CINETIQUE - DYNAMIQUE

Transcription

2
ETUDE DANS UN REPERE NON GALILEEN
I. MASSE - CENTRE D’INERTIE
3
1. Conservation de la masse................................................................................................................3
2. Point matériel ...................................................................................................................................3
3. Système fini de point matériels ........................................................................................................3
4. Cas d’une courbe matérielle ............................................................................................................3
5. Cas d’une surface matérielle............................................................................................................4
6. Cas d’un domaine tridimensionnel matériel .....................................................................................4
7. Système de solides ..........................................................................................................................5
8. Symétrie matérielle ..........................................................................................................................5
9. Théorèmes de GULDIN ...................................................................................................................5
II. PRINCIPE FONDAMENTAL
7
1. Principe de l’inertie ...........................................................................................................................7
2. Quantité de mouvement ...................................................................................................................7
3. Quantité d’accélération ....................................................................................................................8
4. P.F.D. pour un point matériel ...........................................................................................................9
5. P.F.D. pour un système matériel......................................................................................................9
III. THEOREMES GENERAUX
10
1. Théorème de la résultante dynamique ..........................................................................................10
2. Théorème du moment dynamique .................................................................................................10
3. Théorème des actions mutuelles ...................................................................................................10
4. Forces intérieures ..........................................................................................................................10
IV. TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE
11
1. Résultante cinétique .......................................................................................................................11
2. Moment cinétique ...........................................................................................................................11
3. Résultante dynamique ...................................................................................................................12
4. Moment dynamique ........................................................................................................................12
5. Relation entre moment dynamique et moment cinétique ..............................................................12
6. Projection du moment dynamique sur un axe ................................................................................13
V. OPERATEUR D’INERTIE
14
1. Rappel ............................................................................................................................................14
2. Définition ........................................................................................................................................14
3. Matrice associée dans la base b ....................................................................................................15
4. Théorème de König ........................................................................................................................16
5. Théorème de Huyghens .................................................................................................................16
VI. PUISSANCE
17
1. Point matériel .................................................................................................................................17
2. Système matériel............................................................................................................................17
3. Cas du solide..................................................................................................................................18
VII. ÉNERGIE CINETIQUE
19
1. Point matériel .................................................................................................................................19
2. Système matériel............................................................................................................................19
3. Cas du solide indéformable ............................................................................................................21
VIII. RESUME (CAS DU SOLIDE)
22
1. Moment cinétique ...........................................................................................................................22
2. Moment dynamique ........................................................................................................................22
3. Énergie cinétique ...........................................................................................................................22
IX. APPLICATIONS
23
1. Solide en rotation autour d’un axe fixe ...........................................................................................23
2. Équilibrage .....................................................................................................................................25
3. Solide en rotation autour d’un point fixe .........................................................................................26
X. ETUDE DANS UN REPERE NON GALILEEN
30
1. Problème ........................................................................................................................................30
2. Mise en équation ............................................................................................................................30
3. Exemple du cycliste .......................................................................................................................32
3
I. MASSE - CENTRE D’INERTIE
La masse m d’un corps caractérise la quantité de matière de celui-ci. C’est une mesure additive.
1. Conservation de la masse
t1 et t2 étant les dates de deux instants différents, la masse de tout domaine S de
l’espace affine euclidien E3 à l’instant t1 est égale à sa masse à l’instant t2.
∀ t1 et t 2 , m(S, t1) = m(S, t 2 )
Théorème
Soit une fonction vectorielle f qui à tout point M d’un ensemble matériel S, et à tout
instant t, associe le vecteur f (M, t ) , alors :
d 
d 
f
(
M
,
t
)
dm
=
f (M,t )dm
∫
 dt ∫S

S  dt

R
R
et ceci, quel que soit le repère R choisi.
2. Point matériel
Un point matériel M est un point de l’espace euclidien E affecté d’une masse m.
3. Système fini de point matériels
Supposons donné un système matériel S, constitué de n points matériels M1, M2,...,
Mn de masses respectives m1, m2, ..., mn.
La masse m de ce système matériel est égale à la somme des masses des n points.
n
m = ∑ mi
i =1
On appelle centre d’inertie G de ce système matériel S le barycentre des n points Mi
affectés des coefficients respectifs mi. Le point A de l’espace affine étant arbitrairement choisit, la position du point G est donnée par l’égalité suivante :
n
m AG = ∑ mi AMi
i =1
4. Cas d’une courbe matérielle
Supposons donné un solide S constitué de points matériels dont les positions, dans
l’espace affine euclidien E, E2 ou E3, sont les points d’une courbe paramétrée Γ,
image d’une fonction F continûment dérivable.
La connaissance du solide curviligne S implique la connaissance d’une masse linéique µ(M) définie en chaque point M de la courbe Γ.
4
La masse m du solide S est donnée par l’égalité :
m = ∫ µ(M) dl
Γ
Le centre d’inertie G du solide S est défini, indépendamment du point A, par l’égalité
vectorielle suivante :
m AG = ∫ µ(M )AM dl
Γ
5. Cas d’une surface matérielle
l’espace affine euclidien E2 ou E3, sont les points d’une surface paramétrée Σ, image
d’une fonction F continûment dérivable.
La connaissance de la surface solide S implique la connaissance d’une masse surfacique µ(M) définie en chaque point M de la surface Σ.
m = ∫∫ µ(M ) ds
Σ
m AG = ∫∫ µ(M )AM ds
Σ
6. Cas d’un domaine tridimensionnel matériel
l’espace affine euclidien E3, sont les points d’un domaine tridimensionnel ∆, image
d’une fonction F continûment dérivable.
La connaissance du solide plein S implique la connaissance d’une masse volumique
µ(M) définie en chaque point M du domaine tridimensionnel ∆.
m = ∫∫∫ µ(M ) dv
∆
m AG = ∫∫∫ µ(M ) AM dv
∆
5
7. Système de solides
Considérons un système matériel S constitué de n solides Si de centre d’inertie Gi et
de masse mi.
La masse m du système matériel S est égale à la somme des masses des n solides.
n
m = ∑ mi
i =1
Le centre d’inertie G du système matériel est le barycentre des n points Gi affectés
des masses mi.
n
m AG = ∑ mi AGi
i =1
8. Symétrie matérielle
Si un solide possède un élément de symétrie tel qu‘un point O, une droite ∆ ou un
plan Π, alors le centre d’inertie G est situé au point O, sur la droite ∆ ou sur le plan Π.
Il convient donc de rechercher ces éléments de symétrie avant d’entreprendre tout
calcul.
9. Théorèmes de GULDIN
A. 1ER THEOREME
Supposons données, dans un plan de l’espace affine euclidien, une courbe paramétrée Γ et une droite ∆ qui ne se coupent pas.
Alors :
L’aire A de la surface de révolution engendrée par la rotation de Γ autour de ∆
est égale au produit de la longueur L de la courbe Γ et de la longueur du
cercle engendré par la rotation autour de ∆ du centre d’inertie G de la courbe
Γ.
y
Γ
yG
A=2πYG.L
G
O
∆
6
B. 2EME THEOREME
Supposons donnés, dans un plan de l’espace affine euclidien, un domaine δ limité
par une courbe paramétrée fermée Γ et une droite ∆ qui ne coupe pas le domaine.
Alors :
Le volume V du domaine tridimensionnel de révolution engendrée par la rotation de Γ autour de ∆ est égal au produit de l’aire A du domaine plan δ et de la
longueur du cercle engendré par la rotation autour de ∆ du centre d’inertie G
du domaine plan δ.
y
Γ
δ
yG
V=2πYG.A
G
O
∆
7
II. PRINCIPE FONDAMENTAL
1. Principe de l’inertie
Il existe un repère privilégié dans lequel un point matériel qui serait soustrait
à toute influence aurait une accélération nulle. Ce repère est dit galiléen ou
absolu.
A. RELATIVITE GALILEENNE
On remarque que s’il existe un repère galiléen, alors il en existe une infinité, qui se
déduisent du premier par des mouvements d’accélération nulle (mouvement de translation uniforme). Tous ces repères conviennent dont pour exprimer les lois de la
mécanique classique.
Ainsi, la notion de vitesse d’un point matériel n’a pas de signification absolue, et ne
peut être que relative au repère galiléen particulier qui a été choisi. On en tire le principe de relativité galiléenne suivant :
Aucune expérience mécanique, exprimée dans un repère galiléen, ne doit
permettre de mettre en évidence le mouvement de ce repère par rapport à un
autre repère galiléen.
2. Quantité de mouvement
A. POINT MATERIEL
Soit un point matériel M, de masse m et animé d’une vitesse V M / R par rapport à un
repère R. Le vecteur P = m V M / R définit la quantité de mouvement de ce point matériel. Il est considéré comme lié à M et dépend, bien entendu, du repère de mouvement R.
Pour pouvoir caractériser cette quantité de mouvement en n'importe quel point A de
l'espace, on construit le glisseur ΣM / R :
P M / R P M / R
ΣM / R ≡ 
≡ 

