Ecoulements à surface libre – MEC426 contrôle continu : rivières et

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Philippe Belleudy
Ecoulements à surface libre – MEC426
contrôle continu : rivières et canaux rétrécis
1.
convergent et divergent
Un torrent est aménagé en zone urbaine. La portion étudiée fait 2km de long et se termine par un
déversement dans la rivière principale dont ce torrent est affluent. Les caractéristiques géométriques
du tronçon étudié sont uniformes :pente S0=0.01, la section est rectangulaire et sa largeur est b=8 m.
Le coefficient de rugosité Strickler est identique pour l’ensemble : kstr=45.
On veut calculer les écoulement pour apprécier les risques de débordement.
1.1
Calculez la profondeur normale (régime uniforme) et la profondeur critique pour Q=20 m3s-1.
On calcule hn=0.75 m et hc=0.86 m. L’écoulement uniforme est supercritique. Bien entendu, dans ce
type de cours d’eau artificiel, il n’est pas justifié de confondre Rh et h.
1.2
Précisez les conditions aux limites nécessaires pour calculer les écoulements dans ce torrent en
régime non-permanent. Faites des hypothèses raisonnables sur ces CL : plusieurs cas sont
possibles… Vous utiliserez ces choix dans la suite de l’exercice.
C’est un régime supercritique. Quelque soit le débit (suffit de comparer hn et hc à différents débits).
En non-permanent, comme en permanent les directions caractéristiques sont dirigées vers l’aval. Pour
un calcul, il faudra donc connaître toutes les caractéristiques de l’écoulement en amont : Deux
combinaisons courantes : débit Q et niveau y, ou débit Q et relation y(Q), par exemple le régime
critique. C’est cette dernière hypothèse que je ferai dans la suite de la correction. Trois remarques :
-
ce choix n’est pas très contraignant dans la mesure où hc et hn sont assez voisines et qu’une
condition arbitraire ne sera pas sensible au bout de quelques mètres à l’aval de la limite amont ;
-
on essaie dans la vraie vie de ne pas être arbitraire et de baser ce choix sur les conditions
d’écoulement réelles…
-
l’énoncé donne implicitement une condition à la limite aval. Si il y a un déversement, cela signifie
que l’écoulement est critique, s’il est contraint de l’aval ; c’est une relation y(Q). Cette condition ne
sera pas réalisée dans la pratique puisque la hauteur d’eau sera imposée depuis l’amont. Mais au
moins on est sûr que les conditions aval n’imposent pas un remous subcritique sur une partie du
torrent.
1.3
Une route traverse ce torrent à mi-parcours du tronçon étudié. Sous la route,
le torrent passe dans un dalot de section rectangulaire dont la largeur est
bd=3 m et la hauteur est hd= 1.5m. On va considérer des petites longueurs
dans cette question et la suivante et donc négliger la dénivelée entre les
sections d’écoulement.
Tracez les courbes de charge spécifique pour les 3 sections suivantes :
amont immédiat du dalot, intérieur du dalot, aval immédiat du dalot. Sur la
courbe de la section amont, placez le point correspondant à l’écoulement
uniforme.
On calcule pour chaque géométrie H = h +
Q2
. Le fond du chenal
2gA(h) 2
est le même pour les trois sections considérées, une représentation en profondeur et charge
spécifique donne la même chose qu’une représentation niveau/charge totale. Les courbes des
sections du torrent en amont et en aval sont identiques.
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3.00
hauteur d'eau (m)
E
section contractée
section libre
Hn
2.50
2.00
D
1.50
A
F
1.00
B
G
C
0.50
charge spécifique (m)
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
1.4
On remarque que la courbe de charge spécifique du dalot passe bien par un minimum. Quelle est la
célérité de propagation des ondes dans une conduite en charge ? Calculez le nombre de Froude de
part et d’autre du minimum de la courbe de charge spécifique du dalot.
Le calcul montre un minimum quand la hauteur d’eau atteint le plafond du dalot. En effet ; la section
d’écoulement ne croit plus quand h augmente et donc la vitesse reste la même. La charge croit alors
directement comme h. En dessous de cette cote plafond, on calcule (dans ce cas) que l’écoulement
est subcritique. En charge, la vitesse de propagation des perturbations est liée uniquement à la
compressibilité de l’eau et à l’élasticité de la conduite . Elle est très grande, en tout cas très supérieure
à la vitesse d’écoulement : on est en écoulement subcritique. La cote du plafond correspond donc à la
profondeur critique dans ce cas.
1.5
Que se passe-t’il dans le dalot, et à l’aval du dalot ? C’est un peu délicat… Nous avons fait appel à
l’avis éclairé des ingénieurs Andouillette, Boudin, Cervelas et Diot (de Savoie).
Andouillette : « La hauteur d’eau est faible à l’amont, inférieure à la cote du plafond du dalot.
L’écoulement traverse donc ce dalot à surface libre, et on retrouve ce même écoulement supercritique
à l’aval de la route. Pour un calcul précis, il faut évaluer et ajouter les pertes de charge par divergence
à la sortie du dalot ».
