REMARQUES SUR LA TiCNNSFORMATION D`UNE FAMILLE DE

REMAI~.QUES S U R LA T i C N N S F O R M A T I O N D ' U N E F A M I L L E
])E L O I S D E P O I S S O N COMPOSITES E N LOIS I)E P O I S S O N
PAR GRAPPES
PAUL TI-IV1¢.ION
Bruxelles
Ri~suMk
Cette note m o n t r c l'6quivalence entre deux manihres de prdsenter
la condition n6cessaire et suffisante pour q u ' u n e certaine famille de
lois de Poisson composOes puisse se transformer en lois de Poisson par
grappes et en tire, danq cc c;ts, la forme gdn6rale de la loi de probabilit6 des grappes.
I. TERMINOLOG[I:.
11 faut bien reconnaitre que la terminologie anglaise en cette
mati6re cst parfois ambigu6" il arrive que la m6me expression recouvre, selon les auteurs, des significations diff6rentes (ainsi en
est-il par exeml)le de ,,Compound Poisson Variable"). On n'oserait
pas affirmer non plu~ que la terminologie franfaise soit universellement arr6t6e. P o u t des rai,~ons de clart6, nous rappellerolas donc
tout d'abord le sens dank lequcl nous employon~ s y s t 6 m a t i q u e m e n t
certaines expressions.
Une variable entihre non n6gative N ob6it it une loi de Poisson
composde au s e n s restreint si
Z ' ( N --- ,,; ~) =
r'(,, ; Z)
r
e-"
(xl)'i ~t u (~,)
,tz !
o
U(2,) 6tant la fonction de r6partition d ' u n e variable non n6gative.
Si U(X) ddpendait de t on parlerait d'une loi de Poisson compos6e
~ltl setIS l a l g c .
48
TIIANSFORMATION DE LOIS DE POISSON COMPOSITES
Une variable enti6re non n f g a t i v e N ob6it 5. une loi de Poisson par
g r a p p e s si
l'(ot)
= e °(`)
0(o) = o
tl
e(,,,; t) =
~°('~
~
rn,
0(0 < o.
(70(I)!'"
m!
(;,,,* (,,,-t)
t
G(/k; t), dite loi de probabilit6 des grappes, est une loi de probabilitd
quelconque d ' u n e variable enti6re positive, d @ e n d a n t ~ventuellem e n t du temps. P o u r des raisons d'uniformitfi, nous ficartons le cas
thdorique off G(o; l) serait > o (c'est-/t-dire off les g r a p p e s pourraient fitre nulles) car il peut toujours se r a m e n e r 5. celui que nous
considdrons.
Une variable X(I) obdit it une loi P gfinfiralisfie (ou non-dldmentaire selon les a u t e u r s scandinaves) si sa fonction de r6partition est
m
H ( x ; l) =
P(,,. t). U,,*
x
n
( , ; l)
(f,,* =
~)
o
o~ P(Ja; t) est la loi de probabilit6 d ' u n e variable enti~re non
nfigative, F(x; t) ~tant une loi de r @ a r t i t i o n quelconque pour t o u t e
valeur de t. On voit d~s lors q u ' u n e loi de Poisson par g r a p p e s est une
loi de Poisson gdn~ralisde pour une variable enti6re non ndgative.
2. COMMENTAIRES SUR LE THEOREME DE TRANSFORMATION
L ' 6 t u d e des possibilit6s d ' e x t e n s i o n de la th6orie collective du
risque, dans sa version initiale classique, m o n t r e l'int6r~t qu'il y a
de rechercher les lois de probabilitd qui p e u v e n t se t r a n s f o r m e r en
lois de Poisson par grappes. Les recherehes dans ce d o m a i n e st sont
plus partieuli6rement tourn~es vers l'6quivalenee entre eertaines
lois de Poisson eomposdes au sens restreint et les lois de Poisson par
grappes.
A cet dgard la note de H. B{ihhnann et R. Buzzi [I] t) ddposde 5- ce
colloque fitablit le thdor6me de t r a n s f o r m a t i o n que l'on p e u t
6noncer c o m m e suit (dans notre terminologie): la condition nfcessaire et suffisante pour q u ' u n e loi de Poisson composde au sens
i) l.es clnffres entre crochet~ renvoient h la bil)hographie indiqudoin free.
TRANSFORMATION
DE
LOIS
DE
POISSON
49
COMPOSITES
restreint soit en m6me t e m p s une loi de Poisson p a r g r a p p e s est que
sa fonction de s t r u c t u r e U(X) soit ind6finiment divisible.
Or, scion Feller [2 - - p. 4~5], une fonction e- ,qu) est la t r a n s f o r m d e
de L a p l a c e d ' u n e fonction de r @ a r t i t i o n inddfiniment divisible d ' u n e
variable non n6gative, si et seulement si q:(o) = o et si q:(u) a une
cldrivde a b s o l u m e n t m o n o t o n e .
Or la transform6e de Laplace de U(X) p e u t s'dcrire
Lu(~) =
f ~-~" d g ( x ) = P(o.~,,)
o
On p e u t toujours poser P(o" u) = e°(m
1)¢.s lors si U(X) est inddfiniment divisible, on a t o u j o u r s
0(o) = o
[--o'(,.)]
d,~ - - - - =
d7t n
(_
i ) ,,+' o o , + , l ( u ) ~ o.
et vice-versa.