= AM ∧ P M / R
σ
0

M
A  A,M / R
B. SYSTEME MATERIEL
À chaque particule élémentaire M de masse dm du système matériel S est associée :
la quantité de mouvement :
dP M / R = dm V M ∈S / R
le glisseur :
dP M / R dP M / R
dΣM / R ≡ 
≡ 

dσ A,M / R = AM ∧ dP M / R
0

M
A
8
On obtient alors le torseur des quantités de mouvement de S par rapport au repère R
appelé torseur cinétique et dont les éléments de réduction, exprimés en un point
quelconque A, sont les suivants :
P S / R = dP M / R
∫

S
ΣS / R ≡  σ A,S / R = ∫ AM ∧ dP M / R

M ∈S
A
→ résultante cinétique
→ moment cinétique
Si on considère une partition de S :
( S = S1 + S2 et S1 ∩ S2 = ∅ )
on a bien évidemment :
Σ S / R = Σ ( S1 + S 2 ) / R = Σ S1 / R + Σ S 2 / R
3. Quantité d’accélération
A. POINT MATERIEL
Soit un point matériel M, de masse m et animé d’une accélération aM / R par rapport à
un repère R. Le vecteur D = m aM / R définit la quantité d’accélération de ce point matériel. Il est considéré comme lié à M et dépend, bien entendu, du repère de mouvement R.
Pour pouvoir caractériser cette quantité d'accélération en n'importe quel point A de
l'espace, on construit le glisseur ∆ M / R :
D M / R D M / R
∆M / R ≡ 
≡ 

= AM ∧ D M / R
δ
0

M
A  A,M / R
B. SYSTEME MATERIEL
A chaque particule élémentaire M de masse
dm du système matériel S, est associée
une quantité d’accélération élémentaire dDM / R = dm aM∈S / R .
On obtient alors le torseur des quantités d'accélération de S par rapport au repère R
appelé torseur dynamique et dont les éléments de réduction, exprimés en un point
quelconque A, sont les suivants :
D S / R = dDM / R
∫

S
∆S / R ≡ 
δ A,S / R = ∫ AM ∧ dD M / R

M ∈S
A
→ résultante dynamique
→ moment dynamique
Si on considère une partition de S :
( S = S1 + S2 et S1 ∩ S2 = ∅ )
on a bien évidemment :
∆S / R = ∆ (S1 + S2 ) / R = ∆S1 / R + ∆ S2 / R
9
4. P.F.D. pour un point matériel
Considérons un point matériel M de masse m en mouvement par rapport à un repère
galiléen Rg. L'action mécanique qu'il subit se représente par un glisseur de résultante F et de moment nul en M. Le principe fondamental de la dynamique appliqué
sur ce point s’écrit :
F = m aM / Rg
La quantité m aM / R est appelée quantité d’accélération galiléenne du point M.
g
5. P.F.D. pour un système matériel
Considérons un système matériel S en mouvement par rapport à un repère galiléen
Rg soumis à une action mécanique extérieure MS / R g :
R S / S
≡

g
M A,S / S
A
MS / R
Alors, le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce système s’écrit :
M
S /S
= ∆S / Rg
et s’énonce :
Il existe un repère galiléen et une chronologie galiléenne tels que le torseur
des forces extérieures appliquées sur un système matériel est égal au torseur
des accélérations galiléennes de ce système.
10
III. THEOREMES GENERAUX
L’égalité du torseur des forces extérieures et du torseur de quantités d’accélérations
galiléennes nous donne deux égalités vectorielles qui sont généralement appelées
théorème de la résultante dynamique et théorème du moment dynamique.
1. Théorème de la résultante dynamique
R S / S =m aG∈S / Rg
Il s’exprime par l’égalité :
2. Théorème du moment dynamique
M A,S / S = δ A,S / Rg
Il s’exprime par l’égalité :
3. Théorème des actions mutuelles
Considérons un système matériel S en mouvement par rapport à un repère galiléen
Rg et une partition de S en deux sous systèmes S1 et S2.
S = S1 + S2 et S1 ∩ S2 = ∅
On a, bien évidemment :
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à ces trois systèmes matériels :
MS / S
= ∆ S / Rg
MS / S
1
et
= ∆ S1 / Rg
1
1
= MS2 / S1 + MS / S1
2
2
= MS1 / S2 + MS / S2
MS / S
MS / S
En remarquant que :
1
MS / S
2
2
= ∆ S2 / Rg
on peut écrire :
MS / S
2
1
+ MS / S1 = ∆ S1 / Rg
et
MS / S
1
2
+ MS / S2 = ∆S2 / Rg
Ajoutons membres à membres ces deux égalités :
MS / S
2
1
+ MS / S1 + MS1 / S2 + MS / S2 = ∆ S1 / Rg + ∆ S2 / Rg
Or :
∆ S1 / Rg + ∆ S2 / Rg = ∆ S / Rg
D’où :
Et finalement :
et
MS
2
/ S1
MS / S
1
+ MS / S2 = MS / S
+ MS1 / S 2 + MS / S = ∆S / R g
MS
2
/ S1
+ MS1 / S 2 = {0}
4. Forces intérieures
Les forces intérieures d’un système matériel S sont des actions gravitationnelles,
électromagnétiques ou de contact (ou de liaison) entre éléments de ce système.
Prises deux à deux, ces forces s’annulent (ceci découle du principe des actions mutuelles que nous venons d’établir à partir du principe fondamental de la dynamique).
Le torseur des forces intérieures d’un système matériel est donc équivalent à zéro :
Mint/ S ≡ {0}
11
IV. TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE
1. Résultante cinétique
G étant le centre d’inertie d’un système matériel S, on peut écrire :
m OG = ∫ OM dm
M ∈S
En dérivant par rapport au temps cette égalité, on obtient :
d 

d

m V G∈S/R =   ∫ OM dm  = ∫  OM  dm = ∫V M ∈S/R dm
R
 dt  M ∈S
M ∈S
 R M ∈S  dt
P S/R =
c’est à dire :
∫V
M ∈S/R
dm = m V G∈S/R
(1)
M ∈S
La quantité de mouvement d’un système matériel est égale à celle de son
centre d’inertie où serait concentrée toute la masse.
2. Moment cinétique
A. CAS GENERAL
Le seul outil dont on dispose dans le cas d'un système matériel quelconque est la
relation de changement de point qui s'écrit :
σ A,S / R = σB,S / R + m AB ∧ V G∈S / R
B. CAS DU SOLIDE INDEFORMABLE
Exprimons le vecteur σ A,S / R : σ A,S / R =
∫ AM ∧ V
M ∈S / R
dm
M ∈S
Le système matériel S étant indéformable, on peut remplacer V M ∈S / R
par
V A∈S / R + ΩS / R ∧ AM dans l’égalité précédente :
σ A,S / R =
∫ AM ∧ V
A∈S / R
dm +
M ∈S
∫ AM ∧ (Ω
S/R
)
∧ AM dm
M ∈S
En remarquant que la quantité V A∈S / R est indépendante de l’intégration, on peut
écrire :


