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203
MATHEMATICAL MAYHEM
Mathematial Mayhem began in 1988 as a Mathematial Journal for and by
High Shool and University Students. It ontinues, with the same emphasis,
as an integral part of Crux Mathematiorum with Mathematial Mayhem.
The Mayhem Editor is Ian VanderBurgh (University of Waterloo). The
other sta members are Monika Khbeis (Our Lady of Mt. Carmel Seondary
Shool, Mississauga, ON) and Eri Robert (Leo Hayes High Shool, Frederiton, NB).
Mayhem Problems
Veuillez nous transmettre vos solutions aux problemes du present numero
avant le 15 septembre 2010. Les solutions reues apres ette date ne seront prises
en ompte que s'il nous reste du temps avant la publiation des solutions.
Chaque probleme sera publie dans les deux langues oÆielles du Canada
(anglais et franais). Dans les numeros 1, 3, 5 et 7, l'anglais preedera le franais,
et dans les numeros 2, 4, 6 et 8, le franais preedera l'anglais.
La redation souhaite remerier Jean-Mar Terrier, de l'Universite de
Montreal, d'avoir traduit les problemes.
M438.
Propose par l'Equipe
de Mayhem.
Trouver toutes les paires de nombres reels
(x, y) telles que
x2 + (y 2 − y − 2)2 = 0 .
M439.
PA, E-U.
Propose par Eri Shmutz, Universite Drexel, Philadelphia,
Trouver l'entier positif x pour lequel on a
1
1
1
+
=
.
log2 x
log5 x
100
M440.
Propose par l'Equipe
de Mayhem.
On donne un trapeze
ABCD ave AB parallele
a DC et AD perpendiulaire a AB . Si AB = 20, BC = 5x, CD = x2 +3x et DA = 3x, trouver
la valeur de x.
M441.
Propose par Katherine Tsuji et Edward T.H. Wang, Universite
Wilfrid Laurier, Waterloo, ON.
Quel est le nombre maximal de rois non menaants qu'on peut plaer
sur un ehiquier
n × n ? (Un roi est une piee
d'ehes
qu'on peut deplaer
d'une seule ase horizontalement, vertialement ou diagonalement.)
........
....
....
204
M442.
E-U.
Proposed by Carl Libis, Universite Cumberland, Lebanon, TN,
Dans le tableau arre suivant
2
66
66
4
1
n+1
2
n+2
..
.
..
.
(n − 1)n + 1
(n − 1)n + 2
3
7
7
.. 7
7
5
···
···
n−1
2n − 1
n
2n
···
n2 − 1
n2
..
.
.
onstruit en erivant
sur n lignes onseutives
la liste des nombres de 1 a n2 ,
determiner
la somme des nombres sur haque diagonale. Comparer ette
somme a la onstante magique obtenue en rearrangeant
les n2 el
ements
pour former un arre magique.
.......
....
....
M443. Propose par Neulai Staniu, Eole
seondaire George Emil Palade,
Buzau, Roumanie.
On note ⌊x⌋ le plus grand entier n'exedant
pas x. Ainsi, ⌊3.1⌋ = 3 et
⌊−1.4⌋ = −2. On designe
par {x} la partie frationnaire du nombre reel
x
('est-a-dire
{x} = x − ⌊x⌋). Par exemple, {3.1} = 0.1 et {−1.4} = 0.6.
Trouver tous les nombres reels
positifs x tels que
§ 2x + 3 ª
x+2
+
› 2x + 1 ž
x+1
=
14
9
.
M444.
Propose par Jose Luis Daz-Barrero, Universite Polytehnique de
Catalogne, Barelone, Espagne.
Soit a et b deux nombres reels.
Montrer que
p 2 2
p 2 2
√
a + b + 6a − 2b + 10 +
a + b − 6a + 2b + 10 ≥ 2 10 .
.................................................................
M438. Proposed by the Mayhem Sta.
Find all pairs of real numbers (x, y) suh that
x2 + (y 2 − y − 2)2 = 0 .
M439.
USA.
Proposed by Eri Shmutz, Drexel University, Philadelphia, PA,
Determine the positive integer x for whih
M440. Proposed by the Mayhem Sta.
1
1
1
+
=
.
log2 x
log5 x
100
In trapezoid ABCD, AB is parallel to DC and AD is perpendiular
to AB . If AB = 20, BC = 5x, CD = x2 + 3x, and DA = 3x, determine
the value of x.
205
M441. Proposed by Katherine Tsuji and Edward T.H. Wang, Wilfrid Lau-
rier University, Waterloo, ON.
What is the maximum number of non-attaking kings that an be plaed
on an n×n hessboard? (A \king" is a hess piee that an move horizontally,
vertially, or diagonally from one square to an adjaent square.)
M442.
USA.
Proposed by Carl Libis, Cumberland University, Lebanon, TN,
Consider the square array
2
66
66
4
1
n+1
2
n+2
..
.
..
.
(n − 1)n + 1
(n − 1)n + 2
3
7
7
.. 7
7
5
···
···
n−1
2n − 1
n
2n
···
n2 − 1
n2
..
.
.
formed by listing the numbers 1 to n2 in order in onseutive rows. Determine the sum of the numbers on eah diagonal. How does this sum ompare
to the \magi onstant" that would be obtained if the n2 entries were rearranged to form a magi square?
M443. Proposed by Neulai Staniu, George Emil Palade Seondary Shool,
Buzau, Romania.
Let ⌊x⌋ denote the greatest integer not exeeding x. For example,
⌊3.1⌋ = 3 and ⌊−1.4⌋ = −2. Let {x} denote the frational part of the
real number x (that is, {x} = x − ⌊x⌋). For example, {3.1} = 0.1 and
{−1.4} = 0.6. Find all positive real numbers x suh that
§ 2x + 3 ª
x+2
+
› 2x + 1 ž
x+1
=
14
9
.
M444.
Proposed by Jose Luis Daz-Barrero, Universitat Politenia
de
Catalunya, Barelona, Spain.
Let a and b be real numbers. Prove that
p
a2 + b2 + 6a − 2b + 10 +
M381. Corretion.
p
√
a2 + b2 − 6a + 2b + 10 ≥ 2 10 .
Mayhem Solutions
Proposed by Mihaly Benze, Brasov, Romania.
Determine all of the solutions to the equation
1
2
6
7
+
+
+
= x2 − 4x − 4 .
x−1
x−2
x−6
x−7