On r e t r o u v e ainsi le thdor~me de t r a n s f o r m a t i o n que nous avions
exprim6 [3] de la mani~re s u i v a n t e - - moins 61dgante que celle des
a u t e u r s indiquds ci-dessus, mais en fair fiquivalente - - : la f o r m e
c a n o n i q u e des lois de Poisson c o m p o s f e s au sens restreint qui s e n t
figalement des lois de Poisson p a r gral)l)es est ddfinie p a r
P ( o : t) = e °m
(--
P('n, • : ) =
t)"
',t,!
p(,o ( o ; l )
(n =
z, 2, " ' " )
avec 0(o) = o
0(l) inddfinilnent ddrivable et telle que
( - - z) n 0o,) (t) >~ o p o u r t o u t n > / I
ConsidSrfies c o m m e des lois de Poisson par grappes, elles s'dcrivent
sous la forme
n
:<',~ [---°(t)]"'-- a " - (,, :t)
z)(,. :) = ~
(~, = ~, 2, . . . )
m!
m
avec
G(k;
I
t) =
(-- t)~
o(~l(z)
k!
- 0(;)
(k =
i, 2 ....
)
5°
TRANSFORMATION DE LOIS DE POISSON CO?,IPOSI::ES
3. REMARQUE
P o u r d~montrer la n6cessit6 de la condition, H. Bfihlmann et
R. Buzzi font appel iL une restriction (volt page 2 - - J'xdF (x) fini)
t o u t en e x p r i m a n t des doutes sur son caract~re indispensable.
I1 nous semble que l'on peut dviter cette restriction en dtablissant
le thfiorame tout d ' a b o r d pour une loi de Poisson compos~e non
gdnfiralisfie (selon notre terminologie). On obtiendrait ainsi l'dquivalence entre les fonctions caraetdristiques suivantes (selon les
notations des auteurs)
f czt (e" ~) dS(X) = d ~(tl %, O0 - q
o
oiz, puisqu'il s'agit pour l'instant cl'une variable entibre non ndgatire, "~z(u.) est n~ce~aairement de la forme
Z~ G ( k ; l) . e iu z:
1=
I
G(k; l) dtant une loi de probabilitd d'une variable entibre positive.
L'identitd subsiste si l'on remplace dans le 1)remier m e m b r e d "
par X ( u ) , fonction caractdristique quelconque, et corralativement
dans le second membre,
m
-,~t(u) par.kt(,u ) =
N G ( k ; t ) X ~" (u)
L
t
Or A't('u) est c e r t a i n e m e n t une fonction caractdristique puisque
c'est une fonction linfia_ire de fonctions caractdristiques, dont les
coefficients sont tous non ndgatifs et ont une somme dgale k z.
4" NATURE DE LA LOI 1)E PROBABILITI? I)ES GRAPPES
a) Nous avons rappeld ci-dessus que, dans les conditions du
thdor~me de transformation, la loi de probabilitd des grappes est
(-- t)~ ¢t(~)(t)
c~(k;~)
=
I~!
--o(0
(I,.=~,2
....
)
l~.echerchons la nature g~ndrale de cette loi G(k; l) qui rdgit le
h o m b r e d'unitds darts une grappe.
Scion Feller [2 - - p. 42@ la condition n~cessaire et suffisante
--donnde c i - d e s s u s - pour clue e 'v(~o soit ]a transfolmde de Laplace d'une fonction de rdpartition inch',finiment divisible d'une
TRANSFORMA'FION
DE
LOIS
DE
POISSON
COMPOSITES
51
variable 1-1o11n~gativc pcut s ' e x p r i m e r a l t c r n a t i v e m c n t comnle suit:
il f a u t et il suffit que
I
~l"(~/)
.
.
.
g-~tv
--
dV(v)
.
7)
n
V(v) dtant une mesure telle que
f ~dV(v), <
oo
U
i
D6s lors, r e v e n a n t it nos notations, ct darts les conditions imposdes
it 0(t), on peut poser:
I
o (i) .
.
.
--
B -vt
d v(,,)
.
7J
o
V(v) & a n t unc fonction n o n ddcroissante de
m e n t une fonction de r6partition).
7;
(mais pas ndcessaire-
Dbs lotn,
o(*) (l) = (-- ~)~ [ ? - ' ~-~' dr(v)
o
I
et G(k;t) =
f (vl)*"
I,'J
t
e -t~
-e
e -tv
- -
d V (v)
v
t~
f I - - e -t~ dV(v)
o
V
n
Posons
I
6 -iv
--
dV(v)
7)
dW(v; l) =
I
--
e -tv
- - vO(t)
f ~ ~-e-" dV(v)
U
o
dV(v)
TRANSFOICMATION
I)E LOIS DE POISSON COMPOSITES
53
V(v) 6 t a n t tel q u e
a
0(t) = a log
;
I--C
--
a+l
-vt
dV(v)
v
0
])arts ce cas, on p e u t v d r i f i e r q u e d V ( v ) = a e-**Vdv
(I - - e - t D e -°'v d v
d W ( v " t) =
I)6s lors
a+t
v log - -
et la loi de p r o b a b i l i t d des g r a p p e s est la loi de P o i s s o n t r o n q u d e ,
c o m p o s ~ e au sens l a r g e
G(k
•
t) --
~
f
a + t .I
a l o g -
-
7) k - J
-
tic
a
e-(a~t)Vdv
le !
o
6t
I
I
a+l
k
(A,)
/,--,,2,,
log - -
a
On r e t r o u v e l ' 6 q u i v a l e n c e bien c o n n u e e n t r e la loi b i n o m i a l e
n d g a t i v e et la loi de P o i s s o n p a r g r a p p e s l o g a r i t h m i q u e s , 6 t a b l i e
a u t r e f o i s p a r H. A m m e t e r .
BIBLIOGRAPIIIE
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