σ A,S / R =  ∫ AM dm  ∧ V A∈S / R − ∫ AM ∧ AM ∧ ΩS / R dm
M ∈S
 M ∈S

Finalement, on obtient :
(
σ A,S / R = m AG ∧ V A∈S / R −
∫ AM ∧ (AM ∧ Ω
M ∈S
)
S/R
)dm
12
L’expression se simplifie si on calcule le torseur cinétique :
au centre de masse du solide ;
en un point fixe (s’il en existe un).
Remarque : Dans cette relation, la vitesse qui intervient est celle du point A appartenant au solide S.
C. TORSEUR CINETIQUE
Le torseur cinétique d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère R
s’écrit, en un point quelconque A :
P S / R = m V G∈S / R

ΣS / R ≡  σ
= m AG ∧ V A∈S / R − ∫ AM ∧ AM ∧ ΩS / R dm
 A,S / R

M ∈S
A
(
)
3. Résultante dynamique
En dérivant la relation (1), on obtient :
d 

d

m AG∈S/R =   ∫V M ∈S/R dm  = ∫  V M ∈S/R  dm
R
 R M ∈S  dt
 dt  M ∈S
DS / R = m aG∈S/R =
C’est à dire :
∫
aM∈S/R dm
M ∈S
La quantité d’accélération d’un système matériel S est égale à celle de son
centre d’inertie où serait concentrée toute la masse.
4. Moment dynamique
A. CAS GENERAL
Le seul outil dont on dispose dans le cas d'un système matériel quelconque est la
relation de changement de point qui s'écrit :
δ A,S / R = δB,S / R + m AB ∧ aG∈S / R
B. CAS DU SOLIDE INDEFORMABLE
Le champ des accélérations d'un solide indéformable n'est pas équiprojectif. Les
techniques utilisées pour le calcul du moment cinétique ne sont donc pas applicables
ici. Le cas particulier du solide indéformable ne présente pas d'intérêt particulier pour
le calcul du moment dynamique.
5. Relation entre moment dynamique et moment cinétique
Exprimons le moment dynamique :
δ A,S / R =
∫
M ∈S
AM ∧ aM∈S / R dm =
d AM ∧ V M∈S / R dm
dt
M ∈S
∫
δ A,S / R =
13
(
)
d

d

 dt AM ∧ V M ∈S / R  dm − ∫  dt AM  ∧ V M ∈S / R dm
R
R
M ∈S
M ∈S
∫
Le point A où est exprimé le moment dynamique peut être mobile par rapport au repère d'observation R. Il faut donc écrire :
d 

d

δ A,S / R =   ∫ AM ∧ V M ∈S / R dm  + ∫  OA − OM  ∧ V M ∈S / R dm
R
 dt  M ∈S
 R M ∈S  dt
(
)
d 
δ A,S / R =  (σ A,S / R ) + ∫V A / R ∧ V M ∈S / R dm − ∫ V
∈S / R ∧ V M ∈S / R dm
M
 dt
 R M ∈S
M ∈S
=0
En remarquant que la quantité V A / R est indépendante de l’intégration, on peut
écrire :
∫V
A/R
M ∈S
Finalement, on a :
∧ V M ∈S / R dm = V A / R ∧
∫V
M ∈S / R
dm = m V A / R ∧ V G∈S / R
M ∈S
d 
δ A,S / R =  (σ A,S / R ) + m V A / R ∧ V G∈S / R
 dt
R
Cette relation est utilisée de manière intensive pour calculer les moments dynamiques ; elle est d’un très grand intérêt dans la mesure où elle évite d’exprimer les
accélération, dont le calcul est toujours très pénible.
Elle est particulièrement facile à mettre en œuvre si :
le point A est fixe dans le repère d’observation ;
le moment dynamique est calculé au centre de masse G ;
les vitesses des points A et G sont colinéaires.
Remarque : Dans cette relation générale, la vitesse qui intervient est celle du point A
choisi pour exprimer le moment dynamique de l’ensemble matériel quelconque
(qui n’est pas forcément un solide indéformable).
6. Projection du moment dynamique sur un axe
Il arrive fréquemment dans les problèmes de mécanique que l’on ait pas besoin de
l’expression complète du moment dynamique, mais seulement de sa projection
δ A,S / R ⋅ u sur un axe (A, u ) . Ce qui donne :
d  δ A,S / R ⋅ u =  (σ A,S / R ) ⋅ u + m V A / R ,V G∈S / R , u
 dt
R

 du 
d  d Or :
 dt (σ A,S / R ) ⋅ u =  dt (σ A,S / R ⋅ u ) − σ A,S / R ⋅  dt 

R

R
 R
d 
 du 
Donc :
δ A,S / R ⋅ u =  (σ A,S / R ⋅ u ) − σ A,S / R ⋅   + m V A / R ,V G∈S / R , u
 dt
R
 dt  R
Malgré son apparente complexité, cette expression présente l’énorme avantage de
ne pas faire intervenir d’accélérations !
De plus, on s’arrange en général pour ne pas avoir à calculer tous les termes :
en prenant A en G ;
en prenant un point A de vitesse nulle ;
en projetant sur un axe fixe.
(
)
(
)
14
V. OPERATEUR D’INERTIE
Par deux fois, dans le cas d’un solide indéformable, nous avons rencontré
l’expression :
− ∫ AM ∧ AM ∧ ΩS/R dm
(
M ∈S
)
Nous allons maintenant l’évaluer.
1. Rappel
Considérons l’application antisymétrique
L . Nous savons
AM
que cette application est
linéaire et que, dans E :
L
u → L
(
u
)
=
AM
∧
u
AM
Le vecteur AM étant exprimé sur la base b = (x, y , z ) , à savoir :
AM = xx + yy + zz
AM
l’application
L peut être représentée par la matrice 3x3 suivante :
AM
y
 0 −z


