Démonstration 3

Automne 2013
IFT–2505
Demo 3 - 23 septembre 2013
1. Considérons le problème de programmation linéaire suivant :
max 1000x1 + 1200x2
x
t.q. 8x1 + 4x2 ≤ 160
4x1 + 6x2 ≤ 120
x1 ≤ 34
x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0.
(a) Résoudre le problème avec la méthode graphie.
(b) Résoudre le problème avec l’algorithme du simplexe (forme tableau).
2. Déterminer toutes les solutions de base réalisables pour le système
2x1 + 6x2 + x3 + x4 = 3
6x1 + 4x2 + 3x3 + 6x4 = 2
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.
3. Considérer le problème de programmation linéaire
min − x1 − 2x2 − 3x3 + x4
t.q. x1 + 2x2 + 3x3 = 15
2x1 + x2 + 5x3 = 20
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.
À une certaine itération du simplexe, l’inverse de la base est
 5

− 73 0
7
2
− 1
0
7
7
9
4
−7
1
7
(a) Poursuivre la résolution de ce problème après avoir identifié le tableau
du simplexe associé à cette base.
(b) Supposons que le terme de droite de la troisième contrainte devienne
égal à 8 :
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 8.
La solution de base optimale obtenue au point précédent demeure-telle réalisable ? Quelle est la modification de la valeur optimale de la
fonction économique ?
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4. Considérer le problème de programmation linéaire suivant :
min x1 + x2 − 4x3
t.q. x1 + x2 + 2x3 ≤ 9
x1 + x2 − x3 ≤ 2
− x1 + x2 + x3 ≤ 4
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.
Utilisons les variables d’écart x4 , x5 , x6 pour transformer le problème sous
forme standard. À une itération du simplexe, nous retrouvons le tableau
suivant
x1 x2 x3 x4 x5 x6
b
1
2
1
x1 1 − 31 0
0
−
3
3
3
x5 0
a
0
0
1
1
d
2
1
1
13
x3 0
1
0
3
3
3
3
−z 0
b
0
c
0
2
e
– Spécifier l’inverse de la base associée à ce tableau du simplexe.
– Déterminer les valeurs de a, b, c, d, e.
– La solution dans ce tableau est-elle optimale ? Pourquoi ? Si elle n’est
pas optimale, poursuivre la résolution du problème pour identifier une
solution optimale.
– Supposons que le vecteur des termes de droite est modifié avec le vecteur
suivant (∆, ∆, ∆)T . Quelle est la plus grande valeur que peut prendre ∆
pour que la solution optimale du problème original demeure réalisable
pour le nouveau problème ainsi généré, et quelle est la valeur optimale
de ce nouveau problème ?
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