Licence Mathématiques (L1) - Formation ouverte à distance

UGB - UFR SAT
2012-2013
Licence Mathématiques (L1) - Formation ouverte à distance
Géométrie affine : Feuille d’exercices N˚1
Exercice 1
Soit (A, B, C, D) un tétraèdre d’un espace affine réel A de dimension 3.
Montrer que les droites issues d’un sommet et passant par l’isobarycentre de la face opposée à ce sommet et les
droites joignant les milieux de deux arrêtes opposés formes un ensemble de sept droites concourantes.
Exercice 2
Soit (A, B, C, D) un tétraèdre d’un espace affine réel A de dimension 3 sur R.
1. Montrer que la droite joignant le milieu I du bipoint (A, B) au milieu J du bipoint (C, D) et la droite
joignant le milieu K du bipoint (A, D) au milieu L du bipoint (B, C) ont un point commun.
2. Quelle est la nature de (I, L, J, K) ?
Soit A un plan affine rapporté à un repère (o,~i, ~j) et n un entier naturel non
 nul.
 On
 pose

m
J = {x ∈ N∗ /x ≤ n} et pout tout couple (m, p) élément de J 2 , on considère le point pondéré M   , m
p
 
m
de coordonnées   et affecté du coefficient m.
p
   



1
1. Déterminer les coordonnées de G1 , barycentre du système M   , 1 /p ∈ J


p

   


m
2. Déterminer les coordonnées de Gm (où m ∈ J), barycentre du système M   , m /p ∈ J


p

   


m
3. En déduire les coordonnées du barycentre G du système M   , m /(m, p) ∈ J 2


p
Exercice 3
Exercice 4
Soit (A, B, C) un repère affine d’un plan affine P et (α, β, γ) un système de coordonnées
barycentriques d’un point M de P. Trouver une condition nécessaire et suffisante liant α ,β et γ pour que :
1. le point M appartienne à la droite (AB)
2. le point M appartienne à la médiane issue de B du triangle (A, B, C)
3. le point M soit sur la parallèle à la droite (BC) menée par le milieu du bipoint (A, B)
Exercice 5
Soit P un plan affine et (A, B, C) un repère affine de P. On désigne par (a, b, c) (resp.(a0 , b0 , c0 ))
un système de coordonnées barycentriques dans le repère (A, B, C) d’un point M (resp. M 0 ) de P.
−−→
1. Soit PC la projection sur la droite (AC) de AB. Donner un système barycentrique de M 0 = PC (M ) en
fonction d’un système de coordonnées barycentriques de M .
−−→
−→
2. Soit PA (resp. PB ) la projection sur la droite (BA) (resp. (CB)) de direction BC (resp. CA) et α0 un
point donné de la droite (BC). On pose, pour tout entier naturel n, βn = PC (αn ), γn = PA (βn ) et
αn+1 = PB (γn ). Que peut on dire de cette suite.
Cours:Pr Maaouia, Tutorat: P.O. Cissé et C. Diop
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Exercice 6
Soient D et D0 deux droites distinctes d’un plan P sécantes en o, A et B deux points distincts
de D/{0}, A0 et B 0 deux points distincts de D0 /{0}. On désigne par (α, β) avec α + β = 1 les coordonnées
barycentriques de o dans le repère (A, B) et par (α0 , β 0 ) avec α0 + β 0 = 1 les coordonnées barycentriques de o
dans le repère (A0 , B 0 ).
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les droites (AA0 ) et (BB 0 ) soient parallèles.
2. On suppose que α − α0 6= 0. Déterminer le barycentre des points (A, α) et (A0 , −α0 ) et le barycentre des
points (B, β) et (B 0 , −β 0 ).
Exercice 7
Dans un plan affine P, on considère deux repères affines (A, B, C) et (A0 , B 0 , C 0 ) tels que les
droites (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont concourantes. On suppose que les droites (BC) et (B 0 C 0 ) (resp. (AC) et
(A0 C 0 ), (AB) et (A0 B 0 )) se coupent en I (resp. en J et K).
Montrer que les points I, J, K sont alignés.
Exercice 8
Soit (A, B, C) un repère affine d’un plan affine P et α, β, γ trois réels différents de −1. On
note I, J, K, L, M, N les barycentres des systèmes :
S1
= {(B, 1), (C, α)} S2 = {(C, 1), (A, β)} S3 = {(A, 1), (B, γ)}
S4
= {(C, 1), (B, α)} S5 = {(A, 1), (C, β)} S6 = {(B, 1), (B, γ)}
1. A quelle condition liant α, β et γ, les points I, J, K sont-ils alignés ?
2. Montrer que si les points I, J, K sont alignés, il existe une droite contenant les points L, M, N .
3. Montrer que si les points I, J, K sont alignés, les milieux des bipoints (A, I), (B, J) et (C, K) sont alignés.
Cours:Pr Maaouia, Tutorat: P.O. Cissé et C. Diop
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