L= z
0 − x
− y
x
0  b

2. Définition
≈
J
L'opérateur
A,S
qui à tout vecteur u de E fait correspondre la quantité :
J (u ) = − ∫ AM ∧ (AM ∧ u ) dm = − ∫ L (L (u )) dm = − ∫ L (u ) dm
≈
2
A,S
AM
M ∈S
AM
AM
M ∈S
M ∈S
est appelé "opérateur d'inertie du solide S au point A".
≈
J
A,S
est linéaire par linéarité du produit vectoriel.
≈
J
A,S
est symétrique.
En effet :
∀ u et v ∈ E
2 u ⋅ ∫L
(v ) dm = ∫ u ⋅ LAM
AM
u⋅
M ∈S
M ∈S
AM
∫ L (v ) dm = ∫ − L (v ) ⋅ L (u ) dm
2
AM
M ∈S
u⋅
M ∈S
AM
AM
∫ L (v ) dm = ∫ v ⋅ L (L (u )) dm
2
AM
AM
M ∈S
u⋅
AM
M ∈S
∫ L (v ) dm = v ⋅ ∫ L (u ) dm
2
AM
M ∈S
Alors :
(L (v )) dm
2
AM
M ∈S
≈
≈
∀u,v ∈ E : u ⋅ J A,S (v ) = v ⋅ J A,S (u )
15
3. Matrice associée dans la base b
2
L’application L
est linéaire et sa matrice associée est LxL.
AM
Or :
 − y 2 + z2
y  0 −z
y
xy
 0 −z


 

L×L =  z
0 − x ×  z
0 − x = 
xy
− x 2 + z2
− y
x
0  b  − y
x
0 b 
xz
yz

(
)
(
)
xz
yz
2
− x + y2
(




b
)
Par conséquent :
(
)
 y 2 + z 2 dm - xy dm

- ∫ xz dm
 A - F - E
∫
∫



2
2


J A,S = - ∫ xy dm
x + z dm - ∫ yz dm
= - F B - D
∫


2
2
 - ∫ xz dm
 A  - E - D C  b
- ∫ yz dm
x
+
y
dm
∫
b
A
≈
(
)
(
)
La quantité :
• A = ∫ y 2 + z 2 dm est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( A, x ) , est
(
)
≈
notée I( A, x ),S et vaut I( A, x ),S = x ⋅ J A,S (x )
De même :
• B = ∫ x 2 + z 2 dm est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( A, y ) ,
• C = ∫ x 2 + y 2 dm est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( A, z ) ,
• D = ∫ yz dm est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( A, y, z ) ,
• E = ∫ xz dm est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( A, x, z ) ,
• F = ∫ xy dm est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( A, x, y ) .
(
(
)
)
(
)
A + B + C = 2∫ x 2 + y 2 + z 2 dm = 2∫ ρ 2 dm = 2 I A
De plus :
IA est appelé moment d’inertie polaire de S par rapport au point A. Il est indépendant
de la base b choisie pour exprimer la matrice.
Remarques :
2
étant symétrique, sa matrice associée est diagonalisable. Il existe
L’application L
AM
alors une base de vecteurs propres appelée base principale d’inertie dans laquelle le
tenseur d’inertie est diagonal.
On parle dans ce cas de tenseur principal d’inertie.
Si le tenseur d’inertie est déterminé par rapport au centre d’inertie du solide, on parle
de tenseur central d’inertie (qui n’est pas forcément diagonal).
Dans la base principale d’inertie et au centre d’inertie le tenseur est central principal d’inertie.
16
4. Théorème de König
Le théorème de König donne une relation entre le tenseur d’inertie en G et en un
point quelconque A.
Remarque préliminaire : Si u est indépendant de l’intégration, alors

 
 ∧u = 0
(
)
L
u
dm
=
GM
dm
∫
GM
 ∫

M ∈S
 M ∈S

≈
Supposons connu
J
G,S
et cherchons à l’exprimer en A.
J (u ) = − ∫ L (u ) dm = − ∫ L (L (u )) dm = − ∫ L (L (u ) + L (u )) dm
≈
2
A,S
AM
AM
M ∈S
AM
AM
M ∈S
AG
GM
M ∈S
J (u ) = − ∫ L (L (u )) dm − ∫ L (L (u )) dm − ∫ L (L (u )) dm − ∫ L (L (u )) dm
≈
A,S
AG
M ∈S
AG
GM
M ∈S
AG
AG
M ∈S
GM
GM GM
M ∈S
0
J (u ) = − L (L (u )) ∫ dm − L  ∫ L (u ) dm  + J ( ) (u )


≈
≈
A,S
AG
AG
AG
M ∈
S ≈
GM
M ∈S
0
J A,G (m ) (u )
≈
≈
≈
J (u ) = J (u ) + J
Finalement :
A,S
G,S
G,S
(u )
A,G (m )
Le tenseur d’inertie au point A du solide S est égal à la somme du tenseur
central d’inertie et du tenseur d’inertie en A du point matériel G affecté de la
masse m.
5. Théorème de Huyghens
Considérons un solide S, un point A, un vecteur unitaire u de direction quelconque
et cherchons la valeur du moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( A, u) .
Appliquons le théorème de König :
≈
≈
≈
≈
I( A,u ),S = u ⋅ J A,S (u ) = u ⋅ J G,S (u ) + u ⋅ J A,G (m ) (u ) = I(G,u ),S + u ⋅ J A,G (m ) (u )
Calculons la valeur du dernier terme de l’expression précédente :
2
≈
u ⋅ J A,G (m ) (u ) = u ⋅ m AG ∧ u ∧ AG = m u, AG, u ∧ AG = m u ∧ AG
2
Il suffit d'interpréter u ∧ AG = d 2 , carré de la distance entres les droites (G, u ) et
( A, u) pour obtenir :
(
(
)
(
))
(
I( A,u ),S = I(G,u ),S + m d 2
(
))
(
)
17
VI. PUISSANCE
1. Point matériel
On appelle puissance d'une force F appliquée à un point matériel M qui se déplaçe
à la vitesse V M / R par rapport à un repère R, la quantité :
P
M/R
= F ⋅V M / R
2. Système matériel
Soit maintenant un système matériel S en mouvement par rapport à un repère R et
un système de forces F 1,S / S ,...,F n,S / S appliquées respectivement en M1,...,Mn.
A. PUISSANCE DES FORCES EXTERIEURES
La puissance des forces extérieures F i ,S / S qui s'exercent sur S est égale à la somme
des puissances développées par les différentes forces extérieures.
C’est à dire :
Pe
i =n
S/R
= ∑ F i ,S / S ⋅ V Mi ∈S / R
(2)
i=1
B. PUISSANCE DES FORCES INTERIEURES
Considérons le système S comme formé de n points matériels M1,...,Mn.
Mj
V M j ∈S / R
Fi / j
V Mi ∈S / R
F j /i
Mi
Le point matériel Mi exerce sur le point matériel Mj une force F i / j et reçoit de ce dernier une force F j / i égale et opposée à F i / j .
(
)
Pour un couple de points Mi , M j , la puissance développée par ces forces est égale
à:
P
ij =
(
F i / j ⋅ V Mj ∈S / R + F j / i ⋅ V Mi ∈S / R = F i / j ⋅ V Mj ∈S / R − V Mi ∈S / R
)
 d Mi M j 
= Fi / j ⋅ 
 = F i / j ⋅ V Mj / Mi
 dt  R
La puissance de toutes les forces intérieures au système matériel S est alors égale
ou encore :
P
ij
(
)
à la somme des puissances pour tous les couples de points Mi , M j :
Pi
S
= ∑ Pij =
i,j > i
i=n −1 j=n
∑ ∑F
i =1
j>i
i/j
⋅
d Mi M j
dt
18
3. Cas du solide
Le système matériel S est maintenant indéformable. Le mouvement de S par rapport
à un repère R est décrit par le torseur cinématique suivant :

