Fonctions coût Coût total de production d`une quantité x est noté C

Fonctions coût
•
Coût total de production d'une quantité x est noté C (x)
•
Coût moyen de production est le coût de production par unité produite : c'est le rapport du coût total de
C (x)
fabrication d'une quantité x sur la quantité x, c'est une fonction de x : CM (x) =
x
•
Coût marginal de production est l'accroissement du coût total dû à la fabrication d'une unité supplémentaire :
Cm (x) = C (x + 1) – C (x) ≈ C ' (x)
Dans la pratique, on pose Cm (x) = C ' (x)
L'optimum de productivité est atteint lorsque le coût moyen est minimum.
Le coût total de production d'un bien est donné par: C (q)= q3 – 12 q2 + 72 q, pour q appartient à [0;8].
Pour toute quantité q produite, on assimile le coût marginal à la dérivé du coût total Cm (q) = C ' (q).
1° Etude de coût marginal.
a) Exprimer le coût marginal en fonction de q.
Etudier le sens de variation du coût marginal.
Pour quelle quantité le coût marginal est-il minimal ?
b) Justifier que le coût marginal garde le même signe.
En déduire le sens de variation du coût total.
2° Etude de coût moyen
On note CM (q) le coût moyen d'une quantité q produite.
a) Exprimer le coût moyen en fonction de q.
b) étudier les variations du coût moyen sur [0;8].
3° Lien entre coût marginal et coût moyen.
a) dresser les tableaux de variations des fonctions C ' et CM sur l'intervalle [0;8].
b) Résoudre l'équation : 3 q2 – 24 q + 72 = q2 – 12 q + 72.
c) Dans le même repère orthogonal bien choisi, on a tracé la courbe C ' représentant le coût marginal et la courbe
T représentant le coût moyen. Identifier les courbes et faire apparaître, les graduations, les solutions de l'équation
précédente, ainsi que les tangentes horizontales à C ' ou a T .
d) D'après le graphique, pour quelles quantités le coût marginal est-il supérieur au coût moyen ?
x
Le coût total de production d'un bien est donné par: C (q)= q3 – 12 q2 + 72 q , pour q appartient à [0;8]. Pour toute quantité q
produite, on assimile le coût marginal à la dérivé du coût total Cm (q) = C ' (q). 1° Etude de coût marginal. a) Exprimer le coût
marginal en fonction de q a) Exprimer le coût marginal en fonction de q. Etudier le sens de variation du coût marginal. Pour
quelle quantité le coût marginal est-il minimal ?
0
4
8
q
C ' (q) = 3 q2 – 24 q + 72
Il faut dériver C ' et étudier le signe de C " ou utiliser les résultats
concernant les polynômes du second degrés.
C " (q) = 6 q – 24 = 6 (q – 4)
Le coût marginal est minimum pour q est égale à 4.
C " (q)
–
0
+
72
320
C ' (q)
24
b) Justifier que le coût marginal garde le même signe. En déduire le sens de variation du coût total.
D'après le tableau de variations de C ' pour tout réel q de [0;8], 3 q2 – 24 q + 72 > 0
C est donc croissante sur [0;8]
2° Etude de coût moyen On note CM (q) le coût moyen d'une quantité q produite. a) Exprimer le coût moyen en fonction de q
CM (q) =
q3 – 12 q2 + 72 q
= q2 – 12 q + 72
q
b) étudier les variations du coût moyen sur [0;8].
CM' (q) = 2 q – 12 = 3 (q – 6)
3° Lien entre coût marginal et coût moyen.
0
q
CM ' (q)
72
C (q)
–
6
0
+
8
0
40
36
a) dresser les tableaux de variations des fonctions C ' et CM sur l'intervalle [0;8].
b) Résoudre l'équation : 3 q2 – 24 q + 72 = q2 – 12 q + 72.
3 q2 – 24 q + 72 = q2 – 12 q + 72 ⇔ 2 q2 – 12 q = 0 ⇔ q = 0 ou q = 6
c) Dans le même repère orthogonal bien choisi, tracer la courbe C ' représentant le coût marginal et la courbe T représentant le
coût moyen. (on fera apparaître les solutions de l'équation précédente, ainsi que les tangentes horizontales à C ' ou a T ). d)
D'après le graphique, pour quelles quantités le coût marginal est-il supérieur au coût moyen ?
Pour 6 ≤ q ≤ 8