MATHS 111 A»B E ERCICES DU CHAPITRE II : CALCUL MATRICIEL

MATHS 111 A/B
EXERCICES DU CHAPITRE II : CALCUL MATRICIEL
Exerie 1.
(1)
(2)
1
2
,y =
x=
.
1
3
2
4
√
,y =
x=
.
−3
− 3
Exerie 2.
(1)
(2)
(2)


1
2



1
3 ,y =
x=
−1
4



2
7



0
−3 , y =
x=
3
2
.

.
Caluler 3.A pour les matries A suivantes.
4 1
A=
.
2 −5
4 2 6
A=
.
2 1 7
bien dénie.
(2)

Exerie 4.
(1)
Caluler la somme des veteurs x, y ∈ R3 suivants:

Exerie 3.
(1)
Caluler la somme des veteurs x, y ∈ R2 suivants:
Caluler la somme A + B des matries suivantes, si toutefois elle est
4 1
2 −5
0
A=
,B=
−2

0
4 1
A=
, B =  −2
2 −5
5
1
.
3

1
3 .
7
Dans les as suivants, le produit A.x du veteur x par la matrie A est
il bien déni? Si oui le aluler.
Exerie 5.
(1)
(2)
(3)
1 2
A=
2 0

0

−2
A=
5

1

−6
A=
5
,x=

2
3
.
1
1

3 ,x=
.
1
7

 
2
1


3 ,x=
1 .
8
0
1
2
MAT111 A/B
(4)
(5)
A=
A=
4 2 6
2 1 7
45 2
2 16

(6)
4 2
 12 1

A=
 3 −1
 0 2
0 0

2

, x =  3 .
4


2
 7 
1

,x=
 4 .
7
5


2 0
2

7 1 
 7

0 0 
, x =  4
2 2 
5
0 0


.

Dans les as suivants, le produit A.B des matries A et B est il bien
déni? Si oui
le aluler.
1 2
2 1 0
,B=
.
(1) A =
Exerie 6.
2 0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3 −1 3


2
1
 7 2 
45 2 1

A=
,B=
 4 5 .
2 16 7
5 0


0 1
1
1
A =  −2 3 , B =
.
1 0
5 7




1 2 0
1 1
A =  −6 3 8 , B =  1 0 .
5 8 1
0 1
4 2 6
2 1
A=
,B=
.
2 1 7
3 4



4 2 2 0
2 0
 12 1 7 1 


 1 1


A=
 3 −1 0 0 , B =  2 2
 0 2 2 2 
1 0
0 0 0 0
Exerie 7.
Exerie 8.


.

Résoudre le système linéaire suivant:

 x+y+z = 1
y + 2z = 1 .
(S)

4z = 3
Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants:

 x+y+z = 0
(S1 ) x + y + 2z = 0

4z = 0
MAT111 A/B
x+y−z = 0
2x + 4y − z = 0
 3x + 2y + 2z = 0

 x+y−z = 0
(S3 ) 2x − 3y + z = 0
 x − 4y + 2z = 0

 x − 2y + 3z − 2w = 0
(S4 ) 3x − 7y − 2z + 4w = 0
 4x + 3y + 5z + 2w = 0

x + 2y − z = 0



2x + 5y + 2z = 0
(S5 )
x + 4y + 7z = 0


 x + 3y + 3z = 0
(S2 )
Exerie 9.


Résoudre les systèmes linéaires suivants:
3x + y = 2
x + 2y = 1
(S2 )
2x + 3y = 1
5x + 7y = 3
(S3 )
3x + y = 2
6x + 2y = 1
2x + 4y = 10
3x + 6y = 15
(S1 )
(S4 )
Exerie 10.
Résoudre les systèmes linéaires suivants:

 x+y+z = 1
(S1 ) x + y + 2z = 1

4z = 0

 2x + y − 3z = 5
(S2 ) 3x − 2y + 2z = 5
 5x − 3y − z = 16

 2x + 3y − 2z = 5
x − 2y + 3z = 2
(S3 )
 4x − y + 4z = 1

 x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 8z = 4
(S4 )
 3x + 2y + 17z = 1
3
4
MAT111 A/B
Exerie 11.
Exerie 12.