VS/R ≡ ΩS / R
V
A  A∈S / R
A. PUISSANCE DES FORCES EXTERIEURES
En remplaçant V Mi ∈S / R par V A∈S / R + Mi A ∧ ΩS / R dans l’expression (2) on obtient :
Pe
S/R
Pe
n
n
i=1
i=1
n
n
S/R
(
= ∑ F i ,S / S ⋅ V A∈S / R + ∑ F i ,S / S ⋅ Mi A ∧ ΩS / R
(
= V A∈S / R ⋅ ∑ F i ,S / S + ∑ F i ,S / S , M i A, ΩS / R
i=1
)
)
i=1
En utilisant les propriétés du produit mixte, le deuxième terme s’écrit :
∑ (F
n
i ,S / S
)
n
i=1
)
n
i=1
Pe
Et donc :
(
, Mi A, ΩS / R = ∑ ΩS / R , F i ,S / S , Mi A = ΩS / R ⋅ ∑ F i ,S / S ∧ Mi A
S/R
i=1
n
n
i=1
i=1
= V A∈S / R ⋅ ∑ F i ,S / S + ΩS / R ⋅ ∑ F i ,S / S ∧ M i A
Cette égalité peut encore s’écrire :
PeS / R = V A∈S / R ⋅ R S / S + ΩS / R ⋅ M A,S / S
On reconnaît là le comoment du torseur cinématique
extérieures
MS / S
VS/R
et du torseur des forces
et finalement :
Pe
S/R
= c (MS / S , VS/R ) = MS / S
⊗
VS/R
B. PUISSANCE DES FORCES INTERIEURES
 d Mi M j 
Dans le cas d’un solide indéformable, le terme 
 est égal à ΩS / R ∧ Mi M j .
 dt  R
Alors :
P
ij
(
) (
car F i / j et Mi M j sont colinéaires.
Et donc :
)
= F i / j ⋅ ΩS / R ∧ M i M j = F i / j , ΩS / R , Mi M j = 0
Pi
S
= ∑ Pij = 0
i,j
j >i
19
VII. ÉNERGIE CINETIQUE
1. Point matériel
Nous avons vu que la puissance développée par une force F s’exerçant sur un point
matériel M se déplaçant à la vitesse V M / R par rapport à un repère R, est égale à :
= F ⋅V M / R
Si le mouvement de M est décrit par rapport à un repère galiléen Rg, le principe fondamental de la dynamique nous permet d’écrire :
PM/Rg = m AM / Rg ⋅V M / Rg
P
M/R
P
C’est-à-dire :
M/Rg
 dV M / Rg 
=m
 ⋅ V M / Rg
 dt  Rg
Cherchons de quelle grandeur la puissance
P
est la dérivée temporelle.
M/R g
2
d 1

 m V M / Rg 
dt  2

2
1
TM/Rg = m V M / Rg
Posons :
2
Cette grandeur scalaire, homogène à une énergie, est appelée énergie cinétique galiléenne du point matériel M.
On obtient alors la relation suivante :
PM/Rg = d TM/Rg
dt
P
Il vient :
M/Rg
=
(
)
appelée théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel et qui s’énonce :
La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galiléenne d’un point matériel est
égale à la puissance galiléenne des forces exercées sur ce point.
Par extension, on appelle énergie cinétique d’un point matériel M de masse m animé
d’une vitesse V M / R par rapport à un repère R, la quantité :
TM/R =
2
1
mVM /R
2
2. Système matériel
Dans le cas d’un système matériel S en mouvement par rapport à un repère R,
l’énergie cinétique totale est simplement égale à la somme des énergies cinétiques
de tous les points de ce système.
Énergie qu’on notera :
2TS / R =
∫ (V
M ∈S
) dm
2
M ∈S/R
dans le cas d’une répartition continue
20
(
i =n
2TS / R = ∑ mi V Mi ∈S/R
et
i =1
)
2
dans le cas d’une répartition discrète.
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à un point matériel Mi du système S.
On obtient :
PMi /Rg = d TMi /Rg
dt
Ajoutons membres à membres les n égalités obtenues pour les n points Mi de S :
(
i=n
∑P
i =1
Mi /Rg
(
)
(
)
)
(
2
d
d  i =n
 d  i =n 1
d
TMi /Rg =  ∑TMi /Rg  =  ∑ mi V Mi ∈S / Rg  =
TS / Rg
dt  i =1
i=1 dt
 dt  i =1 2
 dt
i=n
=∑
)
Explicitons le premier terme de l’égalité précédente :
i=n
i=n
∑P
Mi /Rg
i =1
= ∑ F i ⋅ V Mi ∈S/Rg
(3)
i =1
Le terme F i représente la résultante des forces appliquées sur le point Mi. Il peut
résulter d’actions extérieures au système appliquées en Mi notées F i ,S / S et/ou
j=n
d’actions intérieures à ce système notées
∑F
j /i
.
j =1
( j ≠i )
L’égalité (3) devient alors :
i=n
∑P
Mi /Rg
i =1



j=n



= ∑   F i ,S / S + ∑ F j / i  ⋅ V Mi ∈S/Rg 
i =1  
j =1


( j ≠i )



i=n
Et, en développant :
 j=n


PMi /Rg = ∑ F i ,S / S ⋅V Mi ∈S/Rg + ∑  ∑ F j / i ⋅V Mi ∈S/Rg 
∑
i =1
i =1
i = 1  j =1

 ( j ≠i )

Cette dernière égalité peut se mettre sous la forme :
i=n
i=n
i=n
 j=n
 ∑ F j / i ⋅ V Mi ∈S/Rg − V M j ∈S/Rg
P
=
F
⋅
V
+
i
,
S
/
S
M
∈
S/Rg
i
∑
∑
∑
Mi /Rg

i =1
i =1
i =1  j > i
i=n
i=n
(
)
(
i=n
)
i=n
∑P
i =1
Mi /Rg
(
)

= PeS / Rg + PiS
Finalement, on obtient la relation suivante :
Pe
S / Rg
+ Pi S =
(
d
TS / Rg
dt
)
appelée théorème de l’énergie cinétique pour un système matériel et qui s’énonce :
La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galiléenne d’un système matériel
est égale à la puissance galiléenne des forces extérieures à ce système augmentée de la puissance des forces intérieures.
21
3. Cas du solide indéformable
A. THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE
La puissance des forces intérieures d’un solide étant nulle, le théorème de l’énergie
cinétique appliqué à un solide indéformable s’écrit simplement de la manière suivante :
Pe
S / Rg
=
(
d
TS / Rg
dt
)
et s’énonce :
La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable est égale à la puissance galiléenne des forces extérieures appliquées à
ce solide.
B. EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE
Le mouvement du solide S est défini par le torseur cinématique :

