Méthode du Simplexe
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Méthode du Simplexe
A. Taik TD SIMPLEXE-FI-GPE TD SIMPLEXE-FI-GPE: Algorithme du simplexe Feuille d’exercices No. 1 1. Résoudre les problèmes de programmation linéaire suivants à laide de lalgorithme du simplexe. Effectuer linterprétation graphique du déroulement du simplexe.: 2. Une entreprise vend deux produits quelle peut soit fabriquer elle-même soit acheter directement à une autre entreprise. Le problème est de savoir si cette entreprise a intérêt à produire ou à acheter les produits. Une seule ligne de production est disponible ce qui limite la capacité à 400 heures machines. On donne le tableau suivant caractérisant le problème : Et le tableau donnant les coûts et bénéfices en cas dachat à une entreprise qui na pas un réseau de vente lui permettant de vendre directement le produit : Modéliser le problème en un problème de programmation linéaire et le rèsoudre. Département de Mathématiques FST-Mohammedia, (2007) 1 A. Taik TD SIMPLEXE-FI-GPE 3. Une entreprise fabrique 4 produits et vend le premier à 50dh le kilo, le second à 40dh, le troisième à 70dh et le quatrième à 80dh. Son équipement ne lui autorise que 100 heures machines alors quun kilo de produit 1 demande 2h, un kilo de produit 2 demande 4h, un kilo de produit 3 demande 8h et un kilo de produit 4 demande 6h. De même, son potentiel de main doeuvre est limité à 160h et quun kilo de produit 1, 2, 3, 4 demande respectivement 10, 8, 6, 10 heures de main doeuvre. Par ailleurs, les produits sont fabriqués à partir dune matière première dont la quantité disponible est 20 kilos. La fabrication dun kilo de produit 1 ou 2 demande 1 kilo de matière première mais celle dun kilo de produit 3 et 4 demande 2 kilos de matière première. a) Donner sous forme canonique le problème de programmation linéaire que doit résoudre lentreprise pour maximiser son bénéfice. b) Transformer le problème en un problème sous forme standard et le rèsoudre par la mèthode du simplexe. Donner une interprétation économique des bases obtenues lors de lalgorithme. 4. Une entreprise fabrique deux types de ceinture A et B (A de meilleure qualité que B). Le temps de fabrication dune ceinture de type A est le double de celui dune ceinture de type B et si on ne produisait que des ceintures B on ne pourrait en faire que 1000 au maximum à cause de disponibilité en équipement. Lapprovisionnement en cuir ne permet den fabriquer que 800 au maximum. De plus lentreprise dispose de 400 boucles de ceintures pour le type A et de 700 pour le type B. La vente dune ceinture A rapporte 20dh et celle du type B rapporte 15dh. a) Répartir la fabrication entre les types A et B de manière à maximiser le profit de lentreprise. b) Une entreprise concurrente ayant une commande importante propose à lentreprise de lui racheter ses matières premières et de lui louer ses machines. Quel est le problème de programmation à r‘éesoudre permettant de connaitre les prix quelle doit proposer (pour cuir, boucles A, boucles B, location de machine) à la première entreprise pour que celle-ci accepte? 5. Résoudre les problèmes de programmation linéaire suivants à laide de lalgorithme du simplexe (en introduisant si nécessaire des variables artificielles). a) M ax(z) = 2x1 − x2 −x1 + x2 º 2 x2 ¹ 2 x1 + x2 º 4 x1 , x 2 º 0 b) M ax(z) = x1 + x2 + x3 x1 + x2 + 2x3 = 5 x1 − x2 = 1 x2 + x3 = 2 Département de Mathématiques FST-Mohammedia, (2007) 2 A. Taik TD SIMPLEXE-FI-GPE x1 , x 2 , x 3 º 0 c) M in(z) = x1 + x2 + x3 −x1 + x2 + 2x3 º 5 −x1 + x2 ¹ −1 x2 + x3 º 2 x1 , x 2 , x 3 º 0 6. Résoudre sans utiliser de variable artificielles le problème suivant : a) M ax(z) = −2x1 − 3x2 2x1 + x2 − x3 º 4 3x1 − x2 + 5x3 º 4 x1 , x 2 , x 3 º 0 En déduire la solution optimale du problème dual associé. 7. Une entreprise fabrique trois articles A,B,C à partir dun facteur de production P. Les ventes mensuelles ne peuvent dépasser 6000 A, 15000 B et 9000 C. Lentreprise dispose chaque mois de 180000 P au maximum. Il faut 8 P pour fabriquer un article A, 12 P pour un article B et 10 P pour un article C. Quel est le programme de production mensuel qui maximise le chiffre daffaires sachant quun article A est vendu 50 dirhams, une article B, 60 dirhams et un article C, 80 dirhams? 8. Une société fabrique trois produits A,B,C. La chaı̂ne de montage comprend deux ateliers I et II. Les capacités (en kWh/jour) des ateliers sont les suivantes : atelier I, 720 et atelier II, 480. Les caractéristiques de la production sont résumées dans le tableau ci-dessous. Quel est le programme de production journalier optimal ? Département de Mathématiques FST-Mohammedia, (2007) 3