 x+y+z = 2
(S5 ) x + y + 2z = 0
 x + 2y − z = 0

x+y+z+t =



x + y + 2z + 2t =
(S6 )
x + 2y − z − t =



z+t =
2
0
1
0
Résoudre les systèmes linéaires suivants:

 2x + 3y = 3
x − 2y = 5
(S1 )
 3x + 2y = 7

 x + 2y − 3z + 2w = 2
(S2 ) 2x + 5y − 8z + 6w = 5
 3x + 4y − 5z + 2w = 4

 x + 2y − z + 3w = 3
(S3 ) 2x + 4y + 4z + 3w = 9
 3x + 6y − z + 8w = 10

x + 2y + 2z = 2



3x − 2y − z = 5
(S4 )
2x − 5y + 3z = −4


 x + 4y + 6z = 0

 x + 5y + 4z − 13w = 3
3x − y + 2z + 5w = 2
(S5 )
 2x + 2y + 3z − 4w = 1
Caluler le déterminant des matries suivantes:
4 1
2 −5
,
4 1
12 3
2 3
,
4 −1
Lesquelles sont inversibles? Caluler leur inverse.
Montrer que les deux matries suivantes sont inversibles et l'inverse
l'une de l'autre:
Exerie 13.

 
−11 2
2
1 0 2
 2 −1 3  ,  −4 0
1 .
6 −1 −1
4 1 8

Exerie 14.
Les matries suivantes sont elles inversibles?

 
 
2 3 6
0 1 1
4 1 2
 0 −5 3  ,  1 0 1  ,  4 −1 1 
6 2 7
1 1 0
1 1 1

MAT111 A/B
Exerie 15.
5
Caluler
le déterminant
des matries:
 

 

2 3 6
2 1 1
4 1 2
 0 −5 3  ,  0 3 1  ,  4 −1 1 
6 2 7
0 0 4
1 1 1
Soient A, B ∈ M (R). Montrer que det(AB) = det(A)det(B).
Pour quelles valeurs du paramètre a ∈ R, resp. a ∈ C, les matries
M (a), N (a) suivantes sont elle inversibles:
Exerie 16.
2
Exerie 17.
M (a) =
Exerie 18.
4 + a 1 + 2a
−2
−5a
Inverser les matries

, N (a) =

1
0
0
0

1
1
0
0
On onsidère la matrie
a, b, c ∈ R tels que
aluler A .
Indiation: on pourra montrer que A
1
2
1
0
−1
Exerie 20.
.



1
−1 2 −3
1 1 1


1  
 1 0 1 ,
2
1
0 ,
,

3 
4 −2 5
0 1 1
1

 


1 1 −1
1
3 4
2 1 −1
 0 2 1  ,  3 −1 6  ,  2 1 0 
4 2 1
−1 5 1
5 2 −3


0 0 1
A= 1 0 3 
A2 , A3
0 1 0
A3 + aA2 + bA + cI3 = 0
A

Exerie 19.
1 + 2a 1 + a
−1 + a 1 + 2a
−1
Caluler
. Trouver
. En déduire que est inversible et
=− A − A− I .
1
c
Montrer qu'une matrie diagonale
2
a
c
b
c 3

d1 0 0 . . .
 0 d2 0 . . . 

D =
 0 0 d3 . . . 

est in-
.. .. .. ..
versible si et seulement si pour tout i d 6= 0. Montrer que le déterminant de D est
d ....d .
Montrer qu'une matrie diagonalisable A de diagonalisation A = P DP est inversible si et seulement si D est inversible.
i
1
n
−1
Exerie 21.
Soit

d1 0 0 . . .
 0 d2 0 . . . 