VS/R ≡ ΩS/R
V
A  A∈S/R
En remplaçant V M ∈S / R par V A∈S / R + MA ∧ ΩS / R dans la définition de l’énergie cinétique on obtient :
2TS / R = ∫ V A∈S / R + MA ∧ ΩS / R ⋅ V M ∈S / R dm
(
)
M ∈S
En développant, il vient :
2TS / R = V A∈S / R ⋅
∫V
M ∈S / R
dm +
M ∈S
∫ (MA, Ω
S/R
)
,V M ∈S / R dm
M ∈S
En utilisant les propriétés du produit mixte on obtient :
2TS / R = V A∈S / R ⋅ ∫V M ∈S / R dm + ΩS / R ⋅ ∫ AM ∧ V M ∈S / R dm
M ∈S
M ∈S
V
On reconnaît là le comoment du torseur cinématique
S/R
et du torseur cinétique
ΣS / R et on peut écrire :
2TS / R = c (ΣS / R , VS / R ) = ΣS / R
Continuons le développement :
2TS / R = V A∈S/R ⋅ ∫ V A∈S/R + MA ∧ ΩS/R dm + ΩS / R ⋅
(
M ∈S
)
(
V
S/R
∫ AM ∧ (V
2
A∈S/R
A∈S/R
)
+ MA ∧ ΩS/R dm
M ∈S
) + m (V , GA, Ω ) + m (Ω
∫ AM ∧ (MA ∧ Ω ) dm
2TS / R = m V A∈S/R
+ ΩS/R ⋅
⊗
S/R
S/R
, AG,V A∈S/R
)
S/R
M ∈S
Finalement, en utilisant les propriétés du produit mixte :
(
2TS / R = m V A∈S/R
) + 2m (V
2
A∈S/R
)
, ΩS/R , AG − ΩS/R ⋅
∫ AM ∧ (AM ∧ Ω
M ∈S
S/R
) dm
22
VIII. RESUME (CAS DU SOLIDE)
1. Moment cinétique
Expression en un point quelconque A :
≈
σ A,S / R = J A,S ΩS / R + m AG ∧ V A∈S / R
(
)
σG,S / R =
J
Expression au centre d’inertie G :
≈
G,S
(Ω )
S/R
Expression en un point P de vitesse nulle :
≈
σP ,S / R = J P,S ΩS / R
(
)
2. Moment dynamique
Expression en un point quelconque A (d’un système quelconque) :
d 
δ A,S / R =  (σ A,S / R ) + m V A / R ∧ V G∈S / R
 dt
R
d 
δG,S / R =  (σG,S / R )
 dt
R
d 
δP,S / R =  (σP ,S / R )
 dt
R
3. Énergie cinétique
2TS / R = c (ΣS / R , VS / R ) = ΣS / R
Expression en un point quelconque A :
≈
( )
(
2TS / R = ΩS/R ⋅ J A,S ΩS/R + m V A∈S/R
≈
⊗
V
S/R
) + 2m (V
( )
2
(
A∈S/R
2TS / R = ΩS/R ⋅ J G,S ΩS/R + m V G∈S/R
≈
( )
2TS / R = ΩS/R ⋅ J P ,S ΩS/R
)
2
, ΩS/R , AG
)
23
IX. APPLICATIONS
1. Solide en rotation autour d’un axe fixe
A. PARAMETRAGE DU PROBLEME
Soit un solide S de forme quelconque, de masse m et de centre d’inertie G en liaison
pivot supposée parfaite avec un bâti S0 auquel est lié le repère galiléen
R0 = (O, x0 , y 0 , z0 ) .
La liaison pivot est d’axe (O, z0 ) . Le repère R = (O, x, y , z ) , lié à S, est choisi, pour
simplifier les calculs, tel que le plan (O, z0 , x ) contienne le point G.
On notera :
( x 0 , x ) = θ(t )
et :
OG = ax + cz0
Le solide S étant quelconque, sa matrice d’inertie au point O, dans la base
 A − F − E
≈


b = ( x, y , z0 ) , est de la forme :
JO,S =  − F B − D 
− E − D
C  b
O
y
y0
θ
S
c
O
a
G
z0
S0
x
θ
x0
B. BILAN DES FORCES EXTERIEURES EXERCEES SUR 1
• Les actions de la liaison pivot sont représentées, en O, par le torseur :
 X , Y , Z 
MSL0 /S ≡ 


M, 0 b
O L,
• Sur S s’exerce également l’action mécanique, supposée connue, d’un ensemble
matériel E, représentée au point O, par le torseur :
 X E , YE , ZE 
ME/S ≡ 


b
L
,
M
,
0

E
E
O
Lorsque S est la roue d’un véhicule, E est constitué par la route, la pesanteur, l’arbre
de transmission...
24
C. TORSEUR CINEMATIQUE
Le mouvement de 1 par rapport à 0 est décrit par le torseur cinématique suivant :
ΩS/S0 = θɺ z0 ΩS/S0 = θɺ z0
≡ 
VS/S0 ≡ 

V
V
=
0
= ΩS/S0 ∧ OG = a θɺ y
O
∈
S/S
0

O
G  G∈S/S0
D. TORSEUR DYNAMIQUE
(
)
Résultante dynamique : D S/S0 = m AG∈S/S0 = m a ɺθɺy − θɺ 2 x
Moment dynamique :
Le point O ayant une vitesse nulle, le moment dynamique sera exprimé en ce point.