Faux. L’écoulement ne peut pas être à la profondeur uniforme immédiatement à l’amont : on aurait
alors une charge inférieure à la charge minimale dans le dalot. Le dalot va contrôler les conditions
d’écoulement.
Boudin : « L’écoulement est critique à la sortie du dalot ».
Oui. La section de sortie est une section de contrôle. L’écoulement est donc en charge dans le dalot.
Cervelas « Oui, l’écoulement est critique dans le dalot. Mais aussi dans le torrent à surface libre
immédiatement à l’aval. La transition n’est pas très nette dans ma tête, mais certainement aussi dans
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la réalité : on n’est pas dans le cas d’un écoulement graduellement varié. Ou alors il faudrait
abandonner un peu les hypothèses unidimensionnelles ».
Diot : « Pas de problème pour raccorder vers l’aval : J’écris la relation de Bernoulli entre la section du
dalot ; et j’exprime ma perte de charge par divergence. Par exemple, si je dis que cette perte de
charge est égale à la différence d’énergie cinétique, alors le niveau immédiatement à l’aval est égal au
niveau critique dans le dalot. On rejoint ensuite progressivement l’écoulement uniforme vers l’aval ».
Qui a raison ?
Diot ne peut avoir raison. La hauteur d’eau ne peut pas être supérieure à la hauteur critique en aval
du dalot : dans ce cas on serait en conditions subcritiques (influence aval) et on voit mal ce qui peut
imposer cette condition. C’est Cervelas qui a raison : la transition se fait en effet sur une longueur
finie. Et dans la zone de raccordement, l’écoulement n’est pas unidimensionnel. L’écoulement chute
sur quelques décimètres de la profondeur critique-dalot à la profondeur critique de la section libr.
Ensuite, si l’on garde la foi dans une schématisation unidimensionnelle, on rejoint progressivement la
profondeur normale supercritique à l’aval du dalot. On peut tracer sur le profil en long et sur les
courbes de hauteur spécifique (parcours ABC).
1.6
Il y a des frottements dans le dalot. Il y a aussi une perte de charge à l’entrée du dalot. Tracez une
ébauche de ligne d’eau dans le dalot et en amont du dalot en vous appuyant sur les courbes de
charge spécifique.
A partir de la section de contrôle (point A) , on remonte dans le dalot, avec une perte de charge
importante. A l’amont du dalot, et au raccordement à la section libre, on aura probablement aussi une
perte de charge supplémentaire. On passe sur l’autre courbe de charge spécifique (parcours ADE). Le
dalot force donc un écoulement subcritique à l’amont. Le remous remonte en se rapporchant de la
profondeur critique. On passe brutalement sur la branche supercritique quand las conditions du
ressaut sont réunies – parcours EFG (ici le ressaut est très réduit parce que la profondeur normale est
très proche de hc).
F
G
E
D
A
B
C
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2.
propagation d’une onde dans un canal
On considère un canal de section rectangulaire, largeur b. Ce canal est équipé d’un piston qui peut se
déplacer selon l’axe du canal. Le frottements sont négligeables et la pente du canal est nulle.
Le canal est initialement au repos, profondeur h1 et vitesse d’écoulement nulle. On déplace alors de
piston à la vitesse V dans le sens des x croissants. Ce déplacement induit la formation d’une
intumescence de hauteur ∆h qui se propage à la célérité C dans la direction des x croissants. Pour un
x suffisamment grand qui n’a pas encore subi l’intumescence, la vitesse d’écoulement est nulle et la
profondeur d’eau est h1. Quand l’intumescence est passée, la hauteur d’eau est h2=h1+ ∆h et la
vitesse moyenne d’écoulement est identique à celle du piston : V.
On se propose de trouver une expression de la célérité C.
2.1 conservation des volumes
Ecrivez une relation entre la vitesse V, la célérité C et la hauteur de l’intumescence dh.
C
V
∆h
h1
t
C∆h = V (h1 + ∆h)
t+∆t
2.2 théorème des quantités de mouvement
On considère le volume élémentaire en avant de l’intumescence au temps t, et qui sera recouvert par
l’intumescence au temps t+∆t.
Quel est l’incrément de quantité de mouvement de ce volume d’eau entre t et t+∆t ?
Quelles sont les forces qui s’exercent sur ce volume ?
Appliquez le théorème de la quantité de mouvement pour déduire une nouvelle relation entre C, V et
la hauteur de l’intumescence ∆h.
Eliminez la vitesse V des deux expressions et déduisez une expression de la célérité C de
l’intumescence.
Le volume élémentaire : bh1C∆t , sa masse : ρbh1C∆t .
A t, la vitesse de ce volume est nulle, à t+∆t, elle est V. Le variation de qdm est donc :
ρbh1C∆tV
Les forces de pression s’appliquent sur ce volume : à gauche ρgb
(h1 + ∆h)2 , à droite : ρgb h12
2
2
La somme de ces forces est égale au taux de variation de qdm :
2h ∆h + 0(∆h)
ρgb 1
= ρbh1CV . Soit, en éliminant le terme de deuxième ordre et en éliminant V :
2
2
C = g(h1 + ∆h)