D=
 0 0 d3 . . . 

une matrie diagonale. Montrer que le
.. .. .. ..
déterminant de D est d ....d .
Montrer que le déterminant d'une matrie diagonalisable A de diagonalisation A =
P DP est égal au déterminant de D.
Retrouver le résultat de l'exerie préédent.
1
−1
n
6
MAT111 A/B
Exerie 22.
antes:
Exerie 23.
Déterminer les valeurs propres réelles et omplexes des matries suiv
4 1
2 −5
,
4 1
−2 3
2 3
.
,
4 −1
Valeurs propres et veteurs
propres
de la matrie:
A=
1 1
1 1
Diagonaliser A. Caluler A .
Valeurs propres et veteurs
propres
de la matrie:
256
Exerie 24.
A=
1 2
3 2
Diagonaliser A.
Valeurs propres, veteurspropreset diagonalisation
des matries:
Exerie 25.
1 4
,B =
2 3
1 1
A=
0 1
A=
Exerie 26.
Exerie 27.
2 1
1 1
.
Montrer que
n'est pas diagonalisable.
Valeurs propres et veteurs
propres de la matrie:
A=
2 1
−1 0
Est elle diagonalisable?
Valeurs propres, veteurspropreset diagonalisation
des matries:
Exerie 28.
A=
3 −1
1 1
,B =
1 −1
2 −1
.
On pourra onsidérer A et B omme des matries à oeients omplexes.
On onsidère les matries P, A ∈ M (R) données par:
Exerie 29.
3

2 8 3
P = 1 3 1
0 5 2
P
1 0 0
P 0 0 0
0 0 −1

1 0
A=P 0 0
0 0

,

−13 28 4
A =  −4 9 1  .
−10 20 4
Montrer que est inversible.
 = AP
(2) Montrer que
(1)


0
0  P −1 .
−1
A
Montrer que
(4) Quelles sont les valeurs propres de ? les veteurs propres?
(3)
MAT111 A/B
(5)
(6)
7
A est-elle diagonalisable?
A est-elle inversible?
Exerie 30.
Valeurs propres et veteurs propres de la matrie:


3 0 0
 0 2 −5 
0 1 −2
Diagonaliser A.
Exerie 31.
Valeurs propres et veteurs propres de la matrie:


1 2 3
 0 2 3 
0 0 3
Diagonaliser A.
Exerie 32.
Valeurs propres et veteurs propres de la matrie:


0 1 0
 0 0 1 
1 −3 3
Est elle diagonalisable?
Soient a, b, c, d ∈ R. Soit A ∈ Mn (R) telle que A4 + aA3 + bA2 +
cA + dIn = 0. Montrer que toute valeur propre réelle ou omplexe λ de A vérie
λ4 + aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0.
Exerie 33.
On onsidère la suite (un )n∈N telle que un+2 = un+1 +un u0 = 1, u1 = 3.
Caluler un (indiation: on pourra se servir des résultats du ours sur les puissanes
de la matrie de Fibonai).
Exerie 34.
Un restaurant vend des oupes de rème glaée de deux sortes :
- L'Ardéhoise ave une boule de glae à la vanille et deux boules de glae au marron.
- Le Mont-Blan ave deux boules de glae à la vanille et une boule de glae au
marron.
Pour sa soirée, e restaurant a de quoi faire 16 boules de glae à la vanille et 14
boules de glae au marron. Le patron du restaurant se demande ombien de oupes
de haque sorte il peut faire. Pouvez-vous l'aider ?
Exerie 35.
Un ommerçant a l'intention d'aheter des lots de vêtements. Il a le
hoix entre des lots de type A ontenant 1 manteau, 2 robes et 3 tailleurs, et des
lots de type B omportant 2 manteaux, 2 robes et 1 tailleur. Le ommerçant souhaite
aquérir 40 manteaux, 60 robes et 60 tailleurs. Sahant qu'un lot de type A oute
2000 euros et qu'un lot de type B oute 1500 euros, aider grâe à une étude graphique
le ommerçant faire son hoix.
Exerie 36.