d ≈

d 
d
δO,S/S0 =  σO,S/S0  =  J O,S ΩS/S0  =  θɺ (− E x − D y + C z0 )
 dt
 0  dt
0
 0  dt
(
Finalement :
)
(
)
m a ɺθɺy − θɺ 2 x
∆ S/S0 ≡ 
ɺθɺ(− E x − D y + C z0 ) + θɺ 2 (D x − E y )
O
E. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
Le P.F.D. nous permet d’écrire 6 équations scalaires :
• 3 équations de projection de la résultante dynamique :
sur x :
X + X E = −m a θɺ 2
sur y :
Y + Y = m a ɺθɺ
E
sur z0 :
Z + ZE = 0
• 3 équations de projection du moment dynamique :
sur x :
L + LE = D θɺ 2 − ɺθɺ E
sur y :
M + M = −E θɺ 2 − D ɺθɺ
E
sur z0 :
NE = C ɺθɺ
Équations à partir desquelles on peut exprimer facilement les inconnues de liaison X,
Y, Z, L, M. La dernière équation permet de déterminer le mouvement :
• Inconnues de liaison :
X = −m a θɺ 2 − X E
Y = m a ɺθɺ − Y
E
Z = − ZE
L = D θɺ 2 − ɺθɺ E − LE
M = −E θɺ 2 − D ɺθɺ − M
• Équation du mouvement :
ɺθɺ − NE = 0
C
E
25
2. Équilibrage
Un des problèmes essentiels en fabrication est l’équilibrage des solides tournant autour d’un axe fixe. Cela, afin d’éviter la naissance de vibrations mécaniques pouvant
engendrer une détérioration rapide des paliers, ou plus simplement créer une gêne à
l’utilisation du matériel, dont le bruit.
A. CONDITIONS D’EQUILIBRAGE.
Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécanique dans la liaison entre S et
S0 aussi constante que possible. En particulier, indépendante du mouvement de 1
ɺɺ .
par rapport à S0, c’est à dire de θɺ et θ
D’après les équations précédentes, ces conditions d’équilibrage nous donnent :
a = 0 : le centre d’inertie G est sur l’axe de rotation (O, z0 ) (équilibrage statique) ;
D = E = 0 : l’axe de rotation (O, z0 ) est axe principal d’inertie de S (équilibrage
dynamique).
Remarque : Dans un équilibrage statique ( a = 0 ), seule la résultante générale de
l’action mécanique de S sur S0 est indépendante du mouvement par rapport à S0.
B. REALISATION PRATIQUE DE L’EQUILIBRAGE DYNAMIQUE.
On remplace S par un solide S’ constitué de S et de deux solides S1 et S2, assimilables à des points matériels, tel que S’ soit dynamiquement équilibré.
Soit mi la masse du solide Si (i = 1, 2) placé au point Mi de coordonnées cartésiennes
xi, yi, zi dans le repère R.
Notons G’ le centre d’inertie de S’ et D’ et E’ les produits d’inertie de S’ par rapport
aux axes du repère R.
S’ est dynamiquement équilibré si G’ est sur l’axe (O, z0 ) et si D ′ = E ′ = 0 .
Traduisons ces conditions :
• La position du centre d’inertie G’ est donnée par la relation :
m OG + m1OM1 + m2 OM 2
OG′ =
.
m + m1 + m2
Si G’ est sur l’axe (O, z0 ) cette équation vectorielle s’écrit en projection :
sur x :
ma + m1x1 + m2 x2 = 0
sur y :
m1y1 + m2 y 2 = 0
(4)
(5)
• Les produits d’inertie E’ et D’ ont pour valeur :
D ' = D + m1y 1z1 + m 2 y 2 z 2 = 0
E ' = E+m1x1z1 + m2 x2z2 = 0
(6)
(7)
Remarque : si D est différent de zéro (cas général) l’équilibrage dynamique ne peut
se faire avec une seule masse. En effet, si par exemple m2 = 0 , à partir des relations
précédentes, on obtient : y1 = 0 et donc D = 0 ce qui est incompatible avec
l’hypothèse de départ.
26
On dispose de quatre équations pour déterminer les huit inconnues xi , y i , zi , mi . Le
problème admet une infinité de solutions et il faut alors se fixer quatre conditions.
Examinons ces conditions dans le cas de l’équilibrage dynamique d’une roue de véhicule. Passons en coordonnées cylindriques.
Les huit inconnues sont alors :
ρi , θ i , zi , mi .
Dans ce type d’équilibrage, les masses sont fixées sur le bord de la jante, de chaque
côté de la roue. Les quatre conditions imposées sont les valeurs des paramètres
z1, z 2 , ρ1, ρ2 avec généralement ρ1 = ρ 2 = r et les quatre inconnues sont :
m1, m2 , θ1, θ 2
y
M2
ρ2
M1
ρ1 θ1
S
θ2
x
z
En éliminant m2 x2 entre les équations (4) et (7), il vient :
m1x1(z2 − z1) = E − maz2
En éliminant m2 y 2 entre les équations (5) et (6), il vient :
m1y1(z2 − z1) = D
On obtient alors :
tan θ1 =
D
D
et m1 =
E − maz2
ρ1 sin θ1( z2 − z1)
De même :
tan θ2 =
D
E − maz1
et m2 =
E − maz1
ρ 2 cos θ2 (z1 − z2 )
Remarque : Au lieu d’ajouter des masses aux points M1 et M2, on peut aussi enlever
les mêmes masses (perçage de trous) aux points N1 et N2 symétriques des points M1
et M2 par rapport à l’axe de rotation. Cette méthode est couramment utilisée dans
l’industrie.
3. Solide en rotation autour d’un point fixe
A. EQUATIONS GENERALES
Considérons un solide S, de masse m et de centre d’inertie G en liaison rotule parfaite de centre O avec un bâti S0.
Au bâti S0, est lié le repère terrestre R0 = (O, x0 , y 0 , z0 ) supposé galiléen.
Le repère R = (O, x, y , z ) , lié à S, est choisi, pour simplifier les calculs, tel que le point
G soit situé sur l’axe (O, z ) c’est à dire : OG = l z .
27
Le repère R se déduit du repère R0 par les trois rotations classiques d’Euler dont les
paramètres sont ψ, θ et ϕ.
y0
u
ψ
ψ
ϕ
v
θ
x0
v
y
θ
n
z0
z0
z
n
x
ϕ
u
n
z
z0
z
θ
y
ϕ
v
θ
u
S
ψ
O
x
ϕ
x0
ψ
y0
n
B. MOUVEMENT DE LAGRANGE ET POISSON
On appelle ainsi le mouvement d’un solide de révolution (plus généralement tel que
A = B ) qui a un point fixe sans frottement, et qui est soumis à des forces telles que
leur moment est porté par le ligne des nœuds (orthogonal à (O, z0 ) et (O, z ) ) .
Le solide S est de révolution d’axe (O, z ) :
 A 0 0
≈


JO,S =  0 A 0 
 0 0 C (_, _,z )
O
Les actions extérieures se résument à :
− mg z0 − mg z0
P
• une action à distance : ME/S ≡  ≡ 
mgl sin θ n
0
O
G
 X , Y , Z 
• une action de contact :
MSL0 /S ≡ 


0, 0 ( x,y ,z0 )
O 0,
(la pesanteur)
(la liaison rotule)
Remarque : on fait l’approximation implicite que la terre ne tourne pas sur elle-même.
28
Les trois équations du mouvement seront obtenues à partir :
• du théorème du moment dynamique exprimé au point O (pour annuler les actions
de la liaison) en projection sur les axes z et z0 :
M O,S / S ⋅ z = δO,S / R0 ⋅ z
M O,S / S ⋅ z0 = δO,S / R0 ⋅ z0
• du théorème de l’énergie cinétique (car, la liaison étant parfaite, et seule la pesanteur exerçant une action, il existe une intégrale première) :
TS / R0 = ∫ PeS/R0 = U + c te
Nous « travaillerons » dans la base ( n, v , z ) car dans cette base, l’opérateur d’inertie
est le même que dans la base ( x, y, z ) et le vecteur rotation a une expression simple
à établir :
θɺ
ɺ ɺ ΩS / R0 = ψɺ z0 + θ n + ϕɺ z = ψɺ (cos θ z + sin θ v ) + θ n + ϕɺ z = ψɺ sin θ
ɺ + ψɺ cos θ
= z0
(n ,v ,z ) ϕ
Calcul du moment cinétique
(
≈
σO,S / R0 = J O,S ΩS / R0
Le point O étant fixe, on a :
)

A θɺ
 A 0 0   θɺ




σO,S / R0 =  0 A 0  ⋅  ψɺ sin θ
A ψɺ sin θ
=
 0 0 C   ϕɺ + ψɺ cos θ  C (ϕɺ + ψ
ɺ cos θ)

 
 (n,v ,z )
Théorème du moment dynamique en projection sur z
• D’une part :
M O,S / S ⋅ z = 0
;
car n⊥z
•
(
)
(
)
d d d D’autre part : δO,S / R0 ⋅ z =
σO,S / R0 ⋅ z =
σO,S / R0 ⋅ z − σO,S / R0 ⋅ (z )
dt
dt
dt
Or, on sait que :
(
ψɺ sin θ
− θɺ
)
d (z ) = Ω z / R0 ∧ z = ψɺ z0 + θɺ n ∧ z =
dt
(n ,v ,z )
Et donc :
σO,S / R0
A θɺ
ψɺ sin θ
d ⋅ (z ) = A ψɺ sin θ
⋅ − θɺ
=0
dt
C (ϕɺ + ψɺ cos θ) 0
(
)
C’est-à-dire :
d σO,S / R0 ⋅ z = 0
dt
σO,S / R0 ⋅ z = c te
Relation que l’on écrira :
ɺ cos θ = r0
ϕɺ + ψ
On obtient finalement :
0
(8)
29
Théorème du moment dynamique en projection sur z 0
• D’une part :
M O,S / S ⋅ z0 = 0
;
(
)
(
car n⊥z 0
d d D’autre part :
δO,S / R0 ⋅ z0 =
σO,S / R0 ⋅ z0 =
σO,S / R0 ⋅ z0
dt
dt
car z0 est un axe fixe.
d On obtient finalement :
σO,S / R0 ⋅ z0 = 0
dt
σO,S / R0 ⋅ z0 = c te = Sz0
C’est-à-dire :
•
(
Cela revient à dire qu’il y a
sur z 0 .
Cette relation nous donne :
A θɺ
A ψɺ sin θ
⋅
C (ϕɺ + ψɺ cos θ)
)
)
conservation de la projection du moment cinétique
0
sin θ = A ψɺ sin2 θ + C cos θ (ϕɺ + ψɺ cos θ) = Sz0
cos θ
Soit, en tenant compte de la relation (8) :
ɺ sin2 θ + C r0 cos θ = Sz0
Aψ
(9)
Théorème de l’énergie cinétique (seul le poids travaille)
• Calculons la puissance :
ψɺ z0 + θɺ n + ϕɺ z
 − m g z0
dU
PeS / R0 = MPoids ⊗ VS / R0 = 
= m g l θɺ sin θ =
⊗ 
dt
m g l sin θ n O 0
O
•
On en déduit :
U = −m g l cos θ + h
Calculons l’énergie cinétique :
ɺ 2 sin 2 θ + C (ϕɺ + ψɺ cos θ)2
2 TS / R0 = Ω S / R0 ⋅ J O,S Ω S / R0 = A θɺ 2 + ψ
(
(
) (
)
)
Il vient alors :
A θɺ 2 + ψɺ 2 sin 2 θ + C r02 = −2 m g l cos θ + 2 h
C’est à dire :
ɺ 2 sin2 θ + 2 m g l cos θ = 2 h − C r02
A θɺ 2 + ψ
(
)
(10)
Les équations du mouvement de Lagrange et Poisson (8), (9) et (10) peuvent s’écrire
sous la forme d’un système différentiel du premier ordre, en ψ, θ et ϕ tel que :
(
)
 A θɺ 2 + ψ
ɺ 2 sin2 θ + 2 m g l cos θ = 2 h − C r02

