (essentiellement par des combinaisons lineaires formelles modulo des relations geometriques) et dans ce cadre etendu parvient
a formuler et demontrer des resultats analogues a ceux que la Geometrie algebrique
prouve par sections hyperplanes.
Bibliographie
B]
M. Berger, Geometrie, Masson, Paris, 1978.
B-L] L. Billera, C.W. Lee, A proof of the suciency of McMullen's condition: : : , J. Combinatorial Theory Ser. A 31 (1981), 237{255.
B-Z] Burago-Zallgaller, Geometric Inequalities, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag, 1988.
CA] Convexity and its Applications, P.M. Gruber and J.M. Wills, Eds, Birkh%auser,
1983.
HC] Handbook of Convexity, P.M. Gruber et al., Eds, Birkh%auser, 1992.
S]
Santalo , Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of
Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, 1976.
76
Bernard Teissier
Sch] R. Schneider, On A.D. Aleksandrov's inequalities for mixed discriminants,
Journ. for Math. and Mech. 15 (1966), 285{290.
St] R. Stanley, The number of faces of a simplicial polytope, Adv. in Math. 35
(1980), 236{238.
URA 762 du CNRS
DMI, Ecole Normale Superieure
45, Rue d'Ulm
75005 Paris

Aspects g eom etriques et combinatoires de la convexit e

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