ɺ sin2 θ + C r0 cos θ = Sz0
A ψ
ɺ ɺ
ϕ + ψ cos θ = r0
où h, r0 et Sz0 sont des constantes données par les conditions initiales.
30
X. ETUDE DANS UN REPERE NON GALILEEN
Les études précédentes ont été effectuées dans l’hypothèse où le repère terrestre
est considéré comme galiléen.
Si, dans de nombreux cas, cette hypothèse se révèle satisfaisante, elle ne l’est pas
systématiquement et on est amené à prendre comme repère galiléen, soit un repère
géocentrique soit un repère héliocentrique (ou de Copernic).
Dans ce cas, l’étude d’un phénomène terrestre décrit dans le repère relatif terrestre
fait apparaître des composantes pudiquement appelées forces d’inerties
d’entraînement et complémentaires (ou de Coriolis).
Il en va de même lorsque, le repère terrestre étant considéré comme galiléen, on
étudie un mouvement dans un repère relatif (exemple du mouvement d’une toupie
sur le plateau d’un manège observé par un utilisateur de ce dernier).
Et, n’oublions pas la statique en repère relatif, mise en évidence par d’Alembert, en
1743 dans son traité de dynamique et qui entraîne la question fatidique :
« pourquoi le cycliste penché lors un virage ne tombe-t-il pas ? »
1. Problème
Considérons d’une part un solide S de masse m et de centre d’inertie G auquel est
associé un repère R = (G, x, y , z ) en mouvement par rapport à un repère non galiléen
R1 = (O1, x1, y1, z1) et d’autre part un repère galiléen R0 = (O, x0 , y 0 , z0 ) .
z1
z
z0
S
x
O1
G
A
y1
y0
O
x1
x0
y
2. Mise en équation
On applique classiquement le P.F.D. au solide S :
MS / S = ∆S / R0
C’est à dire :
et
R S / S = m aG∈S / R0
M A,S / S = δ A,S / Rg =
∫
M ∈S
→
AM ∧ aM ∈S / R0 dm
31
Si on désire faire apparaître le mouvement relatif de S par rapport à R1 dans les
équations du mouvement, il suffit de calculer l’accélération en tenant compte du repère intermédiaire R1.
On sait que pour un point quelconque A de S, l'accélération peut s’écrire sous une
forme condensée de la manière suivante
: aa ( A ) = ar ( A ) + ac ( A ) + ae ( A )

ar ( P ) dm
∫∫∫
S

∆Sr ≡ 
 ∫∫∫ S AP ∧ ar ( P ) dm
A
Si on pose :
Torseur des quantités d’accélération relative

ae( P ) dm
∫∫∫
S

∆Se ≡ 
 ∫∫∫ S AP ∧ ae( P ) dm
A
Torseur des quantités d’accélération d’entraînement

a
dm
 ∫∫∫ S c ( P )
∆ ≡ 
 ∫∫∫ S AP ∧ ac (P ) dm
A
c
S
Torseur des quantités d’accélération de Coriolis
alors :
∆ S / Rg = ∆rS + ∆eS + ∆cS
et principe fondamental s’écrit alors :
∆rS + ∆eS + ∆cS =
C’est-à-dire :
MS / S
∆rS = MS / S − ∆eS − ∆cS
Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique « dans un repère non galiléen », il faut ajouter à l’action mécanique MS / S que subit le système matériel
l’opposé des quantités d’accélération d’entraînement − ∆eS et de Coriolis − ∆cS .
Ces quantités, qui viennent s’ajouter à l’action mécanique réelle, peuvent être interprétées comme des actions mécaniques « fictives » qui sont appelés usuellement
« action d’inertie d’entraînement » et « action d’inertie de Coriolis ».
On ne saurait trop mettre en garde contre ce point de vue.
Une fois admise l’existence de référentiels privilégiés, le point de vue galiléen présente l’intérêt majeur de définir les actions mécaniques comme les causes uniques
des mouvements que l’on observe. Au contraire, les actions d’inertie qui apparaissent quand on se place dans un référentiel non galiléen ne sont que les conséquences du mouvement du référentiel d’observation.
32
3. Exemple du cycliste
Considérons un cycliste prenant, à vitesse constante, un virage de centre O et de
rayon r. Pour simplifier les calculs, nous ferons l’hypothèse que le cycliste et sa machine forment un système matériel S indéformable de masse m et de centre d’inertie
G auquel on attachera un repère R. Le repère terrestre R0 sera considéré galiléen.
Pour conserver son équilibre, le cycliste est amené à se pencher d’un angle α par
rapport à la verticale, vers l’intérieur du virage.
mg
R Sol / S = ?
α
Appliquons le théorème de la résultante
dynamique au système matériel S.
R Sol / S + m g = m aG∈S / R
Il vient, de manière évidente :
0
Cette équation nous permet de déterminer
aisément la réaction du sol :
R Sol / S = m aG∈S / R0 − m g
L’approche peut être trompeuse si on décrit le problème dans le repère R lié à S.
En effet, dans ce repère, le cycliste est immobile et on serait tenté de conclure hâtivement que le dit cycliste est en équilibre sous l’action de deux forces (poids et réac R Sol / S + m g = 0 ? ? ?
tion du sol) non colinéaires :
Cela ne peut être car n’oublions pas que le principe fondamental de la statique, issu
du principe fondamental de la dynamique, ne s’applique que dans un repère galiléen.
Utilisons donc le P.F.D. dans le repère
mobile R. L’accélération
relative étant nulle,
on obtient :
R Sol / S + m g − m aG∈S / R = 0
0
On retrouve l’expression plus conforme d’une somme de trois vecteurs nulle.
En assimilant le problème à un problème de statique, on identifie la quantité
−m aG∈S / R à une force appelée force centrifuge.
0
Mais, n’oublions pas que cette force centrifuge est une force inertielle donc fictive !

CINETIQUE - DYNAMIQUE

Transcription

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